常微分方程試題庫考試庫

1、常微分方程試題庫考試庫作者:日期:11常微分方程期終考試試卷（1）一、填空題（30%1、方程M（x,y）dx N（x,y）dy 有只含x的積分因子的充要條件是（）。有只含y的積分因子的充要條件是 。2、為黎卡提方程，它有積分因子。3、 為伯努利方程，它有積分因子 。4、若Xi（t）,X2（t）丄，X n（t）為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是。5、形如勺方程稱為歐拉方程。6、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩陣，則 和 具有的關(guān)系是7、當(dāng)方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當(dāng)其實部為 時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為。二、計算題（6 0%）31、ydx (x y )dy

2、02、x x si nt cos2t12并求expAt2 1A 1 4 （）3、若 14試求方程組x Ax的解津）3 4xydy 8y2 04、dxdx魚x y25、求方程dx經(jīng)過（, 0）的第三次近似解dx6.求 dtx y 5的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性三、證明題（10%）1、n階齊線性方程一定存在n個線性無關(guān)解。試卷答案填空題(x)(y)2、dyp(x)y2Q(x)y R(x)dydxP(x)y Q(x)ynu(x, y) yne(n 1)p(x)dx4、WXi(t),X2(t)丄，Xn (t)dn 1an 1 anydx(t)(t)C7丿一 I 二、零穩(wěn)定中心二計算題1、解：因為,

3、所以此方程不是恰當(dāng)方程,方程有積分因子(y) edyyIn y12 y ,兩邊同乘所以解為-dxyy3y2即2xy(y2C）另外y=0也是解2、線性方程x x 0的特征方程2 1 0故特征根ft) sinti是特征單根，原方程有特解x t(Acost Bsint)代入原方程1A=- 2 B=0f2(t) cos2t2i不是特征根，原方程有特解x Acos2tBsin2t代入原方程A13B=0x所以原方程的解為qcostc2s int1 1t cost cos2t 23、解:P(t)由公式expAt二e3tn 1 Ai etiexpAt e3t E t(A4、解：方程可化為0解得1,23 此時

4、k=1 n12,(A-(A 0i!3E)(*)兩邊對y求導(dǎo):即(p33E)iE)i得e3tdydx x4y dx2y(p3P)e3tt(t(e3t8y2dy 令dxp則有4y2 )乎 dyp(8y23p )c2x42pc2即方程的含參數(shù)形式的通解為:2)2)P3 8y24yp(*)/ 24y p1cy2即y (c)2將 y 代入(*)c2 2px 4 c2y (衛(wèi))2c p為參數(shù)又由P34y212 p （4y）3代入（*）得:27x3也是方程的解yoyoxxdx0yox0(x5、解:yox0(x2x22 2xx)dx44 x4210x400207x w)dx20x5x112044008x160

5、dx6、解:解得奇點（3, -2 ）dt dy 令 X=x-3,Y二y+2 貝S dt因為=1+10故有唯一零解（0, 0）為穩(wěn)定焦2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故(3，-2)點。三、證明題由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n 解:X1(t)1,X2(t0)0丄L,xn(t)0X；(t)0,X2(t)1,LL,Xn (t)0LLLLLLLLLLLLLLLX1n 1(t0)0,x(t0) 0, L,xT(t0)1対/0）公2（鮎）丄，Xn（t。）考慮01 0 L1從而Xi（t）（i1,2，L n）是線性無關(guān)的常微分方程期終試卷（2）、填空題30%1、形如勺方程，

6、稱為變量分離方程，這里.f（Q （y）分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、形如勺方程，稱為伯努利方程，這里P（x）.Q（x）為x的連續(xù)函數(shù).n 0.1是常數(shù)。引入變量變換，可化為線性方程。3、如果存在常數(shù)L 0,使得不等式 對于所有（X, yj（x, 丫2）R都成立，L稱為利普希茲常數(shù)。函數(shù)f （x, y）稱為在 R上關(guān)于y滿 足利普希茲條件。4、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里ai，a2,是常數(shù)。5、設(shè)（t）是x Ax的基解矩陣，（t）是x A（t）x f （t）的某一解，則它的任一解（t）可表為_。、 計算題40%1、dy求方程dx6 y xy2的通解。x2、dy求方程dxy exyx的通解。3、

7、求方程x6x 5x e的隱式解。4、dy求方程dxx y2通過點（0、0）的第三次近似解。三、證明題30%t21.試驗證t = 2t 1是方程組x=0 122 x1t2t x,x= x2，在任何不包含原點的區(qū)間a t b上的基解矩陣2.設(shè)t為方程x =Ax （A為n n常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0） =E），證明:1(t 0)=(t- t 0)其中旣0為某一值.常微分方程期終試卷答卷填空題(每空5分)213dy1 dxf(x) (y)2乎 P(x)y、dxQ(x)ynz=f(x,yj f(x,y2)4、dnydxnaxLyi1yn 1dxy2an 1xdydxany 05、(t)(t)(t

8、)計算題(每題10分)dz1、這是n=2時的伯努利不等式，令1z=y ,算得dx2 dy y玉代入原方程得到dzdx，這是線性方程，求得它的通解為c-6z= x帶回原來的變量1 c 得到y(tǒng) = x62 6x2x8或者yx8c8，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.2、dyexyxe解:dxexyxdy(xexyy)dxxdyydxxy -xe dxdxyxy -xe dxdxy.xyxdxexyyx積分:e xy3、解:三、12xy小x e c 0故通解為：2齊線性方程x 6x 5x 0的特征方程為26511- 25，故通解為 X(t)c1e t2不是特征根，所以方程有形如把x(t)代回原

9、方程于是原方程通解為4、解 0(x) 0X1(x) X02(X)3(X)4Ae2t 12Ae2tx(t)c1e tc?e 5t5tc?ex(t)A 2tAe5Ae2te2t1212X (X)dx y1 2te21xX0XX021 (x)dx22 (x)dx證明題(每題15分)1、證明：令t的第一列為是一個解。同樣如果以2(t)這樣2(t)也是一個解陣。2、證明:(1)t1(t) =表示5X205X20t22t8X16011X4400,這時1 (t)=t第二列，我們有2t21(t)故 i(t)2(t)=0_212t 2(t)因此 t是解矩陣。又因為det t(t- t 0)是基解矩陣。=-t2

10、故 t是基解矩19(2)由于t為方程x=Ax的解矩陣，所以t 1 (t )也是x=Ax的解矩陣，而當(dāng) t= t 0時，(t )1(t 0)=E,(t- t 0)=(0) =E.故由解的存在唯一性定理，得t 1(t 0)= (t- t 0)常微分方程期終試卷(3).解下列方程(10%*8=80%)22 y1.1.2xylnydx+ x2 + y 1 y dy=0dy y22. dx =6x -x y3.y=2(xy x2 y24. x y =+y5. 5.tgydx-ctydy=02 26. 6.y-x( x +y )dx-xdy=07. 質(zhì)量為m質(zhì)點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個和時間

11、成正比(比 例系數(shù)為k1)的力作用在它上面，此外質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速 度成正比(比例系數(shù)為k2)。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。x8. 已知f(x) 0 f(t)dt=1,x 0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。二. 證明題(10%*2=20%)9. 試證：在微分方程 Mdx+Ndy二沖，如果M N試同齊次函數(shù)，且xM+yN 0,則(xM yN)是該方程的一個積分因子。10. 證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解試題答案:1. 解:My =2x In y+2x ,Ny =2x,則Nx 2xln y程有積分因子 y1dye y2 2x y dx+ y2xyln

12、 yM_yM = 2xy I ny 二原方程,故方同乘以-y得y J y2dy=0是恰當(dāng)方程.d(2X Iny)+ydy=0,兩邊積分得32 22方程的解為X lny+1 y=q12. 解：1) y=0是方程的特解。2)當(dāng)y 0時，令z=y得c-6Z=xdz 6dx= ；Z+X.這是線性方程，解得它的通解為丄 c代回原來的變量y得方程解為y=x62X8 ； y=0.3.解：令 x=u+3, y=v2,可將原方程變?yōu)?亠du= U VdvZ1 Z2u-1 Z 2u =dz分離變量并兩端積分得duu +l nC即 ln z +2arctgz= ln u+l nC,vdz 2u - 再令Z= u，得

13、至U z+ u =2arctg-uln zu= 2arctgz+lnC代回原變量得 v=Ce2 arctg所以，原方程的解為/y+2二Cer 2_y令u=x ,得到x y =xu + u,則(*)變arcsinu=ln u +lnC,故方程的解為,i1 三-4.解：將方程改寫為y= x + x( *) du 為X dx = 1 u ,變量分離并兩邊積分得_yarcs in x =l nCx。5.解：變量分離ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得ln(siny)二ln cosx +C或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1 ),x=t + 2

14、 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時的 特殊情況，故原方程的解為sinycosx=C。31ydxxdy2-xxdx=0,即 d(arctg y)2dx =0,故原方程的解為arctg y丄22 x =Codv7. 解：因為 F=ma=mt，又 F=F 1 F 2 2 26. 解：ydx-xdy-x( X +y )dx=0,兩邊同除以 X +y 得二k* k2V ,dv即 mdt =k1t k2v(v(0)=0)dv,即 dt =k1t k2v(v(0)=0),竺k2t k1m解得 v= k2 em + k2(t k2).解：令 f(x)=y ,1f (x

15、)=x0f(t)dt，兩邊求導(dǎo)得=y,1即vy：=y，即 y二dx.12兩邊求積得y =2x+C11從而y=、2x C，故 f(x)=J2x C .9. 證明：如M N都是n次齊次函數(shù)，則因為x M x+y M y = nM xNx+yNy二nN,故有MNy xM yN x xM yN =My(xM yN) M(xM y NNy)“側(cè) yN) N(xM x M y)2 2(xM yN)2= (xM yN) =0.故命題成立。10. 解：1)先找到一個特解y=%。 令 y= %+z，化為n=2的伯努利方程。 證明：因為y二%為方程的解，所以 dx =P(x) %+Q(x) %+R(x) (1)令

16、y= %+z，則有d % dz2dx + dx = P(x) (% z) +Q(x)(% Z)+r(x) (2)dz2(2) (1)得 dx= P(x)(xM yN)2M(xNx yN) N(xMx yNJ=(xM yN)2M (nN) N(nM)即 dX=2P(x) %+Q(x)z+P(x) z2此為n=2的伯努利方程。常微分方程期終試卷（4）一、填空題1、（）稱為變量分離方程，它有積分因子（）。2、當(dāng)（）時，方程M（x,y）dx N（x,y）dy 0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3、函數(shù)f（x，y）稱為在矩形域r上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果 （ ）。4、對畢卡逼近序列，k（x） k 1

17、（x）（）。5、解線性方程的常用方法有(）。6、若Xi（t）（i 1,2，, n）為齊線性方程的n個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為（）。7、方程組xA(t)x (）。8、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩陣，則（t）和（t）具有關(guān)系：(）。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當(dāng)其實部（）時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為（）。10、當(dāng)方程組的特征方程有兩個相異的特征根時，則當(dāng)（）時，零解是漸近穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為（）。當(dāng)（）時，零解是不穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為（）。1 1、若（t）是x A（t）x的基解矩陣，則x A（t）x f（t）滿足x（t。）的解（ ）。二、計算題求

18、下列方程的通解。dy . y . 彳4e sin x 11、dx。2 dy 2y 1 （ ）12、dx 。dyX y3、求方程dx y通過（0,0）的第三次近似解求解下列常系數(shù)線性方程。4、x x x 0。t5、 x x e 。試求下列線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，進(jìn)一步判斷奇點的類型及穩(wěn)定性：dx6、 dtx y 5。三、證明題。1、設(shè)（t）為方程xAx （A為n n常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0） E）,1證明（t）（to）（t to）其中to為某一值答案:1g(y)填空題dy f (x)g(x)1、形如dx的方程M N、 y x3、存在常數(shù)L 0 ,對于所有（x1,y1）

19、,（x2,y2）R都有使得不等式f(X1,yJ f(X2y) Ly1 y?成立k 1MLh4、k!5、常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、幕級數(shù)解法、拉普拉斯變換法nx(t)CiXi(t)6、i1 ，其中C1,C2，Cn是任意常數(shù)7、n個線性無關(guān)的解Xi(t),X2(t), Xn(t)稱之為x A(t)x的一個基本解組8、(t) = (t)c (a t b)c為非奇異常數(shù)矩陣9、等于零穩(wěn)定中心1 0、兩根同號且均為負(fù)實數(shù)穩(wěn)定結(jié)點兩根異號或兩根同號且均為正實數(shù)不穩(wěn)定鞍點或不穩(wěn)定結(jié)點1 1、(t)1(to)t 1(t) t (s)f(s)dsL0計算題dey解：方程可化為dxey 4siney，得 dxdzz

20、 4sin x由一階線性方程的求解公式，得(1)dx(1)dxxxz e ( 4sin xe)dx c e2(sinx cosx) ec 2(sinx cosx) ce x所以原方程為：ey = 2(sinx cosx) cex2、dy解：設(shè)dxp sin t，則有y sect , 從而1 2 tgt sectdt c sec tdt t sin ttgt c2 2,故方程的解為(X c) 1 y ,另外y 1也是方程的解解:o(x)02(x)mgx204215x203（X）x (丄 x22-1x5)220dxx !x4 丄 x10 丄 x7 dx4400204、1,15x20解：1 11x4

21、4001x160方程為：23i2所以方程的通解為:1 t2e (C1 cos三tC2Sid)2 2解：齊線性方程 x x 0的特征方程為解得2,31、3i2,故齊線性方程的基本解組為:1et,e.3cos i, e2.3sin i2因為1是特征根，所以原方程有形如所對應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)1 i，故奇點為穩(wěn)定焦點，3Aet AtetAtetet所以A 3 ,所以原方程的通解為1J3. . V 3.1,tt2 COSiC3e2 sini 一texc1eqe223x y ! 0x 36、解：xy 5 0解得y 2所以奇點為（3,2)經(jīng)變X x3換，丫 y3dxX丫dtJdyX丫11 0,1 1(1)2

22、1 0方程組化為dt因為11又1 1x（t） tAet，代入原方程得,所以11 i, 2定的。三、證明題11、證明：為方程x Ax的基解矩陣(t。)為一非奇異常數(shù)矩陣，所以1(t)(to)也是方程x Ax的基解矩陣，且(t to)也是方程x Ax 的基解矩陣,1且都滿足初始條件(t)(to) E， (to to)(0) E1所以(t)(to)(t to)常微分方程期終考試試卷(5)一.填空題 (30分)dy1 . dx P(x)y Q(x)稱為一階線性方程，它有積分因子卩2 ,其通解為2.函數(shù)f(x,y)稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果 。3.若(X)為畢卡逼近序列n(x)的極限，

23、則有(X) n(x) 。、x2 y2、4. 方程dx定義在矩形域R： 2 x 2, 2 y 2上，則經(jīng)過點(O, O)的解的存在區(qū)間是 。t t 2t5. 函數(shù)組e，e ,e的伏朗斯基行列式為 。6. 若Xi(t)(i1,2，,n)為齊線性方程的一個基本解組，x(t)為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 。7. 若(t)是xA(t)x的基解矩陣，貝卩向量函數(shù)(t) =是x A(t)x f(t)的滿足初始條件(to) 0的解；向量函數(shù)(t)=是x A(t)x f(t)的滿足初始條件(to)的解。8若矩陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量MM, M，它們對應(yīng)的特征值分別為仆2, n，那

24、么矩陣（t）二是常系數(shù)線性方程組x Ax的一個基解矩陣。9.滿足的點（x*，y*），稱為駐定方程組。計算題（60分）2 2io.求方程4x ydx32(x y 1)dy 0 的通解。11 .求方程dxx 0的通解。dy 2x dx12.求初值問題y( R：x 11, y 1的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。13.求方程x 9x tsin3t的通解。14.試求方程組xAxf（t）的解.1(0) 1，A23，f(t)15.試求線性方程組dx dt2x 7y19 型 x 2v 5dt y的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性。三.證明題(10 分)16 .如果（t）是x Ax

25、滿足初始條件(to)的解，那么（t）旳A（t to）常微分方程期終考試試卷答案.填空題 （30分）P(x)dxP(x)dx1 ye ( Q(x)e dx c)2. f(x，y)在 R 上連續(xù)，存在 L 0，使I f(x，yi)f(x,y2)| L|yi，對于任意(x, yi),(x, y2) R心h1)!(nt et et etete2te2e2t4e2tx(t)CiXi(t) x(t)t0(t)1(s) f (s)ds(t)1(t0)t(t)t01(s) f (s)dst2tV1,e vX(x,y) 0,Y(x,y)0計算題(60 分)M10 .解：y8x2 Ny,6x2y兩邊同乘以12y積

26、分因子(y)1 dy 2y(y)后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程:4x2y23dx12y ?(x3y 1)dy 0uxM4x2y2兩邊積分得：4x3貞3(y)11 1u2x3y2(y) N 2x3y2 2y 2y1得:(y)4y21因此方程的通解為：，(x3y 3) cdy11.解:令dxepx 012.解:13.解:得:ep那么ypdxp(1eP)dppep因此方程的通解為:MmyaxJ(x，y)4x X。1 a, yyo解的存在區(qū)間為1(x)02(x)0Xoo(x)yo2dx1x2誤差估計為:1)22y2(x)(x)3i, 23ip ep22dx(p 1)ep cmin(7x634 x18X 119 4

27、2MLnh (n 1)!1243314det( E A).解：1)(5)3i是方程的特征值，丘設(shè)x(t)t(At3 itB)e得：x(2A 9Bt12Ait6Bi 9 At23 it)e則2A12 Ait6Bi t11e Ai,B得：12 36x(t)c1 cos3tc2 sin 3t1 2 1t cos3ttsin3t因此方程的通解為:12365351 1, 2(1E A)v10ViV1取V2取(2E A)v20則基解矩陣(t)tet e5te2e5t5te2e5tt(t)t10因此方程的通解為:35t1 t2ee204535t 1 t1ee1025(t)11(0)(t)35t1 tteee

28、20435t1 tteee102t(t)to1 (s) f (s)ds2511(s) f (s)dsX.1y 32x 7y 19015.解：x 2y 5 043(1,3）是奇點19令X x 7,y ydX 2X dt7y,dYdtx 2Y27272c321 20200，那么由可得:13i, 2. 3i三.證明題16 .證明:三.填空題1、 當(dāng)全因此（1, 3）是穩(wěn)定中心(10 分)1t 1(t)(t) 1(t0)(t)1(s)f(s)ds由定理8可知0t0又因為 (t) exp At, 1(t0) (exp At。)1e)p( At。)f(s) 0所以(t) exp At ex)( At。)又

29、因為矩陣(At) ( At) ( At) (At)所以(t)epA(t t。)常微分方程期終考試試卷(6)（共30分，9小題，10個空格，每格3分）。_時，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱微分方程。2、 為齊次方程。dydx3、 求 =f(x,y)滿足(X。)yo的解等價于求積分方程的連續(xù)解。f(x, y)dy4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，貝卩方程dX的解y= (x,X0,y0)作為x,X0,yo的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是 。5、試求方程組x/Ax的一個基解矩陣，并計算1eAt,其中A為4dx6、試討論方程組dtax by,dt(1)

30、的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù),5、若人風(fēng),X3(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是且 ac 0。三、證明題(共一題，滿分10分)。試證：如果(t)是x/ Ax滿足初始條件(to) 的解，那么(t) eA(t 常微分方程期末考試答案卷一、一、填空題。(30分)M (x, yN(x,y)1、y xdy )2、dx xxc y f (x, y)dx3、y= yo + x。4、連續(xù)的5、 wXl(t),X2(t,),Xn(t)06、n個線性無關(guān)解7、(t)1 (0)8 X(x,y)=0,Y(x,y)=09、為零穩(wěn)定中心 二、計算題。(60分)1、解：(x-y+1)dx-(x+

31、2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=01 2x所以2xy x1 33y3y Cdy 2(x y) 12、解：dx (x y) 2，令 z=x+y顯然，y0是通過點(0, 0)的一個解;dy 又由dx312 y3解得,3|y|= (x c)2所以，通過點(0,0)的一切解為y 0及|y|= (x3c)2(X(x c)c), c 0是常數(shù)4、解:(1)0,1,21、2idz 1 dy則dxXdxdz , 2z 1z 1z 2 ,1,dz dxdxz 2z 2 z 13所以 z+3In|z+1|=x+ C1, In |z 11 =x+z+C1 即(x y 1)3

32、 Ce2xy3、解:31f 13 ,3y (y 0)設(shè) f(x,y)=2 y ,則 y 2f故在y 0的任何區(qū)域上y存在且連續(xù)，因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯 性定理的條件，齊次方程的通解為x=et (c1 co. 2t c2 sin ,2t)1 i不是特征根，故取x(Acost Bsint)et代入方程比較系數(shù)得A=41，4B=- 4154tx (一cost sin t)e 于是 4141)1通解為 x=et(cico2tc2srn.2t)+41(5cost 4sint)e1 2245 05、解：det( e A)=43所以，i 1,2 5設(shè)i 1對應(yīng)的特征向量為vi2 2h 0可得1

33、0由441111同理取V2取12t5te e所以，(t) =te V15e 5te 2eAt1(0)e te5t11 1e(t)5te 2e1 21t e5t e213t e5t2e115tt5tt1e2eee3r 5t2e2e tc 5t2et e6、解：因為方程組（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件ac 0，故奇點為原點（0, 0）ab又由 det(A- E)= 0 c2 (a c)ac 0得所以，方程組的奇點（0, 0）可分為以下類型:ac c0奇點為結(jié)點a 0,ca 0,c0,穩(wěn)疋結(jié)點0,不穩(wěn)定結(jié)點ac 0奇點為鞍點（不穩(wěn)定）aa, c為實數(shù)b 0,奇點為退化結(jié)點b 0,奇點為奇結(jié)點

34、a 0, c 0,穩(wěn)定結(jié)點a 0,c 0,不穩(wěn)定結(jié)點三、證明題。（10分）證明：設(shè)的形式為（t）=eAtC（1）（C為待定的常向量）則由初始條件得（t0）=eAt0C又（eAt0） 1=e At0所以，C=（eAt0）1 二eAt0代入（1）得（t） = eAteAt0eA（t t0）即命題得證。常微分方程期終試卷（7）一、選擇題）個.（A） n條件.1 . n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（B）n-1（C） n+1（D） n+22. 李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（）（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分dy3.方程dx1y2( , 1) _過點2 共

35、有()個解.(A) 一（B）無數(shù)（C）兩(D)三業(yè).4.方程dxy XX ()奇解.（A）有一個（B）有兩個（C）無（D）有無數(shù)個28dy -I5 .方程dx y的奇解是（)(A) y x ( B)y 1(C)(D) y 0二、計算題x2 y21.x y =+y2.tgydx-ctydy=03.(X2y)dx xdy 04.dydx5.=dxx3(y In x)dy 0三、求下列方程的通解或通積分1.x(1y2)2.dydx3.dydx3ye2x四.證明1.設(shè) yi（x）,y2（x）是方程p(x)yq(x)y 0的解，且滿足力化）=y2（xo）=0,yi(x)0，這里 P(x), q(x)在(

36、X。(）.試證明：存在常數(shù)c使得 y2(x)=cyi(x).2.在方程 y P(x)y q(x)y 0中,已知 P(x) , q(x)在(）上連續(xù)）上連續(xù)，求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.試卷答案、選擇題1.A 2.B 3.B 4.C 5.D55、計算題1.解：將方程改寫為y+ x(*)_y令 u=x,得到 y =xu+u,則(*)du 變?yōu)閤dx=1 u ,變量分離并兩邊積分得 arcsinu=lnu +lnC,故方程y的解為 arcsin x =|nCx。2.解：變量分離ctgxdy二tgydx,兩邊積分得In (si ny )=-lncosx +C或sinycosx

37、=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1 ),x=t + 2 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時的特殊情況，故原方程的解為 sinycosx=C。3. 方程化為翌1 2 dxx仃単uxu，則 dxdux dx，代入上式，得dux 1 u dx分量變量，積分，通解為u Cx 1原方程通解為y Cx2 x4. 解齊次方程的通解為y Cx令非齊次方程的特解為y C(x)x代入原方程，確定出C（x）lnx C原方程的通解為y Cx+xl nxM 1N5. 解 因為y xx，所以原方程是全微分方程取（xo, y。）（10），

38、原方程的通積分為X Vy 3141xdx 0ydy C即ylnx 4v c三、求下列方程的通解或通積分1. 解當(dāng)y 1時，分離變量得xdx等式兩端積分得xdxCiIn 121 y2方程的通積分為Ce1 2x22xCie2C1y2 1Ce2 .解令y xu，則xdudx，代入原方程，得du 2 xudx當(dāng)u 0時，分離變量，再積分，得IZdu2 u即通積分為:丄 ln|x| C u ,In x C3.解齊次方程的通解為3xy Ce令非齊次方程的特解為y C(x)e3x代入原方程，確定出原方程的通解為3xy CeC(x)i 2xe+ 5In x Ci 5x-e C5四.證明1.證明設(shè)yi（x）,

39、y2（x）是方程的兩個解,則它們在（）上有定義，其朗斯基行列式為W(x)由已知條件，得W（x。）yi(x)yi(x)y2（x）y2（x）yi(x。)yi(x。)y2（X。）y2（X。）0yi(x。)0y2(X。)故這兩個解是線性相關(guān)的.由線性相關(guān)定義,0存在不全為零的常數(shù)i，2，使得iyi(X)2y2(x)0 ,由于yi（x） 0，可知20 .否則，若0，則有 iyi(x)0,而 yi(x) 0，則 i 0,這與yi（x）, y2（x）線性相關(guān)矛盾.故y2(x)1 yi(x)2Cyi(x)2. 證明由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是（，）.顯然，該

40、方程有零解y（x）0 .假設(shè)該方程的任一非零解yi（x）在X軸上某點X。處與x軸相切，即有yi（x。）yi（xo）=o,那么由解的惟一性及該方程有零 解y（x）0可知yi（x）0,x（,），這是因為零解也滿足初值條件 yi（xo） yi（xo） = o,于是由解的惟一性，有yi（x） y（x） o,x （,）.這與yi（x）是非零解矛盾.常微分方程期終試卷（8）一、 填空（每空3分）1、 稱為一階線性方程，它有積分因子, 其通解為。2、函數(shù)f（x，y）稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果 。3、若Xi （t）, x2 （t）, & （t）為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條

41、件4、形如 的方程稱為歐拉方程。5、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩陣，貝y （t）和（t）具有的關(guān) 系：。詈 g（t；y）,（to；to，yo）yo的解存在且惟，則方程組6、若向量函數(shù)g（t；y）在域r上7、當(dāng)方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當(dāng)其實部 ，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為 。求下列方程的解1、2(y 3x )dx (4y x)dy 0(6 分)2、ydx xdy (x2 y2 )dx(8 分)3、y2(y 1) (2y)2(8 分)4、dy y xy edx x(8 分)5、2t6x 5x e(6 分)6、(8 分)7、12x(8 分)三、求方程組的奇點，并判斷奇點的類型和穩(wěn)定性（8 分）dxdt2x 7yx 2y 5答案、 填空（每空4 分)dy1、形如dxP(x)yQ（x）的方程，eP(x) dx yP (x)dxP(x) dxe ( Q(x)e dx c)2、存在常數(shù)L 0 ,使得（xi, yj,區(qū)皿）R，有 f(x, yi) f(x,y2)L