2015年高考真題——理科數(shù)學(xué)(北京卷)含解析

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作 答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.1. 1 復(fù)數(shù) i 2 -i =A. 1 2iB. 1 -2ic.-12iD.-1 -2i【答案】A【解析】試題分析：i（2 - i ) = 12i考點：復(fù)數(shù)運算- y w 0 ,2.若x , y滿足x y 3 不満足，s = -2, T = 2 x = -2j y 2, k 2，因

2、為 2 王 3 不滿足，= -1T = 0才二-y = 3，因為3王3滿足，輸出(-4,0)考點：程序框圖4. 設(shè)為，：是兩個不同的平面，m是直線且m? :- . “m /是“ / ：的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件【答案】B【解析】/ - 則平面:、，則有m / ：,則試題分析：因為、 , I:是兩個不同的平面，m是直線且m? :.若m可能相交也可能平行，不能推出:/ ，反過來若:/ - , m二m /是“ / 1 ”的必要而不充分條件.考點：1.空間直線與平面的位置關(guān)系；2.充要條件.5. 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是D. 5A. 2 .5B. 4 5C.

3、2 2 5【答案】C【解析】取AB棱的中點D,AB上的高CD為2,AC = BC = -5 ,試題分析：根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐P-ABC，其中PC 平面ABC連接CD PD有PD丄AB, CD丄AB ,底面ABC為等腰三角形底邊AD=BD=1,PC=1,PD 二 5, S abc = 22=2、S pab =2、5 =5 ,三棱錐表面積$表=2.5 - 2.S pAC 二 S pBc = 51 =2考點：1.三視圖;2.三棱錐的表面積.6.設(shè)fan?是等差數(shù)列.F列結(jié)論中正確的是A.若 aia20 ,則 a2as0B.若 a a3 : 0，則 aa2: 0C.若 0 : a : a2,D.若

4、a : 0，貝U a2 -ai a? as ,0【答案】C【解析】試題分析匕先分析四個答案支，R舉一反例氣二2弓二-匕冬二一4 , D而迅+包0 , A錯溟，B舉同樣反例氣=Z召=一1礙=-4 坷十色UU，而坷十 3錯誤下宜軒對C迸 行研究，是等差數(shù)列，若0 0,設(shè)公差為d,則川 0數(shù)列各項均為正，由于 可-%氣二（q + J）z - y 勺 + 2d）二 a/ + 抵d + 屮 一 $ - 23 二屮 0,貝1護 氣電= % J爲爲1選C.考點：1.等差數(shù)列通項公式；2作差比較法7.如圖，函數(shù)f x的圖象為折線 ACB，則不等式f x log2 X 1的解集是A. tx| -1 ：x 0;C

5、. fx| 1 ：x 1?【答案】C【解析】3試題分析皐如圖所示，把函數(shù)y = log2Jf的圖家向左平移一個單位得到y(tǒng) = logs(jr +1)的圖象 z二1時兩圖家相交.不等式的解為-1 x 0）的漸近線方程為p = - s + y = 0 y = -屈x 莎a/ 3 0!則-=-廳,a =a3考點：雙曲線的幾何性質(zhì)11.在極坐標系中，點2? n 到直線；cost - - 3sin -6的距離為3【答案】1【解析】試題分析：先把點（2, ）極坐標化為直角坐標（1, .3），再把直線的極坐標方程訂cost - 3si nr -6化為直角坐標方程 X3y - 6 = 0，利用點到直線距離公式

6、考點：1.極坐標與直角坐標的互化；2.點到直線距離.sin2A12. 在厶 ABC 中，a =4，b =5， c =6，【答案】1【解析】試題分析：sin 2A2 sin A cos A2asin Csin Cc考點：正弦定理、余弦定理13. 在 ABC 中，點 M , N 滿足 AM 2MC，BNC .若 MNyAC，則 x 二；y=.1 1【答案】，-2 6si nCb2 c【解析】2bc2536 一 16試題分析：特殊化，不妨設(shè)AC _ AB, AB = 4, AC = 3，利用坐標法，以 A為原點，3AB為 x 軸，AC 為 y 軸，建立直角坐標系，A0,0), M(0,2), C(0

7、,3), B(4,0), N(2,),2MN =(2, AB =(4,0),2AC 二(0,3)，則(2, -) = x(4,0)y(0,3)4x二 2,3y112,y考點：平面向量，-x214.設(shè)函數(shù)f x =2x _a ?x 1.若a =1，則f x的最小值為若f x恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是1【答案】（1）1 , （2）a : 1 或a _ 2.2【解新】試題分析；刁=1時，護工 2 _lj，函數(shù)于（在（-倫1）上為增函數(shù).函數(shù)值4 r-1 II x- 2l, hM L3 33大于h在1上為減函數(shù)，在2他）為増函數(shù)，當?時，扎F）取得最小值為1;2 22儲函數(shù)（jt） = 2-呂

8、在盤 0,開且當盍=1時，旳）=2-30則D a 1且日 -a 1與工軸有無交點,不合題意;當為=2 a 0時.321 /Kjt） W盂鈾石藥-卜左與，j =由和jt = 2a由于a 2 FJ交點橫坐標均滿足工 1；綜上所述凸的取值范圍丄 3 1或旨至久2考點：1.函數(shù)的圖象；2.函數(shù)的零點；3.分類討論思想.三、解答題（共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15. （本小題13分）已知函數(shù) f（x） - .2sincos - 2sin2x .2 2 2（I ）求f （x）的最小正周期；（H ）求f （x）在區(qū)間-n, 0上的最小值.【答案】(1) 2 二，(2) _1 一

9、 22【解析】試題分析：先用降幕公式和輔助角公式進行三角恒等變形，把函數(shù)化為f(x) = Asin( X- m形式，再利用周期公式 T求出周期，第二步由于x 0,則可求出3 -x，借助正弦函數(shù)圖象找出在這個范圍內(nèi)4 44Tt + 兀3兀-，即x-時，f(x)取得最小值為:試題解析：(I )f (x)二.2 sinxcos 2 2、2 sin21 COSX運iin x2cos x2sin(JI(1)f (x)的最小正周期為T =3 二 x乞0,.42 二2二；1 ；Jt 14, 15, 16, 17,或13, 14, 1S 16, 17, a,由于A B兩組病人庾復(fù)時間的方差相等，即波動相同，所

10、以刃=11或3 試題解析；| I】甲有丫種取法，康復(fù)時(0不少于14天的有3種取法，所比觀率尸=-7：1門如果幼 從A, P兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，呂組選出的人記為乙共有均種取法，甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的列舉如下*(13, 12), (14, 12), 0,1 - X3尸（在（，1）上為増函數(shù)，則川”） X0）=問題得證；第三歩與第二步右法謝憶構(gòu)造函 數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需裳對巻數(shù)比作討論，首先止e 刃符合題育，其潼當 2時，不滿星題 意舍去,猖出址的叢大值為丄試題解析：（I）2hf(0)-2,f(0) = 0,曲線1 + x _f(x)nr,x T),f(x) =y=f

11、x在點0, f 0處的切線方程為2x(n)當 x0, 1 時，f x 23、+ xx十一.3丿，即不等式f （x）-X32 x)0 ,對- x三(0,1)成立，設(shè)F(x)1 x In -1 _ x-2；x33xx)=ln(1 x) _ ln(1 _ x) _ 2；x )，則33F(x)2x41 _ x2當x0, 1時，F(xiàn)(x). 0,故F(x)在(0, 1)上為增函數(shù)，則F(x)F(0)0,因此對-x (0,1),f(x)x32x)成立;3(川)使3，xf x i，k |xF( x)二3 X k(x )30 , x 0, 1 ;F(x)Tk(1x2)二kx42 一 k1 - x2當k 0,2時

12、，F(xiàn)(x) _ 0,函數(shù)在(0, 1)上位增函數(shù)，F(xiàn)(x) F(0) = 0，符合題意;當 k 2 時，令 F(x)二 0,x。4 二(0,1),kx(0, X。)X。(X,1)F(x)-0+F(x)極小值F(x) 18記集合M =an | nN T .(i)若a =6，寫出集合M的所有元素；(H)若集合 M存在一個元素是 3的倍數(shù)，證明： M的所有元素都是3的倍數(shù);(川)求集合 M的元素個數(shù)的最大值.【答案】(1) M二6,12,24 , (2)證明見解析，(3) 8【解析】試題分析：(I)由可=6，可知 a2 =12, Q = 24, a4 =12，則 M = 6,12,24；(H)因為集

13、合 M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè) ak是3的倍數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n k , an是3的倍數(shù)，當k =1時，貝y m中的所有元素都是 3的倍數(shù)，如果k 1時，因為ak = 2a. j或2akJ - 36,所以2ak 是3的倍數(shù)，于是ak-1是3 的倍數(shù)，類似可得， a 2, a1都是3的倍數(shù)，從而對任意n _ 1, an是3的倍數(shù)， 因此M的所有元素都是3的倍數(shù)第二步集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)a 是3的倍數(shù)，由已知an+ = ?an，an w 18，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意 n蘭k , 4是半n-36, a18f3的倍數(shù)；第三步由于M中的元素都不超過 36, M中的元

14、素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外， 都是4的倍數(shù)，因為第二個數(shù)必定為偶數(shù)，由an的定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，由定義可知，an d和2an除以9的余數(shù)一樣，分an中有3的倍數(shù)和an中沒有3的倍數(shù)兩種情況，研究集合m中的元素個數(shù)，最后得出結(jié)論集合m的元素個數(shù)的最大值為8.試題解析：（I ）由已知an屮=鬥，an1 8可知：2an 3 a6A1 8a1 = 6,a2 = 12,a3 = 24,a4 = 12,.M 二6,12,24（n）因為集合 M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由已知（2an , an w 18,an 1n n，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n _ k ,

15、 an是3的倍數(shù)，當2an -36 , an 18nk = 1時，則 M中的所有元素都是 3的倍數(shù)，如果 k 1時，因為q = 2比或 2ak- 36，所以2ak是3的倍數(shù)，于是ak是3的倍數(shù)，類似可得，ak, q都 是3的倍數(shù)，從而對任意 n 一 1 , an是3的倍數(shù)，因此 M的所有元素都是 3的倍數(shù).（川）由于M中的元素都不超過 36,由a1 3） 6，3* 或 0） 2* 2 .而9余 j 4 的|咅數(shù)只有 i2除以9余&且是毎的倍數(shù)只有24,除限9余M且是舜的倍數(shù)只有3的則窗中的數(shù)從第三項起眾多2項, 加上前面兩項，最多4項， 礙中沒有3的倍馥，則丐都不是3的倍數(shù)，對于冬除以9的余數(shù)只能杲1，4, 7, 2