2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊(cè)教案：第4章 4.2 4.2.5　正態(tài)分布 Word版含解析

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上4。2.5正態(tài)分布學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解二項(xiàng)分布與正態(tài)曲線的關(guān)系，能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的性質(zhì)(重點(diǎn))2掌握正態(tài)分布的定義,會(huì)利用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題（重點(diǎn)）3了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換，能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率（難點(diǎn)）1通過(guò)學(xué)習(xí)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的素養(yǎng)2借助正態(tài)分布中的“3原則解題及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（x）的函數(shù)值計(jì)算正態(tài)分布xn(，2）在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。小概率事件是指發(fā)生的概率小于3的事件對(duì)于這類事件來(lái)說(shuō),在大量重復(fù)試驗(yàn)中,平均每試驗(yàn)大約33次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為

2、在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸(單位：cm）xn（4，0.25)質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1 000件零件中隨機(jī)抽查一件,測(cè)得它的外徑為5.7 cm，試問(wèn)該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?1正態(tài)曲線及其性質(zhì)（1)正態(tài)曲線的定義一般地，函數(shù)，（x）e對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線，其中e（x)，。(2）正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線關(guān)于x對(duì)稱（即決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn)；正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：越大,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱,所以曲線越“胖”；越小,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”2正態(tài)分布(1

3、）一般地，如果隨機(jī)變量x落在區(qū)間a,b內(nèi)的概率，總是等于，(x）對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間a，b內(nèi)圍成的面積，則稱x服從參數(shù)為與的正態(tài)分布，記作xn（,2），此時(shí)，(x)稱為x的概率密度函數(shù)（2）正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值p（x）68。3%.p（2x2）95.4。p(3x3）99。7%.思考1：如果xn（，2）,那么p(x)與p(x）之間存在怎樣的等量關(guān)系?提示p（x)p(x）。3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)定義：0且1的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作xn（0，1）（2）概率計(jì)算方法：如果xn（0,1）,那么對(duì)于任意a，通常記(a)p(xa），其中(a）表示n（0,1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間（

4、,a)內(nèi)所圍的面積特別地，（a）（a）1.思考2:正態(tài)分布yn（，2）化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變換是什么？提示借助x實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換1思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“)（1）正態(tài)曲線是一條鐘形曲線（）（2）正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱()(3)正態(tài)曲線與x軸圍成的面積隨參數(shù)，的變化而變化(）答案(1）(2)（3）2正態(tài)曲線函數(shù)f(x)e，xr，其中0的圖像是下圖中的(）abcdd因?yàn)檎龖B(tài)曲線函數(shù)f（x）關(guān)于直線x對(duì)稱，又0，故選d.3（一題兩空）如圖是三個(gè)正態(tài)分布xn(0，0.25)，yn（0,1），zn(0,4)的密度曲線,則三個(gè)隨機(jī)變量中x，y對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的_、_.在密度曲線中，越大，曲線越“矮胖”

5、；越小，曲線越“瘦高4若隨機(jī)變量xn（0，1)，則p（x0)_。由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱可知p(x0)。利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率【例1】設(shè)xn（10,1）（1)求證：p(1x2)p(18x19)；（2)若p(x2）a，求p(10x18)解(1）證明：xn（10，1），正態(tài)曲線，（x)關(guān)于直線x10對(duì)稱，而區(qū)間(1，2）和(18，19）關(guān)于直線x10對(duì)稱，即p（1x2）p(18x19）（2)p(x2）p（2x10）p（10x18)p(x18）1，10，p(x2）p(x18）a，p（2x10）p（10x18)，2a2p(10x18）1,即p（10x18）a.充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及面積為1的

6、性質(zhì)求解.(1)熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱,從而在關(guān)于x對(duì)稱的區(qū)間上概率相等.(2)p(xa)1p(xa)；, p(xa)p(xa).1(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(0，2)，若p（2)0.023，則p（22）()a0.477b0。625c0.954d0。977(2）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n（2，2）,若p(c）a，則p（4c)等于（)aab1ac2a d12a(1）c（2）b（1）p(22)120。0230.954。（2)對(duì)稱軸x2，p(4c）1p（c）1a.“3原則”的應(yīng)用【例2】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，質(zhì)量要求服從正態(tài)分布n（100,4）,現(xiàn)從產(chǎn)品中抽取了10件，測(cè)得質(zhì)量分別為102,92，

7、104，103,98，96，97，99，101，108，則該生產(chǎn)線是否要停產(chǎn)檢修？思路點(diǎn)撥由題意可知產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布，又由于質(zhì)量在區(qū)間1002,1002,即98，102內(nèi)的概率為68。3，在區(qū)間96,104內(nèi)的概率為95.4，在區(qū)間94,106內(nèi)的概率為99。7%,所以據(jù)此可以判斷結(jié)論解由題意知產(chǎn)品質(zhì)量x服從正態(tài)分布n（100,22)，產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間10032，10032，即94，106內(nèi)的概率為99。7%，而在這個(gè)區(qū)間外的概率僅為0。3，在抽測(cè)的10件產(chǎn)品中有2件（分別是92,108)不在這個(gè)區(qū)間內(nèi),小概率事件竟然發(fā)生了,說(shuō)明生產(chǎn)線有問(wèn)題，故應(yīng)停產(chǎn)檢修假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)

8、檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布n(,2)。確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入?yún)^(qū)間3，3內(nèi)。作出判斷:如果a3，3，則接受統(tǒng)計(jì)假設(shè).如果a3,3，則拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)。2設(shè)xn（1,22），試求：（1)p(1x3）；(2)p（3x5）;（3）p（x5）解因?yàn)閤n(1,22）,所以1,2.(1)p（1x3）p(12x12)p(x）68.3%。（2)因?yàn)閜（3x5)p（3x1），所以p(3x5)p(3x5)p（1x3)p(14x14)p（12x12）p（2x2）p（x）（95.4%68.3%）13。55.(3）p(x5）p(x3)1p（3x5）1p（14x14）2。3。標(biāo)準(zhǔn)正

9、態(tài)分布及其應(yīng)用探究問(wèn)題1若隨機(jī)變量n(0,1）,且(a）m，則(a)等于多少？提示由(a）(a）1,得（a)1（a）1m.2如果yn（，2)，令x，試證明xn(0,1)提示e(x）0，d（x)1，xn(0,1)【例3】在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布n（70,100）已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名(1）試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的（部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(x0）p(xx0)x001234567891。20。88490.88690.8880.890770.8925

10、0.89440。89620.89800.89970。90151.30.90320.90490.90660.90820。90990。91150.91310.91470。91620。91771.40.91920.92070。92220.92360.92510.92650。92780。92920.93060.93161。90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500。97560.97620.97672.00.97720。97780。97830。97880.97930.97980.98030.98080.98120。98172。10.98210.98260.

11、98300.98340.98380.98420.98460。98500.98540.9857思路點(diǎn)撥(1)先求出90分以上(含90分）的學(xué)生所占的百分比，再計(jì)算參賽學(xué)生的總數(shù)a；(2)利用p(x），結(jié)合p(x）求解解(1）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為,因?yàn)閚（70,100)，所以n(0,1)由條件知，p（90)1p（90)11（2)10。977 20.022 8。這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2。28%，參賽總?cè)藬?shù)約為526（人)(2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則xn(70，100)，故n（0,1）又p（x）1p（x）10。095 1。即0.904 9，查表得1.31，解得

12、x83。1。故設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為83分1任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即：如果xn(，2）,則zn（0，1）2(a)p（xa）即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(，a)上的概率，解題時(shí)要熟記該要點(diǎn)3已知某地農(nóng)村務(wù)工人員年平均收入服從8 000，500的正態(tài)分布（1）求此地農(nóng)村務(wù)工人員年平均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)所占的百分比；（2)如果要使此地農(nóng)村務(wù)工人員年平均收入在(a,a)內(nèi)的概率不少于0.95，則a至少有多大?解設(shè)x表示此地農(nóng)村務(wù)工人員年平均收入,則xn（8 000，5002)(1)p(8 000x8 500）(1)(0）0.841 30.50.341 3

13、.即此地農(nóng)村務(wù)工人員年平均收入在8 0008 500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.13.（2）p（axa）210.95,0。975，查表得1。96.a980，即a的值至少為980.1熟記p（x）,p(2x2），p(3x3）的值;2借助正態(tài)曲線的對(duì)稱性及與x軸之間的面積為1兩個(gè)特點(diǎn)；3借助線性變換使一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查表求得變換方式為:zn（0，1)，其中xn(,2）1設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布n（1，）（10)和n(2，）(20)的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有（)a12，12b12c12，12d12，12a根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：對(duì)稱軸方程x，表示正態(tài)曲線的形狀由題圖可得,選a.2已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n（2,2）,且p（4）0。8,則p(02）（）a0。6b0.4c0。3d0.2c隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2，2）,2，