優(yōu)化設(shè)計作業(yè)1

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案作業(yè)1. 闡述優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素。寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。 答：建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的三要素：（ 1 ）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控 制變量，有確定性的也有隨機(jī)性的。（2）約束或限制條件。 由于現(xiàn)實系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的 約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來表示的。（3）目標(biāo)函數(shù)。 這是作為系統(tǒng)決策變量的一個數(shù)學(xué)函數(shù)來衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。2. 闡述設(shè)計可行域和不可行域的基本概念 答：約束對設(shè)計點在設(shè)計空間的活動范圍有所限制。 凡滿足所有約束條件的設(shè)計點， 它在設(shè) 計空

2、間中的可能活動范圍，稱 可行設(shè)計區(qū)域 （可行域 ）。不能滿足所有約束條件的設(shè)計空間便 是不可行設(shè)計區(qū)域 （ 不可行域 ）。3、無約束局部最優(yōu)解的必要條件？答： （ 1）一元函數(shù) （ 即單變量函數(shù) ） 極值點存在的必要條件如果函數(shù) f （x）的一階導(dǎo)數(shù) f （x）存在的話，則欲使x* 為極值點的必要條件為：精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案f (x*)=0但使 f (x*)=0 的點并不一定部是極值點； 使函數(shù) f (x)的一階導(dǎo)數(shù) f (x)=0 的點稱為函 數(shù) f(x)的駐點；極值點 (對存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù) )必為駐點，但駐點不一定是極值點。至于駐點是 否為極值點可以通過二階導(dǎo)數(shù) f (x)=0 來判斷。2

3、)n 元函數(shù)在定義域內(nèi)極值點 X*存在的必要條件為f X *x1x2T f X *xn即對每一個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)值必須為零，或者說梯度為零(n 維零向量 )。f(X*)=0 是多元函數(shù)極值點存在的必要條件，而并非充分條件；滿足f(X*)=0 的點 X*稱為駐點，至于駐點是否為極值點，尚須通過二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來判斷。3. 闡述約束優(yōu)化問題最優(yōu)解的 K-T 條件。答： K-T 條件可闡述為：如果 X(k) 是一個局部極小點，則該點的目標(biāo)函數(shù)梯度f(X(k)可表示成該點諸約束面梯度為 gu(X(k)、hv(X(k)的如下線性組合：fXqu u1gu X kv hv X k v1式中： q在 X(k)

4、點的不等式約束面數(shù)；j在 X(k) 點的等式約束面數(shù)；精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案u( u=1,2, q)、v(v=1,2, j)非負(fù)值的乘子，亦稱拉格朗日乘子。如無等式約束，而全部是不等式約束，則式 (3-20) 中 j 0，第三項全部為零。也可以對 K-T 條件用圖形來說明。式 (3-20) 表明，如果 X(k) ，是一個局部極小點，則該 點的目標(biāo)函數(shù)梯度 f(X(k)應(yīng)落在該點諸約束面梯度 gu(X(k)、hv(X(k)在設(shè)計空間所組成的 錐角范圍內(nèi)。如圖 3-12 所示，圖 (a) 中設(shè)計點 X(k)不是約束極值點，圖 (b)的設(shè)計點 X(k)是約束極值點。5. 給出圖中的可行設(shè)計點、邊界設(shè)計

5、點和不可行設(shè)計點。6 題圖 二維設(shè)計空間答： 內(nèi)點 X(1)、邊界點 X(3) 均為可行設(shè)計點， 邊界點 X(3) 為邊界設(shè)計點， 外點 X (2)則為不可行設(shè)計點。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案6、根據(jù)逼近思想所構(gòu)造的優(yōu)化計算方法的基本規(guī)則是什么？ 答：基本思想是：在設(shè)計空間從一個出始設(shè)計點X(0) 開始，應(yīng)用某一規(guī)定的算法，沿某一方向 S(0)和步長 (0)產(chǎn)生改進(jìn)設(shè)計的新點 X(1)，使得 f(X(1)f(X(0)，然后再從 X(1)點開始，仍 應(yīng)用同一算法，沿某一方向S(1) 和步長 (1) ，產(chǎn)生又有改進(jìn)的設(shè)計新點X(2)，使得 f(X(2)f(X(1)，這樣一步一步地搜索下去，使目標(biāo)函數(shù)值步

6、步下降，直至得到滿足所規(guī)定精度要求 的、逼 近理論極小點的 X* 點為止。7、數(shù)值迭代計算中，通常采用哪三種終止條件？答：1)點距準(zhǔn)則當(dāng)相鄰兩迭代點 X(k)，X(k+1) 之間的距離已達(dá)到充分小時， 即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù) 時，迭代終止。一般用兩個迭代點向量差的模來表示，即X k 1 X k用 X(k+1) 和 X(k) 在各坐標(biāo)軸上的分量差來表示，即Xik 1 Xik (i 1,2, ,n)2)函數(shù)下降量準(zhǔn)則當(dāng)相鄰兩迭代點 X(k)，X(k+1) 的目 標(biāo) 函數(shù)值的下降量已達(dá)到充分小時。 即小于或等于k規(guī)1定的萊一很k 小正數(shù)時，迭代終止。 一般用目標(biāo)函數(shù)值下降量的f X k 1

7、f X k絕對值來表示，即3) 梯度準(zhǔn)則 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在迭代點 X(k+1) 的梯度已達(dá)到充分小時， 即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù) 時，迭代終止。一般用梯度向量的模來表示，即8. 對于約束極值問題精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案22 min f x x1 3 x22 s.t. g1 x x1 x2 4 0g2 xx2 0g3 xx1 0*T試運用 K-T 條件檢驗點 x* 2 0 T 是否為約束極值點。9. 說明函數(shù)梯度的性質(zhì)。答：fXSS0 ?cosX ,S0(l) 函數(shù) f (X)在其定義空間內(nèi)某一點處的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點處的梯度在這個方向上的 投影；(2) 梯度是矢量。函數(shù)在其定義空間中的某一點

8、處，其梯度標(biāo)志著函數(shù)值增加最快或最速上 升的方向。注意， 這僅是指 f(X)在該點附近而言， 函數(shù)在其定義空間中的每一個點處都對應(yīng)著一個確定 的梯度向量。負(fù)梯度方向必是函數(shù)值減小最快或最速下降的方向；(3) 在目標(biāo)函數(shù)等值線或等值面上的每一點處，函數(shù)的梯度f(X)指向函數(shù)等值線或等值面的外法向，亦即最速上升方向；函數(shù)在與其梯度正交的方向上變化率為零；(4) 線性目標(biāo)函數(shù)的梯度是一個常值向量，即在其定義空間中，其梯度處處相同；min f Xx132x2s.t.g1X5x1x2 0g2Xx1x22.50g3Xx10g4Xx2010.將優(yōu)化問題4的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線勾畫出來，并確定：1) 可行

9、域的范圍 ( 用陰影線畫出 )。1 1 2 22)無約束最優(yōu)解 X*1 、 f(X *1 ) ，約束最優(yōu)解 X* 2 、 f(X* 2 )。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案3)若再加入等式約束 h Xx1 x2 0 ，約束最優(yōu)解 X* 3 、 f(X * 3 )。10. 如圖所示為機(jī)床主軸計算簡圖。 在設(shè)計時， 有兩個重要因素需要考慮， 即主軸的自 重和伸出端 C 點的撓度。試建立機(jī)床主軸以主軸自重最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型。其中，C點的撓度： y Fa3ElI a ； I 64 D4 d4 ；E為彈性模量。材料的密度為外力 F 給定。11 、選用優(yōu)化算法時，一般需考慮哪幾個因素？ 答：選擇優(yōu)化方法應(yīng)綜

10、合考慮：1)設(shè)計變量是連續(xù)的還是離散的以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結(jié)構(gòu)簡單易于編程的方 法，維數(shù)高的則應(yīng)選擇收斂速度較快的方法。2) 目標(biāo)函數(shù)是單目標(biāo)還是多目標(biāo)， 目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、 二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在以及是 否易于求得，對于求導(dǎo)困難或?qū)?shù)不存在的應(yīng)避免求導(dǎo)而采用直接法。x 1 0 最優(yōu)化問題的懲罰3) 有無約束， 約束條件是不等式約束， 還是等式約束， 還是兩者同時兼有。 如具有等式約束， 顯然不能直接采用復(fù)合形法，內(nèi)點懲罰函數(shù)法。12. 用外點法和用內(nèi)點法求解 min f X x，D :g X X D Rn函數(shù)。答：用內(nèi)點法求解D：g(X)=x-10 的約束最優(yōu)化問題。精彩文檔實

11、用標(biāo)準(zhǔn)文案懲罰函數(shù)為13. 優(yōu)化迭代逼近搜索中是在每一迭代點X(k)上利用函數(shù)在該點鄰近局部性質(zhì)的信息，確定一個搜索方向 S(k+1)和搜索步長 a，求新的迭代點 X(k+1)X(k)+ S(k+1) 。其中，最速下降 法(梯度法) 、共軛梯度法和牛頓法的搜索方向是如何確定？14. 什么是共軛梯度法答：共軛梯度法是共軛方向發(fā)中的一種， 因為在該方法中每一個共軛響亮都是依賴于迭代點 處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的， 所以稱作共軛梯度法。 尋求共軛方向作為探索方向的最優(yōu)化方法 稱為共軛梯度法。15. 闡述變尺度法的基本思想答： 變尺度法的基本思想梯度法和阻尼牛頓法的迭代公式，即X(k+1)= X(k)-

12、(k)f(X(k)X(k+1 )= X(k)- (k)H(X(k)-1f(X(k)變尺度法所構(gòu)成的迭代公式為X(k+1) = X(k)- (k) A(k)f(X(k)( 5-18 )變尺度法的搜索方向應(yīng)為 S(k) = - A(k)f(X(k)；A(k)是根據(jù)需要構(gòu)造的一個 nn 階對稱 矩陣。 若在初始點 X(0) 取 A(0) 為單位矩陣 I，則式 (5-18) 為的梯度法代公式， 搜索方向為負(fù)梯 度方向。迭代過程不斷地修正構(gòu)造矩陣A(k)，使它在整個迭代過程中逐步地逼近目標(biāo)函數(shù)在極精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案小點處的赫森矩陣的逆矩陣。 當(dāng)A(k)H( X(k)-1 時，式(5-18) 為阻尼牛頓

13、法迭代公式。 這樣, 當(dāng)?shù)c逼近最優(yōu)點時 ,搜索方向趨于牛頓方向。這種構(gòu)想 ,綜合了梯度法和牛頓法的優(yōu)點 ,不計算 H(X(k)-1 ,而用變化的構(gòu)造矩陣 A(k)去 逼近它。構(gòu)造矩陣 A(k)在迭代過程中是變化的 ,稱為變尺度矩陣。由于變尺度法的迭代形式與牛頓法類似,不同的是在迭代公式中用 A(k) 來逼近 H( X(k) -1，所以又稱為“擬牛頓法”變尺度法的搜索方向 S(k)= - A(k)f(X(k),最終要逼近牛頓方向S(k)= - H( X(k)-1 f(X(k)，故又稱為擬牛頓方向。16. 分析比較牛頓法、梯度法和 Powell 法的特點。答： 梯度法 方法特點：需計算一階偏導(dǎo)

14、數(shù)。方法簡單，可靠性較好，可穩(wěn)定地使函數(shù)值下降。對 初始點要求不嚴(yán)。但收斂速度十分緩慢，特別是當(dāng)?shù)c進(jìn)入最優(yōu)點鄰域時，更為嚴(yán)重。使用條件：目標(biāo)函數(shù)必須存在一階偏導(dǎo)數(shù)。適于精度要求不高的優(yōu)化問題。牛頓法 方法特點：具有二次收斂性，在極值點附近收斂速度快。但要計算函數(shù)的 Hessian 矩 陣及其逆陣。準(zhǔn)備工作量大，程序復(fù)雜，所需貯存量大。要求迭代點 Hessian 矩陣非奇異 且為定型(正定或負(fù)定) ，要求初始點靠近極值點?？煽啃暂^差。使用條件：目標(biāo)函數(shù)存在一階或二階偏導(dǎo)數(shù)。鮑威爾法方法特點： 屬于共軛方向法。具有直接法的共同優(yōu)點，且具有二次收斂性， 收斂速度較 快，可靠性也比較好。存貯量少。

15、程序較復(fù)雜。使用條件：用于維數(shù)較高的目標(biāo)函數(shù)( 50 維以下)其他同上。17. 已知約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型2min f Xx1 3x2 4X D R2s.t. g1 X 5 x1 x2 0精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案g2 X2.5x1 x2 0g3 Xx10g4 Xx20hXx1 x20試寫出混合型罰函數(shù)。18. 外點法和混合懲罰函數(shù)法都可處理同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題， 兩種方 法在構(gòu)造懲罰函數(shù)時有何主要區(qū)別？19. 設(shè)約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為min f x x2 x1s.t. g1 xln x1 0h1 x x1 x2 1 0試用混合懲罰函數(shù)法構(gòu)造該問題的懲罰函數(shù)。20. 確定目標(biāo)函數(shù)、

16、設(shè)計變量、 約束條件應(yīng)注意哪些問題？選擇優(yōu)化方法應(yīng)掌握哪些原則？答： 目標(biāo)函數(shù) 是以設(shè)計變量表示設(shè)計所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用來評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度。對于不同的機(jī)械設(shè)計有不同的衡量評價標(biāo)準(zhǔn)。從使用性能 出發(fā)，有要求 效率最高， 功率利用率 最好，可靠性最好，測量或運動傳遞誤差 最小，平均 速度 最大或最小， 加速度 最大或最小，盡可能滿足某動力學(xué)參數(shù)從結(jié)構(gòu)型式 出發(fā)，有要求 重量最輕， 體積最小等等。從經(jīng)濟(jì)性 考慮，有要求 成本最低，工時最少，生產(chǎn)率 最高，產(chǎn)值最大等等。 往往要求同時兼顧幾方面的要求。一般說來，目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計結(jié)果越趨完善，但優(yōu)化設(shè)計的難度也相應(yīng)增加。實 際使

17、用中應(yīng)盡量控制目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，抓問題的主要矛盾，針對影響機(jī)械設(shè)計的質(zhì) 量和使用性能最重要、最顯著的問題來建立目標(biāo)函數(shù)，保證重點要求的實現(xiàn)，其余精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案的要求可處理成設(shè)計約束來加以保證。設(shè)計變量 是在設(shè)計過程中需要進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨立參數(shù)。 凡能影響設(shè)計質(zhì)量或結(jié)果的可變參數(shù)均可作為設(shè)計變量 總原則 應(yīng)該在確保優(yōu)化效果的前提下 ,盡可能地減少設(shè)計變量。在優(yōu)化設(shè)計中， 對某一種參數(shù)是否作為設(shè)計變量， 必須考察這種參數(shù) 是否能夠控制 ， 實行起來 是否便利 ，制造加工 成本如何 以及允許 調(diào)整范圍 等實際問題。 參數(shù)中對優(yōu)化目標(biāo)影響最大的那些獨立參數(shù)作為設(shè)計變量。 力求選取容易

18、控制調(diào)整的參數(shù)作為設(shè)計變量。對有關(guān)材料的機(jī)械性能，由于可供選用的材料往往是 有限的 ，而且它們的機(jī)械性能 又常常需要采用試驗的方法來確定， 無法直接控制， 所以作 設(shè)計常量 處理較為合理。 那些根據(jù)以往經(jīng)驗或資料可確定的參數(shù)，受工廠條件限制無法隨意變動的參數(shù)，也 都應(yīng)取作設(shè)計常量。對于應(yīng)力、應(yīng)變、壓力、撓度、功率、溫度等等設(shè)計者不能直接判斷，而是一些具 有一定函數(shù)關(guān)系式計算出的因變量，當(dāng)它們在數(shù)學(xué)上易于消去時，也可不定為設(shè)計 變量。但如果避免這種參數(shù)在數(shù)學(xué)上有困難,可取為設(shè)計變量。設(shè)計約束是考慮 邊界和性能 對設(shè)計變量取值的限制條件。邊界約束 規(guī)定設(shè)計變量的取值范圍，在優(yōu)化設(shè)計中，先對每個設(shè)計變量都給出明確的上、下界限約束是完全可能的。盡管其中某些約束會由于引入其它約束條件成為不起作用的消極約束，但對求解中確定計算初始點，估計可行區(qū)域，判斷結(jié)果合理精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案性等都會帶來好處。在優(yōu)化設(shè)計