多變量的不等式恒成立與存在性問題

1、21122122多變量的不等式恒成立與存在性問題多變量的不等式恒成立與存在性問題探究歷來是高考的熱點與難點，解決此類問題的難點是目標(biāo)函數(shù)的選取以及最值的求解本專題主要研究多變量的不等式恒成立與存在性問題，并在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用.例題：已知函數(shù) f(x)x，g(x)2xm，若對x 2，3， x 1，2，f(x )g(x )， 1 2 1 2求實數(shù) m 的取值范圍變式 1 已知函數(shù) f(x)x ，g(x)xm，若對x 2，3， x 1，2，f(x )g(x )， 1 2 1 2求實數(shù) m 的取值范圍變式 2 已知函數(shù) f(x)x ，g(x)xm，若x 2，3， 1x 1，2

2、，f(x )g(x )， 2 1 2求實數(shù) m 的取值范圍1221222x2e串講 1 已知 f(x)x ，g(x)xm，若對x 2，3， 1x 1，2，f(x )g(x )， 2 1 2求實數(shù) m 的取值范圍串講 2 已知 f(x)x ，g(x)xm，若x 2，3， 1x 1，2，f(x )g(x )，求 2 1 2實數(shù) m 的取值范圍，xa，(2018 蘇大考前指導(dǎo))已知函數(shù) f(x) 若對任意實數(shù) k，總存在實數(shù) xlnx，0xa，0，使得 f(x )kx 成立，則實數(shù) a 的值為_ 0 02212222 22222a 2aa 2 2 2a122222已知函數(shù) f(x) 1x 1x.(1

3、)求函數(shù) f(x)的定義域和值域；a(2)設(shè) f(x) f (x)2f(x)(a 為實數(shù))，求 f(x)在 a0 時的最大值 g(a)；2(3)對(2)中 g(a)，若m 2tm 2g(a)對 a0 所有的實數(shù) a 及 t1，1恒成立，求 實數(shù) m 的取值范圍答案：(1)定義域為1，1；值域為 2，2a2， a0，(2)g(a)a2a1， 22a21，22，a .2(3)(，202，)解析：(1)由 1x0 且 1x0，得1x1，所以定義域為1，1.2 分又 f(x)22 1x 2，4，由 f(x)0 得值域為 2，2.4 分1 1(2)令 tf(x) 1x 1x，則 1x t 1，所以 f(

4、x)m(t)a( t 1)t2 21 at ta，t 2，2.6 分21由題意知 g(a)即為函數(shù) m(t) at21ta，t 2，2的最大值注意到直線 ta1是拋物線 m(t) at ta 的對稱軸因為 a0 時，函數(shù) ym(t)，t 2，2的圖2象是開口向下的拋物線的一段，1 2若 t (0， 2，即 a ，則 g(a)m( 2) 2.7 分1 2 1 1 1若 t ( 2，2，即 a ，則 g(a)m a .8 分1 1若 t (2，)，即 a0，則 g(a)m(2)a2.9 分a 2a2， a0，綜上有 g(a)a2a1， 22a21，10 分22，a .2(3)易得 g(a) 2，1

5、1 分min由m 2tm 2g(a)對 a0 恒成立即要使m 2tm 2g(a) 2恒成立minm 2tm0，令 h(t)2mtm ，對所有的 t1，1，h(t)0221 min2 min22 max1 min2 max1 max2 min2211214h（1）2mm 0，成立，只需 14 分h（1）2mm 0，所以 m 的取值范圍是(，202，).16 分例題15答案： ，. 4 1 15解析：g(x )f(x ) 4，所以 g(x ) m4，所以 m ，即實數(shù) m 的取值范4 415圍為 ， 4 變式聯(lián)想.變式 17答案： ，)21 7解析：g(x ) f(x ) 4，所以 g(x ) m

6、4，所以 m ，即實數(shù) m 的取值范2 27圍為 ，).2變式 235答案： ，. 4 1 35解析：g(x )f(x ) 9，所以 g(x ) m9，所以 m ，即實數(shù) m 的取值范4 435圍為 ， 4 串講激活串講 1.17 15 答案： ， 2 4 .1 1解析：g(x )的值域是 f(x )的值域的子集， m， m4 2 m9，4，9，所以 所m4，212ex2elnxx17 15 17 15 以 m ，即實數(shù) m 的取值范圍為 ， 2 4 2 4 串講 2.35 7 答案： ， 4 2.1 1解析：g(x )的值域與 f(x )的值域有交集，即 m， m4，94 21 可考慮 41m， m4，9 21 1 7 35 35 7所以 m9 所以 m 或 m0，2e x e exh(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x( e，)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，所以 h(x)的最大值為 h( e)x20，即 lnx ，2e所以lnx