平方的和與立方的和

1、最新資料推薦平方的和與立方的和) 3(1+2+3+4+.+n)+n 1 23 4.+n n +(3/2)n(n+ 1) n/3=(1/6)n2n 3n+32=(1/6)n(n+1)(2n+1) 1 +2 +3 +n =n(n+1 )/2 (n+1 ) -n =(n+1 ) +n (n+1 ) -n =(2n +2n+1 )(2n+1 ) =4n +6n +4n+1 2 -1 =4*1 +6*1 +4*1 +13 -2 =4*2 +6*2 +4*2+1 4 -3 =4*3 +6*3 +4*3+1 (n+1 ) -n =4*n +6*n +4*n+1 各式相加有 (n+1 )-1 =4*(1+2

2、+3 .+n )+6*(1 +2 +.+n )+4*(1 +2+3+.+n)+n4*(1+2 +3 +.+n )=(n+1 ) -1 +6*n(n+1 )(2n+1 )/6+4*(1 +n)n/2+n=n(n+1 ) 1 +2 +.+n =n(n+1 )/2為證 明12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 ， 我決定借助于幾何圖形。如圖：圖中有 n 個(gè)小正方形(我只畫(huà)了 5 個(gè)) 連接， 邊長(zhǎng)分別為1、 2 、 3 、 、 n 。這些小正方形都置于一個(gè)大正方形中， 則 大正方形邊長(zhǎng) =1+2+3+n=n(n+1)/2 大正 方形 面積 =n(n+1)/22=(n4+2n3+n2)/

3、4 將空余部分分條。先看左下部分， 共有 n-1 條。設(shè)某條按從左到右順序?yàn)榈?i 條， 則：該條寬度即為 i 。=(i+1)+(i+2)+(i+3)+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2 則該條面 積 =i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2則左下半側(cè) n-1 條總面積為：(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2/2=1*n2+2*n2+3*n2+(n-1)n2+1n+2n+3n+(n-1)n-13+23+33+

4、(n-1)3-12+22+32+(n-1)2/2=1+2+3+(n-1)n2+1+2+3+(n-1)n-13+23+33+(n-1)3-12+22+32+(n-1)2/2=n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+n3)+n3-(12+22+32+n2)+n2/2=n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+n3)-(12+22+32+n2)+n3+n2/2 為方便書(shū)寫(xiě)， 記 12+22+32+n2=t2， 13+23+33+n3=t3 兩側(cè)全部 空余部分面積為：n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t3-t2+n3+n2=(n4-n3)/2+(n3-

5、n2)/2+2n3/2+2n2/2-t3-t2=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t3-t2 =(n4+2n3+n2)/2-t3-t2 根據(jù)：空余部分面積 +小正方形面積 =大正方形面積， 得：(n4+2n3+n2)/2-t3-t2+t2=(n4+2n3+n2)/4t3=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4最新資料推薦t3=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4 t3=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4 即：13+23+33+n3=n2(n+1)2/4 本 來(lái) 要 證 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 ， 卻 證 出 了 13+23+33+n3=n2(n+1)2/4 ， 可謂有心栽花花不成， 無(wú)心插柳柳成 蔭。一幢 33 層的大樓有一部電梯停在第一層， 它一次最多容納 32 人， 而且只能在第 2 層至第 33 層中某一層停一次， 對(duì)于每個(gè) 人來(lái)說(shuō)， 他往下走一層樓梯感到 1 分不滿意， 往上走一層樓梯感 到 3 分不滿意， 現(xiàn)在有 32 個(gè)人在第一層， 并