排列組合和項(xiàng)式定理9課組合

1、課 題： 10 3 組合 （三 ）教學(xué)目的：1 進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)； 2能夠解決一些組合應(yīng)用問題，提高合理選用知識(shí)的能力 教學(xué)重點(diǎn)： 組合應(yīng)用問題 教學(xué)難點(diǎn)： 組合應(yīng)用問題 授課類型： 新授課 課時(shí)安排： 1 課時(shí) 教 具 ：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析 ：學(xué)生易于辨別組合、 全排列問題， 而排列問題就是先組合后全排列 . 在求解 排列、組合問題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先 要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn) 行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如 果不需要，是組合問題；否則是排列問題

2、.排列、 組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語(yǔ)言加以表述 . 也可以說解排列、 組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問題的實(shí)質(zhì)， 抽象出“按部就班”的處理問題的過程 . 據(jù)筆者觀察， 有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感 到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考 慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常 理或常規(guī)的做法） . 要解決這個(gè)問題， 需要師生一道在分析問題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情 況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說 明問題 . 久而久之

3、，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高 .排列、組合問題解題方法比較靈活，問題思考的角度不同，就會(huì)得到不同 的解法 . 若選擇的切入角度得當(dāng)，則問題求解簡(jiǎn)便，否則會(huì)變得復(fù)雜難解. 教學(xué)中既要注意比較不同解法的優(yōu)劣，更要注意提醒學(xué)生體會(huì)如何對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行 認(rèn)識(shí)思考，才能得到最優(yōu)方法 .教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1 分類計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法 中有 m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2 種不同的方法，在第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法 那么完成這件事共有 N m1 m2mn 種不同的方法2. 分步計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 個(gè)步驟，做第一步

4、有 m1種不同的方法，做第二步有 m2種不同的方法，做第 n步有 mn種不同的方法，那么完成這件事有 N m1 m2mn 種不同的方法3排列的概念： 從n個(gè)不同元素中，任取 m(m n )個(gè)元素(這里的被 取元素各不相同)按照一定的順序 排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè) 元素的 一個(gè)排列4排列數(shù)的定義： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m ( m n )個(gè)元素的所有排 列的個(gè)數(shù)叫做從 n個(gè)元素中取出 m元素的排列數(shù) ，用符號(hào) Anm表示5排列數(shù)公式： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) ( m,n N ,m n ) 6 階乘： n!表示正整數(shù) 1到n的連乘積，叫做 n的階乘

5、 規(guī)定 0! 1 7排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： Anm= n!n (n m)!8 組合的概念： 一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m m n 個(gè)元素并成一 組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè) 組合 說明： 不同元素；“只取不排”無序性；相同組合：元素相同9組合數(shù)的概念： 從 n 個(gè)不同元素中取出 m m n 個(gè)元素的所有組合的 個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的 組合數(shù)用符號(hào) Cnm 表示10組合數(shù)公式：Cm Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) Cn Ammm!或 C mnn! (n,m N , 且m n)n m!(n m)!11 組合數(shù)的性質(zhì) 1： Cnm

6、 Cnn m規(guī)定： Cn0 1 ；12組合數(shù)的性質(zhì) 2：Cnm1Cnm+Cnm 1二、講解范例：例 1 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品， 2 件次品 從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件( 1)一共有多少種不同的抽法；2 ）抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少種？3）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？4）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少種？ 解：（1）C1300 161700；（2） C938 152096；（ 3） C21C928 2 4753 9506；4）解法一：（直接法） C21C928 C22C918 9506 98 9604 ；解法二：（間

7、接法） C1300 C938 161700 152096 9604 5 個(gè)球，使得這 5例 2 從編號(hào)為 1，2，3， 10，11 的共 11 個(gè)球中，取出 個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？ 解：分為三類： 1奇 4偶有C61C54 ； 3 奇2偶有 C63C52 ； 5 奇1偶有C65， 一共有 C16C54+C63C52 +C65 236例 3 現(xiàn)有 8 名青年，其中有 5 名能勝任英語(yǔ)翻譯工作；有 4 名青年能勝任德 語(yǔ)翻譯工作 （其中有 1 名青年兩項(xiàng)工作都能勝任） ，現(xiàn)在要從中挑選 5 名青年承 擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其 中 3 名從事英語(yǔ)翻譯工作， 2 名從事德語(yǔ)翻譯工作，則

8、有 多少種不同的選法？ 解：我們可以分為三類： 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語(yǔ)翻譯工作，有C42C32 ； 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語(yǔ)翻譯工作，有C43C31 ； 讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有C43C32 ， 一共有 C42C32+C43C13+C43C32 42種方法例 4 甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙 不值周六，問可以排出多少種不同的值周表 ？解法一：（排除法） C62C42 2C51C42 C14C31 42解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有C42C32 ； 另一類為甲不值周一，但值周六，有 C41C42 ， 一共有

9、 C4C4 +C4C3 42 種方法例 5 6 本不同的書全部送給 5 人，每人至少 1 本，有多少種不同的送書方法？ 解：第一步：從 6 本不同的書中任取 2 本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有 C62 種 方法；第二步：將 5 個(gè)“不同元素（書） ”分給 5 個(gè)人有 A55 種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有 C62 A55 1800 種方法三、課堂練習(xí) ：1有兩條平行直線 a和b ，在直線 a上取 4個(gè)點(diǎn)，直線 b上取 5個(gè)點(diǎn)，以這些 點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，這樣的三角形共有（ ）A70 B 80C82D842 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4 人，則不同的分配方案有 （

10、）種A C142C84C44B 3C142C84C44C C142C84A33DC142C84C3 5 本不同的書，全部分給 4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同分法的種數(shù)為A480 B240C120D 964已知甲、乙兩組各有 8 人，現(xiàn)從每組抽取 4 人進(jìn)行計(jì)算機(jī)知識(shí)競(jìng)賽，比賽成 員的組成共有 種可能5在一次考試的選做題部分，要求在第1 題的 4 個(gè)小題中選做 3 個(gè)小題，在第2 題的 3 個(gè)小題中選做 2 個(gè)小題，第 3 題的 2 個(gè)小題中選做 1 個(gè)小題，有 種 不同的選法6從 1，3，5，7，9中任取 3 個(gè)數(shù)字，從 2，4，6，8中任取 2個(gè)數(shù)字，一共 可以組成 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

11、7正六邊形的中心和頂點(diǎn)共 7 個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有 個(gè) 8從 5 名男生和 4名女生中選出 4 人去參加辯論比賽 （1）如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有 種選法；（ 2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選法；（ 3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1 人在內(nèi)，有 種選法；（ 4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有種選法9在 200件產(chǎn)品中，有 2件次品 從中任取 5 件，（1）“其中恰有 2 件次品”的抽法有 種；（2）“其中恰有 1 件次品”的抽法有種；（ 3）“其中沒有次品”的抽法有種；（ 4）“其中至少有 1 件次品”的抽法有種 10某科技小組有 6

12、 名同學(xué)，現(xiàn)從中選出 3 人去參觀展覽，至少有 1名女生入選 時(shí)的不同選法有 16 種，求該科技小組中女生的人數(shù)答案： 1. A 2. A 3. B 4. C84 2 4900 5. C32C43C21 246. A55C53C42 7200 7. C73 3 328. C5C4 60 C7 21 C9 C7 91 C9 C4 C5 1209. C1398 1274196 2C1498 124234110 C1598 2410141734 C2500 C1598 12550830610. 女生的人數(shù)是 2 思路：分 n 3和 3 n 4兩種情況討論四、小結(jié) ：排列、組合問題解題方法比較靈活，問

13、題思考的角度不同，就會(huì)得 到不同的解法 . 若選擇的切入角度得當(dāng)， 則問題求解簡(jiǎn)便， 否則會(huì)變得復(fù)雜難解 . 教學(xué)中既要注意比較不同解法的優(yōu)劣，更要注意提醒學(xué)生體會(huì)如何對(duì)一個(gè)問題 進(jìn)行認(rèn)識(shí)思考，才能得到最優(yōu)方法五、課后作業(yè) ：1以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè)解：正方體有 8 個(gè)頂點(diǎn)，任取 4 個(gè)頂點(diǎn)的組合數(shù)為 C84 70 個(gè)，其中四點(diǎn)共面的情況分 2 類：構(gòu)成表面的有 6 組；構(gòu)成對(duì)角面的有 6 組， 所以，能形成四面體 70 12 58 （個(gè)）2以一個(gè)正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線共有 對(duì)解： 由上題可知以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有58 個(gè)，每個(gè)四面體的四條棱可以組成

14、3 對(duì)異面直線，因此以一個(gè)正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線 共有 3 58 174 對(duì)另解： 3 2C43C41 C42C42 10 174 對(duì)3 6 本不同的書全部送給 5 人，有多少種不同的送書方法？5 本不同的書全部送給 6 人，每人至多 1 本，有多少種不同的送書方法？5 本相同的書全部送給 6 人，每人至多 1 本，有多少種不同的送書方法？答案： 56 15625 ； A65 720； C65 6六、板書設(shè)計(jì) （略）七、課后記：第 17 屆世界杯足球賽于 2002 年夏季在韓國(guó)、日本舉辦、五大洲共有 32 支 球隊(duì)有幸參加，他們先分成 8 個(gè)小組循環(huán)賽，決出 16 強(qiáng)（每隊(duì)均與本組其他隊(duì) 賽一場(chǎng)，各組一、二名晉級(jí) 16 強(qiáng)），這支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍， 此外還要決出第三、 四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 答案是： 8C42 8 4 2 2 64 ，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解：可分為如下幾類比賽：小組賽，每組有 C42 場(chǎng)， 8 個(gè)小組共有 8C42 場(chǎng)；8 個(gè)小組的第一、二名組成 16 強(qiáng)，根據(jù)抽簽規(guī)則，將每?jī)蓚€(gè)小組的第一與第 二名共 4 個(gè)隊(duì)組成新的組，可分為 4 組，在每一個(gè)新的組中的第一與第二名交 叉比賽有 2 場(chǎng)，可以決出