最短路徑問題

1、最短路徑問題 姓名類型一、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小的問題：1. 一條直線 異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn) 到 直線上一動(dòng)點(diǎn) 距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。 作法：連接兩個(gè)定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。例 1、如圖，在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 PA+PB 值最小 作法：連接 AB，交直線 l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求。 說明：連接 A、B 兩點(diǎn)的線中，線段最短。 連接 AB，交直線 l 于點(diǎn) P，此時(shí) PA+PB最小 =AB2. 一條直線 同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn) 到 直線上一動(dòng)點(diǎn) 距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。 方法：利用軸對(duì)稱變換將 直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為 直線 異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之

2、間線段最 短”，用例 1 的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。ABlAB例 2、 如圖，在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 PA+PB 值最小 作法：作點(diǎn) A關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A；連接 A B，交直線 l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P即為所求。 說明：連接 AP、AA，點(diǎn) A和點(diǎn) A關(guān)于直線 l 對(duì)稱， 直線 l是 AA的垂直平分線， PA=PA，兩點(diǎn)之間，線段最短。 此時(shí) PA+PB最小 =PA+PB=AB。 類型二、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大的問題： 1. 一條直線 同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn) 到直線上一動(dòng)點(diǎn) 距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。 例 3 、在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 PA PB 的值最大 作法：連

3、接 AB，并延長(zhǎng)交直線 l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求。證明：在直線 l 上另取一點(diǎn) P，連接 PA 和 PB， 三角形的兩邊之差大于第三邊，PA PBAB； 而連接 AB，并延長(zhǎng)交直線 l 于點(diǎn) P，此時(shí) PA PB AB，A此時(shí) PA PB 最大 AB2. 一條直線 異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn) 到直線上一動(dòng)點(diǎn) 距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。 方法：利用軸對(duì)稱變換將 直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為 直線 同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)， 然后根據(jù)“三角形的兩邊之差大于第三邊” ，用例 3 的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例 4 、如圖，在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 PA PB 的值最大 作法：作點(diǎn) B關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) B，連接 AB，并

4、延長(zhǎng)交直線 l于點(diǎn) P，點(diǎn) P即為所求。 說明：連接 AP、AA，點(diǎn) A和點(diǎn) A關(guān)于直線 l對(duì)稱，直線 l 是AA的垂直平分線 PA=PA， 若在直線 l 上另取一點(diǎn) P，連接 PA和 PB， 三角形的兩邊之差大于第三邊， PA PBAB此時(shí) PA PB 最大 PA PB AB總結(jié)：“同側(cè)差最大，異側(cè)和最??；位置不滿足，對(duì)稱后再看；三點(diǎn)共線找交點(diǎn)” 。 類型三、 兩條直線之間的區(qū)域內(nèi)有一定點(diǎn)， 兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)， 要使連接這三點(diǎn)所得 的三角形周長(zhǎng)最小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。l1Pl2例 5、如圖， 在直線 l1、l2 上分別求點(diǎn) M、N，使 PMN的周長(zhǎng)最小 方法分析：利用軸對(duì)稱，將定點(diǎn) P 分

5、別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去 （即直線 l1 、l 2的另一側(cè)） ，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短” ， 連接點(diǎn) P的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，與直線 l1、l2 的交點(diǎn)即為所求。 作法：分別作點(diǎn) P關(guān)于直線 l1 、l 2的對(duì)稱點(diǎn) P1 、P2 ;連接 P1 P2，交l1于M，交l 2于N，點(diǎn) M、N即為所求。說明：連接 MP、NP，點(diǎn) P和點(diǎn) P1 關(guān)于直線 l1對(duì)稱，直線 l1是 PP1的垂直平分線， MP=M1P， 點(diǎn) P和點(diǎn) P2 關(guān)于直線 l2 對(duì)稱，直線 l2 是 PP2的垂直平分線， NP=NP2 ， 兩點(diǎn)之間，線段最短 ，此時(shí) PM+MN+P最N小 =MP1+MN+NP2=P1P2 類型四、

6、兩條直線的之間有兩個(gè)定點(diǎn)，兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)，要使連接這四點(diǎn)所得的四邊形周長(zhǎng)最 小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。例1、在直線 l1、 l2上分別求點(diǎn) M、N，使四邊形 PQMN周長(zhǎng)最小 .方法分析：利用軸對(duì)稱，將兩個(gè)定點(diǎn)P、 Q分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線 l1 、l 2的另一側(cè)） ，一側(cè)一個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接點(diǎn) P、Q的對(duì)稱點(diǎn)，與直線 l1 、l 2的交點(diǎn)即為所求。作法：作點(diǎn) Q關(guān)于直線 l1 的對(duì)稱點(diǎn) Q1 ; 作點(diǎn) P 關(guān)于直線 l2 的對(duì)稱點(diǎn) P1 ； ；連接 P1 Q1，交l1于N，交 l2于M，點(diǎn)M 、N即為所求說明：連接 MP、NQ，點(diǎn) P和點(diǎn) P1關(guān)于直線

7、 l 2對(duì)稱，直線 l2是 PP1的垂直平分線， MP=M1P，點(diǎn) Q和點(diǎn) Q1關(guān)于直線 l1 對(duì)稱，直線 l1是 QQ1 的垂直平分線， NQ=NQ1，兩點(diǎn)之間，線段最短 ，此時(shí) PM+MN+P最N小 =MP1+MN+NQ1=P1Q1例 2、如圖，牧童星期天從 A處趕了幾只羊到草地 m放羊，然后趕到小河 n飲水，之后再回到 B 處的 家，假設(shè)牧童趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線標(biāo)明放羊與飲水的位置。類型五、架橋修路距離最短的問題 1、兩條平行線 m 、n之間的距離為 d，直線 m、n外有異側(cè)兩定點(diǎn) A、B，在 m、n 上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且 MN m ，要使 AM+MN+B的

8、N值最小，試確定動(dòng)點(diǎn) M、 N的位置。 作法：從點(diǎn) A向下作 AA m且 AA =d（即：將點(diǎn) A向下平移 d個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn) A） 連接 AB，交直線 n 于點(diǎn) N，作 NM m于 M， M、 N 即為所求。 說明：連接 AM、 BN，此時(shí)， AA平行且等于 MN，四邊形 AA NM是平行四邊形，AM=AN， MN m，且 AM+MN+B最N小 =AB+MN。例 1、如圖，從 A地到 B 地經(jīng)過一條小河（兩岸平行） ，今要在河上建一座橋 （橋與河岸垂直） ，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使 A到 B的路程最短例 2、荊州護(hù)城河在 CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從 A 處到達(dá) B處， 需經(jīng)過兩座橋 DD、

9、EE，護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與 河岸垂直如何確定兩座橋的位置，可使A到 B 點(diǎn)路徑最短2、一條直線 a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) M、N（點(diǎn) M在 N的左邊），M、N的距離為定值 d，直線 a 外有異側(cè)兩定 點(diǎn) A、B，要使 AM+MN+B的N 值最小，試確定動(dòng)點(diǎn) M、N的位置。作法：從點(diǎn) A向右作 AAa 且 AA =MN=d（即：將點(diǎn) A向右平移 d 個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn) A） 連接 AB，交直線 a 于點(diǎn) N，在直線 a 上點(diǎn) N的左邊截取 NM=d，M、N即為所求。 說明：連接 AM、 BN，此時(shí)， AA平行且等于 MN， 四邊形 AA NM是平行四邊形， AM=A N， 且 AM+MN+B最N小 =AB+MN。3、一條直線 a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) M、N（點(diǎn) M在 N的左邊），M、N的距離為定值 d，直線 a 外有同側(cè)兩定A2 )點(diǎn) A、B，要使 AM+MN+B的N 值最小，試確定動(dòng)點(diǎn) M、N的位置。 作法：作點(diǎn) A關(guān)于直線 a的對(duì)稱點(diǎn) A1 ，（問題即轉(zhuǎn)化為 2 中的問題）從點(diǎn) A向右作 A1A2a且 A1A2 MN d （即：將點(diǎn) A1向右平移 d個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)連接 A2 B ，交直線 a 于點(diǎn) N，在直線 a 上點(diǎn)