一元二次方程專題復習講義haouseok

1、一元二次方程專題復習一、知識結(jié)構(gòu)：解與解法一元二次方程二*根的判另I韋達定理*二、考點精析考點一、概念兀二次方程。(1) 定義：|只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程就是(2) 般表達式：ax2 + bx + c = 0(a 式 0)難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”: 該項系數(shù)不為“ 0”； 未知數(shù)指數(shù)為“ 2”； 若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。 典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于 x的一元二次方程的是() 2 , 1 1A3(x+1 2 =2(x+1 )B 飛+-2=0x x2C ax bx c = 0D x2 2x =

2、x21變式：當k時，關(guān)于x的方程kx2 2x = x2 - 3是一元二次方程。例2、方程 m - 2 xm - 3mx 1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的值為針對練習： 1、方程8x2 =7的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。 2、若方程 m-2xm = 0是關(guān)于x的一元一次方程， 求m的值；寫出關(guān)于 x的一元一次方程。 3、若方程 m -1 x2 mx =1是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2 ,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的

3、解。應用利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y2 y -3的值為2，則4y2 2y 1的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程 a-2x x a -4=0的一個根為0,貝y a的值為-則此方程必有一根例3、已知關(guān)于 x的一元二次方程 ax2 bx c = 0 a = 0的系數(shù)滿足a b ,實用文檔為。2 2例4、已知a,b是方程x -4x的兩個根，b,c是方程y -8y5口=0的兩個根,則m的值為。針對練習： 1已知方程x2 - kx-10 =0的一根是2,貝U k為，另一根是 。 2、已知關(guān)于x的方程x2 kx _2 =0的一個解與方程3的解相同。x -1 求k的值；方程的另一個解。

4、3、已知m是方程x2 - x -1 = 0的一個根，則代數(shù)式 4、已知 a是 x2 -3x 0 的根，則 2a2 -6a 二 5、方程 a-bx2 - b-cx，c-a=0 的一個根為()A -1B 1cb-cD-a 6、若 2x 5y 3 =0,貝q 4x 32y =。2 2 2對于(x + a y = m , (ax + m ) = (bx十n )等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程：12x2-8=0;2 25 -16x2=0;3 1 - x 2 - 9 = 0;C.2x 3 = 1 - x2D.x 9=0例2、若9 x -1 2 =16 x 2 2，則x的值為 針對練習：下列方

5、程無解的是()A. x2 +3 =2x2 1 B. (x 2 2 =0類型二、因式分解法 :( - x1 (x -x2 )= 0二 x =捲，或x = x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”方程形式：女(ax+mf=(bx+ nf , (x + a (x+b )= (x+a (x + c ) , x2+2ax + a2=0典型例題:例 1、2x x -3 =5 x -3 的根為()2x =5CXi, X2 = 325A X =2例 2、若（4x + y $ +3（4x +y ）4 = 0，貝y 4x+y 的值為變式 1: a2 ba2b2 -6 =0,則a2b2 =變式2:

6、若xy2_xy = 0 ,貝U x+y的值為 2 , 2變式3 :若x xy y = 14 , y xy 28，則x+y的值為例3、方程x2 x -6 =0的解為（）A. x1-3,x2 = 2B.x1=3,x2 -2C.x=3,x2 -3D.x-= 2,x2 _ -2例5、已知2x2 -3xy -2y2 =0,則 的值為x y例 4、解方程：x2 2 3 1 x 2y3 4 = 0變式：已知2x2 _3xy _2y2 =0,且 x0,y 0,則x y的值為x-y針對練習： 1、下列說法中：方程x2十px+q=0的二根為X1, X2，則2x 十 px+q = （x_ 冷）（x _X2）o222

7、-x 6x-8 = (x-2)(x-4). a -5ab 6b =(a-2)(a-3) x2 - y2 =(x y)(、x . y)(、. x - . y) 方程(3x 1)2 _7 =0可變形為(3x1、. 7)(3x 1 - .7) = 0正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個 2、以1,7與1 - , 7為根的一元二次方程是()2 2 2 2A. x -2x-6=0B. x - 2x 6=0C. y 2y-6=0D. y 2y 6=0 3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為相反數(shù)： 4、若實數(shù)x、y滿

8、足x，y-3x，y ，2=0，則x+y的值為()A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 22 15、方程：x 2 =2的解是。x 6、已知 J6x2 _xy _ J6y2 = 0，且 x0 , y0，求 2丁 6y 的值。 J3x - ys,貝U s-r的值為2ax bx c = 0 a = 0 = 7、方程 1999x 2 -1998 2000x -1 =0 的較大根為 r,方程 2007x2 - 2008x 1=0 的較小根為b24ac4a在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。 典型例題：例1、試用配方法說明x2-2x，3的值恒大于0。

9、例2、 已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式 x2 y2 2 -4y 7的最小值。例3、已知x2 y2 4x _6y -13=0, x、y為實數(shù)，求xy的值。例4、 分解因式：4x2 12x 3針對練習： 1、試用配方法說明 -10x2，7x-4的值恒小于0。2 111 2、已知 x22-x 一4=0，則 x.xxx 3、若t = 2 -、-3x2 12x -9，則t的最大值為 ，最小值為 31 x 2 =6.2 -4ac - 0 4、如果 a +b + Jc -1 一1 =4ja -2 +2 Jb +1 -4 ,那么 a +2b 3c 的值為 x 3 x 6 - -8. x2 -4x 1 = 0 3x

10、2 _4x _ JO 3 x -1 3x 1 二 x -1 2x 5例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1) x22.2x3 ；(2) 4x2 8x -1. 2x24xy5y2說明：對于二次三項式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c= a（x - 捲）（x - x2） 分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去 類型五、“降次思想”的應廠求代數(shù)式的值;二元二次方程組。典型例題：例1、已知x2 -3x 2 = 0，求代數(shù)式32（X _1 ） X +1的值。x -1例2、如

11、果X2 x -仁0，那么代數(shù)式x3 2x2 -7的值。例3、已知a是一元二次方程2x -3x 1 = 0 的一根，求3 小 2a -2a -5a 1的值。例4、用兩種不同的方法解方程組：2x_y=6,(1)、X2 -5xy+6y2 =0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想一一化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已 知的問題.考點四、根的判別式 b2 -4ac根的判別式的作用: 定根的個數(shù)； 求待定系數(shù)的值; 應用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x 2、kx -1 =0有兩個不相等的實數(shù)根，則 k的取值范圍是 例2

12、、關(guān)于x的方程m -1 x2 - 2mx m = 0有實數(shù)根，則 m的取值范圍是（）A. m 亠 0且m = 1B. m 亠 0 C. m = 1D. m 1例3、已知關(guān)于x的方程x k 2 x 2k =0（1）求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰：ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 ： ABC的周長。例4、已知二次三項式9x2 -（m 6）x - m-2是一個完全平方式，試求 m的值.例5、m為何值時，方程組廣 22x +2y =6, 、mx + y =3.有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解?針對練習： 1、當k時，關(guān)于x的二次三項式x2 kx 9是完全平方

13、式。 2、當k取何值時，多項式3x2 -4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么? 3、已知方程 mx2 -mx，2 =0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是.y = kx + 2, 4、k為何值時，方程組 丿2” _4x _2y +1 =0.（1）有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實數(shù)解；（3）沒有實數(shù)解. 5、當k取何值時，方程x2 -4mx 4x 3m2 -2m 40的根與m均為有理數(shù)?考點五、方程類問題中的“分類討論” 典型例題：|例1、關(guān)于x的方程m 1 x2 2mx 3二0有兩個實數(shù)根，則m為,只有一個根，則m為例2、不解方程，判斷關(guān)于 x的方程x2 - 2 x

14、 _k k2根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程x2 kx 0及方程x2 - x -2k =0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題“握手”問題；“利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題 典型例題：1五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席?2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人?北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場，根據(jù)計1-，該產(chǎn)品第一年收入資金21劃，第一年投入資金 600萬元，第二年比第一年減

15、少 ，第三年比第二年減少3要實現(xiàn)這一目標，該產(chǎn)品收約400萬元，公司計劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利入的年平均增長率約為多少？（結(jié)果精確到0.1, .13 : 3.61）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲 1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2） 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）

16、 要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少?（2） 兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不 能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于ax2 +bx+c = O而言，當滿足 aO、A 0時，才能用韋達定理。主要內(nèi)容:捲+ X2 = _b , XrX2 = Caa應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2 _8x 7 = 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（） A.、3B.3C.6D. , 6例2、已知關(guān)于x的方程k2x2亠i2k1 x 1二0有兩個不相等的實數(shù)根 X x2，（1）求k的取值范圍；（2） 是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解