微積分II課程第9章微分方程

1、第九章第九章微分方程與差分方程簡介 9.1微分方程的一般概念 9.2 一階微分方程（可分離變量的微分方程）主要教學(xué)內(nèi)容（1）微分方程的一般概念；（2）可分離變量的一階微分方程 教學(xué)目的及要求：1. 了解微分方程的階、解、初始條件、通解、特解等概念，對于一階、二階常系數(shù)線性方程， 會用已知的特解表示方程的通解；會驗證至多二階方程的解；2. 會識別變量可分離的一階微分方程、掌握可分離變量微分方程的解法。重點難點及解決措施：重點：常微分方程的解，微分方程特解、通解?？煞蛛x變量的一階微分方程的解法難點：可分離變量的一階微分方程的變量分離解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計：講授法課時：2課時教學(xué)設(shè)

2、計：一、問題的提出在很多生產(chǎn)實際中，我們都會遇到這樣的問題。比如：求過點（1，3）且切線斜率為2x的曲線方程？怎樣求的曲線方程呢？我們首先假設(shè)所求的曲線方程為y=f（x）,根據(jù)題意有/y =2X且滿足條件 y|x# = 3這時根據(jù)我們的積分知識就能將y=f（x）解出來。再如P372 例2從這兩個例子看出，我們解決問題的辦法是首先列出一個方程，而且這個方程里有導(dǎo)數(shù)，然后想辦法找到滿足方程的函數(shù)。 在生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中， 其實有很多問題都能靠這樣列方程來解決。 如果我們能解這種帶有導(dǎo)數(shù)的所有方程，那么我們的問題也就解決了。這就是第九章的內(nèi)容-微分方程簡介二、微分方程的一般概念a）定義：凡表示未知

3、函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程叫做微分方程。比包二ydx y - xb）若未知函數(shù)是一元函數(shù)，則這樣的微分方程叫常微分方程。 若未知函數(shù)是多元函數(shù)，則這樣的微分方程叫偏微分方程。（辨別常微分方程與偏微分方程很簡單的一個方法就是看是全導(dǎo)數(shù)還是偏導(dǎo)數(shù)） 今后我們只就常微分方程進(jìn)行學(xué)習(xí)。沒有特別申明，微分方程就指常微分方程，有時還 簡稱方程c）在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。例如 X y -Sin一 y = 0一階常微分方程X25d-y2 6dy 54X二y二階常微分方程dx dx:z:zcx y 0.r,* L、:y ；x3 2 /x y -y =x+

4、dxdy/3X dx=x一階偏微分方程一階常微分方程一階常微分方程dx丿14/y 0三階常微分方程d）如果一個函數(shù)代入微分方程后能使方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為微分方程的解。例如我們剛才列出的微分方程/y =2x2顯然y = x 是它的一個解2 2另外y = X 1也是它的一個解其實y = X c（C為任意常數(shù)）都是它的解5、若微分方程的解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這解為微分方程2 /的通解。如y = x c（C為任意常數(shù)）為 y =2x的通解，其實一階微分方程的通解中只有一個常數(shù)；二階微分方程中有兩個獨立的常數(shù)。在通解中，如給任意常數(shù)以定值所得的解稱為微分方程的特解。確定

5、任意常數(shù)以定值的條件稱為初始條件。三、可分離變量的一階微分方程的求解e) 形如dx二f(x)g(y)或m 1(x)m 2(y)dx = n Xx)N 2(y)dy的一階微分方程稱為可分離dx變量的方程.f) 對于 少二 f(x)g(y)來說，dy=f(x)g(y)dx 當(dāng) g(y)豐0 時dxf (x)dx 這就把含有y的放在一邊，含有x的放在另一邊(這就是分離 g(y)變量)此時兩邊求積分f(x)dx c這就是方程的通解注意：我們在微分方程里，習(xí)慣上把f(x)dx看作一個原函數(shù)，而將積分常數(shù)c 單獨寫出來。另外，當(dāng)g(y)=0時，我們不做特殊的討論，因為一般都只求通解， 不求所有解g) 對于

6、 m i(x)M 2(y)dx = n 心)N 2(y)dy顯然M l(x)dx N dy變量被分離，兩邊求積分就行了。Ni(x)M 2(y)例1、解方程 汶dx x解：分離變量得史覽矽二生,y xy x有 In y = In x + c = In x+1 n ec= In(xec) ， y = xec，y =xec令 C = ec，即方程得通解為y二Cx注意，積分后含有絕對值的問題，因c為任意常數(shù)而解決，今后就直接寫成In c例2、求方程色=4x7滿足初始條件vl =1的特解dxyz例3、求方程 dx dy=O滿足初始條件y| 1的特解i + y 1 +xy ix=0四、小結(jié)1、常微分方程的

7、相關(guān)概念；2可分離變量的一階微分方程的解法.五、 作業(yè)P139 2 P150 1（雙號）其特點是右邊是關(guān)于 -的函數(shù)x2、解法：對于方程魚二(辿dx令=uxy=ux 兩邊對x求導(dǎo)dydx二X竺udx代入方程X竺 u= (u)dxdux -dx二(u) -u 即xdu 二(u)-u)dx亦即du(u) -Udx這就分離了變量x兩邊求積分就行了3、舉例例1、解方程例2、解方程例3、解方程dydx2y 2xy222/y x y 二xyy 9.2 階微分方程(齊次微分方程、一階線性微分方程)主要教學(xué)內(nèi)容(1)齊次微分方程的解法；(2) 階線性微分方程教學(xué)目的及要求：掌握齊次線性微分方程和一階線性微分方

8、程的解法 重點難點及解決措施：重點：方法的掌握難點：齊次方程的解法；一階線性非齊次微分方程的解法解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計：講授法課時：2課時齊次微分方程的解法dx1、定義：形如 dy = ()的方程稱為齊次微分方程。xS p(x)y =q(x)如果q(x)三0,即、一階線性微分方程的解法1、一階線性微分方程的一般形式:其中p(x),q(x)都是x的連續(xù)函數(shù)史 p(x)y =0稱為一階線性齊次微分方程dx如果q(x)不恒為0，形如dy p(x)y =q(x)的方程稱為一階線性非齊次微分方程 dx2、一階線性齊次微分方程的解法對于 dy p(x)y =0 即矽dxdx-p(x)y

9、亦即 dy - - p(x)dxy兩邊求積分矽=j-p(x)dxy jp(x)dxCip(x)dx c1 ye。In yp(x) dxe二 cep(x)dx (令-eci)例4、解方程-xy解法1：原方程即為dy，xydx變形idy = xdx y兩邊求積分2 ci，即廠 ce?x解法2:原方程即為譽(yù)xy這是一階線性齊次微分方程且p(x)1 2_p(如=ce2x解：原方程即為貝 y y =ce例5、解方程CoS x d y = 0cos dx一 y = 0這是一階線性齊次微分方程，且p(x)二一dx cOSxcOS x因此 y =cep(x)dScesecQ=ceS3、一階線性非齊次微分方程的

10、解法由上面的討論知，當(dāng) c是任意常數(shù)時，ye-p(x)dx是 dyp(x)y = 0的通解。dx現(xiàn)設(shè)c是X的函數(shù)，并假定線性非齊次方程2p(x)y5x)有形如 ypx)edx的解p(x)dx dy將 y 二c(x)e 代入 p(x)y dx/. . p(x)dx. . p(x)dxc(x)e -c(x)p(x)e= q(x)中p(x)dxp(x)c(x)e 二 q(x)即 c (x)=q(x)亦即 c(x)=q(x)ep(x)dxc(x)二.q(x)e于是P(x)dx dx +cy = q(x)ep(x)dxdx c-P(x)dxe這就是一階線性非齊次微分方程的通解例6、解方程y x2dx x

11、 A解法i原方程即為dy _丄dx其對應(yīng)的一階線性齊次方程為其通解為把上式的/C(X)xy = eg - x = cxc看作x的函數(shù)，應(yīng)用常數(shù)變易法，令/ c(x)xc(x)=x即 c(x) = xy=c(x)代入原方程1 2 c(x)x c故微分方程的通解為 y解法2:原方程變形為魚一1dx1P(x):xp(x)dxdx c；yq(x)這是階線性非齊次微分方程且代入公式有y 二q(x)ep(x)dxe-2 一 dx ,In x .,12X e % dx c e . xdx cx = x c x例7、解方程業(yè)-ycotx =2xsin xdx解：這是一階線性非齊次微分方程且p(x) = -co

12、t xq(x)=2xsi nx 代入公式有y =1 q(x)ep(x)dxp(x)dx dx +c ecot xdx=2xsin x e dx c eI cot xdx2=2xdx c sinx 二x c sinx.4、練習(xí) P405 4(1) (3) ( 5)三、伯努利方程形如 業(yè) P(x)y =Q(x)yn(3.7)dx的方程稱為 伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n -0,1.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的.事實上，在方程(3.7)兩端除以yn，得y字 P(x)y =Q(x),dx或(y143)P(x)y1 -Q(x),1 - n于是，令z = y1，就得

13、到關(guān)于變量 z的一階線性方程(3.7)的通解(1 一 n)P(x)z =(1 - n) Q(x). dx-n) P(x)dx(1)P(x)dx1 - n)edx C利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程1 -n y例8求方程d = (a ln x)y2的通解. dx x例9求方程魚-x(y x) x3(y x)2 =1的通解. dx例10求解微分方程業(yè)gydx xsin (xy) x四、小結(jié)1、齊次方程的解法2、掌握一階線性微分方程的求解方法一一常數(shù)變異法。3、伯努利方程的解法五、作業(yè)P151 1(雙號)、2 (雙號)、4 (雙號) 9.3高階常系數(shù)線性微分方程主要

14、教學(xué)內(nèi)容：二階微分方程的幾種簡單形式教學(xué)目的及要求：掌握三種簡單二階微分方程的解法 重點難點及解決措施：重難點：解法的掌握解決措施：注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計：講授法.課時：4課時一、二階常系數(shù)線性微分方程1、定義：方程 9 P, qy二f(x)稱為二階線性微分方程2、 齊次方程一一若f(X)= 0，稱方程為齊次方程；3、非齊次方程若 f(x) =：0,稱方程為非齊次方程二、方程解的結(jié)構(gòu)1、u(x),v(x)線性無關(guān)： 回=：C, ( C為常數(shù)，v(x) = 0).v(x)例如： cos x, sinx線性無關(guān)(因cosx三常數(shù)) sin xxxx,e線性無關(guān)( 因 x手常數(shù))e2、齊次

15、微分方程解的結(jié)構(gòu)設(shè)yi(x)與y2(x)是齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，則C1y1(x) C2y2(x)( C!, C?是任意常數(shù))為齊次方程的通解例 易知cosx,sin x均為方程y ” y = 0的解，又因cosx,sin x線性無關(guān)，那么方程的通解為y =G cosx C2 sin x, ( C1, C2 是任意常數(shù)).3、非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 鳥 py： qy = f(x)的一個特解，Y(x)是其齊次方程的通解,則y二Y(x) y*(x)是非齊次方程的通解證明：y(x)是非齊次方程的解y(x)-y*(x)是齊次方程的解=y(x)-y*(x)二丫(x)

16、= y(x)二丫(x) y*(x)例1求方程y y =x2的通解.解： 易知y (x)二x -2是非齊次方程的一個特解；(2) 已知齊次方程的通解為y = G cosx C2 sin x ；(3) 所以原方程的通解為y =x2 -2 Ci cosx C2 sin x, ( G, C2 是任意常數(shù)).4、 非齊次方程解的疊加原理設(shè)yk(x)為方程目 py： qy二fk(x)的特解，k=1,2,，n.則nnY(x)yk(x)為方程 y py q fk(x)的特解.k=1k=1證明：Y (x) pY (x) qY(x)nn yk(x)pyk(x)qyk(x)fk(x).k =1k =1三、二階常系數(shù)

17、齊次線性方程的解討論方程目 py、qy = 0的解.rxrx 2 rx令 y=e ,貝 U y = re , y = r e ，那么第九章曾-0.2rx2y py qy = 0 ：= (r pr q)e 0 ：= r pr q = 0.下面記厶=p4q ,r1,r2為特征方程的兩個根.21、厶二p-4q 0時，則齊次方程通解為rixr2 xy = GeC2eH x證明：顯然erix,er2x是方程的解，且 *二e(ri)x =常數(shù)，e2所以齊次方程通解為 y =C!erix C2er2x.22、厶=p - 4q =0時，則齊次方程通解為y 二 Gerix C2xerix =erix(G Czx

18、).分析：由于erix是方程的解，設(shè)y(x)為方程的另一個與erix無關(guān)的解，有零 二u(x),那么y(x) =u(x)erix,(常數(shù)變易法).e1因 y=ueri y, y =ueriu eHyue 2irue y,代入原方程，得u erix 2qu erix r；y pu erix py qy =0=u2riuri2upuprequ =0=u(2rip)u(ri2priq)u =0二u“ =0二取 u =x.其中：因上二0,知ri為重根，有2ri p = 0, ri2pri q =0 .xerix證明：顯然erix, xerix是方程的解，又 二x=:常數(shù)，H xe所以齊次方程通解為 y

19、 =Cierix C2xerix.3、丄=p? 4q ： 0時,有ri - ,r2 - - - i -仆、0)，則齊次方程通解為y = e x(C1 cos x C2 sin ：x).分析：由于yi = erix, y? = er2x是方程的解，而yj =ex =0+% =e”(cos Bx +i sin Px),y2 =er2x ueg =e(cos Bx -i sin Px),由疊加原理，知ecos =, e：xsin U =辿二辻2 2i均為原方程的解e cos Bx證明：顯然e cos ：x, e xsin x是方程的解，又 二cot : xt常數(shù),esin Px所以齊次方程通解為 y

20、cos x C2 sin ：x).四、二階常系數(shù)齊次線性方程解法方程的形式： y“ pyqy =0.解法步驟：(1) 寫出方程的特征方程r2 pr 0 ；(2) 求出特征方程的兩個根r1,r2 ；(3) 原方程的通解如下表所示：特征方程的根方程的通解A報Ger1x +C2er2xr = * = r2(CrHC2x)erxr = a i 0eGcos Px+C2Sin Px)(P0)例2求方程y”_2y；3y=0的通解.解：解特征方程r2-2r-3=0,得*-1,0=3 ；(2)于是原方程的通解為y =。程 C2e3x.例3求解方程2d s dsr +2 +s =0,dt dt1 S7 =4，S

21、八2.解：解特征方程r2 2r 0,得A = r2 = -1;(2) 于是原方程的通解為(C! C2t)eJ ;(3) 將條件 st=e =4 代入,得 Ci = 4,那么 s=(4+C2t)e ;(4) 顯然s - (C2 - 4 - C2t )e ,再將條件s t出=_2代入，得C2 - 2 ；(5) 于是原方程的解為s =(4 2t)e =例4求方程yX2y 5y = 0的通解.解： 解特征方程r2 2r +5 = 0,得ri,2=12i ；(2)于是原方程的通解為y =ex(Ci co 2x C2 s i r2x).五、二階常系數(shù)非齊次方程解法方程的形式：yrpyqyrf(x) (*)

22、解法步驟：(1) 先求出其齊次方程的通解y =Gy1(x) C2y2(x)；(2) 再求出非齊次方程的一個特解y*(x)；(3) 那么原方程的通解為y二Gy1(x)，C2y2(x) y*(x).1、設(shè) f(x)二exPm(x)，若-是特征方程 r (5) 于是原方程的一個特解為y = -X . 例6求方程y-5y 6y =xe2x的通解.解： 解特征方程r256=0,得=2,r2 =3,那么齊次方程的通解為 y nCje C2e3x； 由于 exPm(x) =xe2x，知 m=1,人=2. 因條=2是特征方程的單根，那么方程具有特解 y =(b1X2 5x)e2x. y =(2b1X b)e2

23、x 2(bx2 lb)x)e2x 二2bx2 (2b。2bjx be2x,y、4b1X (2b02d)e2x 22dx2(2匕 2bi)x b0e2x pr 0 的 k重根，k =0,1,2 ； 則方程(*)具有特解y*(x) =xkQm(x)ex,( Pm(x) ,Qm(x)均為m次多項式).例5 求方程y”-2y3y =3x1的一個特解.解：解特征方程r2 -2r -3=0，得*二-1,r2 =3 ；(2) 由于 e Xpm(x) =3x1,知 m=1,=0.(3) 因 =0不是特征方程的根，那么方程具有特解 y二Dxb。,將其代入方程，得- 20 -3(dx b) =3x 1,嚴(yán)二,b1

24、 13bi =3,(4) 列方程組丿解之得廠2b -3b0 =1.22 x工4bx(4bo 8bi)x (4b。2bi)e ,將其代入方程，得4b1x2(4b0 8b1)x (4b02d)e2x22 x22x2 x-52bix(2bo 2bi)x boe6(biXbx)e = xe2= 4biX(4bo 8bi)x (4b。2bi)2 2-10bix (-10b。-10bi)x-5b。6bix 6box-x=Obd=(4b0 8b -10b0 -10b1 6b0 -1)x (4b0 2d -5b0) =0,列方程組円亠0,解之得_2b| b =0.1 22 x（6）從而原方程的一個特解為y =

25、 -（ x x）e .2 于是原方程的通解為y =C1e2x C2e3x -（丄x2 x）e2x22、設(shè) f (x) =e p cosx + Fn sin cox, m = max l, n，卩=九 + i國,若為特征方程r2 pr 0的k重根(k =0,1),則方程(*)具有特解y*(x) =xke入Ri? cosax +sinax,其中:f,巳 ,Rm , Rm 分別為l,n, m,m次多項式.例7求方程y y =sin x的一個特解.解：(1) f (x) =eP| cos x+Pns in x =si nx,F =0, Pn =1,m = 0, - 0,T ,(2) 1 - = i為特

26、征方程r - 1=0的單根，那么原方程具有特解y =xkeXRmm)cosmx +瞪)sin cox = axcosx +bxsin x(3) y = (a cosx bsin x) ( axsin x bxcosx)=(a bx)cosx (b-ax)sinx,y = (bcosx -asin x) -(a bx)sin x (b -ax)cosx=(2b - ax) cos x -(2a bx)sin x,代入原方程y y二sin x,有(2b -ax) cosx -(2a bx)sin x axcosx bxsin x = sin x1即2bcox-2asirK=sirx = b=0,

27、a2* 1(5)所以原方程有一個特解y -axcosx bxsinxxcosx.2例8求方程y” y = xcos2x的一個特解解：(1) f (x) =eRcos x+ PnSi ncox =xcos2x,R 二 x, Pn = 0,m =1, = 0,= 2 ,(2) 亠-2i不是特征方程r2 1 - 0的根，那么原方程具有特解y = xkecosmx + 瞪)sin cox=(ax b)cos2x (cx d) sin 2x(3) y 二 acos2x csin 2x2(ax b)sin 2x 2(cx d) cos2x=(a 2d 2cx)cos2x (c-2b-2ax)sin 2x,

28、y 二2ccos2x2asin 2x2(a 2d 2cx)sin2x 2(c2b2ax)cos2x=(4c -4b -4ax) cos2x -(4a 4d 4cx)sin 2x , 代入原方程y y =xcos2x,有(4c-4b-4ax)cos2x -(4a 4d 4cx)sin 2x(ax b) cos2x (cx d) sin 2x 二 xcos2x即 (4c _3b _3ax) cos2x -(4a 3d 3cx)sin 2x 二 xcos2x.(5)列方程組4c -3b = 0,14& by, 3a =1, 二4a 3d = 0,3c -0.(6) 所以原方程有一個特解*14y =

29、(ax b) cos2x (cx d )sin 2x xcos2x sin 2x 39作業(yè):P1641(雙號)2(雙號)3(雙號) 9.5差分方程概念 9.6常系數(shù)線性差分方程主要教學(xué)內(nèi)容：差分方程的概念、常系數(shù)線性差分方程教學(xué)目的及要求：掌握差分方程的概念、一階常系數(shù)線性差分方程的解法 重點難點及解決措施：重難點：解法的掌握解決措施：注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計：講授法.課時：2課時、差分的概念定義 設(shè)y二y(x)是一個函數(shù)，自變量從x變化到x+1,這時函數(shù)的增量記為= y(x 7) -y(x),我們稱這個量為 y(x)在點x步長為1的一階差分，簡稱為y(x) 的一階差分。為了方便我們也

30、記yx彳=y(x -1), yx = y(x)，即 :yx 二 yx i - yx稱厶(M) =(yx 2 - yx i) - (yx i - yx)二 y 2 -2yx i y 為 y(x)二階差分 簡記為2yx. 同樣記A(A2yx)為3yx,并稱為三階差分.n般記Tyx二星丁yx),稱為n階差分但有:ny cn(-1)1x2.i =0性質(zhì)：當(dāng)a,b,C是常數(shù)，yx和zx是函數(shù)時，(1) 4C)=0； A(Cyx)= CA(yx);(3) A(ayx+ b zx)= a Ayx+ b Azx ;(4) A(yx zx)= zx+i A/x+yx Azx = yx+i Azx+zx Ayx；

31、Zx yx _yx Zx=Zxiyx yxiZxlzx .丿zxzx+zxzx 卅例 1:已知 yx 二 x(x = 0),求 A(yx).解 A(yx)= (x 1) 一 - x -.n特別，當(dāng)n為正整數(shù)時，A(yx)=、cnxn：階數(shù)降了一階i=i推論 若m, ,n為正整數(shù)時，m, n P(x)為n次多項式，則mP(x) = 0 .例 2：已知 yx =ax(0 ： a =1),求 A(yx).解A(yx)= ax1 -ax 二 ax(aT).、差分方程的概念定義設(shè)是含有未知函數(shù)差分的等式，稱為差分方程。它的一般形式為 F(x, yx,yx冊，yx*)=O或G(x,5x) = 0，其中F,

32、 G是表達(dá)式，x是自變量.使等式成立自變量的取值范圍稱為該方程的定義域.的F(x,yx, yxi,yxnH0的方程，也稱為n階差分方程.n為方程的階.形如a(x)yx n a,x)yx nan(x)yx = f (x)( 10-1)稱為n階線性差分方程.f (x) =0時為齊次的.f(x)=0為非齊次的差分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程，滿足該方程的函數(shù)稱為 差分方程的解對于一階差分方程來說，它的含有一個任意常數(shù)的解，稱為此微分方程的通解一般來說，對于n階差分方程，其含有n個互相獨立的任意常數(shù)的解稱為 差分方程的通解不含有任意常數(shù)的解稱為差 分方程的特解.同微分方程一樣也有初值問題初值條件也

33、有如下情形：一階的如：yx xk = % 二階的如：yx x0 = Y0Yx 乂之=心y。等等三、N階常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)對于線性差分方程的解的結(jié)構(gòu)有如下結(jié)論：定理 如果y =yi(x)和y =y2(x)都是方程(10-1)的解，則對任意常數(shù)Cl, C2, Ciyi(x) C2y2(x)也是方程(10-1)的解.定理設(shè) a(x) =0 , y, y ,yY)是a(x)yxna1(x)yxn4 亠亠 an(x)yx=0的n個線性無關(guān)的特解，則yx二Gy?) C2yCnyin)是它的通解.定理設(shè)a(x)7 , yM2,yin)是齊次方程a(x)yxn印&皿心an(x)yx =0的n個線性無關(guān)

34、的特解，y；是非齊次方程a(x)yxn a,x)yxn 斗an(x)yx = f(x)23第九章的一個特解，則yx=CiyX1)C2yX2)-CnyXn)yX是非齊次方程的通解定理設(shè)，yj是方程 a(x)yx .n * ai(x)yx.n* an(x)yx 二 fi(x)的解，yX2)是方程 a(x)yx n * ai(x)yx.n* an(x)yx = f2(x)的解,則、盅 黑是方程a(x)yx n a,x)yx nan(x)yx = fi(x) f2(x)的解.四、一階常系數(shù)的差分方程一階常系數(shù)的差分方程是yxi - pyx二f(x)(常數(shù)p和).當(dāng)f(x)=O,設(shè)yx =rx是其齊次方

35、程的解，即ri-prx=O,所以r=p .那么r x* prx = 0有通解yx = Cpx(C為任意常數(shù))例3:求差分方程3yx1.-2yx = 0的通解.解事實上原方程是yx 1 -2 yx =所以其通解為yx =C|2(C為任意常數(shù)).2 13丿四、一階常系數(shù)非齊次的差分方程當(dāng)f (x) = 0，用待定系數(shù)法 求其特解.(i)如果f(x)二Pn(x)(n次多項式),則非齊次方程為yx 1 - pyx二Pn(X).若p=1,即yxi - yx二Pn(x),那么yx可以是n+1次多項式.,相減時常數(shù)項和最高次數(shù)相 被消去，所以可以設(shè)yx =xbo - Qx b?x2 bnXn,代入方程后，比

36、較系數(shù)確定bo,d,b2, ,b便得到一個特解.若p力，最高次數(shù)相不可能被消去，所以可以設(shè)有特解yx二b。 dx b?x2 bnXn,同樣代入方程后，比較系數(shù)確定 “4也,，0便得到一個特解.(ii)如果f (x) =f； xpn(x) (Pn(x)是n次多項式，雇常數(shù))，則非齊次方程為yx i - pyx 二xPn(x).為了求之一個特解，分兩步：第一步，令yx二xZx,代入方程得x 1xxzx 1 - P zxPn（X）,它等價于乙治-卩乙乂 =Pn（X）.第二步，用（i）的方法.總之，對這種情況，可以直接設(shè)其特解為yx - xxs（b0b（x b2x2川川，bnXn）,其中當(dāng)p工時,s=

37、0 ,當(dāng) p=時,s=1 .例4：求差分方程yx i -3yx -12的通解.解 顯然其齊次方程的通解為yx = C 3x （C為任意常數(shù)）.設(shè)其特解為yx二b 2x,所以有b2x1 -3b 2x =72x,從而得b=-7.因此，原方程的通解為yx二C 37 2x.五、作業(yè)：P1791 （雙號）2 （雙號） 97高階常系數(shù)線性差分方程主要教學(xué)內(nèi)容：二階常系數(shù)線性差分方程及解法教學(xué)目的及要求：二階常系數(shù)線性差分方程及的解法重點難點及解決措施：重難點：解法的掌握解決措施：注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計：講授法課時：2課時這里討論的是這樣的方程：yx 2pyx彳 qyx二f （x） （p ,q是常數(shù)）.先給結(jié)論.定理 yx =rx是方程yx 2 pyx 1 qyx =o的解的充分必要條件r為方程r2 pr q = 0的根（自己證明）.一、二階齊次差分方程的解r2 pr0稱為原方程的特征方程.下面分步討論.當(dāng)f（x） = 0,如果p2 -4q . 0 ,即其特征方程有兩個不同實根，記為匚上.注意到r/r；是線性無關(guān)的，所以（10-2）有通解yx =C1r1x弋2；，（C,C2是任意常數(shù)）