最新有限元試題總結

1、精品文檔、 簡答題 ( 40 分，每小題 5 分)1、分別寫出板彎類單元和平面應力膜單元上一個有限元節(jié)點的位移自由度及其相對應的節(jié)點力列陣？(1)薄板彎曲問題單元每節(jié)點三自由度， 即每個結點有三個位移分量：撓度 w, 繞 x、y軸轉角撓度 w繞 x 軸轉角 x ，即結點 i 的位移 繞 y 軸轉角 yM yi豎向力 繞 x 軸力偶(上節(jié)中的 繞 y 軸力偶(上節(jié)中的同理 , 相應的結點力(2)平面應力膜單元每個節(jié)點兩自由度， ui,vi T ,對應節(jié)點力 fxi , fyib2、欲求解在 ay by cx R 約束下的泛函 I F(x; y, y)dx 極值，新泛函應 a如何構造？b答： I*

2、 F(x;y,y ) (ay by cx R)dxab3、欲求解在 R P x,y dx Q x,y dy 約束下的泛函 I F(x; y,y )dx 極 a值，新泛函應如何構造？b答： I* F(x;y,y ) P x,y Q x,y y Rdxab4、滿足 f g gf ds L條件下的泛函 I F(x; y, y ) dx極值求解應如何構a造新泛函？b答： I* F(x;y,y) ( f g g f) 1 (y)2dxa5、寫出直梁彎曲問題的勢能原理表達式，并說明真解的充分必要條件？ 答： 一變剖面梁，一端 x 0 固支，另一端 x l 簡支。承受軸向拉力 N，分布橫向 精品文檔精品文檔

3、q(x)載荷 q x 以及端點彎矩 M l 的作用。 (3) 系統(tǒng)總勢能 ：充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢能取最小值的擾度為真解。6、寫出用一維 Hermit 型基函數(shù)(形狀函數(shù)) 構造未知位移場函數(shù)的表達式， 并說明用其分段插值的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？答： w wiH 10iH11wj H02j H12NTUeH 01( )1 3 2 2 3 ，H11()22 3H 02( )3 2 2 3 ，H12()23在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高(單元內(nèi)二階導連續(xù)) ，而在單元間的節(jié)點上，要低一階(一階導連續(xù)，二階導存在) 。P397、Hermit 型分段插值基函數(shù)(形狀函數(shù))的基本性質(zhì)有哪些

4、？并說明用該 基函數(shù)插值獲得的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？答：四個形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中， H01( )， H02( ) 一節(jié)導函數(shù)值在兩端點 都為 0；H 01( )函數(shù)值在左節(jié)點為 1，右節(jié)點為 0； H02( )相反；所以這兩個形 狀函數(shù)對 w 的節(jié)點值有影響，而不影響 w 一階導在端點的值；H11( ) ，H12( )在兩節(jié)點的值均為 0；H11( )一階導函數(shù)值在左節(jié)點為 1，在右 節(jié)點為 0， H12( ) 相反；說明這兩個形狀函數(shù)對 w 的節(jié)點導數(shù)值有影響，而 不影響 w 在端點的值。在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高 (單元內(nèi)二階導連續(xù)) ，而在單元間的節(jié)點上， 要低一 階(一階導連續(xù)，二

5、階導存在) 。8、敘述一個平衡彈性結構體的勢(位)能駐值原理？最小勢能原理與駐值 原理有什么關系？答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實的位移狀態(tài)使總勢能為 駐值(可能極大、 極小或者始終保持不變) 。由此得到的駐值條件等價于平衡 條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡 狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進一步考察總勢能的二階變分情況。最小勢能原理是勢能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。精品文檔精品文檔9、通過勢能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收 斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？答：按照最小勢能原理求解時，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)

6、是連續(xù)的，但卻是近似的。 從物體中取出一個單元， 作為連續(xù)介質(zhì)的一部分， 本來具有無限個自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點位移表示的有限 個自由度， 這相當于位移函數(shù)對單元變形能力有所限制， 使得單元剛度增加， 物體的整體剛度也增加了，因而計算的位移近似解小于精確解。當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當單元尺寸 固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。10、由最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征 （可用曲線說明）？ 答： 當網(wǎng)格逐漸加密時， 有限元解答的序列收斂到精確解； 或者當單元尺寸 固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于

7、精確解。以一 平板任意方向變形為例，如圖所示：位移精確解可能是一復雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié) 點位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計算解曲線以折線逼近精確解。如果采 用二次曲線逼近，則計算精度與計算效率可大大提高，二次曲線即有限元中 的高次單元。同樣，當有限元網(wǎng)格無限密化時，計算解將無限逼近精確解。 考慮計算過程中的數(shù)值計算誤差 （例如： 截斷誤差），限制了有限元網(wǎng)格的過 分密化。11、寫出一般線彈性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？ 答：平衡方程： ij, j fi 0 （在彈性體 內(nèi)）幾何方程： ij 1（ui,j uj,i ）2精品文檔精品文檔物理方程： ij Dijkl

8、 kl （在彈性體 內(nèi)）邊界條件： a.位移邊界條件 ui ui （在位移邊界 u 上）；b.應力邊界條件 ij nj Ti 0 （在應力邊界 上）；c.混合邊界條件12、等參元的數(shù)值積分最高精度 2n-1，指的是什么？若積分點偏少可能發(fā)生什么情況？答：指的是 n 個積分點的高斯積分可達 2n-1 階的精度； 高斯積分計算剛度矩 g陣時： K ehi B T D B Ji1當高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要的階次時，稱為完全 積分；低于時，稱為減縮積分。對等參元的數(shù)值積分，積分點減少可能對積 分的精度和結構總體剛度矩陣的奇異性造成影響。（ 1）在最小位能原理基礎上建立的位移有限元

9、， 其整體剛度偏大， 選取積分 點偏少的減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此可能有助 于提高計算精度。（2）求解系統(tǒng)方程 Ka = P 時，要求引入強迫邊界條件后 K 必須非奇異。但 當采用較少的積分點數(shù)目，可能造成 K 最大志小于獨立自由度數(shù)，也即剛度 矩陣 K 奇異，則平衡方程組無唯一解。13、有限元結構總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求 解方案的可行性原因何在？答：總綱特征：對稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定 的）有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會浪費大量資源。一維變帶寬存儲是建立

10、一 個一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個非零元素以及后面直到對角線元素按 行順序存放， 同時建立另外一個一維數(shù)組 （稱為定位數(shù)組），記錄總剛矩陣每 行對角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過兩個較小的一維數(shù)組就 精品文檔精品文檔實現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲、定位與獲取14、任意四邊形平面應力單元的某一節(jié)點自由度需用與結構總體坐標系不同 的局部坐標系表達，寫出該單元剛度剛陣的符號表達式？答： K e 1 1 B T , D B , J d d15、寫出受壓桿穩(wěn)定性問題的泛函表達式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學含義？當 PPcr 時，系統(tǒng)是不定的； P =Pcr 點， 系統(tǒng)從正定到不定的過渡狀態(tài)

11、，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。16、對僅受分布橫向載荷 q(x) 的懸臂梁，寫出具體勢能泛函表達式？變分的 結果有哪些，什么性質(zhì)？答： l 1EJ d 2w2 qw dxEJw(4) q wdx EJw (w)|l0 EJw(3) |l0 ，可得：對于微分方程 EJw(4) q 0 基本邊界條件： x=0 ， w=0,dw/dx=0;自然邊界條件： x=l ，w =0,w =0;17、你所理解的有限元素法基本概念有哪些 ?答：依據(jù)求解問題的路徑不同，有限元方法大致可分為：位移法：以位移為 基本未知量；力法：應力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應力 為基本未知量。將連續(xù)的求解域離散為一組單元

12、的組合體，用在每個單元內(nèi)假設的近似 函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù) 及其導數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由 精品文檔精品文檔 度問題變成離散的有限自由度問題。 它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對每一單元假定一個合適的 （較簡單的 ）近似解 ,然后推導求解這個域總的滿足條件 （如結構的 平衡條件 ）,從而得到問題的解。這個解不是準確解 ,而是近似解，因為實際問 題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元 不僅計算精度高 ,而且能適應各種復雜形狀 ,因而成為行之有效的工程分析手 段。有限元方

13、法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅 限于相對小的子域中。有限元法是 Rayleigh-Ritz 法的一種局部化情況。不同 于求解 （往往是困難的 ）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的 Rayleigh-Ritz 法 ,有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀 （如二維問題中的三角形或任意四邊 形 ）的單元域上 （分片函數(shù) ）,且不考慮整個定義域的復雜邊界條件 ,這是有限元 法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。18、經(jīng)典 Ritz 方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同 ？ 答：有限元法 =Rayleigh Ritz 法分片函數(shù)”，即有限元法是 Rayleigh Ritz 法 的一種局部化情況。兩種

14、方法都需要尋找坐標基函數(shù)；但兩者差別在于 Ritz 法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方 程組可能滿陣，造成較大計算工作量；有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來逼近， 基函數(shù)是在單元中選取的 由于各個單元具有 規(guī)則的幾何形狀， 而且可以不必考慮邊界條件的影響， 因此在單元中選取基函數(shù)可遵循 一定的法則。使解得計算量減小和有效性增大。二、分析題 （30 分）1、（10 分）已知一等截面懸臂桿（截面積為 A，彈性模量為 E）承受沿軸向 均勻分布載荷 q 及端部軸向應力 （如下圖），寫出勢能泛函 （ 用軸向位移表 達）？L精品文檔精品文檔解： 勢能泛函包括三個部分， 一個部分是由于桿的

15、變形桿中存儲的勢能 1 ，第 部分是分布力的勢能 2 ，第三部分是端部軸向應力的勢能 31 1 dV1 2 VEAL20 2dxEA0L du dx0 dx2 0 qudx3 Au L2、（8 分）構造下圖一維桿單元三個節(jié)點的 Lagrange 標準插值基函數(shù)？(x L/4)(x L)= 42 x L x L(0 L /4)(0 L) L24(x x2)(x x3) (x1 x2)(x1 x3)162 x x l3L21、（8 分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷 q, 用有 限元方法求解端點 A 的位移？Aq解：精品文檔精品文檔d2u微分方程描述EA 2 q 0 dx u

16、0 0僅求解 A 點位移，可將整根梁看做一個單元： 則 A 點的線性位形函數(shù)可寫為：A 1L x則 u ua A梁的能量泛函為： EA du qu dx 0 2 dx2則EA ua2 qL ua 由此可得 ua qL2L 2 a 2EA或者法二：分布軸力 q 的等效：EA 1 1 0R1解得： ua qL2L 1 1 ua qL /2 a 2EA2、（8分）構造下圖 8節(jié)點單元中角節(jié)點 1的 Lagrange標準二次插值基函數(shù)？4+173-18+1-161 5 2精品文檔精品文檔i1i 5 5 i 2 1i 1 1 2i 6 6 ii 12 1 12 1 2 1N5N6N7N8i 7 7ii1

17、i 7 7ii1212 1 2 112 1 2 121 1 12 1 2 11 再改造原四節(jié)點情況下的角節(jié)點基函數(shù)，Ni 1(1 i )(1 i ),i 1,2,3,44對角點 1分析：選 N1 1(1 )(1 ) 時，在節(jié)點 5、 8處不為零而為 1 ，故處理為：1111N1(1 )(1 ) N5N8(1 )(1 )( 1)42241Ni 1 (1 i )(1 i )( i i 1),i 5,6,7,842、(8 分)構造下圖正方形上關于原點的Lagrange標準雙二次插值基函數(shù)？487o6125-1 ， 13解：X n span1, , span ,i 1,2,3 k 1 i k ki3Y

18、n span1, , 2 span k ,i 1,2,3 k 1 i k ki將11,00,11代入上述基得到：Xn span 1 ( 1), ( 1)( 1),1 ( 1)2211Yn span ( 1), ( 1)( 1), ( 1)22精品文檔精品文檔 因此對于中點的基函數(shù)為3、No ( 1)( 1)( 1)( 1)12 分)已知一矩形等截面彈性體扭轉問題的泛函表達式為：abI -a b x4 dxdy式中， 為應力函數(shù)，且在邊界上x,y 0求 1 ：與問題等價的控制微分方程 求 2：取 的近似解形式為：Euler 方程 )。x2 a2 y2 b2 ， 為未知參數(shù)，求使泛函 I 取極值

19、的具體近似解。解：1)令： Fx y則微分方程為： F x Fx y Fy 022即： 2 2 2= 0 xyab2)將x2 a22 2y2 b2 代入 I00 x24 dxdy 中：得到：abI 4 2abx2 y2 b2 y2 x2 a2 dxdyab4y2 b2 x2 a2 dxdyabI 4A 2 4B3 3 2 2 32a3b3(a2 b2) A45 B 16a3b3精品文檔精品文檔可得當224(a2 b2)時I（ ） 取極小值因此近似解為5224(a2 b2)x22 2 2 a2 y2 b24、12 分）已知一矩形等截面彈性體扭轉問題的泛函表達式為：I xy4 dxdy0 0 xy

20、ayb式中， 為應力函數(shù)，且在邊界上 x,y 0 求 1：與問題等價的控制微分方程 （ Euler 方程 ）。求 2：取 的近似解形式為： sin xsin y ， 為未知參數(shù)，求使泛函 abI 取極值 的具體近似解。 解：I 2 x x( ) 2 y y( )0 0x xyya b222 2 20 0xy微分方程：2 2 20 ，代近似解到泛函，得xya 2 x a 2 x a0 cos ( )dx 0 sin ( )dxa a 222?。?)將x2 a2得到：精品文檔4 dxdy2 C ( )cos ( )cos ds 4 dxdy C x y 0 02xaby2 b2 代入 I24 dx

21、dy 中：00精品文檔I2002 xy2 cos sina 2a b2b2cosb2 yx sin adxdyabdxdyyx4 sin sin0 0 b a計算得到：I A 2 4B2 2 22 (a2 b2)4ab4ab可得當432a2b2 2 2(2aa2 bb2) 時I( ) 取極小值 因此近似解為sin22xy sin ab5、( 12 分)已知一物理問題的泛函為：1p y 2 +2xy dx0其中，未知函數(shù) y( x)的邊界條件為： y(0) = 0, y(1) = 1求 1 ：與泛函等價的控制微分方程( Euler 方程)。求 2：取 y 的解形式為 y x a1x3 a2 x2

22、 a3x a4 ，其中多項式系數(shù)為未知 參數(shù)，求使泛函取極值 y 的具體解。1解： p 2y-2x ydx 2y y |100微分方程： y-x 0，解為 y 1x3 Bx C ，代入邊界條件，得 y 1x3 (a b )x6 6 6 近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。精品文檔精品文檔6、( 12 分)已知一物理問題的泛函為：式中， u(x), 0 x 1，為未知函數(shù)，且 u 0 u 1 0求 1 ：與泛函等價的控制微分方程( Euler 方程)。求 2：取 u 的近似解形式為 x a1x a2 x 2 ，a1、a2 為未知參數(shù)，求使泛函取極值 u 的具體解。 解：0

23、 ddxu2 u x udx ddxu u|10由邊界條件，得 a1+a2=0,所以將 x a1x(1 x) 代入泛函，求極值，得 a1=5/187、( 12 分)已知一物理問題的泛函為：式中， 為未知函數(shù)，且 0 0求 1 ：與問題等價的控制微分方程( Euler 方程)。求使泛函取求 2：取 的近似解形式為 x a1x a2x2 ，a1、a2為未知參數(shù)， 極值 的具體解。求 3 ：解釋你的直接泛函駐值解說明了什么問題？ 解：對泛函作變分：p ( 50) dx |L0邊界值中， (L) 任意，所以必須有 (L) 0所以 a1 2a2L ， x a2(x2 2Lx) 代入泛函，求極值得 a2

24、25 該駐值解等于精確解。精品文檔精品文檔三、計算題 （30 分）1、 （15 分）一四節(jié)點平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié) 點位移關系為： u1= -u2 = u3 = -u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。試 給出該單元剪切應變能表達式；當 Gauss積分點僅取坐標原點時，該剪 切應變能等于多少？1已知： Ni 1 1 i 1 i , 1, 1 ， i, i 為節(jié)點坐標。4xE1v0xv10y2y1v1v00xy2xy解： 雅克比矩陣為雅克比矩陣中每項的值如下4xyi1xiNi4i1iyiyi41 Ni yi假設母單元長寬分別為 L 和H 則計算得 精品文檔精

25、品文檔LJ= 20面寫出應變矩陣的表達式NiNix1JNiNiyx0Bi0NiyNiNiyx因為僅計算剪切應變能，因此僅取Bi 的最后一行計算：B= Ny1Nx1Ny4yxy21H11 21L 12H 112L而剛度 D 轉化為數(shù)值應變能計算如下：E2(1 v)U 1 T B T D B Jd d2 1 1根據(jù)條件式中：u1 0 u10 u1 0 u1 0代 、 B 、 D 、 J 到 U中，得U 1 1 1 8u1 2 E LH d d 1 1 4ELu12 2 d d1 1 2 H 2(1 ) 4 1 1 (1 )H對上式采用高斯積分，取取積分點 1 1 0 ，則相應權系數(shù)為 H1 2 得

26、11nn4 ELu1d d H(1 )HiHj 4ELu12( i)2 2 2 4ELu12( 1)2 0 i 1j 1 (1 )H (1 )H最后計算得到 U 0 。精品文檔精品文檔2、（15分）已知一對稱等截面桿件結構， 截面面積 A=10mm2,作用載荷 p=103 4N。如圖所示，桿彈性模量 E=104kg/mm2,用有限元方法計算結構各點位移。要求作出求解過程的簡化圖解：（ 1） 節(jié)點編號和單元編號如下：單元節(jié)點號單元長度方向112L/202232L /2135334L/20424L/2902） 各單元在總體系下的剛度矩陣：各桿在總體坐標系下的剛度矩陣計算公式：代入各桿對應數(shù)值：10

27、10K (1) 2EA0000KL10100000111 1K( 2 )EA11112L1111111 11010K (3) 2EA0000KL101000000000K( 4) 2EA0101KL00000101精品文檔101000101a2EAK00aL00a00a00000000000000aaa01 a a a 0 a 1 a a 1 aaa001011000其中122節(jié)點力： P Rx1 Ry1 0 Ry2 Rx3 P/ 2 0 0T（4） 邊界條件的處理及剛度方程求解 邊界條件為： u1 v1 v2 u3 01aau202EAaav3P/2L1u401v40解得：u2PL / 4E

28、Av3PL(a 1)/ 4EAau40v402、 （15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長為 4, 如下圖 示），有一 P 載荷作用于中心點處，產(chǎn)生的位移撓度等于 1，應用四節(jié)點 12參數(shù)板彎單元計算所需載荷 P的大??？（已知彈性模量為 E，板厚為 t ， 泊桑比 =0.3 ，邊長為 2 的方板元素剛陣為：精品文檔精品文檔k12k13k11a31 a32 a33 ijk14解：局部坐標系）xiyiby如圖， 把薄板劃分為四個單元， 結點編號和單元編號如圖所示， 由薄板固支的邊界條件， 可以得到板邊界結點的結點位移和轉角都為零。 4 節(jié)點 12 參數(shù)的位形函數(shù)如下：w( ,)a1a

29、2a3a42 a5a62a73a8 2a9 2 a10 3 a11 3a12 3由于完全對稱，計算( 1)單元為例： 將 1,2,3,4 節(jié)點的位移和轉角條件w( , ) N = N1 N2 N3 N4Ni1(1 i )( 1 i )( 2 i i 22)81N i 1b i(1i )( 1 i )( 12)(i1，2，3，4， i，i取 1,1)8N i 1a i(1i )( 1 i )( 1 2)8B 矩陣計算如下： 精品文檔精品文檔NiBi 3 3t Ni (i1,2,3,4)2NiBi 3 3t4ab3b i (1i )a3a i (1i )bi i(3 2 3 2 4)b i (1 3 i )( 1 i )a i(1i )( 1 3 i )b i(3 2 2 i 1)0a i(3 2 2 i 1)B B1 B2 B3 B4k11B T D Bd d將每個單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣Ke由邊界條件 :w1 1 wi 0i 2,3 9wi0i1,2, 9wi0i1,2, 9即 1 0 0因此對于 1 節(jié)點處的節(jié)點力與位移關系為P Ke11