級數(shù)學分析期末期末復(fù)習

1、2011級數(shù)學分析（2）期末復(fù)習 第一部分 各章內(nèi)容基本要求 第6章 微分中值定理及其應(yīng)用(續(xù)) 1. 掌握凸函數(shù)的概念及其一階導數(shù)、二階導數(shù)刻畫，掌握凸函數(shù)的詹森(Jensen)不等式，能夠利用凸函數(shù)性質(zhì)證明一些不等式。 2. 掌握拐點的概念，理解其幾何意義，會通過函數(shù)的駐點、拐點、單調(diào)性、凸凹性以及周期性、奇偶性等描繪函數(shù)圖像。 例1. 應(yīng)用凸函數(shù)概念或性質(zhì)證明如下不等式： a?b1 ,baab 有(1) 對任意非負實數(shù));?abe?(aebe2 2a?barccot2arccotarccotba?,ab, (2) 對任何非負實數(shù)有； 22a?b?2/3?22 3）對任意實數(shù)（e?a,b)

2、.bb(lnalnlna?有? 2?2?b?a例2. 確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點： 123（1）y?lnx?;x3x?y?）（2 x 22）（3;xxln?y.x?1?y （4） 第7章 實數(shù)的完備性 1. 掌握區(qū)間套、聚點、開覆蓋的概念。會求指定點集的聚點，會判斷一族開區(qū)間是否構(gòu)成一個區(qū)間（開或半開或閉）的開覆蓋。 2. 理解區(qū)間套左端點為單調(diào)遞增有上界數(shù)列，右端點為單調(diào)遞減有下界數(shù)列。 3. 理解聚點的三種不同刻畫及其等價性，明白集合S可能有聚點，也可能沒有聚點，聚點可以在S中，也可以不在S中，有限點集一定沒有聚點，無限點集不一定有聚點。 4. 掌握聚點原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理的內(nèi)

3、容，弄清其成立的條件與結(jié)論，掌握一些反例。 5. 理解實數(shù)完備性六個基本定理(確界原理、聚點原理、單調(diào)有界收斂定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、Cauchy收斂準則)的等價性及其證明思想。 6. 會用實數(shù)完備性的有關(guān)定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性及其相關(guān)問題。 1? 的聚點，并證明之。 分別求例3.0,1)S?,1,2,3,.n?S|? 21n?1 / 12 1?n?1有且只有兩個聚點.?1? 和例4. 驗證數(shù)集?1?12 nln?b,a 設(shè)即滿足是一個嚴格開區(qū)間套,例5. nn,b?a?b?ba?a? 112n2n?.?1,2,a?,?bn?.?0lim?且a

4、b , 使得證明:存在唯一的一點nnnn?n 如果沒有a和b的嚴格單調(diào)性，結(jié)論是否成立？請說明。nn ?11? .問 設(shè) 例6. 1,2,nH? nn3?10,H? 能否覆蓋(1) H11 中選出有限個開區(qū)間覆蓋？(2) 能否從?,11110,?22011? f(x)?lim)b)f(a,f(a,b10?)2limfx(.例7. 設(shè): 證明在在內(nèi)連續(xù),且內(nèi)有?x?ax?b最大值或最小值. 例8. 用有限覆蓋定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性。 例9. 用閉區(qū)間套定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性。 ?a,?,?)afg上一致連續(xù)，且有在上連續(xù), 函數(shù)例10. 設(shè)函數(shù)在 ?)0(lim()?

5、f?xgx . x?f),?a【分段考慮，用有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致在上一致連續(xù). 證明: 連續(xù)性和上述極限】 不定積分第8章明白一個函數(shù)的任何兩個原函數(shù)之間只相差一個常掌握原函數(shù)與不定積分的概念，1. 數(shù)。理解函數(shù)的不定積分運算是求導運算的逆運算，一個函數(shù)的不定積分是一族函數(shù)， 2. 明白其幾何意義。 掌握不定積分的基本性質(zhì)：3. ?. (先積后導, 形式不變(1) ). ?dx)(x dxf()dx? xf()dx f(?fx), (2)?df(x)?f(c, x)?cxf(x)dx?f()?. (先導后積, 加個常數(shù)) 線性和的積分等于積分的線性和，即對(3), 有 ?R? , ? ?

6、 g(x)dxf(x)dx?dx(xf()?g(x)?. 4. 熟記14個基本導數(shù)公式及其來源。 5. 掌握三種基本積分法：分拆積分法、分部積分法、換元積分法及其道理和適用對象、應(yīng)用技巧，會用其計算某些函數(shù)（多項式函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其乘積）的不定積分。 2222會通過三角代換將含有6. a,x?a?x的積分轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分；會通過萬能代換將三角函數(shù)有理式的積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分；會通過根式代換將某些無理根式函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的不定積分；會通過因式分解和變量替換2 / 12 分殊積會計算三種特數(shù)積分轉(zhuǎn)化為三種特殊積分并理將有函x11? 。dx,dxd

7、x, ?kkk?ax?2222r?rxx 下列不定積分11.例 求22dxx)(x?1?. （2） . （1） dx 22x?1)1?xx(1?2?x3x2xx? 4 （3） ） . .dxe(2?2)dx2?dxcos2?. （5） （6） . dx 222?xsinsincosxdxcos3xcos2 ?1 , ?0(?),m? (8) . (7) abmdxaxdx2? (10) (9) .sinxdx 23?2xx?14dxxdx? (12) (11) 2103?2x?xx4?dxdx? (14) (13) 2221)x?1)xx?(dxxsin?. (16) (15) .dx )(1

8、?xxx dxxarctg? (18) (17) .dx )lnx1?2x()?xx(1dxdx).0a?(? (20) (19) , 3222xx?a?xdxdx? (21) (22) . 222xax?x?2?sindxdxcos,.?.,dd (24)(23) ?cos?cossinx1?sin?1?cosxsin?d.?(25) (26) .xlnxdx ?cos?sin?1? (27) .xdxxcosxarctgxdx. (28) 2x? (29) xdxecos3xdxarccos.(30) 3? 31（）xcosxdxsin. 3 / 12 2?,?c?x1?xf(x)dx(x

9、)dxxf. 求知 例12. 已f(x)?0且具有連續(xù)導函數(shù). 計算積分 例13. 設(shè)?(xf)； （1）（2）? .dxx)lnff(x)f(x?dx)(xlnf f(x)例14. 求下述積分的遞推公式 n? 。dxxI?arccosn 定積分第9章理解定積分的概念，明白其定義過程（分割、取點、近似求和、取極限）及幾何意1. 義，明白函數(shù)的定積分是函數(shù)的整體性質(zhì)，一個函數(shù)的定積分是一個數(shù)值（不是函 數(shù)），與函數(shù)本身以及積分區(qū)間（上下限）有關(guān)。掌握定積分的基本性質(zhì)：線性可加性、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)（有序性）及其推2. 論、反向反號性及其推論、積分第一中值定理。，并能夠證明下述三類函數(shù)的可積性

10、：連續(xù)函數(shù)、具有有9.3）3. 掌握可積準則（定理 限多個間斷點的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)（可能有無窮多個間斷點）。 理解可導、連續(xù)、可積、有界四種性質(zhì)的關(guān)系。4.；兩 理解可積函數(shù)的以下定性性質(zhì)：可積函數(shù)的絕對值函數(shù)的可積性（反之未必）5. 個可積函數(shù)之積的可積性。的變連續(xù)函數(shù)6. 掌握變上（下）限積分的定義與基本關(guān)系，掌握微積分學基本定理【x上（下）限積分函數(shù)是該函數(shù)的一個原函數(shù)】，掌握微積分學基本公式【牛?dtf(t)ab ，理解積分第二中值定理及其推論。-萊布尼茨公式】頓?)a?F(bf(t)dt?F()a7. 掌握不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。 8. 熟練掌握定積分的三種基本計算方法及其適

11、用對象：分拆法；分部法；換元法。 9. 會用換元積分法證明：周期函數(shù)在區(qū)間長度為一個周期的任何區(qū)間上積分值相同；奇函數(shù)在原點對稱的區(qū)間上積分為0；偶函數(shù)在原點對稱的區(qū)間上積分為一半?yún)^(qū)間上積分的兩倍。 10. 會用積分不等式、積分中值定理進行積分估值。 11. 會用定積分定義求有關(guān)數(shù)列極限。 12. 熟記推廣的（高階導數(shù)）分部積分公式，并會由此推導泰勒公式的積分型余項。 例15. 計算下列定積分 ?2 22?cosxxdx?x2dx； (2) (1) ； 00?xcos? 2?dxxdx?1sin2 ； ； (3) (4) 2x1?sin004 / 12 lnx2a 222?dxdx?xxa ；

12、 (6) (5) ； x10?sinx1 ?dxxarctanxdx2 (8) ； (7) ； xx?sincos00 12ln 2xx3?dxedxxe (10) ； ； (9) 00a2 22?dxxax4?xdx? ； （12 ） (11) ； 20?12011 24? dx)sinxln(1?xdxx?5x25 ； (14) (13) ； 12011? 5?2?11 ?3773?dxxsinx?arcsindx?x11?x?。 (16) (15) ； ? ?2?00?例16. 求下列極限（利用定積分）： ?n1k1? (2n?1)limn(n?1)coslimn。 (2) (1) ；

13、nnn?n?n1?k f(x)F(x) 若連續(xù)，求例17.2bx?dt)(x)?tfF(dt(x)?t)fF( (2) ； ； (1) x03x2t?dtxF()?e 。(3) xxx?x?1，求證：2)f(x?f(t)dtx?0?t。若連續(xù)，且滿足【求18.例 ?)xf(f(t)dt? 020 0】導，導數(shù)為 下列極限： 例19.求xx2?2dtsint2?dt?ln(t1)?0lim (2) 。 (1) ； 0lim 3? x20x?xx2?dtln(t?1)0例20. 比較下列各對定積分的大小 x?1?11? ?x?，?xdxxdx?sindx3，?dx?22. (1) (2) ； ?

14、300?02?例21. 證明下列不等式 ?5?7?x1dx1 ?1dx?2. (1) (2) ； 66x1?212002xcos1?2f(x)a,?bf(x)?0,?x?a,?b. 22.例在設(shè)連續(xù)，且滿足以下四種條件之一，證明5 / 12 b?； 0dx?f(x)0?f(x)，且（1）ab2?； 0dx?(x)f）（2ab()()0)xa,?bg(?；上任一連續(xù)函數(shù)均有（3）對 ?fdxxxgaa,?bg(a)?g(b)?0g(x)均數(shù)有連的續(xù)函上滿（4）對足附加條件b?. 【用反證法，取特殊的g】 ?0)g(x)dx?f(xa?0,1,xx?1，函數(shù)在0,1 例23.若遞增點列上有界且當)

15、(xfnn1。 ,2,3,.n?1?xx,0x)?f()f(x上可積且在0,1時，求證：?0)dx?f(xn0nx1?limdx?0 明【分段積分，積分不等式估值】。例24. 證 2x1?0?nf(x)是（- ?, + ?)上周期為p的連續(xù)周例25. 設(shè)期函數(shù)，證明：11px。 ?dtf(t)f(t)dt?lim px00?x1xl?f(x)lim。 ?lt)limdt?f()f(x，證明：26. 設(shè)連續(xù)，且?)在0,+例 x?x0?xf(x)a,?bf(a)?0，求證【用微分中值定理和積分不等式】連續(xù)，且在： 27.例 設(shè) 2)a(b? b? )xmaxf(f(x)dx? 2ab?a?x?(

16、y?)0,(0)?x?(x)(xy?0)是它的是連續(xù)的嚴格遞增函數(shù)， 設(shè)例28.反函數(shù)，證明【利用定積分的幾何意義】 ab?0).b?a?0,?y()dy?ab?(x)dx?( 00?(a)b?時成立。等號當且僅當 1x?dt)?(tf)F(x在)0,?xf()數(shù)證增 例29.設(shè)，求：在函遞續(xù)連且單調(diào) x0(0,?)上可導且單調(diào)遞增。【利用變上限積分性質(zhì)】 f(x)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，則 用換元積分法證明：若例30. 利22dx1aadx2aa2?)?)xf(xf( ；(1) 2xxxx2116 / 12 12aa32?0)?(?axf(x)dxxxf()dx 。(2) 200xxu? d

17、tdut)du?)f()(f(ux?u用分部積分法證明：例31. 利000例32. 證明有界閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。 第10章 定積分應(yīng)用 1. 掌握定積分的幾何意義，并會用其計算曲邊梯形的面積，推而廣之，計算由若干條曲線所圍圖形的面積。 2. 掌握光滑曲線的參數(shù)方程定義，并明白直角坐標表示是參數(shù)表示的特殊情況，極坐標表示可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)表示，會依據(jù)需要在參數(shù)方程、直角坐標方程和極坐標方程之間轉(zhuǎn)化。 3. 掌握已知截面面積函數(shù)求空間立體體積公式，并據(jù)此計算旋轉(zhuǎn)體體積。 4. 掌握平面曲線弧長計算公式與原理，理解曲線曲率的概念、含義及其二階導數(shù)表示，了解曲率圓與曲率半徑的概念，會在三種曲線表示下

18、，求已知曲線的弧長。 5. 理解微元法，掌握已知曲線圍繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積，會求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 6. 理解用定積分及微元法計算一些物理問題的思想，會通過物理學的點態(tài)（靜態(tài)）性質(zhì)解決一些整體（動態(tài)）性質(zhì)。 7. 牢記并會使用以下公式 曲邊梯形面積公式 1?b2? )d?(rAtt)tA?)?f(x)?f(x)dxAxd(y( ；。 122?a曲線弧長公式 ?b 22222?)ds?(r?x(t)?yr)(ts?)dt1?f?(x)dxs。 ；?a旋轉(zhuǎn)體體積公式 bb2?d)x)dxV?f(V?xA(x（ f = f(x ；) 繞x軸旋轉(zhuǎn)體）； aabb22?dt)(t)tV(t

19、)dt?pxyV?p)y(tx軸） y（繞x（繞。 軸）; aa旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e公式 ?b 222?(t)dt(t)x(x)dS?2?(yt)yxS?21f(x)?f 。 ；?a 例33. 求下列各曲線所圍成的圖形面積： (1) 直角坐標下： 2?);? (0?xy?x?sinx?xy?,? (i) 2,?y?xx?5.y (ii) (2) 極坐標下 ?rb).?a(ba?cos? 【注意對稱性】蚌線 (i) 7 / 12 ?cos1?r?3cosr?所圍圖形【注意求交點，確定積分區(qū)間】和。 (ii) (3) 參數(shù)方程下 223;tt?y?2t0,1x?2t?t?,?. (i) x?)t?2t)

20、?(0?tsint),?y?a(1?cosx?a(軸. 及擺線 (ii) 例34. 求下列平面圖形繞相關(guān)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： x22yx軸. 1?繞(1) 橢圓 22ba?xy?sinx,?y?0)?(0?x?. 繞軸 (2) 2y?0y2?),?cost)?(0?t?yx?a(t?sint),?a(1?軸. ，繞 (3) 旋輪線例35. 已知球半徑為R，試求高為h的球冠體積(hR) 例36. 求下列曲線的弧長： 2,?0?x?y?x1; (1) x?y?1; (2) 33?);2t?t?(0?tx?acos?y?asin星形線 (3) ?,?a?2?a(1?cosr0.),?0? 心臟線

21、 (4) 例37. 求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積： x?0?x,y?sinx?軸； (1) 繞y?2a.?t0,cost),?a?0?(1?xa(tsint),y?a? 繞直線(2) 第11章 反常積分 11?掌握兩種特殊的反常積分的定義，掌握兩種反常積分1. （無窮積分、瑕積分）dx px0?1?的收斂性質(zhì)，理解其本質(zhì)。 與dx px12. 掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的基本性質(zhì)（起點無關(guān)性、線性可加性、區(qū)間可加性）。 3. 掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的條件收斂與絕對收斂概念及其關(guān)系。 4. 掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的Cauchy收斂準則。 8 /

22、12 5. 掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的比較判別法及其極限形式，理解其原理，會用其判斷一些反常積分的（絕對）收斂性與發(fā)散性。 6. 掌握無窮積分的Dirichlet判別法與Abel判別法，理解其原理，會用其判斷一些無窮積分的（條件）收斂性與發(fā)散性，明白條件收斂的無窮積分的被積函數(shù)可能是無界?。函數(shù)，如 4?dxxsinx17. 理解暇積分的Dirichlet判別法與Abel判別法，明白其原理。 例38. 求下列反常積分的值： 1?dx; (1) 2x?12?2ax?dxxe(a?0); (2) 0dx?(p,q?0).； (3) 22?q)(x(x)?p012?dx;(lnx) (4

23、) 02x1?dx； (5) x?10b1?dx,(p?1). (6) p?xb?a例39. 討論下列反常積分的收斂性(包括絕對收斂或條件收斂) mx1?dxsin;dx0);m?(n, (1) (2) 2nxx?110 xcosx?1);(?cosxdx,dx; (4) (3) x?100102xlnx1e?11?;dxxdxsin (6) (5) ； ?2x?1x00dx?1p?;lnx|dx|; (7) (8) xsin001sinx?11?ln(1?)dx.;dx(10) ）（ 9 23x10 x2?lim()0.?收斂。求證:?xfxdx)xf()?a,x(f)且積分例,在 40.若

24、上單調(diào)下降ax?9 / 12 【用Cauchy收斂準則，考慮從u到2u的積分】 ?()lim()0? 與:,求證收斂?fxdxxdxff(x)【萊布- 例41.設(shè).對后者用牛頓aax?尼茨公式，再用反證法】 f(x)f(x)0,?)連續(xù)設(shè)例42. .求證在: 單調(diào)下降趨于零,?2?xdx)sin(xf 0收斂.【用分部積分法，再用Dirichlet判別法】 例43. 證明不等式: ?dx1?.? 22204x1?1111】【估計被積函數(shù)大小 ? 22242xxx1?12?1?11x?x?10 / 12 第二部分 各類問題基本方法 一、證明問題 1. 聚點問題求法與證明 按照定義及其等價刻畫，先

25、觀察（非孤立），再證明。 對一個區(qū)間S的覆蓋問題 I一族區(qū)間2. ?SI證明集合包含關(guān)系?。 ?3. 某些點的存在性與唯一性證明 （1） 用有限覆蓋定理。 （2） 用單調(diào)連續(xù)函數(shù)的介值性與單調(diào)性。 （3） 用連續(xù)函數(shù)的介值定理。 （4） 用微分中值定理或積分中值定理。 4. 可積性與不可積性證明 （1） 用定義，分割、取點、求和、取極限。 （2） 用已知結(jié)論：三類可積函數(shù)以及可積函數(shù)的線性和的可積性、積的可積性。 （3） 用可積的必要條件（用于證不可積性）。 （4） 用可積性判據(jù)： (i) 上和與下和趨于同一極限； (ii) 上和與下和之差（擾量）趨于0； (iii) 對任意分割T，當|T|?

26、0時，其黎曼和趨于一固定極限A。 5. 反常積分的斂散性證明 （1） 用定義（正常積分取極限）。 11?與 用比較判別法及其極限形式（絕對收斂），注意兩個特殊積分（2）dx px01?的斂散性條件以及一些常見的無窮小量、無窮大量。 dx px1（3） 用Dirichlet判別法與Abel判別法。 （4） 用已知結(jié)論及收斂的反常積分基本性質(zhì)（線性可加性、區(qū)間可加性）。 6. 積分等式證明 （1） 用區(qū)間可加性，分段。 （2） 用奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的定積分性質(zhì)。 （3） 用換元積分法與分部積分法。 （4） 用變上限積分性質(zhì)（微積分基本定理）。 7. 典型數(shù)列極限與組合恒等式證明 用定積分定義與積分計算。 8. 積分不等式證明 （1） 用積分單調(diào)性（積分不等式）。 （2） 用積分中值定理。 二、計算問題 1. 求不定積分（注意驗證，注意加一個任意常數(shù)） （1）用基本積分表。 11 / 12 ）用分拆法（適合于若干個簡單函數(shù)之和，包括多項式、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理2（ 。