級(jí)數(shù)學(xué)分析期末期末復(fù)習(xí)

1、2011級(jí)數(shù)學(xué)分析（2）期末復(fù)習(xí) 第一部分 各章內(nèi)容基本要求 第6章 微分中值定理及其應(yīng)用(續(xù)) 1. 掌握凸函數(shù)的概念及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)，掌握凸函數(shù)的詹森(Jensen)不等式，能夠利用凸函數(shù)性質(zhì)證明一些不等式。 2. 掌握拐點(diǎn)的概念，理解其幾何意義，會(huì)通過(guò)函數(shù)的駐點(diǎn)、拐點(diǎn)、單調(diào)性、凸凹性以及周期性、奇偶性等描繪函數(shù)圖像。 例1. 應(yīng)用凸函數(shù)概念或性質(zhì)證明如下不等式： a?b1 ,baab 有(1) 對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù));?abe?(aebe2 2a?barccot2arccotarccotba?,ab, (2) 對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)有； 22a?b?2/3?22 3）對(duì)任意實(shí)數(shù)（e?a,b)

2、.bb(lnalnlna?有? 2?2?b?a例2. 確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)： 123（1）y?lnx?;x3x?y?）（2 x 22）（3;xxln?y.x?1?y （4） 第7章 實(shí)數(shù)的完備性 1. 掌握區(qū)間套、聚點(diǎn)、開(kāi)覆蓋的概念。會(huì)求指定點(diǎn)集的聚點(diǎn)，會(huì)判斷一族開(kāi)區(qū)間是否構(gòu)成一個(gè)區(qū)間（開(kāi)或半開(kāi)或閉）的開(kāi)覆蓋。 2. 理解區(qū)間套左端點(diǎn)為單調(diào)遞增有上界數(shù)列，右端點(diǎn)為單調(diào)遞減有下界數(shù)列。 3. 理解聚點(diǎn)的三種不同刻畫(huà)及其等價(jià)性，明白集合S可能有聚點(diǎn)，也可能沒(méi)有聚點(diǎn)，聚點(diǎn)可以在S中，也可以不在S中，有限點(diǎn)集一定沒(méi)有聚點(diǎn)，無(wú)限點(diǎn)集不一定有聚點(diǎn)。 4. 掌握聚點(diǎn)原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理的內(nèi)

3、容，弄清其成立的條件與結(jié)論，掌握一些反例。 5. 理解實(shí)數(shù)完備性六個(gè)基本定理(確界原理、聚點(diǎn)原理、單調(diào)有界收斂定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則)的等價(jià)性及其證明思想。 6. 會(huì)用實(shí)數(shù)完備性的有關(guān)定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性及其相關(guān)問(wèn)題。 1? 的聚點(diǎn)，并證明之。 分別求例3.0,1)S?,1,2,3,.n?S|? 21n?1 / 12 1?n?1有且只有兩個(gè)聚點(diǎn).?1? 和例4. 驗(yàn)證數(shù)集?1?12 nln?b,a 設(shè)即滿(mǎn)足是一個(gè)嚴(yán)格開(kāi)區(qū)間套,例5. nn,b?a?b?ba?a? 112n2n?.?1,2,a?,?bn?.?0lim?且a

4、b , 使得證明:存在唯一的一點(diǎn)nnnn?n 如果沒(méi)有a和b的嚴(yán)格單調(diào)性，結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明。nn ?11? .問(wèn) 設(shè) 例6. 1,2,nH? nn3?10,H? 能否覆蓋(1) H11 中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋？(2) 能否從?,11110,?22011? f(x)?lim)b)f(a,f(a,b10?)2limfx(.例7. 設(shè): 證明在在內(nèi)連續(xù),且內(nèi)有?x?ax?b最大值或最小值. 例8. 用有限覆蓋定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性。 例9. 用閉區(qū)間套定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性。 ?a,?,?)afg上一致連續(xù)，且有在上連續(xù), 函數(shù)例10. 設(shè)函數(shù)在 ?)0(lim()?

5、f?xgx . x?f),?a【分段考慮，用有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致在上一致連續(xù). 證明: 連續(xù)性和上述極限】 不定積分第8章明白一個(gè)函數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常掌握原函數(shù)與不定積分的概念，1. 數(shù)。理解函數(shù)的不定積分運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，一個(gè)函數(shù)的不定積分是一族函數(shù)， 2. 明白其幾何意義。 掌握不定積分的基本性質(zhì)：3. ?. (先積后導(dǎo), 形式不變(1) ). ?dx)(x dxf()dx? xf()dx f(?fx), (2)?df(x)?f(c, x)?cxf(x)dx?f()?. (先導(dǎo)后積, 加個(gè)常數(shù)) 線(xiàn)性和的積分等于積分的線(xiàn)性和，即對(duì)(3), 有 ?R? , ? ?

6、 g(x)dxf(x)dx?dx(xf()?g(x)?. 4. 熟記14個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式及其來(lái)源。 5. 掌握三種基本積分法：分拆積分法、分部積分法、換元積分法及其道理和適用對(duì)象、應(yīng)用技巧，會(huì)用其計(jì)算某些函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其乘積）的不定積分。 2222會(huì)通過(guò)三角代換將含有6. a,x?a?x的積分轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分；會(huì)通過(guò)萬(wàn)能代換將三角函數(shù)有理式的積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分；會(huì)通過(guò)根式代換將某些無(wú)理根式函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的不定積分；會(huì)通過(guò)因式分解和變量替換2 / 12 分殊積會(huì)計(jì)算三種特?cái)?shù)積分轉(zhuǎn)化為三種特殊積分并理將有函x11? 。dx,dxd

7、x, ?kkk?ax?2222r?rxx 下列不定積分11.例 求22dxx)(x?1?. （2） . （1） dx 22x?1)1?xx(1?2?x3x2xx? 4 （3） ） . .dxe(2?2)dx2?dxcos2?. （5） （6） . dx 222?xsinsincosxdxcos3xcos2 ?1 , ?0(?),m? (8) . (7) abmdxaxdx2? (10) (9) .sinxdx 23?2xx?14dxxdx? (12) (11) 2103?2x?xx4?dxdx? (14) (13) 2221)x?1)xx?(dxxsin?. (16) (15) .dx )(1

8、?xxx dxxarctg? (18) (17) .dx )lnx1?2x()?xx(1dxdx).0a?(? (20) (19) , 3222xx?a?xdxdx? (21) (22) . 222xax?x?2?sindxdxcos,.?.,dd (24)(23) ?cos?cossinx1?sin?1?cosxsin?d.?(25) (26) .xlnxdx ?cos?sin?1? (27) .xdxxcosxarctgxdx. (28) 2x? (29) xdxecos3xdxarccos.(30) 3? 31（）xcosxdxsin. 3 / 12 2?,?c?x1?xf(x)dx(x

9、)dxxf. 求知 例12. 已f(x)?0且具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù). 計(jì)算積分 例13. 設(shè)?(xf)； （1）（2）? .dxx)lnff(x)f(x?dx)(xlnf f(x)例14. 求下述積分的遞推公式 n? 。dxxI?arccosn 定積分第9章理解定積分的概念，明白其定義過(guò)程（分割、取點(diǎn)、近似求和、取極限）及幾何意1. 義，明白函數(shù)的定積分是函數(shù)的整體性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)的定積分是一個(gè)數(shù)值（不是函 數(shù)），與函數(shù)本身以及積分區(qū)間（上下限）有關(guān)。掌握定積分的基本性質(zhì)：線(xiàn)性可加性、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)（有序性）及其推2. 論、反向反號(hào)性及其推論、積分第一中值定理。，并能夠證明下述三類(lèi)函數(shù)的可積性

10、：連續(xù)函數(shù)、具有有9.3）3. 掌握可積準(zhǔn)則（定理 限多個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)（可能有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)）。 理解可導(dǎo)、連續(xù)、可積、有界四種性質(zhì)的關(guān)系。4.；兩 理解可積函數(shù)的以下定性性質(zhì)：可積函數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)的可積性（反之未必）5. 個(gè)可積函數(shù)之積的可積性。的變連續(xù)函數(shù)6. 掌握變上（下）限積分的定義與基本關(guān)系，掌握微積分學(xué)基本定理【x上（下）限積分函數(shù)是該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)】，掌握微積分學(xué)基本公式【牛?dtf(t)ab ，理解積分第二中值定理及其推論。-萊布尼茨公式】頓?)a?F(bf(t)dt?F()a7. 掌握不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。 8. 熟練掌握定積分的三種基本計(jì)算方法及其適

11、用對(duì)象：分拆法；分部法；換元法。 9. 會(huì)用換元積分法證明：周期函數(shù)在區(qū)間長(zhǎng)度為一個(gè)周期的任何區(qū)間上積分值相同；奇函數(shù)在原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上積分為0；偶函數(shù)在原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上積分為一半?yún)^(qū)間上積分的兩倍。 10. 會(huì)用積分不等式、積分中值定理進(jìn)行積分估值。 11. 會(huì)用定積分定義求有關(guān)數(shù)列極限。 12. 熟記推廣的（高階導(dǎo)數(shù)）分部積分公式，并會(huì)由此推導(dǎo)泰勒公式的積分型余項(xiàng)。 例15. 計(jì)算下列定積分 ?2 22?cosxxdx?x2dx； (2) (1) ； 00?xcos? 2?dxxdx?1sin2 ； ； (3) (4) 2x1?sin004 / 12 lnx2a 222?dxdx?xxa ；

12、 (6) (5) ； x10?sinx1 ?dxxarctanxdx2 (8) ； (7) ； xx?sincos00 12ln 2xx3?dxedxxe (10) ； ； (9) 00a2 22?dxxax4?xdx? ； （12 ） (11) ； 20?12011 24? dx)sinxln(1?xdxx?5x25 ； (14) (13) ； 12011? 5?2?11 ?3773?dxxsinx?arcsindx?x11?x?。 (16) (15) ； ? ?2?00?例16. 求下列極限（利用定積分）： ?n1k1? (2n?1)limn(n?1)coslimn。 (2) (1) ；

13、nnn?n?n1?k f(x)F(x) 若連續(xù)，求例17.2bx?dt)(x)?tfF(dt(x)?t)fF( (2) ； ； (1) x03x2t?dtxF()?e 。(3) xxx?x?1，求證：2)f(x?f(t)dtx?0?t。若連續(xù)，且滿(mǎn)足【求18.例 ?)xf(f(t)dt? 020 0】導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為 下列極限： 例19.求xx2?2dtsint2?dt?ln(t1)?0lim (2) 。 (1) ； 0lim 3? x20x?xx2?dtln(t?1)0例20. 比較下列各對(duì)定積分的大小 x?1?11? ?x?，?xdxxdx?sindx3，?dx?22. (1) (2) ； ?

14、300?02?例21. 證明下列不等式 ?5?7?x1dx1 ?1dx?2. (1) (2) ； 66x1?212002xcos1?2f(x)a,?bf(x)?0,?x?a,?b. 22.例在設(shè)連續(xù)，且滿(mǎn)足以下四種條件之一，證明5 / 12 b?； 0dx?f(x)0?f(x)，且（1）ab2?； 0dx?(x)f）（2ab()()0)xa,?bg(?；上任一連續(xù)函數(shù)均有（3）對(duì) ?fdxxxgaa,?bg(a)?g(b)?0g(x)均數(shù)有連的續(xù)函上滿(mǎn)（4）對(duì)足附加條件b?. 【用反證法，取特殊的g】 ?0)g(x)dx?f(xa?0,1,xx?1，函數(shù)在0,1 例23.若遞增點(diǎn)列上有界且當(dāng))

15、(xfnn1。 ,2,3,.n?1?xx,0x)?f()f(x上可積且在0,1時(shí)，求證：?0)dx?f(xn0nx1?limdx?0 明【分段積分，積分不等式估值】。例24. 證 2x1?0?nf(x)是（- ?, + ?)上周期為p的連續(xù)周例25. 設(shè)期函數(shù)，證明：11px。 ?dtf(t)f(t)dt?lim px00?x1xl?f(x)lim。 ?lt)limdt?f()f(x，證明：26. 設(shè)連續(xù)，且?)在0,+例 x?x0?xf(x)a,?bf(a)?0，求證【用微分中值定理和積分不等式】連續(xù)，且在： 27.例 設(shè) 2)a(b? b? )xmaxf(f(x)dx? 2ab?a?x?(

16、y?)0,(0)?x?(x)(xy?0)是它的是連續(xù)的嚴(yán)格遞增函數(shù)， 設(shè)例28.反函數(shù)，證明【利用定積分的幾何意義】 ab?0).b?a?0,?y()dy?ab?(x)dx?( 00?(a)b?時(shí)成立。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 1x?dt)?(tf)F(x在)0,?xf()數(shù)證增 例29.設(shè)，求：在函遞續(xù)連且單調(diào) x0(0,?)上可導(dǎo)且單調(diào)遞增。【利用變上限積分性質(zhì)】 f(x)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，則 用換元積分法證明：若例30. 利22dx1aadx2aa2?)?)xf(xf( ；(1) 2xxxx2116 / 12 12aa32?0)?(?axf(x)dxxxf()dx 。(2) 200xxu? d

17、tdut)du?)f()(f(ux?u用分部積分法證明：例31. 利000例32. 證明有界閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。 第10章 定積分應(yīng)用 1. 掌握定積分的幾何意義，并會(huì)用其計(jì)算曲邊梯形的面積，推而廣之，計(jì)算由若干條曲線(xiàn)所圍圖形的面積。 2. 掌握光滑曲線(xiàn)的參數(shù)方程定義，并明白直角坐標(biāo)表示是參數(shù)表示的特殊情況，極坐標(biāo)表示可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)表示，會(huì)依據(jù)需要在參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間轉(zhuǎn)化。 3. 掌握已知截面面積函數(shù)求空間立體體積公式，并據(jù)此計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積。 4. 掌握平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)計(jì)算公式與原理，理解曲線(xiàn)曲率的概念、含義及其二階導(dǎo)數(shù)表示，了解曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)在三種曲線(xiàn)表示下

18、，求已知曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。 5. 理解微元法，掌握已知曲線(xiàn)圍繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積，會(huì)求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 6. 理解用定積分及微元法計(jì)算一些物理問(wèn)題的思想，會(huì)通過(guò)物理學(xué)的點(diǎn)態(tài)（靜態(tài)）性質(zhì)解決一些整體（動(dòng)態(tài)）性質(zhì)。 7. 牢記并會(huì)使用以下公式 曲邊梯形面積公式 1?b2? )d?(rAtt)tA?)?f(x)?f(x)dxAxd(y( ；。 122?a曲線(xiàn)弧長(zhǎng)公式 ?b 22222?)ds?(r?x(t)?yr)(ts?)dt1?f?(x)dxs。 ；?a旋轉(zhuǎn)體體積公式 bb2?d)x)dxV?f(V?xA(x（ f = f(x ；) 繞x軸旋轉(zhuǎn)體）； aabb22?dt)(t)tV(t

19、)dt?pxyV?p)y(tx軸） y（繞x（繞。 軸）; aa旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e公式 ?b 222?(t)dt(t)x(x)dS?2?(yt)yxS?21f(x)?f 。 ；?a 例33. 求下列各曲線(xiàn)所圍成的圖形面積： (1) 直角坐標(biāo)下： 2?);? (0?xy?x?sinx?xy?,? (i) 2,?y?xx?5.y (ii) (2) 極坐標(biāo)下 ?rb).?a(ba?cos? 【注意對(duì)稱(chēng)性】蚌線(xiàn) (i) 7 / 12 ?cos1?r?3cosr?所圍圖形【注意求交點(diǎn)，確定積分區(qū)間】和。 (ii) (3) 參數(shù)方程下 223;tt?y?2t0,1x?2t?t?,?. (i) x?)t?2t)

20、?(0?tsint),?y?a(1?cosx?a(軸. 及擺線(xiàn) (ii) 例34. 求下列平面圖形繞相關(guān)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： x22yx軸. 1?繞(1) 橢圓 22ba?xy?sinx,?y?0)?(0?x?. 繞軸 (2) 2y?0y2?),?cost)?(0?t?yx?a(t?sint),?a(1?軸. ，繞 (3) 旋輪線(xiàn)例35. 已知球半徑為R，試求高為h的球冠體積(hR) 例36. 求下列曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)： 2,?0?x?y?x1; (1) x?y?1; (2) 33?);2t?t?(0?tx?acos?y?asin星形線(xiàn) (3) ?,?a?2?a(1?cosr0.),?0? 心臟線(xiàn)

21、 (4) 例37. 求下列平面曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積： x?0?x,y?sinx?軸； (1) 繞y?2a.?t0,cost),?a?0?(1?xa(tsint),y?a? 繞直線(xiàn)(2) 第11章 反常積分 11?掌握兩種特殊的反常積分的定義，掌握兩種反常積分1. （無(wú)窮積分、瑕積分）dx px0?1?的收斂性質(zhì)，理解其本質(zhì)。 與dx px12. 掌握兩種反常積分（無(wú)窮積分、瑕積分）的基本性質(zhì)（起點(diǎn)無(wú)關(guān)性、線(xiàn)性可加性、區(qū)間可加性）。 3. 掌握兩種反常積分（無(wú)窮積分、瑕積分）的條件收斂與絕對(duì)收斂概念及其關(guān)系。 4. 掌握兩種反常積分（無(wú)窮積分、瑕積分）的Cauchy收斂準(zhǔn)則。 8 /

22、12 5. 掌握兩種反常積分（無(wú)窮積分、瑕積分）的比較判別法及其極限形式，理解其原理，會(huì)用其判斷一些反常積分的（絕對(duì)）收斂性與發(fā)散性。 6. 掌握無(wú)窮積分的Dirichlet判別法與Abel判別法，理解其原理，會(huì)用其判斷一些無(wú)窮積分的（條件）收斂性與發(fā)散性，明白條件收斂的無(wú)窮積分的被積函數(shù)可能是無(wú)界?。函數(shù)，如 4?dxxsinx17. 理解暇積分的Dirichlet判別法與Abel判別法，明白其原理。 例38. 求下列反常積分的值： 1?dx; (1) 2x?12?2ax?dxxe(a?0); (2) 0dx?(p,q?0).； (3) 22?q)(x(x)?p012?dx;(lnx) (4

23、) 02x1?dx； (5) x?10b1?dx,(p?1). (6) p?xb?a例39. 討論下列反常積分的收斂性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂) mx1?dxsin;dx0);m?(n, (1) (2) 2nxx?110 xcosx?1);(?cosxdx,dx; (4) (3) x?100102xlnx1e?11?;dxxdxsin (6) (5) ； ?2x?1x00dx?1p?;lnx|dx|; (7) (8) xsin001sinx?11?ln(1?)dx.;dx(10) ）（ 9 23x10 x2?lim()0.?收斂。求證:?xfxdx)xf()?a,x(f)且積分例,在 40.若

24、上單調(diào)下降ax?9 / 12 【用Cauchy收斂準(zhǔn)則，考慮從u到2u的積分】 ?()lim()0? 與:,求證收斂?fxdxxdxff(x)【萊布- 例41.設(shè).對(duì)后者用牛頓aax?尼茨公式，再用反證法】 f(x)f(x)0,?)連續(xù)設(shè)例42. .求證在: 單調(diào)下降趨于零,?2?xdx)sin(xf 0收斂.【用分部積分法，再用Dirichlet判別法】 例43. 證明不等式: ?dx1?.? 22204x1?1111】【估計(jì)被積函數(shù)大小 ? 22242xxx1?12?1?11x?x?10 / 12 第二部分 各類(lèi)問(wèn)題基本方法 一、證明問(wèn)題 1. 聚點(diǎn)問(wèn)題求法與證明 按照定義及其等價(jià)刻畫(huà)，先

25、觀察（非孤立），再證明。 對(duì)一個(gè)區(qū)間S的覆蓋問(wèn)題 I一族區(qū)間2. ?SI證明集合包含關(guān)系?。 ?3. 某些點(diǎn)的存在性與唯一性證明 （1） 用有限覆蓋定理。 （2） 用單調(diào)連續(xù)函數(shù)的介值性與單調(diào)性。 （3） 用連續(xù)函數(shù)的介值定理。 （4） 用微分中值定理或積分中值定理。 4. 可積性與不可積性證明 （1） 用定義，分割、取點(diǎn)、求和、取極限。 （2） 用已知結(jié)論：三類(lèi)可積函數(shù)以及可積函數(shù)的線(xiàn)性和的可積性、積的可積性。 （3） 用可積的必要條件（用于證不可積性）。 （4） 用可積性判據(jù)： (i) 上和與下和趨于同一極限； (ii) 上和與下和之差（擾量）趨于0； (iii) 對(duì)任意分割T，當(dāng)|T|?

26、0時(shí)，其黎曼和趨于一固定極限A。 5. 反常積分的斂散性證明 （1） 用定義（正常積分取極限）。 11?與 用比較判別法及其極限形式（絕對(duì)收斂），注意兩個(gè)特殊積分（2）dx px01?的斂散性條件以及一些常見(jiàn)的無(wú)窮小量、無(wú)窮大量。 dx px1（3） 用Dirichlet判別法與Abel判別法。 （4） 用已知結(jié)論及收斂的反常積分基本性質(zhì)（線(xiàn)性可加性、區(qū)間可加性）。 6. 積分等式證明 （1） 用區(qū)間可加性，分段。 （2） 用奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的定積分性質(zhì)。 （3） 用換元積分法與分部積分法。 （4） 用變上限積分性質(zhì)（微積分基本定理）。 7. 典型數(shù)列極限與組合恒等式證明 用定積分定義與積分計(jì)算。 8. 積分不等式證明 （1） 用積分單調(diào)性（積分不等式）。 （2） 用積分中值定理。 二、計(jì)算問(wèn)題 1. 求不定積分（注意驗(yàn)證，注意加一個(gè)任意常數(shù)） （1）用基本積分表。 11 / 12 ）用分拆法（適合于若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)之和，包括多項(xiàng)式、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理2（ 。