第五講立體幾何問(wèn)題的題型與方法

1、第五講立體幾何問(wèn)題的題型與方法一、 考試內(nèi)容：9 （A）直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)，平面圖形直觀圖的畫(huà)法。平行直線，對(duì)應(yīng)邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線 的距離。直線和平面平行的判定與性質(zhì)，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到平面的距離，斜 線在平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理。平行平面的判定與性質(zhì)，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個(gè)平面垂直的判 定與性質(zhì)。多面體、棱柱、棱錐、正多面體、球。二、考試要求（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，能夠 畫(huà)出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的

2、圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān) 系。（2）了解空兩條直線的位置關(guān)系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理， 掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線 時(shí)的距離）。（3）了解空間直線和平面的位置關(guān)系，掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理， 理解直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成 的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。（4）了解平面與平面的位置關(guān)系，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。掌握二 面角、二面角的平面角、兩個(gè)平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì) 定理。（5 ）會(huì)用

3、反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題。（6） 了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。（7 ）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)直棱柱的直觀圖。（8 ）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)正棱錐的直觀圖。（9）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。（10）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1. 在掌握直線與平面的位置關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置 關(guān)系）的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行和垂直的判定依據(jù)（定義、公理和定理）、判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問(wèn)題的解決過(guò)程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能， 并探索立體幾何中論證問(wèn)題的規(guī)律；在有關(guān)問(wèn)題的

4、分析與解決的過(guò)程中提高邏輯思維能力、 空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.2在掌握空間角（兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角）概念的基礎(chǔ)上，掌握它們的求法 （其基本方法是分別作出這些角，并將它們置于某個(gè)三角形內(nèi)通 過(guò)計(jì)算求出它們的大?。辉诮鉀Q有關(guān)空間角的問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步鞏固關(guān)于直線和平面 的平行垂直的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，掌握作平行線（面）和垂直線（面）的技能；通過(guò)有關(guān)空間角的問(wèn)題的解決，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力.3通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生更好地掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念、性質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用 到解題過(guò)程中通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握基本的立體幾何解題方

5、法和常用解題技巧，發(fā)掘不同 問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解題能力.4 在學(xué)生解答問(wèn)題的過(guò)程中，注意培養(yǎng)他們的語(yǔ)言表述能力和“說(shuō)話要有根據(jù)”的邏 輯思維的習(xí)慣、提高思維品質(zhì)使學(xué)生掌握化歸思想，特別是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面 幾何問(wèn)題的思想意識(shí)和方法，并提高空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力.5. 使學(xué)生更好地理解多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積及其計(jì)算方法，能夠熟練地使用分割與補(bǔ) 形求體積，提高空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力.四、雙基透視高考立體幾何試題一般共有 4道（選擇、填空題3道,解答題1道）,共計(jì)總分27分左 右,考查的知識(shí)點(diǎn)在 20個(gè)以內(nèi).選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題，而解答題著重考查立幾中的邏輯

6、推理型問(wèn)題 ，當(dāng)然，二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考 ，少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展從歷年的考題變化 看，以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門(mén)話題1 有關(guān)平行與垂直（線線、線面及面面）的問(wèn)題，是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，大 量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問(wèn)題（包括論證、計(jì)算角、與距離等 ）中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問(wèn)題著手，通過(guò) 較為基本問(wèn)題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與概括，掌握立體幾何 中解決問(wèn)題的規(guī)律一一充分利用線線平行（垂直）

7、、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力.2. 判定兩個(gè)平面平行的方法：（1）根據(jù)定義一一證明兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）判定定理一一證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；（3）證明兩平面同垂直于一條直線。3 兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：由定義知：“兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。由定義推得：“兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行”。一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已

8、知平面平行。以上性質(zhì)、在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過(guò)程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。4空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面 角等解這類問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決.空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定 量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角張（0,-，直線與平面所成的角 灰!|0 -二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，2I0, 2 其平面角張（0, n 對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)

9、一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一 個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與 垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過(guò)空間 角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力.如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；求二面角:-1 -沖勺平面角（記作 m通常有以下幾種方法：（1）根據(jù)定義；（2）過(guò)棱I上任一點(diǎn) 0作棱I的垂面，設(shè) n :.= OA, n 1 = OB,則/ AOB =71（圖1）；（3）利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面

10、內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面一：的垂線AB（垂足為B）,或棱I的垂線AC（垂足為C），連結(jié)AC,則/ ACB =二或/ ACB =二一二（圖2）；:,（4）設(shè)A為平面：外任一點(diǎn)，AB丄:,垂足為B, AC丄：,垂足為C,則/ BAC =二或/ BAC =二一（圖 3）； 利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形F的面積為S, F在平面內(nèi)的射影圖形的面I積為S:則cos 0=.圖3_ I_OY 一 jrABS圖1圖25.空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之 間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作

11、出表示距離的線段；二證一一證明它就是所 要求的距離；三算一一計(jì)算其值此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離.6. 棱柱的概念和性質(zhì)理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確“棱柱 直棱柱 正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體直平行六面體f長(zhǎng)方體正四棱柱.正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以 求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的 一些其特有的性質(zhì)，如

12、長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理是一個(gè)重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還 須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行 四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問(wèn)題是一常用的解題方法。多面體與旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題離不開(kāi)構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因 此，很多問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 第一部分的問(wèn)題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等.從這個(gè) 角度來(lái)看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn).多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題是 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體課程當(dāng)中相對(duì)獨(dú)立的課題.體積和面積、長(zhǎng)度一樣，都是度 量問(wèn)題.常用

13、“分割與補(bǔ)形”，算出了這些幾何體的體積.7. 歐拉公式：如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為 V,面數(shù)F,棱數(shù)E,那么V+F-E= 2.計(jì)算棱數(shù)E常見(jiàn)方法：（1）E = V+F-2； （2）E =各面多邊形邊數(shù)和的一半；（3）E =頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半。&經(jīng)緯度及球面距離根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè) 線面角的度數(shù)，設(shè)球 0的地軸為NS，圓0是0。緯線，半圓NAS是0經(jīng)線，若某地 P 是在東矣120 ，北緯40,我們可以作出過(guò) P的經(jīng)線NPS交赤道于B,過(guò)P的緯線圈圓 Oi交NAS于A，那么則應(yīng)有：/ AO!P=120 （二面角的平面角），/ POB=40。

14、（線面角）。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，因此，求兩點(diǎn)間的球面 距離的關(guān)鍵就在于求出過(guò)這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。例如，可以循著如下的程序求 A、P兩點(diǎn)的球面距離。線段AP的長(zhǎng)/ AOP的弧度數(shù)大圓劣弧AP的長(zhǎng)9.球的表面積及體積公式_ 243S球表=4 n RV球=n R3球的體積公式可以這樣來(lái)考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線的小“曲邊三角 形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)，得到若干個(gè)小三棱 錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無(wú)限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三

15、棱 錐底面面積的和就變成球面面積，小三棱錐高變成球半徑 由于第n個(gè)小三棱錐的體積=1112Snhn （Sn為該小三棱錐的底面積，hn為小三棱錐咼），所以V球=S球面 R= 4 n R R33343=n R 3R,而在實(shí)際問(wèn)題中常給出球的外在應(yīng)用球體積公式時(shí)要注意公式中給出的是球半徑 徑（直徑）球與其它幾何體的切接問(wèn)題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量 關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問(wèn)題平面化。10.主要題型：以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問(wèn)題。利用歐拉公式求解多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應(yīng)的大

16、圓，轉(zhuǎn) 化為平面圖形求解。五、注意事項(xiàng)1 須明確直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體中所述的兩個(gè)平面是指兩個(gè)不重合的平面。2.與“直線與直線平行”、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”是 指“二平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。由此可知，空間兩個(gè)幾何元素（點(diǎn)、直線、平面稱為空間三個(gè)幾 何元素）間“沒(méi)有公共點(diǎn)”時(shí)，它們間的關(guān)系均稱為“互相平行”。要善于運(yùn)用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和性質(zhì)。3 .注意兩個(gè)平行平面的畫(huà)法一一直觀地反映兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，將表示兩個(gè)平面的平 行四邊形畫(huà)成對(duì)應(yīng)邊平行。兩個(gè)平面平行的寫(xiě)法與線、線平行，線、面平行的寫(xiě)法一議， 即將“平面a平行于平面P ”，記為“ a

17、 / B ”。4.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有“兩平面平行”和“兩平面相交”兩種關(guān)系。5在明確“兩個(gè)平行平面的公垂線” 、“兩個(gè)平行平面的公垂線段”、“兩個(gè)平行平面的 距離”的概念后，應(yīng)該注意到，兩平行平面間的公垂線段有無(wú)數(shù)條，但其長(zhǎng)度都相等一一 是唯一確定的值，且兩平行平面間的公垂線段，是夾在兩平行平面間的所有線段中最短的 線段，此外還須注意到，兩平行平面間的距離可能化為“其中一個(gè)平面內(nèi)的直線到另一個(gè)平面的距離”又可轉(zhuǎn)化為“其中一個(gè)面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。6三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它 們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通?！熬€線角

18、抓平移，線面角找射影，面面 角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二面角大小出通過(guò)coi = 射來(lái)求。S原7有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平 行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面 的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積 法”來(lái)求。六、范例分析例1、已知水平平面內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為二,如果將角二的平分線l繞著其頂點(diǎn),都成角A.、一 tan 又a、 22如圖2所示，過(guò)空間一點(diǎn) O分別作a II a,b II b,則所求直線即為過(guò)點(diǎn) O且與a,b都成60角的直線。0 V

19、=110，二55二將兩對(duì)對(duì)頂角的平分線繞2個(gè)面；cO點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與a ,b都成60 0角的直線。故過(guò)點(diǎn)0與a,b都成60角的直線有4條，二-110、70.從而選D.過(guò)點(diǎn)O分別作a II a,b II b,則過(guò)點(diǎn)O有三條直線與 ba,b所成角都為60，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)O有三條直線與a,b所成角都為600，如圖3示，如果r - 300,或r -5O0,則v -1500或v - 1300，過(guò)O點(diǎn)只有兩條直線與 a,b都成60角。如果二=900，則v - 900，那么過(guò)點(diǎn) O有四條直線與a ,b 所成角都為600。如果 60 0，則v - 1200,此時(shí)過(guò)點(diǎn) O有三條直線與a ,b 所成

20、角都為600。其中一條正是H角的平分線.如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個(gè)面如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個(gè)面.說(shuō)明：本組新題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題例2、如圖1，設(shè)ABC-A1 B1C1是直三棱柱，F(xiàn)是A1 B 1的中點(diǎn)，且 AB 二 2AAi=：2乳 AC = BC = 73aBi(1) 求證：AF丄A1C;(2)求二面角C-AF-B的大小.分析：先來(lái)看第1問(wèn)，我們“倒過(guò)來(lái)”分析如果已經(jīng)證得AF丄A1 C,則注意到因?yàn)锳B=2AA=2a, ABC-A B1 C1是直三棱柱，從而若設(shè) E

21、是AB的中點(diǎn)，就有 A1 EAF,即卩AF丄平 面A1CE那么，如果我們能夠先證明AF丄平面A1CE則就可以證得 AF丄C,而這由CE丄平面AA1B1B立得.再來(lái)看第2問(wèn)為計(jì)算二面角C-AF-B的大小，我們需要找到二面角 C-AF-B的平面角.由 前面的分析知，CEL平面AA, B1 B,而AF丄A1E,所以，若設(shè)G是AF與A1E的中點(diǎn)，則/ CGE 即為二面角C-AF-B的平面角，再計(jì)算厶 CGE各邊的長(zhǎng)度即可求出所求二面角的大小.解： 如圖2,設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接CE E& .由ABC-A1B1C1是直三棱柱，知AA,丄平面 ABC而CE平面ABC所以CE!, AB=2AA=2a, AA

22、1=a, Af 丄AE 知 AA1FE是正方形，從而 AF丄A1E.而 A1E是 A1C 在平面 AA1FE上的射影，故 AF丄A1 C; 設(shè)G是AB1與A1E的中點(diǎn)，連接 CG因?yàn)镃E!平面 AA B1 B, AF丄A1 E,由三垂線 所以/ CGE就是二面角 C-AF-B的平面角. AA1FE是正方形，AA1 =a, 亠 -2定理，CGL AF,a ,- - CG =(2a2 一2 = a，_ Ta _ 3 , / CGE= 60 ,從而二面角C-AF-B的大小為60。 EG2八a 2說(shuō)明：假設(shè)欲證之結(jié)論成立，“倒著”分析的方法是非常有效的方法，往往能夠幫助我們迅速地找到解題的思路.直線、

23、平面、簡(jiǎn)單幾何體關(guān)于平行與垂直的問(wèn)題都可以使用這種分析方法但需要注意的是，證明的過(guò)程必須是“正方向”的，防止在證明過(guò)程中用 到欲證之結(jié)論，從而形成“循環(huán)論證”的邏輯錯(cuò)誤.例3、 一條長(zhǎng)為2的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面 ：、1之間，AB與:成450角，與 B兩點(diǎn)分別作兩平面交線的垂線 AC BD求平面ABD與平面ABC所成的二二 tan/ CGE=CG：成30角，過(guò)A、 面角的大小.A以CD為軸，將平D/ 2面BCD旋轉(zhuǎn)至與 平面ACD共面A45oZv-DC：dOF jB以AB為軸，將平面ABD旋轉(zhuǎn)至與 平面ABC共面/ 211E i，Ari D- B圖2圖3過(guò)D點(diǎn)作DE丄AB于E,過(guò)E作EF丄

24、AB交BC于F（圖1），連結(jié)DF，則/圖1解法1、DEF即為二面角 D AB C的平面角.為計(jì)算 DEF各邊的長(zhǎng)，我們不妨畫(huà)出兩個(gè)有關(guān)的移出圖.在圖1=1 , EF = 1 ,A 3在厶BDF中，由余弦定理：2 .在移出圖3中，T cos B = -BD3 BC2 2 2DF = BD + BF 2BD X BF X cosB中，可計(jì)算得DE232、22 2 -2 2(2 ) 2 2 X 2 X 2丿333(注：其實(shí)，由于 AB丄DE, AB丄EF, AC丄平面-, AC丄DF .23 .AB丄平面DEF , / 又 AC丄平面-, AC丄DF . DF丄平面 ABC,RtA BDC斜邊BC上

25、的高，于是由 BC X DF = CD X BD可直接求得 DF的長(zhǎng).）AB 丄 DF .DF丄BC ,即卩DF是i 八)2-23 =32i i332 2 2在厶DEF中，由余弦定理：cos/ DEF = 史 蘭 22DE EF33 .此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小.3解法2、過(guò)D點(diǎn)作DE丄AB于E,過(guò)C作CH丄AB于H，貝U HE是二異面直線 CH和 DE的公垂線段，CD即二異面直線上兩點(diǎn) C、D間的距離運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離 公式，得：CD = DE + CH + EH 2DE X CH X cos r(*)(注：這里的7是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小，當(dāng) 異

26、面直線CH與DE所成的角；當(dāng)90v二v i80o，異面直線所成的角為T(mén) CD = DE = i, CH = -I3 , HE =丄，從而算得 cos 日=_ ,223/ DEF = arccos0。90,180J .)n= arccos說(shuō)明：(i)解空間圖形的計(jì)算問(wèn)題，首先要解決定位問(wèn)題(其中最基本的是確定點(diǎn)在直 線、點(diǎn)在平面上的射影)，其次才是定量問(wèn)題畫(huà)空間圖形的“平面移出圖”是解決定位難 的有效方法，必須熟練掌握.(2)解法2具有普遍意義，特別是公式 (*)，?？蛇_(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.例4、如圖1，直三棱柱 ABC- A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，D為棱BC上的一點(diǎn)，在截面 ADC中，若/

27、ADC = 90 ,求二面角 D ACi C的大小.解：由已知，直三棱柱的側(cè)面均為正方形，/ / ADCi = 90： 即卩 AD丄 CiD.又 CCi丄平面 ABC, AD 丄CCi. AD丄側(cè)面 BCi,. AD丄 BC, D為BC的中點(diǎn).AlBi圖1平面ADCi丄側(cè)面 BCi, CE丄平面ADCi. 取 ACi的中點(diǎn)F,連結(jié)EF，貝U EF丄ACi(三垂線定理CE在 Rt EFC 中，sin / EFC =CF過(guò)C作CE丄CiD于E,v連結(jié) CF，貝U CF丄ACi.), / EFC是二面角D ACi - C的平面角.IT BC= CCi = a,易求 CE = , CF = a . 、

28、52 sin / EFC = , / EFC = arcsin5i05 二面角 D ACi C的大小為arcsin.5例5、已知PA!矩形ABCD所在平面，M N分別是AB PC的中點(diǎn).(1) 求證：MNL AB;(2) 設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角 0，問(wèn)能否確定B使直線MN是異 面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng) 0的值；若不能，說(shuō)明理由.解：(i)T PA丄矩形 ABCD , BC丄AB , PB丄BC, PA丄AC，即 PBC和厶PAC都是以PC為斜邊的直角三角形，AN =丄PC = BN，又M為AB的中點(diǎn)， MN丄AB.2(2 )T AD丄CD , PD丄CD.

29、 /PDA為所求二面角的平面角，即/ PDA= 0.設(shè) AB= a, PA=b, AD=d，則 PM 二 b2 . ia2 ,4在 AEC中,cos AECE2 曲一(2 OA)2(AE . 2OA)(AE . 2OA)0.AE22AE EC故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于說(shuō)明：本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力，具有一定的探索性，是一道設(shè)計(jì)新穎，特征鮮明的好題.例7、如圖，直三棱柱ABC-A 1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90 , AC=1 ,C點(diǎn)到AB 1的距離為CE= , D為AB的中點(diǎn).2(1) 求證：AB1丄平面CED

30、;(2) 求異面直線 AB1與CD之間的距離；(3) 求二面角 B1 AC B的平面角.解：(1 )T D是AB中點(diǎn)， ABC為等腰直角三角形，/ ABC=90,. CD 丄 AB 又 AA1 丄平面 ABC , CD 丄 AA 1.90 .CM二:：d2a2 設(shè)PM=CM則由N為PC的中點(diǎn)，二MN丄PC4由(1)可知 MN丄AB , MN為PC與AB的公垂線，這時(shí) PA=AD ,二0 =45 例6、 四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形，PB丄面ABCD.(1) 若面PAD與面ABCD所成的二面角為60,求這個(gè)四棱錐的體積；(2) 證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二

31、面角恒大于 90 解：(1)正方形ABCD是四棱錐PABCD的底面，其面積為a ,從而只要算出四棱錐的高就行了PB _ 面 ABCD, BA是PA在面ABCD 上的射影.又DA丄AB , PA丄DA ,/ PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，/ PAB=60 .而 PB 是四棱錐 P ABCD 的高，PB=AB tan60 =3 a,1 .23 3. V錐3a aa .33(2) 不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.作AE丄DP，垂足為E,連結(jié)。，則厶ADE CDE ,.AE二CE,. CE D=90 ,故.C E A1面PAD與面PCD所成的二面角的平面

32、角EO 丄 AC ,設(shè)AC與DB相交于點(diǎn) O,連結(jié)EO,則2a = OA ： AE ： AD 二 a.2 DE是異面直線 AB1與CD的公垂線段12 ； CD 丄平面 A1B1BA CD 丄 AB1, 又 CE丄 AB1,. AB 1平面 CDE ;(2) 由 CD 丄平面 A1B1BA CD 丄 DE/ AB1平面 CDE DE 丄 AB1,V3V2/22 CE= , AC=1 , CD= . DE (CE)2 -(CD)2 二 22(3) 連結(jié)BQ，易證BQ丄AC,又BC丄AC , / B1CB是二面角B1 AC B的平面角.在 RtA CEA 中，CE= , BC=AC=1, / BiA

33、C=602- ABi1 2=2 , BBi - (ABi)2二(AB)2 2cos60tgBi CB2BiCB = arctg 2 .BC說(shuō)明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提，當(dāng)然，準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石 例8、如圖，在三棱錐 S ABC中，SA_平面ABC，AB=AC=i，SA =2，D為BC 的中點(diǎn)(1) 判斷AD與SB能否垂直，并說(shuō)明理由；鈍角，求二面角 S BC A的(2) 若三棱錐S ABC的體積為，且.BAC為6平面角的正切值；(3) 在(n)的條件下，求點(diǎn) A到平面SBQ的距離.解：(i)因?yàn)镾B在底面ABC上的射影AB與AD不垂 直，否則與 AB=

34、AC且D為BC的中點(diǎn)矛盾，所以 AD與 SB不垂直；(2)設(shè)一BC -)則 V i2 2= -326解得 si nr3，所以 v -600 (舍)，二 T200 .SA_平面 ABC, AB=AC, D 為 BC 的中點(diǎn).AD_BC, SD_BC ,SA 則乙SDA是二面角S BC A的平面角在RtASDA中，tan. SDA二 =4,AD故二面角的正切值為4;(3 )由(2)知，BC_平面SDA，所以平面 SBC_平面SDA，過(guò)點(diǎn)A作AE _ SD,則AE _平面SBC,于是點(diǎn)A到平面SBC的距離為AE,2、i7i7AB=2, D在內(nèi)，三角形2JH從而AE =AD sin /SDA二 即A到

35、平面SBC的距離為 i7例9、如圖al 是i20。的二面角，A, B兩點(diǎn)在棱上,ABD是等腰直角三角形，/ DAB=90, C在一：內(nèi)，二ABC是等腰直角三角形/ ACB= 90.(I)求三棱錐D ABC的體積；(2 )求二面角 D AC B的大??；(3)求異面直線 AB、CD所成的角解：(1)過(guò)D向平面做垂線，垂足為 0,連強(qiáng)0A并延長(zhǎng)至E.：AB_AD,0A為DA在平面上的射影，.AB_0A. . DAE為二面角al 一：的 平面角 DAE =120 , DAO =60 . AD = AB =2, DO = $3.ABC是等腰直角三角形，斜邊 AB=2. S/BC =1,又D到平面1的距離

36、DO= . 3.-V D -ABC 3(2)過(guò)O在1內(nèi)作OM丄AC,交AC的反向延長(zhǎng)線于 M,連結(jié)DM.則AC丄DM . /-Z DMO為二面角 D AC B的平面角.又在 DOA中，OA=2cos60 =1.且EOAM = CAE = 45 ,. OM 2 tan NDMO = , 6. E DMO = arctan、6.2(3)在1平在內(nèi)，過(guò)C作AB的平行線交AE于F , Z DCF為異面直線AB、CD所成的角.；AB_AF,. CF_AF . CF_DF,又.CAF=45,即ACF為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即 ABC斜邊上的高， AF =CF =1.DF2 =AD2 A

37、F2 2AD AF cos120 =7. tan DCF =匹=47. tan DCF = ：、：7. _CF異面直線AB,CD所成的角為arctan、. 7.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離 不必證明。例10、在平面幾何中有如下特性：之比為定值。類比上述性質(zhì)，請(qǐng)敘述在立體幾何中相應(yīng)地特性，并畫(huà)出圖形。 類比性質(zhì)敘述如下AO解：立體幾何中相應(yīng)地性質(zhì)：從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的的距離之比為定值。從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離之比為定值。在空間，從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值。在空間，射線

38、OD上任意一點(diǎn)P到射線OA、OB、OC的距離之比不變。在空間，射線 OD上任意一點(diǎn)P到平面AOB、BOC、COA的距離之比不變。例11、已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，它被過(guò)底面中心O1且平行于母線 AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)(焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離) 為p的拋物線.(1) 求圓錐的母線與底面所成的角；(2) 求圓錐的全面積.解：(1)設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長(zhǎng)為I,由題意得：二I =2：R,即 cos ACO =,I 2所以母線和底面所成的角為600.(2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中AC 的交點(diǎn)，貝U OO/AB 且 00 =AB2 在截面MON內(nèi)，以O(shè)Oi所在有向

39、直線為 y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2= 2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(R, - R),代入方程得2R = 2p ( R),得 R=2p, I=2R=4p. 圓錐的全面積為?RI亠,R2 =8p2亠4p2 =12?.p2.說(shuō)明：將立體幾何與解析幾何相鏈接，頗具新意，預(yù)示了高考 命題的新動(dòng)向.類似請(qǐng)思考如下問(wèn)題：一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 為5,短軸長(zhǎng)為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母 線長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積等于例12、在直角梯形 ABCD中，/ A=Z D=90, AB CD SD丄平面ABCD AB=AD=a S D= . 2a，在線段 S

40、A上取一點(diǎn)E (不含端點(diǎn)) 使EC=AC截面CDE與 SB交于點(diǎn)F。(1) 求證：四邊形 EFCD為直角梯形； (2 )求二面角B-EF-C的平面角的正切值；CD(3)設(shè)SB的中點(diǎn)為M當(dāng)C的值是多少時(shí)，能使 DMCAB為直角三角形？請(qǐng)給出證明.解：(1)v CD/ AB AB 平面 SAB CD/平面 SAB面 EFCD1 面 SAB=EF,- CD/ EF T=90,. CD _AD,又 SD _面 ABCD SD _CD . CD 平面 SAD CD _ ED 又 EF : AB ：: CD二EFCD為直角梯形(2) ； CD _平面 SAD, EF / CD,EF i 平面 SAD二AE

41、丄EF, DE丄EF,二厶ED即為二面角 D EF C的平面ED CD, Rt CDE 中 EC2 二 ED2 CD2 而 AC 2 = AD 2 CD 2 且 AC = EC 二 ED =AD =a, ”ADE 為等腰三角形,，三aed *Ead 二tanZAEDSE MDBCD 當(dāng)2時(shí)，, MC為直角三角形.AB AB =a,. CD =2a,BD 二 AB2 - AD2 二 2a,. BDC =45 . BC 二 2a, BC _ BD , .SD _ 平面 ABCD,. SD_BC,. BC _ 平面 SBD .在.SBD 中，SD=DB,M 為 SB 中點(diǎn)，.MD _SB.MD 平面

42、SBC,MC 平面SBC, . MD _MC . .DMC為直角三角形。例13、如圖，幾何體 ABCDE中， ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面 ABC , 且EA=AB=2a , DC=a , F、G分別為 EB和AB的中點(diǎn).(1) 求證：FD /平面ABC ;(2) 求證：AF丄BD ;(3) 求二面角 B FC G的正切值.解：/ F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，1- FG=EA，又EA、DC都垂直于面 ABC,2四邊形FGCD為平行四邊形， FD / GC, FD /面 ABC.(2)t AB=EA，且 F 為 EB 中點(diǎn)， AF 丄 EBFG=DC,又FG又GC=面ABC ,AB

43、C/ EA , EA 丄 FG丄面ABC / G為等邊 ABC , AB邊的中點(diǎn)， AG丄GC. AF 丄 GC 又 FD / GC , AF 丄 FD 由、知 AF丄面EBD，又BDU面EBD , AF丄BD.(3)由(1)、( 2)知 FG 丄 GB , GC 丄 GB, GB 丄面 GCF.過(guò)G作GH丄FC,垂足為 H，連HB , HB丄FC. / GHB易求GH例14、如圖，P、Q分別是線段AD1和QB=5 : 12.(1)，為二面角B-FC-G的平面角.3a, tan /GHB-233a2正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1 ,BD 上的點(diǎn)，且 D1P : PA=DQ :求證PQ/平面CDD求證PQ丄AD ;求線段PQ的長(zhǎng).解：(1)在平面AD1 內(nèi)，作 PP1 / AD 與 DD1 交于點(diǎn)已，在平面AC內(nèi)，作QQ1 / BC交CD于點(diǎn)Q1，連結(jié)P1Q1. / DF11 PA_ DQ-QB512/