10山東建筑大學結構力學動力學1

1、 10-1 10-1 動力計算概述動力計算概述 一、動力計算的特點、目的和內(nèi)容一、動力計算的特點、目的和內(nèi)容 1 1、特點：、特點：靜力荷載與動力荷載的特點及其效應。靜力荷載與動力荷載的特點及其效應。 “靜力荷載靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這 類荷載類荷載對結構產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計對結構產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定 的。的。( (絕大部分的恒載、活載）絕大部分的恒載、活載） “ “動力荷載動力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類是指

2、其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類 荷載荷載對結構產(chǎn)生的慣性力不能忽略對結構產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產(chǎn)生相當大的加速度，因動力荷載將使結構產(chǎn)生相當大的加速度， 由它所引起的內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。由它所引起的內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。 2 2、目的和內(nèi)容、目的和內(nèi)容 計算結構的動力反應計算結構的動力反應：結構的剛度、質量等性能與振動中：結構的剛度、質量等性能與振動中內(nèi)力、位移、速內(nèi)力、位移、速 度與加速度的關系，及結構在動內(nèi)力與靜內(nèi)力共同作用下力學狀態(tài)。度與加速度的關系，及結構在動內(nèi)力與靜內(nèi)力共同作用下力學狀態(tài)。 與靜力計算的對比：與靜力計算的對比：兩者都是建立平

3、衡方程，但動力計算，利用動靜法，兩者都是建立平衡方程，但動力計算，利用動靜法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷 載、內(nèi)力都是時間的函數(shù)。建立的載、內(nèi)力都是時間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。 P(t ) t P t 簡諧荷載（按正、余弦規(guī)律變化）簡諧荷載（按正、余弦規(guī)律變化） 一般周期荷載一般周期荷載 動力計算的內(nèi)容動力計算的內(nèi)容：研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。：研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。 二、動力荷載分類二、動力荷載分類 按其變

4、化規(guī)律及其作用特點可分為：按其變化規(guī)律及其作用特點可分為： 1 1）周期荷載：隨時間作周期性變化）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉動電機的偏心力）。（轉動電機的偏心力） 涉及到內(nèi)外兩方面的因素：涉及到內(nèi)外兩方面的因素： 1 1）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）；）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）； 2 2）確定結構的動力特性（內(nèi)部因素，如結構的質量分布、自振頻率、周）確定結構的動力特性（內(nèi)部因素，如結構的質量分布、自振頻率、周 期、振型和阻尼等等），類似靜力學中的期、振型和阻尼等等），類似靜力學中的I、S等；等； 計算動位移及其幅值；計算動內(nèi)力及其幅值。計算動位移及其幅值；計算動內(nèi)力及其

5、幅值。 3 3）隨機荷載：）隨機荷載：( (非確定性荷載非確定性荷載) ) 荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。 （如地震荷載、風荷載）（如地震荷載、風荷載） 2 2）沖擊荷載：）沖擊荷載：短時內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）短時內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載） P t P(t ) t tr P tr P 塔克馬海峽大橋在大風中垮塌塔克馬海峽大橋在大風中垮塌 三、動力計算中體系的自由度三、動力計算中體系的自由度 確定體系上全部質量位置所需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為確定體系上全部質量位置所需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度體系的振動自由度。 實際結構的質量都是連續(xù)分布的

6、，嚴格地說來都是無限自由度體系。計算實際結構的質量都是連續(xù)分布的，嚴格地說來都是無限自由度體系。計算 困難，常取如下簡化方法：困難，常取如下簡化方法： 1 1、集中質量法、集中質量法 把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限 自由度問題。自由度問題。 2個自由度個自由度 y2 y1 2個自由度個自由度 自由度與質量數(shù)不一定相等自由度與質量數(shù)不一定相等 m mm梁 m +m梁 I I2I m+m柱 廠房排架水平振廠房排架水平振 時的計算簡圖時的計算簡圖 單自由度體系單自由度體系 水平振動時的計算體系水平振動時

7、的計算體系 多自由度體系多自由度體系 構架式基礎頂板簡化成剛性塊構架式基礎頂板簡化成剛性塊 (t) v(t) u(t) 4個自由度個自由度 m1m2m3 2個自由度個自由度 )(xm y(x,t) x 無限自由度體系無限自由度體系 2 2、廣義座標法：、廣義座標法： 如簡支梁的變形曲線可用三角級數(shù)來表示如簡支梁的變形曲線可用三角級數(shù)來表示 n k k l xk tatxy 1 sin)(),( 用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動曲用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動曲 線就稱它是幾個自由度體系，其中線就稱它是幾個自由度體系，其中 l xk sin 是根據(jù)邊界約束條件選取是根據(jù)邊界約束條件選取 的函數(shù)，稱

8、為形狀函數(shù)。的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。 ak(t) 稱廣義座標，為一組待定稱廣義座標，為一組待定 參數(shù)，其個數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將參數(shù)，其個數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將 無限自由度體系簡化為有限自由度體系。無限自由度體系簡化為有限自由度體系。 x y x )(.),.(),( 21 xxx n a1， a2，. an n k kk xatxy 1 )(),( y(x,t) 3 3、有限單元法、有限單元法 四、動力計算的方法四、動力計算的方法 動力平衡法（達朗伯爾原理）動力平衡法（達朗伯爾原理） )()(tymtP m 0)()(tymtP .運動方程運動方程 m 設其中設其中)()(tItym

9、P(t)I(t) .平衡方程平衡方程 I(t)慣性力，與加速度成正比，方向相反慣性力，與加速度成正比，方向相反 )()(tymtP 改寫成改寫成 虛功原理（拉格朗日方程）虛功原理（拉格朗日方程） 哈米頓原理（變分方程）哈米頓原理（變分方程） 都要用到抽象的虛位移概念 都要用到抽象的虛位移概念 )(ty m 10-2 10-2 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 自由振動自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。 靜平衡位置靜平衡位置 m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y 自由振動產(chǎn)生原因自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻（：體系在初始

10、時刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。）受到外界的干擾。 研究單自由度體系的自由振動重要性在于：研究單自由度體系的自由振動重要性在于： 1 1、它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。、它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。 2 2、它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。、它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。 自由振動反映了體系的固有動力特性。自由振動反映了體系的固有動力特性。 要解決的問題包括：要解決的問題包括： 建立運動方程、計算自振頻率、周期，阻尼的影響建立運動方程、計算自振頻率、周期，阻尼的影響. 一、運動微分方程的建立一、運動微分方程的建立 方法：

11、達朗伯爾原理方法：達朗伯爾原理應用條件：微幅振動（線性微分方程）應用條件：微幅振動（線性微分方程） 1 1、 剛度法剛度法：研究作用于被隔離的質量上的：研究作用于被隔離的質量上的 力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。 m . . yj .yd 靜平衡位置 質量m在任一時刻的位移 y(t)=yj+yd k 力學模型力學模型 . yd mm W S(t) I(t) + 重力重力 W 彈性力彈性力 )()()( dj yyktkytS恒與位移反向恒與位移反向 慣性力慣性力)()()( dj yymtymtI Wyykyym djdj )()( (a) 其中 kyj=W 及0 j y 上式可以簡化為

12、0 dd kyy m 或或 ).(.0bkyym 由平衡位置計量。以質點受力平衡建立方程，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。由平衡位置計量。以質點受力平衡建立方程，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。 2 2、 柔度法柔度法：研究結構上：研究結構上( (質點位置質點位置) )的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。 . . m靜平衡位置 I(t) ).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k 1 可得與可得與 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程 剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。 二、自由振動微分方程的解二、自由振動微分方

13、程的解 ).(.0bkyym 改寫為0y m k y 0 2 yy 其中 m k 2 它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程，其一般解為： ).(.cossin)( 21 dtCtCty 積分常數(shù)積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定由初始條件確定 設已知結構的柔度系數(shù) m靜平衡位置靜平衡位置 I(t) ).(cossin)( 21 dtCtCty 設設 t=0 時時 vy yy )0( )0( v C yC 1 2 . . （d）式可以寫成式可以寫成 ).(.sincos)(et v tyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦運動和由初速度引起

14、的余弦運動和由初速度v 引起的正弦引起的正弦 運動的合成，為了便于研究合成運動運動的合成，為了便于研究合成運動, , 令令 cos,sinA v Ay (e)式改寫成式改寫成 ).(.).sin()(ftAty 它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中A和和 可由下式確定可由下式確定 ).(. 1 2 2 g v y tg v yA 振幅振幅 相位角相位角 ).(.sincos)(et v tyty ).(.).sin()(ftAty y 0 t y -y T T T v v y t0 y t 0 A -A tycos t v sin tAsin 三、結構的自振

15、周期和頻率三、結構的自振周期和頻率 由式由式)sin()(tAty及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。 T y t 0 A -A 周期周期 , 2 T 工程頻率工程頻率 ),( 2 1 Hz T f 園頻率園頻率 T f 2 2 計算頻率和周期的幾種形式計算頻率和周期的幾種形式 st g W g mm k 1 gk m T st 22 頻率頻率 和周和周 期的期的 討論討論 1.1.只與結構的質量與剛度有關，與外界干擾無關；只與結構的質量與剛度有關，與外界干擾無關； 2.2.與與m的平方根成正比，與的平方根成正比，與k成反比，據(jù)此可改變周期；成反比，據(jù)此可改變周期；

16、 3.3.是結構動力特性的重要數(shù)量標志。是結構動力特性的重要數(shù)量標志。 例例1. 1. 計算圖示結構的頻率和周期。計算圖示結構的頻率和周期。 m EI l /2 l /2 1 EI l 48 3 3 48 ml EI EI ml T 48 2 3 例例2.2.計算圖示結構的水平和豎向振動頻率。計算圖示結構的水平和豎向振動頻率。 m l A,E,I H E,I 1 H H m 1 E,A 1 V V V m 1 II EI1= m h 1 k 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 例例3.3.計算圖示剛架的頻率和周期。計算圖示剛架的頻率和周期。 3 12 h E

17、I 3 12 h EI 由截面平衡由截面平衡 3 24 h EI k 3 24 mh EI m k EI mh T 2 2 3 例例4 4、圖示三根單跨梁，、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量為常數(shù)，在梁中點有集中質量m， 不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192

18、 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3 2 2 7 7681 ml EI m 3 3 3 1921 ml EI m 據(jù)此可得據(jù)此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 結構約束越強結構約束越強, ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動頻率也越大。其自振動頻率也越大。 四、簡諧自由振動的特性四、簡諧自由振動的特性 由式由式 )sin()(tAty 可得，可得，加速度為：加速度為： )sin()( 2 tAt y )sin()()( 2 tmAtymtI 在無阻尼自由振動中，在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)都按正弦規(guī) 律變化，且律變化，且作相位相同的同步運動作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極，即它們在同一時刻