13第十三編算法初步、推理與證明、復數(shù)(共51頁)

1、第十三編 算法初步、推理與證明、復數(shù)13.1 算法與流程圖主學習空基礎自測1. 以下對算法的描述正確的有 個. 對一類問題都有效；算法可執(zhí)行的步驟必須是有限的；計算可以一步步地進行，每一步都有確切的 含義； 是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結果.答案 42. 任何一個算法都必須有的基本結構是.答案順序結構3. 下列問題的算法適宜用選擇結構表示的是 （填序號）. 求點P（-1，3）到直線I :3x-2y+仁0的距離 由直角三角形的兩條直角邊求斜邊 解不等式ax+b 0 （ a工0） 計算100個數(shù)的平均數(shù)答案4. 下列4種框圖結構中，是直到型循環(huán)結構的為 （填序號）.: 卜 答案5. （2

2、008 廣東理，9）閱讀下面的流程圖，若輸入 m=4，n=3,則輸出a=，i= _ （注：框圖中的賦值符號也可以寫成“=”或“：=”）答案 12 3結束典例剖析寫岀其算法并畫岀例1 已知點P （xo, yo）和直線l:Ax+By+C=0,求點P （xo, yo）到直線I的距離d, 流程圖.解算法如下:第一步，第二步，第三步，輸入xo,y。及直線方程的系數(shù) A, B, C.流程圖:第四步,計算計算計算Zi J Axo+Byo+C. 乙 j a2+B.輸入心,弧AtB,C /dJ丄d.第五步，例2 “特快專遞”是目前人們經常使用的異地郵寄信函或托運物品的一種快捷方式, 某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間

3、物品的托運費用根據下列方法計算：輸出,IZ.I)0.6灼（灼蘭100）100漢0.6+（ 700） X0.85（豹：100）f的算法，并畫岀流程其中f （單位：元）為托運費，.為托運物品的重量（單位：千克）.試設計計算費用圖.S1S2算法如下：輸入，；如果 V 100,那么f J0.6 否則S3f J 1oox 0.6+( - .-1oo)X o.85; 輸岀f.流程圖為:人叫f用廟 /h-100 x0.6-f(w-100)x0.85例3（14分）畫出計算12-22 +32-42+, +992-ioo2的值的解流程圖如下圖.知能遷移1.寫出求解一個任意二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ a工0）的

4、最值的算法.解算法設計如下:第一步，計算m J 4ac ;4a第二步，若a 0,輸岀最小值 m第三步，若a 0，輸岀最大值m2.到銀行辦理個人異地匯款（不超過100萬元），銀行收取一定的手續(xù)費，匯款額不超過100元，收取續(xù)費，超過100元但不超過5 000元，按匯款額的1%攵取，超過5 000元，一律收取50元手續(xù)費, 條件語句描述匯款額為 x元時，銀行收取手續(xù)費 y元的過程，畫岀流程圖.解這是一個實際問題，故應先建立數(shù)學模型，1元手試用y= 0.01x,50.0 : x 乞100100 :.x 5 0005 000 ：:x Z1 000由此看岀，求手續(xù)費時，需先判斷x的范圍，故應用選擇結構描

5、述000流程圖如圖所示:3.利用兩種循環(huán)寫出1+2+3+, +100解直到型循環(huán)算法：第一步：* 0 ；第二步：IJ1;第三步：* S+I ；第四步：IJI +1;第五步：如果I不大于100,轉第三步；否則，輸岀 S. 相應的流程圖如圖甲所示.圖甲圖乙當型循環(huán)算法如下：S1 令 i J1, Sj 0S2若i 2,則執(zhí)行S3;S3依次從2到n-1檢驗能不能整除n,若不能整除n，滿足上述條件的是.答案質數(shù)2. 在算法的邏輯結構中，要求進行邏輯判斷，并根據結果進行不同處理的是哪種結構答案選擇結構和循環(huán)結構3閱讀下面的流程圖，若輸入的a b、c分別是21、32、75,則輸出的a b、c分別是 ./輸人

6、嚴山爲1工I申If輸出心S)答案 75, 21 , 324.如果執(zhí)行下面的流程圖，那么輸出的S= .答案 2 5505. （2009 興化市板橋高級中學 12月月考）如下圖的流程圖輸出的結果為答案 1326. 如圖所示，流程圖所進行的求和運算是答案 丄+丄+丄+, +丄24620（注：框中的賦值符號7. （2008 山東理，13）執(zhí)行下邊的流程圖，若 p=0.8，則輸出的n= . 也可以寫成“=”或“：=”）答案 48. 若框圖所給的程序運行的結果為S=90，那么判斷框中應填入的關于k的判斷條件是旋、解答題9.已知函數(shù)f(x)= ?x 一1(x VO),寫出該函數(shù)的函數(shù)值的算法并畫出流程圖2

7、5x(x 啟0)解算法如下：第一步，輸入x.第二步，如果 XV0,那么使f(x) J3X-1;否則 f(x) 2-5x.第三步，輸岀函數(shù)值f(x).流程圖如下：/輸人x /否能出用卩10.寫出求過兩點Pi(xi, yi), P2(X2, y的直線的斜率的算法，并畫出流程圖.解 由于當xi=x2時，過兩點Pi、P2的直線的斜率不存在，只有當xi工X2時，根據斜率公式k=Z寶求出，故可設計如下的算法和流程圖X2 _Xi算法如下：第一步：輸入 Xi, yi, X2, y第二步：如果Xi=X2,輸岀斜率不存在”，否則,k y2 -yi ； x2 . x1第三步：輸出k.相應的流程圖如圖所示11.畫出求

8、 1 + 丄 + 丄+, +1的值的流程圖1X2 2 M3 3漢499X100解流程圖如圖所示：5%問最12.某企業(yè)2007年的生產總值為200萬元，技術創(chuàng)新后預計以后的每年的生產總值將比上一年增加早哪一年的年生產總值將超過300萬元？試寫岀解決該問題的一個算法，并畫岀相應的流程圖解算法設計如下：第一步，n 0, a200, r0.05.第二步，T ar（計算年增量）.第三步，a a+T （計算年產量）.第四步，如果a300,則執(zhí)行第五步.第五步，N 2 007+ n.第六步，輸出N流程圖如下：方法一方法二打 *0 衛(wèi) *200.F*CL05i”皿+1ZZF|曲一2OO+r-O.D5Tt-ar

9、a-a+Trt*+ N*2(KH+n/輪羋n/(W 13.2基本算法語句、算法案例j* 自主學習 一*E基礎自測1. 下面是一個算法的操作說明： 初始值為n 0, x J 1,y 1, z J0; nJ n+1; x J x+2; yJ 2y; z j z+xy; 如果z 7 000,則執(zhí)行語句；否則回到語句繼續(xù)執(zhí)行； 打印n, z; 程序終止.由語句打印出的數(shù)值為 、.答案 8 7 6822. 按照下面的算法進行操作：51 XJ 2.3552 yJ Int (x)53 Print y最后輸岀的結果是.答案 23. 讀下面的偽代碼：Read xIf x 0 ThenPrint xElsePri

10、nt - xEnd If這個偽代碼表示的算法的功能是 .答案輸入一個數(shù)，輸岀其絕對值4. 下面是一個算法的偽代碼.如果輸入的x的值是20，則輸岀的y的值是.答案 150x ：:0x 0，編寫偽代碼，輸入自變量 x的值，輸岀其相應x 0流程圖如圖所示:5. 與下列偽代碼對應的數(shù)學表達式是Read nk 0S 1For I From 1 To n Step 1SSx Ik e+1/SEnd forPrint e答案 S=1 +丄+丄+, + 2!3! n!典例剖析例1設計算法，求用長度為I的細鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓時的面積.要求輸入I的值，輸出正方形和圓的面積.解偽代碼如下：Read lS

11、 (l x l )/16S (l x l )/(4 x 3.14)PrintSPrintS2End土 x 1,例2（14分）已知分段函數(shù)y= 0,x 1,的函數(shù)值，并畫岀流程圖.解偽代碼如下：Read xIf x 0 Theny -x+1ElseIf x=0 Theny0Elsey x+1End IfEnd IfPrint yEnd7 分例3 編寫一組偽代碼計算1 + 2+1+, +1 ，并畫出相應的流程圖231 000解偽代碼如下：i 1* 0While i 1 000S S+1/ii i +1End WhilePrint SEnd流程圖如圖所示：知能遷移一L1. 下面的表述： 6 p; t

12、 3 X 5+2; b+35; p(3 x+2)-4) x+3; aa3; x, y, z5; ab3; xy+2+x.其中正確表述的賦值語句有.(注：要求把正確的表述的序號全填上)答案2. 某百貨公司為了促銷，采用打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物 在100元以上者（含100元，下同），按九五折優(yōu)惠; 在200元以上者，按九折優(yōu)惠； 在300元以上者，按八五折優(yōu)惠； 在500元以上者，按八折優(yōu)惠.試寫岀算法、畫岀流程圖、偽代碼，以求優(yōu)惠價.解 設購物款為x元，優(yōu)惠價為y元，則優(yōu)惠付款公式為x,0.95x, y=丿 0.9x,0.85x,0.8x,x ：100100 ：200200 竺:3003

13、00 乞 x ：500x _500算法分析:S1輸入x的值;S2 如果x v 100，輸出 y x,否則轉入S3;53 如果x v 200,輸出y0.95 x,否則轉入 S4;54 如果xv300，輸出y 0.9x,否則轉入S5;55 如果xv 500,輸出y0.85 x,否則轉入S6;S6 輸出 y0.8 x.ReFid :rIfThenElseIf ,t200 Then95-tElspIf 300 TticiiElsel：FThen嚴0.麝工Elsey*Q. &tEnd MEnd IfEnd IfEM IfLJ r i ti L yEnd3. 某玩具廠1996年的生產總值為 200萬元，如

14、果年生產增長率5%計算最早在哪一年生產總值超過300萬元.試寫岀偽代碼.解偽代碼如下：n 1 996p 1.05a 200While a 300a a x pn n+1End WhilePrint nEndi*- 活頁作業(yè)一*一、填空題1. 偽代碼a 3b 5Print a+b的運行結果是.答案 8y=16，應輸入的整數(shù)x的值是2. 為了在運行下面的偽代碼后輸岀Read xIf x 3 Then yj x -1Elseyj 2End IfEnd IfPrint yEnd2x,答案求下列函數(shù)當自變量輸入值為x時的函數(shù)值f(x),其中f (x)=2,x ：:3x =3x 35.下面是一個算法的偽代

15、碼，其運行的結果為.SJ1For I From 3 To 99 Step 2 S S+IEnd ForPrint S答案 2 5006.如圖所示，該偽代碼表示的作用是Read a, b, c mj max(a, b, c) Print mEnd答案 求三個數(shù)中最大的數(shù)7.如圖(1)是某循環(huán)流程圖的一部分，若改為圖(2),則運行過程中I的值是答案18. 圖中算法執(zhí)行的循環(huán)次數(shù)為S 0For I From 2 To 1 000 Step 3 S S+IEnd For答案 333二、解答題9. 用條件語句描述下面的算法流程圖./WJAj/W77（結朿）解Read xIfxv 0 Theny 2 x

16、x+3ElseIf x 0 Then y2 x x-5Elsey0End IfEnd IfPrintEnd10. 請設計一個問題，使得該問題的算法如已知的偽代碼所示Read ar 亞 a/2jXr x r-ax aPrint SEnd解 已知圓O內有一個邊長為a的圓的內接正方形，求圓的面積比正方形的面積大多少?11. 有一個算法如下：S1輸入x;S2判斷x 0是：Z 1;否：z-1;S3 z 1+z;S4輸出乙試寫岀上述算法的流程圖及相應的偽代碼解Read xIf x 0 Thenz 1Elsez -1End If z z+1 Print zEnd12. 一個小朋友在一次玩皮球時，偶然發(fā)現(xiàn)一個

17、現(xiàn)象：球從某高度落下后，每次都反彈回原高度的 -，再落下，3再反彈回上次高度的 1 ,如此反復.假設球從100 cm處落下，那么第10次下落的高度是多少？在第 10次 3落地時共經過多少路程？試用偽代碼表示其算法.解偽代碼如圖所示：h100s100i 2While i 10hh/3ss+2 xhi i +1End WhilePrint “第10次下落的高度為：” ;hPrint 第10次落地時共經過的路程為：” sEnd13.3合情推理與演繹推理自主學習1. 某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示,，按這種規(guī)律往下排，那 么第36個圓的顏色應是答案白色2. 數(shù)列1，2，4，8，16，32，,

18、的一個通項公式是答案 an=2n-13. 已知日1=3,日2=6,且an+2=3n+1- an,貝寸日33為.答案 34. 下面使用類比推理恰當?shù)氖?“若 a - 3=b 3,則 a=b” 類推出“若 a - 0=b 0，_則 a=b ” “（a+b）c=ac+bc ”類推出“邑衛(wèi)= +b ”c c c “ （a+b） c=ac+bc” 類推出 “=a +b （c工0） ”c c c “（ab） n=anbn” 類推出“（a+b） n=an+bn” 答案5. 一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為 _.答案一切奇數(shù)都不能被2整除

19、，大前提2100+1是奇數(shù)，小前提所以2100+1不能被2整除.結論典例剖析在數(shù)列an中,a1=1,an+1= 江 ,n N,猜想這個數(shù)列的通項公式是什么？這個猜想正確嗎？說明理由2州在 an中，日1=1,日2= 2a1 = 22 +日132a2= 1 = 2 a = 2a3= 2 一 一 , d4 -一Eb =2亠a2所以猜想an的通項公式an=2n 12 42 a3 5這個猜想是正確的.證明如下：因為a 1=1, an+1= 2an2+an所以丄=2 anan + 2anan丄+丄，即丄-丄=12 an 1 an 2an 1 an所以數(shù)列ca + S. qab = S. abc =AA B

20、B CC S.ABC S ABC S ABC S ABC請運用類比思想，對于空間中的四面體V-BCD存在什么類似的結論？并用體積法證明.證明 在四面體V BCD中，任取一點 O,連結VO DO BO CO并延長分別交四個面于 E、F、G H點.則 OE+ OF+OG+OH=1 VE DF BG CH在四面體O BCD與 V BCD中:OE = h1 = 3 S -BCD *h = Vo _bcd /rsBCD hVV 3同理有：OF = Vo _vbc ； OG =Vo_vcd ； OH = Vo _vbd DF Vd .vbc BG Vb _vcd CH Vc _vbd.OE + OF ,

21、OG + OH VE DF BG CH=VO-BCD Wo_vbc Wo_vcd W。_vbd = VV -BCD =Vv -BCDVv -BCD例3(14分)已知函數(shù)f (x) =- % a廠(a0且a工1),ax +Ja(1)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關于點對稱;(2)求 f (-2 ) +f (-1 ) +f (0) +f (1) +f (2) +f (3)的值.(1)證明 函數(shù)f( x)的定義域為R,任取一點(x,y),它關于點丄_2 對稱的點的坐標為(1-x，-1- y).2 2由已知得y=-*Tax則-1- y=-1+ =-aax +掐ax十詐3分f (1-x) =4 Ja廠ax

22、ax 亠.a/ -1- y=f (1- x)7分(2)解由即 f (x) +f即函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(1 )有-1- f (x) =f (1-x),(1-x) =-1.f (-2 ) +f (3) =-1 , f (-1 ) +f ( 2) =-1 ,f ( 0) +f (1) =-1 ,則 f (-2 ) +f (-1 ) +f ( 0) +f (1) +f (2) +f ( 3) =-3.14分知能遷移一1.已知 f (x)= bx 1 (x 工-1, a 0),且 f(1)=log 162, f (-2)=1.(ax +1)2a(1) 求函數(shù)f (x)的表達式；(2) 已知數(shù)列X

23、n的項滿足 Xn= 1-f (1) 1-f (2) , 1-f ( n),試求 X1,X2, X3, X4；(3)猜想Xn的通項.解 (1) 把 f (1)=log 価2=丄，f (-2)=1,4代入函數(shù)表達式得b +1(a+1)24-2 b 1a =1 b =0(1 -2a)22整理得代+4 =a +2a +1，解得2i-2b +1 Na2 -4a +113X52534PiMMON圏1R=5I8Or%于是 f (x)= 一 (XZ-1).(X 1)213(2) Xi=1-f (1)=1-=,445 X4 =8想 Xn= n 22(n +1)= 10R OQ RM sin / POQ, 6同理

24、，VO _p2Q2 =OP OQ RM sin / F2OQ6所以 vo -PQ = OP1 OQ1 R M1VO_P2Q2R2 OP2 *OQ2 *R2 M 2由平面幾何知識可得-R1M1 =-ORR2M 2 OR2所以V gR, = OP1 g 9R1 .所以結論正確 VO_P2Q2R2 OP2 2Q2 9R23.已知函數(shù) f (X) = -_ (X R), 2X +1X2= - X41 -I 16丿V =f，X3=f X4 ,-,-,，便可猜6 8 10正確嗎？說明理由0冃OR2(3)這里因為偶數(shù)項的分子、分母作了約分，所以規(guī)律不明顯，若變形為2.如圖1，若射線OM ON上分別存在點M,

25、 M與點N1, 2,_則= M1S.0M2N2 OM 2抽；如圖2,若不在同ON 2一平面內的射線OPOQ和OR上分別存在點P2,點Q, Q和點R1, F2,則類似的結論是什么？這個結論這個結論是正確的，證明如下:如圖，過Rs作RM丄平面P2OQ于M,連OM過R在平面 ORM作RM1 / RM交OM于M1,_則RM丄平面F2OQ.1由 VO -E1QiRi = - S Pqq R1M31 1= OP OQ sin / POQ RM32解類似的結論為:VO_E1Q1R1 = OP1Vo .P2Q2R2 OP2OQ1OQ2(1) 判定函數(shù)f (x)的奇偶性；(2) 判定函數(shù)f (x)在R上的單調性

26、，并證明解(1)對- x R有 * R,并且f(-x)=1 _2x1 2x2x -1 =-f2x 1(x),所以f (x )是奇函數(shù)(2) f (x)在R上單調遞增，證明如下:任取X1,X2 R,并且x x2f(X1)- f (X2)=2為-12x,12x22x2 1(2為 _1)(2血 1)_(2溝 _1)(2x11)(2x +1)(2x2 +1)(2x1 1)(2x2 1)/X1 X2,二 2x1 2x2 0,2X1 - 2X2 0,2X1 +1 0,2X2 +1 0.2(2X1(2X1 1)(2X2 1) 0.f (x)在R上為單調遞增函數(shù)活頁件業(yè)一、填空題1.由- -,9 - , 3

27、,若ab0,m0,則4與-之間的大小關系為.108 1110 2521a+ma答案b_m a +ma2. 已知 a1=1, an+1 an,且(an+1-an)2-2( a“+1+a)+1=0，猜想 an 的表達式為.答案an=n23. 已知 f(x)=x2 008 +ax2 007 - _-8, f (-1)=10,則 f(1)=.x答案 -244. 由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：“mn=nn” 類比得到 “a -b=b -a”(m+n)t=mt+nt 類比得至U “( a+b) -c=a -c+b c；“(m-n)t=n( n -t)類比得至H “(a -b) -c=a

28、 (b c)”；“t 工0, mt=xt 二 m=x”類比得至寸 “p工0, a -p=x pn a=x”；“| m-n|=| m n|類比得到“ I a - b|=| a| I b| ”“空=旦”類比得到“二=a ” .be bb *c b以上的式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是 .答案 25. 下列推理是歸納推理的是 (填序號).A, B為定點，動點 P滿足|PA+| PB=2a |AB|，得P的軌跡為橢圓由ai=1, an=3n-1，求出S, S2, S3，猜想出數(shù)列的前 n項和Sn的表達式2 2 由圓x2+y2=r2的面積-r2，猜想出橢圓 匕=1的面積S=-aba2 b2 科學家利用

29、魚的沉浮原理制造潛艇答案6. 已知整數(shù)的數(shù)對列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第 60 個數(shù)對是答案(5,7)7. 在平面幾何中， ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比 竺=竺，把這個結論類比到空間：在三棱錐EB BCA BCD中(如圖所示)，而DEC平分二面角A CD B且與AB相交于E，則得到的類比的結論是AE = S acdEB S bcd8. (2008 金陵中學模擬)現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另

30、一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為2.類比到空間，有兩個4棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為3答案 8二、解答題9. 把空間平行六面體與平面上的平行四邊形類比，試由“平行四邊形對邊相等”得岀平行六面體的相關性質解如圖所示,由平行四邊形的性質可知AB=DC AD=BC,BC于是類比平行四邊形的性質，在平行六面體 ABCABGDi中,我們猜想：SABCD =S A1B1C1D1 , SADD1A1 =SBCC1B1 ,ABB1A1 =S CDD1C1 ,且由平行六面體對面是全等的平行四邊形知，此猜想是正確的10.已知梯形ABCD中, AB

31、=DC=AD AC和BD是它的對角線.用三段論證明：AC平分/ BCD BD平分/ CBA證明 (1)兩平行線與第三直線相交，內錯角相等(大前提)/ BGA與Z GAD是平行線AD BG被AC所截內錯角（小前提）所以，/ BGA=Z CAD（結論）（2）等腰三角形兩底角相等（大前提） CAD是等腰三角形，DA=DG（小前提）所以，Z DCAZ CAD（結論）（3）等于同一個量的兩個量相等（大前提）Z BCA與Z DCA都等于Z CAD（小前提）所以，Z BC=Z DCA（結論）（4）同理，BD平分Z CBA11.如圖所示，點 P為斜三棱柱 ABGAiBG的側棱BB上一點，PML BB交AA于點

32、M, PN BB交CC于點N（1）求證：CC丄MN（2）在任意 DEF中有余弦定理：拓展到空間，類比三角形的余弦定理，角之間的關系式，并予以證明.證明（1）v PML BB，PN BB，/ BBL平面 PMN/ BBL MNDE2=DF2+EF2-2 DF- EF cos / DFE寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面又 CC / BB，二 CG 丄 MN（2）在斜三棱柱 ABGAiBC中，有S2=S2 +S2-2S-ABBABCCBACC ABCG 1B AGG1A1其中：為平面CGBB與平面CGAA所成的二面角./ CG丄平面PMN上述的二面角的平面角為/ MNP在厶PMr中

33、，/ PM=PN+MNk2 PN MNos / MNP/ PM CC2 =PN CCf +MN CC2 -2 (PN- CG) (MN- CC) cos / MNP由于 Sbcc1b1=pn CG1， SACC1ai=MN CG1，SABB1A1 =PM- B=PM- CC，S ABB =S bcc +S ACCJ _2 SbcC - S AGG1 A, - cos 二 .12.已知橢圓具有性質：若 M N是橢圓G上關于原點對稱的兩個點，點 P是橢圓上任意一點，當直線 PM PN2 2的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值.試對雙曲線 y =12a

34、 b寫岀具有類似特性的性質，并加以證明解類似的性質為：若M N是雙曲線當直線PM PN的斜率都存在，并記為 證明如下：設點M P的坐標分別為（m, n），（x，因為點M（ mn）在已知雙曲線上，2 2_=i上關于原點對稱的兩個點，點p是雙曲線上任意一點, a2b2kPM，kPN時，那么kpm與kPN之積是與點P的位置無關的定值.22所以 n2= m- b2.同理 y2= x2- b2.22aa貝U kpM - kpN = y nx _m2 2yn = y_nxm x2 -m2b2-2ax2 m2x2 _m22=篤（定值）. a 13.4 直接證明與間接證明自主學習1. 分析法是從要證的結論岀發(fā)

35、，尋求使它成立的 條件.答案充分2. 若 a b 0,則 a+丄b+丄.（用 “”，“v”，“ = ”填空）ba答案 3. 要證明、3+.7 v 2 .5，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 （填序號）.反證法分析法綜合法答案4. 用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a工0）有有理數(shù)根，那么 a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設中正確的是. 假設a、b、c都是偶數(shù) 假設a、b、c都不是偶數(shù) 假設a、b、c至多有一個偶數(shù) 假設a、b、c至多有兩個偶數(shù)答案5. 設 a、b、c （0，+s），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a- b，則U“PQ 0是 “P、

36、Q R 同時大于零” 的條件.答案充要典例剖析例1 設a, b, c 0,證明： a+b+c.b c a證明/ a, b, c 0，根據基本不等式，a2b2c2有 +b 2a, +c 2b, +a 2c.b2 b22三式相加: + _ + +a+b+c 2（ a+b+c）. bca2 2 2即 + _ +. a+b+c.b c a例2（14分）已知a 0,求證：a2+-卮 a+丄-2.Wa2a/ a0,故只要證2 22 a（日+丄+.、2 ） 2,aa2訂2- +4a a2+2+丄 +2 . 2 a 丄 +2,a2a2分6分8分10分14分從而只要證2、；a2 +冷a2 丄 2 （ a2+2+

37、冷）,即a2+冷 2,而該不等式顯然成立, 、 a2 丿a2a2故原不等式成立.、.2 a 1 a只要證4例3 若x, y都是正實數(shù)，且 x+y 2,求證：1_x 2與1_y 2中至少有一個成立 yx證明 假設 口 2和 口 2和1 y 2同時成立，yx因為x0且y 0,所以 1+x 2y，且 1+y 2x，兩式相加，得 2+x+y 2x+2y，所以x+y2相矛盾，因此 2與 J abc ( . a + . b +. c ).證明/ a2+b22ab, b2+c2 2bc, a2+c22ac.又: a, b, c為互不相等的非負數(shù)，上面三個式子中都不能取“=”，/ a2+b2+c2 ab+bc

38、+ac,/ ab+bc 2 Jab2c , bc+ac 2 Jabc2 ,ab+ac2 一 a2bc ,又a, b, c為互不相等的非負數(shù)，/ ab+bc+ac、. abc ( . a + . b + . c ),/. a2+b2+c2 , abc ( . a + b +. c ).2.已知a0, b0,且a+b=1,試用分析法證明不等式證明要證ab 1 蘭，一日人b丿4 只需證 ab+a2 b21 25 ,ab4只需證 4(ab)2+4(a2+b2)-25 ab+4 0, 只需證 4(ab)2+8ab-25ab+4 0, 只需證 4(ab)2-17ab+40,即證 ab4 或 ab 1,只需

39、證 ab 2所以原不等式,ab，二ab,(1- b) c,(1- c) a,444Ta、b、cG (0,1),1三式同向相乘得(1- a)b(1- b)c(1- c)a.64又(1- a)a w1 _a -a1 1同理(1-b) b w _,(1- c)cw 丄,441(1- a)a(1- b)b(1- c)cw 丄,64這與假設矛盾，故原命題正確.方法二假設三式同時大于丄，4/0a0,(1 -a) b11 (1 a)b ,七，2 42同理(1 -b) c 1, (1 -c)a 12 2 2 2三式相加得22,這是矛盾的，故假設錯誤,2 2原命題正確.一、填空題1. (2008 南通模擬)用反

40、證法證明“如果 a b,那么3 a 3 b ”假設內容應是.答案 Va = Vb 或 Va b 0,且 ab=1,若 0 c 1, p=log ca2 b2,q=log c1 ，則p,q的大小關系是 a ：飛 b答案 p q3. 設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“ * ”(即對任意的a, b S,對于有序元素對 (a, b),在S中有唯一確定的元素 a*b與之對應).若對任意的a,b S有a*( b*a)=b,則對任意的a, b S, 下列恒成立的等式的序號是 _( a*b) *a=aa*( b*a) *( a*b)=ab*( b*b)=b(a* b)* : b*( a*

41、 b) =b答案4. 如果 ABG的三個內角的余弦值分別等于厶AB2C2的三個內角的正弦值，則 ABQ是三角形， AB2G是三角形.(用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空)答案銳角鈍角5. 已知三棱錐S ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：BC丄平面SAC平面 SBCL平面SAB;SB丄AC其中正確命題的序號是 .C 左視圖俯視圖答案6. 對于任意實數(shù)a, b定義運算a an=2n Cn=(3 n-1) 2n-2 ( n=1,2,)b= (a+1) (b+1)-1,給出以下結論： 對于任意實數(shù) a, b, c,有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c);(寫岀你認為正確的

42、結論的所有序號) 對于任意實數(shù) a, b, c,有a*( b*c)=( a*b)* c; 對于任意實數(shù) a,有a*0=a,則以上結論正確的是 .答案二、解答題,a1=1.7. 已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，并且 S+i=4an+2(n=1，2,)(1) 設bn=an+i-2 a(n=1,2,)，求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列；(2) 設Cn=也(n=1,2,),求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列；2n(3) 求數(shù)列a的通項公式及前n項和公式.(1) 證明/ Sn+1=4an+2，+2=44+1+2,兩式相減，得S+2-Sn+1=4a+1-4 a“( n=1,2,),即 a+2=4a n+1 -4an,

43、 變形得 01+2-2 an+1=2( an+1-2 an)-bn=an+1-2 an( n = 1,2, , ), - - bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列(2)證明 由 S2=a1+a2=4a+2， a=1. 得 q=5, b1=a2 a1=3.故 bn=3 2n-1.S=也(n=1,2,2n), c c = an 十 an = an + _2an = bn cn+1 - cn=0 -=2門十2門2門十2門卅將bn=3 才代入得3G+1-Cn=(n=1,2,),4由此可知，數(shù)列Cn是公差為3的等差數(shù)列,4它的首項 c1=1，故 cn= n- !(n=1,2,).2244(3) 解/Cn=3n- - = = (3n-1).444當 n2 時，S=4a“+2=(3n-4) 2n-1 +2.由于Si=ai=1也適合于此公式，所以an的前n項和公式為S= (3n-4) 2n-1+2.2I 4S.8. 設a, b, c為任意三角形三邊長，I =a+b+c, S=ab+bc+ca,試證: 證明 由 12=( a+b+c)2=a2+b2+c2+2( ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,/ a, b, c為任意三角形三邊長，/ a b+c, b c+a, c a+b,/ a2 a(b+c), b2 b(c+a), c2 c(a+b)即(a2- a