橢圓常結(jié)論及其結(jié)論完全版精編版

1、最新資料推薦2 橢圓常用結(jié)論、橢圓的第二定義 :一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)（0,1） 內(nèi)常數(shù) e ，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù) 左對左，右對右 ）e 就是離心率 （點(diǎn)與線成對出現(xiàn)，22對于 x2 y2 1，左準(zhǔn)線 l1: x a2 b22a ；右準(zhǔn)線 l 2 : x ca222對于 y2 x2 1，下準(zhǔn)線 l1: y a2 b22a ；上準(zhǔn)線 l2: y cc橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱2焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 p a c c2 2 2 a c b（焦參數(shù)） cB1、焦半徑圓錐曲線 上任意一點(diǎn) M

2、 與圓錐曲線焦點(diǎn)的連線段，叫做圓錐曲線焦半徑。橢圓的焦半徑公式：焦點(diǎn)在 x 軸（左焦半徑） r1 a ex0 , （右焦半徑） r2 a ex0 , 其中 e 是離心率焦點(diǎn)在 y 軸 MF1 a ey0, MF2 a ey0 其中 F1, F2分別是橢圓的下上焦點(diǎn) 焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān) 可以記為： 左 加右減，上減下加PF1 a c, PF2 a c推導(dǎo)：以焦點(diǎn) 在 x 軸為例如上圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn) P x0,y0 ，在 y軸左邊 .PF根據(jù)橢圓第二定義， 1 e ，PM則 PF1 ePM e x0c22a2ccx0a2aex0最新資料推薦同理可得 P

3、F2 a ex0三、通徑： 圓錐曲線（除圓外）中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦，以焦點(diǎn)在 弦 ABx軸為例，坐標(biāo)：b2b2c,，Bc,aa2b2弦 AB 長度：ABx2 y 2四、若 P是橢圓： x2 y2 1上的點(diǎn) . F 1,F 2為焦點(diǎn)，若 F1PF2 ，則 PF1F 2的面積為 a2 b2推導(dǎo)：1如圖 S PF1F2PF1 PF2 sin根據(jù)余弦定理，得2. b tan .2cos = PF 2 PF 2 F1F2 22PF1 PF2PF1 PF )2 2PF1 PF2 4c22PF1 PF24a2 2PF1 PF2 4c22PF1 PF24b2 2PF1 PF22PF1 PF2得 PF1PF

4、22b21 cosS PF1F211PF1 PF2 sin =222b21 cossin =b2sin=b2 tan1 cos 2PyB2A2xA1 PA F1O F2 A2B1最新資料推薦五、弦長公式直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率 k , 直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1, y1),B(x2, y2 ) , 則它的弦長AB 1 k2x1 x2(1 k2) (x1 x2) 4x1x2注: 實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的 , 只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?y1 y2 k(x1 x2 ) ，運(yùn)用 韋達(dá)定理 來進(jìn)行計(jì)算當(dāng)直線斜率不存在是 , 則 AB y1 y2

5、.六、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：(1) 橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式：22xy設(shè)M(x0,y0)為橢圓 2 2 1弦 AB ( AB不平行 y軸)的中點(diǎn)，則有： abkABa2證明：設(shè) A(x1, y1)， B(x2,y2)，則有kAB y1 y2 ，x1 x222x12 y12 1a2 b2 1 22x22 y22 1 a2 b2 12 2 2 2x1 2x2 y1 2y2 0 整理得：a2 b222x1 x2b2，即兩式相減得：(y1 y2 )( y1 y2)(x1 x2 )(x1 x2 )b2 ，2，a因?yàn)?M (x0,y0)是弦 AB的中點(diǎn)，所以kOMy0 2x0 y1 y2x0 2y0 x1 x

6、2所以 kAB kOMb2(2) 遇到中點(diǎn)弦問題常用 “韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法” 求解。x2 y2b2x在橢圓 x2 y2 1中，以 M(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k= b2x0a2 b2a2y0最新資料推薦由( 1)得 kAB kOMkABb2x0y0七、橢圓的參數(shù)方程x acos ( 為參數(shù) ) y bsin八、共離心率的橢圓系的方程：2222橢圓 x2y21(a b0)的離心率是ec(ca2b2)，方程x2y2t(t是大于 0的參a2b2aa2b2數(shù)， a b 0 的離心率也是 e c 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程 .a22例 1、已知橢圓 x y 1上一點(diǎn) P 到橢圓左

7、焦點(diǎn)的距離為 3，則點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的距離為25 1622例 2、如果橢圓 3x6 y9 1弦被點(diǎn) A(4，2)平分，那么這條弦所在的直線方程是x2 y2例 3、已知直線 y x 1與橢圓 2 2 1(a b 0)相交于 A 、 B兩點(diǎn)，且線段 AB 的ab中點(diǎn)在直線 l： x 2y 0上，則此橢圓的離心率為 x2例 4、 F 是橢圓42y 1的右焦點(diǎn)， A1,1 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，3P 為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。1)PA PF的最小值為2)PA 2PF的最小值為分析：PF 為橢圓的一個(gè)焦半徑， 常需將另一焦半徑PF 或yAPHF0Fx準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：(1) 設(shè)另一焦點(diǎn)為 F ，則 F (-1,0)連 A F ,P FPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 5最新資料推薦當(dāng) P 是 F A 的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí) , PA PF 取得最小值為 4- 5 。（2）作出右準(zhǔn)線 l，作 PH l交于 H ，因 a2 4，b2 3，c2 1， 所以 a 2， c 1 ， e.21 PFPH ,即2PFPH PA 2PF PA PH2當(dāng) A、P、 H 三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為a xA 4 1 3c2例 5、求橢圓 xy2 1上的點(diǎn)到直線 x y 6 0 的距離的最小值