相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理

1、七年級(jí)數(shù)學(xué) （下 ）期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)整理5.1相交線1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角1 21 與 2有公共頂點(diǎn) 1 的兩邊與2 的兩邊互為反 向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即 1= 2鄰補(bǔ)角4 33 與 4有公共頂點(diǎn)3 與 4 有一 條邊公共，另一 邊互為反向延長(zhǎng) 線。3+4=180注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；如果 與 是對(duì)頂角，那么一定有 =；反之如果 = ，那么 與 不一定是對(duì)頂角如果 與 互為鄰補(bǔ)角，則一定有 +=180；反之如果 +=180， 則 與 不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成

2、的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直， 其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。AB CD，垂足為 O垂線性質(zhì) 1：過一點(diǎn)有且只有條直線與已知直線垂直（ 與平行公理相比較記 ）垂線性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。3、垂線的畫法： 過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。 注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點(diǎn)作線段的垂線， 垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。畫法： 一靠： 用三角尺

3、一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的 另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離 記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。PA O B如圖， POAB ，同 P到直線 AB 的距離是 PO的長(zhǎng)。 PO是垂線段。 PO是點(diǎn) P到直線 AB 所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線” 、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離” 、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的 概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別垂線與垂線段 區(qū)別： 垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；

4、垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng) 度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。 （垂直的性質(zhì) ） 兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別： 兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間， 點(diǎn)到直線的距離是 點(diǎn)與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)（即已知點(diǎn)與垂足）間距離。線段與距離 距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。5.2 平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)， 不相交的兩條直線叫做平行線， 直線 a與直線 b互相平行， 記作 ab。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。 因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)， 就可以肯定它們平行；

5、 反過來也一樣 （這 里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定： 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交； 無公共點(diǎn)，則兩直線平行； 兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示， b a ， c abc注意符號(hào)語(yǔ)言書寫， 前提條件是兩直線都平行于第三條直線， 才 會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與

6、同旁內(nèi)角。同在被截直線 a,b的上方，b如圖，直線 a,b 被直線 l 所截 1與5在截線 l 的同側(cè)，5 與3 在截線 l 的兩旁交錯(cuò)） ，在被截直線 a,b 之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)叫做同位角（位置相同）且交錯(cuò)）5與4在截線 l 的同側(cè)，在被截直線 a,b 之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。，有時(shí)需要將有關(guān)，得到下列各圖。1 與 BAD 是同旁 三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A ”型；內(nèi)錯(cuò)角是“ Z ”型；同旁內(nèi)角是“ U”型。6、如何判別三線八角 判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線” 的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。例如：D1與

7、 2； 1與 7； 1與 BAD ；2 與 6； 5 與 8。 我們將各對(duì)角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線） 如圖所示，不難看出 1 與 2 是同旁內(nèi)角； 1 與 7 是同位角； 內(nèi)角； 2與6 是內(nèi)錯(cuò)角； 5 與 8對(duì)頂角。注意：圖中 2 與 9，它們是同位角嗎？不是，因?yàn)?2與9 的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。7、兩直線平行的判定方法方法一 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三 兩條直線被第三

8、條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行E同位角相等，兩直線平行）簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語(yǔ)言： 3 2 1 ABCC1 AB CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 4F 2 180然后得出平行。 平行線 AB CD （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 請(qǐng)同學(xué)們注意書寫的順序以及前因后果， 平行線的判定是由角相等， 的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常 由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系” ，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系” 。上述平 行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)

9、系” ， 判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系” 。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論， 平行線的判定方法還有兩種： 如果兩條直線 沒有交點(diǎn)（不相交） ，那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條 直線平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正： 不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。 過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行 解答：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線” 。“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要 條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是“過直線外一點(diǎn)”而不是“過一點(diǎn)” 。因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在

10、已知直 線上，是作不出這條直線的平行線的。典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？解答：由 2B 可判定 AB DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由 1D 可判定 AC DF ，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；由 3 F180可判定 AC DF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5.3 平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；幾何符號(hào)語(yǔ)言：性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。ABA CD1 43BAB CD1 4 1 2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）AB C CD 2 D 3 2（兩直線平行，同位角相等）

11、AB CD F 4 2 180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 2、兩條平行線的距離如圖，直線 ABCD，EFAB 于 E， EF CD 于F，則稱線段 EF的長(zhǎng)度為兩平行線 AB 與 CD 間的距離。AGEG BCHDF注意：直線 AB CD ，在直線 AB 上任取一點(diǎn) G，過點(diǎn) G作 CD的垂線段 GH ，則垂線段GH 的長(zhǎng)度也就是直線 AB 與 CD 間的距離。3、命題：命題的概念： 判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。 命題常寫成“如果 , ，那么 , ”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部 分是

12、題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。有些命題，沒有寫成“如果 , ，那么 , ”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命 題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論， 也可以將它們改寫成 “如果 , ， 那么, ” 的形式。 注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知 , ”或者“若 , ”等形式表述；命 題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證 , ”或“則 , ”等形式表述。4、平行線的性質(zhì)與判定 平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線 的判定； 由平行線 （位置關(guān)系）

13、得到有關(guān)角相等或互補(bǔ) （數(shù)量關(guān)系） 的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。2 C典型例題：已知 1 B，求證： 證明： 1 B（已知）DEBC（同位角相等，兩直線平行） 2 C（兩直線平行同位角相等）注意，在了 DE BC，不需要再寫一次了，得到了DEBC，這可以把它當(dāng)作條件來用了。典型例題：如圖， ABDF，DEBC， 165解答： DE BC（已知） 2 1 65（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）AB DF（已知）AB DF（已知） 3 2 180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 3180 2 180 65 1155.4 平移1、平移變換把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)， 會(huì)得到一個(gè)新的圖形， 新圖形與原圖形的形狀和大小完 全相同。新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn) 連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征：經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行 （或在同一直線上） 且相等， 對(duì)應(yīng)角相 等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。經(jīng)過平移后，