理論力學(xué)課后答案

1、2-1 解：當(dāng)摩擦系數(shù) f 足夠大時(shí)，平臺(tái) AB相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力 F fFN 取整體為研究對(duì)象，受力如圖， 系統(tǒng)的動(dòng)量： p m2vr將其在 x 軸上投影可得： px m2vr m2bt根據(jù)動(dòng)量定理有：dpx m2b F fF N f (m1 m2)g dt 2 N 1 2即：當(dāng)摩擦系數(shù)m2b(m1 m2 )g時(shí)，平臺(tái) AB 的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)m2b(m1 m2)g時(shí)，平臺(tái) AB 將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：p m2(v vr ) m1v將上式在 x 軸投影有：px m2( v vr ) m1( v) m2bt (m1 m2)vf (m1 m2)g根據(jù)動(dòng)量定理有： x m2b

2、 (m1 m2)a F fFNdt2 1 2 N由此解得平臺(tái)的加速度為： am2bfg (方向向左)m1 m22-2 取彈簧未變形時(shí)滑塊A 的位置為 x 坐標(biāo)原點(diǎn)， 取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示 ,其中F 為作用在滑塊 A 上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動(dòng)量為： p mv m1v1 mv m1(v vr ) 將上式在 x 軸投影：px mx m1(x l cos ) 根據(jù)動(dòng)量定理有：dpx (m m1)x m1l 2 sin F kxdt系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： (m m1)x kx m1l 2 sin t24 取提起部分為研究對(duì)象，受力如圖 (a)所示，提起部分的質(zhì)量為 m vt ，提起部分 的速度為

3、 v ，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為vr ，方向向下， 大小為 v(如圖a 所示)。(m0dvqt) ddvtfv mg qvr FNFN (l vt) g(b)a)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：mdv F (t) mg vr dm F (t) ( vt)g vr v將上式在 y 軸上投影有：mdv F(t) ( vt)g vr v F(t) (vgt v2) dt由于 dv 0 ，所以由上式可求得： F(t) (vgt v2) 。dt再取地面上的部分為研究對(duì)象， 由于地面上的物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)， 并起與提起部分沒(méi)有相互 作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：3 5 將船視

4、為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象， 受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：dvdmm F mg vr FNdt r dt N船的質(zhì)量為： m m0 qt ，水的阻力為 Ffv將其代入上式可得：將上式在 x 軸投影：dv應(yīng)用分離變量法可求得(m0 qt) fv q( vr )。 dtln( qv r fv)ln(m0 qt) cq由初始條件確定積分常數(shù) c ln( qvr )ln m0 ，并代入上式可得：qqvrm0 qt q1 ( 0 ) qm02-8 圖 a所示水平方板可繞鉛垂軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J ，質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)沿 半徑為 R的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為u (常量)。

5、圓盤(pán)中心到轉(zhuǎn)軸的距離為 l 。圖aMrl質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由 確定。初始時(shí)，0 ，方板的角速度為零，求方板的角速度與 角的關(guān)系。解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象， 作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的力矩為零， 因此系統(tǒng)對(duì) z 軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為 L1 ，其角速度為 ，于是有L1 J設(shè)質(zhì)點(diǎn) M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為 L2 ，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn) M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分 別為 ve,vr 。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向， 牽連速度垂直于 OM連線。 質(zhì)點(diǎn) M相對(duì)慣性參 考系的絕對(duì)速度 va ve vr 。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為L(zhǎng)2 L2 (mva

6、 ) L2(mve) L2 (mvr )其中：L2 ( mve) mr2m(l Rcos )2 (Rsin )2L2(mvr) m(l Rcos )vr cos mRsin 2 vr系統(tǒng)對(duì) z 軸的動(dòng)量矩為 L L1 L2 。初始時(shí)，0,0,vr u ，此時(shí)系統(tǒng)對(duì) z 軸的動(dòng) 量矩為L(zhǎng)0 m(l R)u當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖 8-12 位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì) z 軸的動(dòng)量矩為2 2 2L J m(l Rcos )2 (Rsin )2m(l Rcos )ucos m Rsin 2 u22J (l 2 R2 2lR cos )m (lcos R)mu由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。所以有 L L0 ，因此可得：22

7、m(l R)u J (l2 R2 2lR cos )m (lcos R)mu由上式可計(jì)算出方板的角速度為ml(1 cos )uJ m(l2 R2 2lR cos )2 11 取鏈條和圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖(鏈條重力未畫(huà)) 系統(tǒng)對(duì) O 軸的動(dòng)量矩為：，設(shè)圓盤(pán)的角速度為 ，則2LO JOl (2a r)r 2根據(jù)動(dòng)量矩定理有：dLOdtJOl(2a r)r 2l(a x)gr l (a x)gr整理上式可得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：r x ，因此有： r x 。上式可表示成： JOl(2a r)r 2x 2 lgr2xJOl (2a r)r 2l (2x)gr令22 l gr 2JO l(2a r)r

8、 2，上述微分方程可表示成：2x 2x 0 ，該方程的通解為：x c1e t c2e tx0根據(jù)初始條件： t 0,x x0,x 0 可以確定積分常數(shù) c1 c2 0 ，于是方程的解為：2x x0ch t2系統(tǒng)的動(dòng)量在 x 軸上的投影為： pxr sin lrd 2 lr 2 2 lrx系統(tǒng)的動(dòng)量在 y 軸上的投影為： pyl (a x) r l (a x) r 2 l x r 2 l xx根據(jù)動(dòng)量定理：px F0xpy F0y P l (2a r)g由上式解得：FOx 2 l rx0 2ch t ， Foy P l (2a r)g 4 l 2 x02 ch(2 t)vC復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可

9、知： vA vC tan ，1 2 1 2 2 因此系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為： Tmv2AmC cot 2 v2A2 A 2 C A夠過(guò)程中， AB 桿的重力作功。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式有：1 2 2(m mC cot )vA ，系統(tǒng)在能dT W ，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示成：2(m mC cot )vAdvA mgvA dt由上式解得：aA dt m mC cot2 ，aC aAcotd 12(m mC cot 2 )v2A2 17 質(zhì)量為 m0 的均質(zhì)物塊上有一半徑為R 的半圓槽， 放在光滑的水平面上如圖 A 所示。質(zhì)量為 m(m0 3m)光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)， 系統(tǒng)靜止， 小球在 A 處

10、。求小球運(yùn)動(dòng)到 B 處300 時(shí)相對(duì)物塊的速度、物塊的速度、 槽對(duì)小球的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。Rm0gFNmBg圖B圖A解：取小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖B 所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，水平方向無(wú)外力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動(dòng)量守恒。設(shè)小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，物塊為動(dòng)系，設(shè) 小球相對(duì)物塊的速度為 vr ，物塊的速度為 ve ，則系統(tǒng)的動(dòng)能為12 1 2 12 12 2Tm0vemvam0vem(ve vr sin ) (vr cos ) 2 2 2 2設(shè) 0 為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為V mgRsin根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有T V 0 ，即mgRsin且300 最后求得：3

11、 2 1 2 2 mve2m(ve vr sin )2 (vr cos )222系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量為：px m0ve m(ve vr sin ) 根據(jù)系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒和初始條件有3mve m(ve vr sin ) 0 1由此求出 vevr sin ，將這個(gè)結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式4gR1 gRvr 4 15 , ve 2 15下面求作用在小球上的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。 分別以小球和物塊為研究對(duì)象， 受力 如圖 C，D所示。設(shè)小球的相對(duì)物塊的加速度為ar ，物塊的加速度為 ae ，對(duì)于小球有動(dòng)力學(xué)方程對(duì)于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程有b)m0ae F m0 g FN將方程

12、（ a）在小球相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的法線方向投影，可得m(arn ae cos ) F mgsin其中相對(duì)加速度為已知量，2arn vr 。將方程（ b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得 Rm0ae F cos0 FN m0g Fsin領(lǐng)300 ，聯(lián)立求解三個(gè)投影可求出47 3g94ae2 , F mg, FN 3.6267mg1575t am2 18 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，兩個(gè)小球?qū)ΨQ下滑， 設(shè)圓環(huán)的半徑為 R。每個(gè)小球應(yīng)用動(dòng)能定理有： 12m（R ） 2 mgR（1 cos ） （a）2將上式對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)并簡(jiǎn)化可得：(b )g sinR 每個(gè)小球的加速度為t a am(R cos R 2 sin )

13、i ( R sin R 2 cos )j取圓環(huán)與兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理miaiCFi將上式在 y 軸上投影可得：m0 0 2m(R sin R 2 cos ) FN 2mg m0g 將(a),(b)兩式代入上式化簡(jiǎn)后得FN m0 g 2mg(3cos22sin )FN 0時(shí)對(duì)應(yīng)的 值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時(shí)上式可表示成3cos22cosm0 02m上述方程的解為：1 13m0，cos (13 31 1 32mm0 )圓環(huán)脫離地面時(shí)的 值為 1 arccos 1 1 1 3m01 3 3 2m而 2 arccos 1 1 1 3m0 也是方程的解，但是 1 時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此

14、2 3 3 2m 12 不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。2 19 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線 通過(guò)鉛垂軸。 根據(jù)受力分析可知： 系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。 設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為 vr ，牽連速度為 ve系統(tǒng)對(duì) z 軸的動(dòng)量矩守恒，有：2Lzm0r 2mver mvr cos r 0其中： ve r ，則上式可表示成：2(m0 m)rmvr cos r由此解得：mvr cos(m0 m)rvr cosrz其中：m0m ， tan h m2r根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有： T2 T1W1 21 2 2 1 2T1 0, T2m0rmvaW1 2 mgnh1 2 2 0 2 a 1 2其中： va2 (ve vr cos )2 (vr sin )2 ，將其代入動(dòng)能定理的積分式，可得：m0r2 2 m(r vrcos )2 (vr sin )2 2mghnvr cos將 r 代入上式，可求得： vr r2ghn1 cos21 由 va2(vevr cos )2(vr sin)2 可求得：vavr1(2)cos222 20 取鏈條為研究對(duì)象，設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 應(yīng)用動(dòng)量矩定理，鏈條對(duì) O 軸的動(dòng)量矩為：LO r 3外