電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設計

1、電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設計陳曄 (1) 何榮堅(2) 鄭可逵(3) 1韶關學院2001級數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學(1)班 5120052韶關學院2002級計算機系科學與技術本（3）班 5120053韶關學院2002級數(shù)學系信息技術教育（2）班 512005摘要:針對變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設計，建立數(shù)學模型并用matlab函數(shù)constr編程與搜索法求解，有計算速度快，穩(wěn)定性好等特點，鐵心利用率比較原設計圖紙算法可提高3.8%左右，具有一定的實用價值。對于直徑為800mm的鐵心柱，原設計級數(shù)為17級，通過對模型求解，發(fā)現(xiàn)級數(shù)為12級時，仍能達到96%的鐵心截面積利用率，則可減少10級疊片的疊壓，因

2、此可在生產(chǎn)設計時考慮采用12級的疊片設計方案。關鍵詞:鐵心利用率;非線整數(shù)性規(guī)劃;搜索領域;尾數(shù)調整1 問題的提出電力變壓器設計中一個很重要的環(huán)節(jié)就是鐵心柱的截面如何設計。變壓器鐵心截面在圓形的線圈里。為充分利用線圈內空間，心式鐵心柱截面常采用多級階梯型結構，如圖1：各小階梯（又稱為“級”）均為矩形。截面在圓內是上下軸對稱的，階梯的每級都是由許多種寬度的硅鋼片迭起來的，如何構造各個小矩形，使幾何截面積最大？這就是電力變壓器鐵心柱截面積的優(yōu)化問題。為了改善鐵心柱內部的散熱，在某些相鄰階梯形之間留下一些水平空隙，放入冷卻油。油道的位置應使其分割的各部分鐵心柱截面積近似相等。因此在確定各級的設計后，

3、還要考慮油道的設計。2 符號約定 鐵心柱截面積 第級寬度的一半 第級的厚度 各級面積 尾數(shù)，為5或10 外接圓直徑 外接圓半徑 油道分開各部分的面積3 問題的分析與模型的建立我國變壓器制造業(yè)通常采用全國統(tǒng)一的標準鐵心設計圖紙，根據(jù)多年的生產(chǎn)經(jīng)驗，各生產(chǎn)廠存在著對已有設計方案的疑問：能否改進及如何改進這些設計，才能在提高使用效益的同時降低變壓器成本。所以以往在設計大直徑多級鐵心柱時，工廠一般采用作圖法，即在圖紙上經(jīng)過反復核算，畫出較好的鐵心截面積設計方案，實際上與最優(yōu)解的偏差較大；近年來由于計算機的應用及數(shù)學軟件的發(fā)展，產(chǎn)生了建立數(shù)學模型并利用計算機使用多種方法求解的思想。本文的重點主要在計算機

4、求解與數(shù)據(jù)分析。對于變壓器鐵心柱的級寬，都可以通過已知的直徑算出相應的厚度，因此可以轉化為以各級的寬度為變量的數(shù)學模型。由于現(xiàn)有的各直徑鐵心柱的級數(shù)都是參照生產(chǎn)經(jīng)驗，認為要達到一定的級數(shù)才能滿足一定的幾何截面積，而沒有科學的精確的求解過程。因此設想通過對模型的計算所得出的數(shù)據(jù)，只要在滿足一定的幾何截面積的前提下，如果能減少級數(shù)，便可減少生產(chǎn)成本。3.1模型1由于制造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取為5或10的倍數(shù)（單位：毫米）。因為在多級階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米。令為鐵心利用率。對直徑d，以（）為其各級

5、的寬度， （）為相應的厚度。面積函數(shù)為，x與y的關系為 ,可得以下模型 各級寬度必須為的倍數(shù) 第一級厚度必須大于26mm 第n級寬度大于20mm 各級寬度逐級遞增此模型為非線整數(shù)規(guī)劃。3.2模型2油道處于相鄰兩級間，取油道間的面積。令油道為時，將鐵心柱截面分為部分，即，,要求各部分面積必須近似相等，則各級面積應與近似相等，即： 4 模型的求解41模型1的求解當鐵心柱直徑一定時，級數(shù)愈多，截面積愈大，但級數(shù)多，則硅鋼片的規(guī)格就多，制造工時也就多，因此需要綜合考慮鐵心利用系數(shù)于制造工藝問題，在工程實踐種鐵心柱直徑與級數(shù)的經(jīng)驗對應關系如下表1：鐵心柱直徑（mm）8019520026527039040

6、074076080010001200級數(shù)5781011121415171922表1 鐵心柱截面級數(shù)的選擇本文以d=800mm為例，給出兩種鐵心柱截面積優(yōu)化的方法搜索法與運用matlab求解非線性規(guī)劃的方法。再以此例，對比d=800mm時n=11，12，17的數(shù)據(jù)，對鐵心柱的級數(shù)進行優(yōu)化。4.1.1 matlab求解非線性規(guī)劃在matlab中運用constr函數(shù)3，可求解出非線性規(guī)劃目標函數(shù)中各未知數(shù)的最優(yōu)解，（程序見附錄1）但結果為小數(shù)，需要編程進行調整。由于對寬度的尾數(shù)限制，要對附錄1中運行出來的數(shù)據(jù)進行處理。要求以5為倍數(shù)時，當尾數(shù)為（0，2.4）與（7.5，0）范圍內，令其為0，在（2.

7、5，7.4）范圍內時，令其為5；要求以10為倍數(shù)時，則四舍五入。得出d=800mm，即面積為502650時，各級的寬度、厚度及面積與鐵心利用率如下：第級1234567895為尾數(shù)寬度790775750725700670635600565厚度126728060495049433710為尾數(shù)寬度790770750730700670640600560厚度1269161496050434942第級10111213141516175為尾數(shù)寬度520480430380325265195115面積為488800，利用率為97.24厚度423235292724211610為尾數(shù)寬度52048043038033

8、0270200110面積為488850，利用率為97.25厚度37323529252422184.1.2 搜索法由于各級鐵心柱最小級要求在20mm以上，第一級寬小于795，考慮鐵心柱是一對稱圖形，因此在求解中只計算1/4圓的面積即可。由于d=800mm的經(jīng)驗級數(shù)是15-17級，因此對于寬度以5的倍數(shù)時搜索法如果直接以5mm為步長進行搜索運行的時間將相當長，所以先以20mm為步長搜索出寬度大概所處的范圍，再在其領域進行搜索，求出截面積最大的最優(yōu)解。第一級的搜索范圍為（10，397.5），由于各級的寬度是逐級遞減的，所以第二級為（12.5，395），第n級為（10+2.5n，397.5-2.5n）

9、。這樣得出來的數(shù)據(jù)無須人工調整為5的整數(shù)倍，且精確度非常高，但是對于級數(shù)較多的鐵心柱來說，運行所需時間相當長。（程序見附錄2,只給出領域搜索部分的程序）。數(shù)據(jù)與matlab求解非線性規(guī)劃相吻合。對比兩種方法，matlab求解非線性規(guī)劃運行速度快，但是數(shù)據(jù)必須經(jīng)過調整；搜索法時間非常長，但無須進行數(shù)據(jù)調整，對比兩種方法的結果沒有差別。因此建議采用matlab求解非線性規(guī)劃的方法。由于原17級鐵心柱利用率較低，為93.48，因此考慮在減少級數(shù)的同時，如果能達到一定的鐵心利用率，便可降低制造成本。通過計算后發(fā)現(xiàn)，n=12級時，其利用率仍大于96%，因此，如選用12級，整個鐵心柱的制造成本將大大降低。

10、下表給出級數(shù)為11-16時各級的寬度與厚度及其利用率。級數(shù)為16時 （單位：mm）第級1234567895為尾數(shù)寬度790770750720690660625585545厚度126916170564747464010為尾數(shù)寬度790770750720690660620580540厚度1269161705647534539第級101112131415165為尾數(shù)寬度500450395340275205125面積為486700，鐵心利用率為96.83厚度3937342827221810為尾數(shù)寬度500450400340280200120面積為485950，鐵心利用率為96.68厚度34373131

11、252516級數(shù)為15級 (單位：mm)第級123456785為尾數(shù)寬度790770745715685645610565寬度1269174675460444910為尾數(shù)寬度790770750720680650610570厚度12691617073455144第級101112131415165為尾數(shù)寬度520470415355290215125面積為486385，鐵心利用率為96.76厚度4239373329252010為尾數(shù)寬度520470410350290210120面積為486490，鐵心利用率為96.78厚度47394032262619級數(shù)為14級時 （單位：mm）第級123456785

12、為尾數(shù)寬度790770740710675635590540厚度1269187656157545010為尾數(shù)寬度790770740710670630590540厚度12691876569564750第級910111213145為尾數(shù)寬度490435370300225130面積為486285，鐵心利用率為96.74厚度42393832262210為尾數(shù)寬度490430370300220130面積為486330，鐵心利用率為96.75厚度424235322820級數(shù)為13級時 （單位：mm）第級12345675為尾數(shù)寬度790765735700660615565厚度12610882716560551

13、0為尾數(shù)寬度790760730700660610570厚度1261247760656544第級89101112135為尾數(shù)寬度510455390315235135面積為484925，鐵心利用率為96.47厚度50424037292410為尾數(shù)寬度510450390320230140面積為484080，鐵心利用率為96.30厚度554537353321級數(shù)為12級時 （單位：mm）第級12345675為尾數(shù)寬度785760725690645595535厚度15496886768626010為尾數(shù)寬度790760730690640590540厚度1261247778756050第級89101112

14、5為尾數(shù)寬度475410335245145面積為483235，鐵心利用率為96.14厚度494340352510為尾數(shù)寬度480410330250140面積為483010，鐵心利用率為96.09厚度5047423128級數(shù)為11級 （單位：mm）第級12345678910115為尾數(shù)寬度785755720675625565500430355260150面積為480860，鐵心利用率為95.66厚度15411084817067585042402910為尾數(shù)寬度790760720670620570500430350260150面積為480820，鐵心利用率為95.66厚度1261249988685

15、66350453729下表為各直徑下的寬度與厚度等數(shù)據(jù)表直徑: 200mm 級數(shù): 8級 外接圓面積: 31416 面積: 27890 利用率: 88.78%12345678190180170160150140120110622518151211177直徑: 400mm 級數(shù): 12級 外接圓面積: 125660 面積: 11910 利用率: 95.42%123456789101112390 38036034032029026023020016012070893649362935282319201512直徑: 600mm 級數(shù): 14級 外接圓面積: 282740 面積: 272490 利用率

16、: 96.37%i=1234567891011121314()59057055052049046042038034029024018010020()1097852604739433630312522198直徑:1000mm 級數(shù): 18級 外接圓面積: 785400 面積: 765740 利用率: 97.5%123456789()990970950920890850810770730()14110269806471605245101112131415161718()68063058520460390320240140()504338403453272319直徑:1200mm 級數(shù): 22級 外

17、接圓面積: 1131000 面積: 1106265 利用率: 97.82%1234567891011()1190117011501125109510651030990955910870()1551127675736263624856441213141516171819202122()825775725670610550485415335250()4545403938333128262118下表以d=800 1000 1200為例，計算出的各項指標與原鐵心柱制造指標比較，外接圓面積級數(shù)原截面積現(xiàn)截面積原利用率現(xiàn)利用率800mm5026501746986048885093.48%97.251000

18、mm785400 1973632076574093.75%97.5%1200mm1131000221065440110415594.2%97.63%由以上各表數(shù)據(jù)可看出，的鐵心柱直徑越大，優(yōu)化結果越好。4.2 油道位置的確定為油道平均分割各鐵心柱截面各部分的的面積，且之間近似相等，即允許與絕對分割面積間存在誤差。先令此誤差取較大的一個數(shù)，累加各級截面積，當累加的和在此誤差內時，便在所加的級數(shù)間設置一油道，如果設置完所有油道還有剩余面積，或不能設置完油道，則在程序運行過程中逐漸減少。由于油道厚度為6mm，直接增加油道會對鐵心柱的圓形形狀產(chǎn)生較大的影響，所以在確定油道位置后，選擇較小的一級，減小，

19、令，加入油道，則不影響鐵心柱形狀，且由于對分割的面積影響不大。(程序見附錄3)以d=800mm,級數(shù)為12級,為例,確定最佳的油道設置方案及分割后各級的面積如下表:半圓中油道位置1,2級之間3,4級間5,6級間分割面積99540145890976801276605 模型的評價本文對電力變壓器鐵心柱截面積優(yōu)化設計給出的算法達到了對其優(yōu)化的目的，在d=800mm的算例中級數(shù)按原設計要求為17級時提高截面積利用率3.8%。從節(jié)約能源的角度出發(fā)，對大型變壓器來說，將利用率提高1%也將產(chǎn)生可觀的經(jīng)濟效益。當級數(shù)設計改為12級時，相對原利用率也提高了2.5%，對整個變壓器來說，減少10級的疊片疊壓將大大的

20、提高生產(chǎn)效率及減少成本。matlab的編程計算具有計算時間快，優(yōu)化效果好的特點，對大直徑的鐵心柱優(yōu)化效果明顯。給出的算法以生產(chǎn)工藝要求為前提，具有使用性。參考文獻:1.姚恩瑜、何勇、陳仕平.數(shù)學規(guī)劃與組合優(yōu)化m.杭州.浙江大學出版社.20012.汪國強.數(shù)學建模優(yōu)秀案例選.廣州.華南理工大學出版社.19983.王沫然.matlab6.0與科學計算.北京.電子工業(yè)出版社.20014.張樹俠等.數(shù)據(jù)建模及預報.哈爾濱.哈爾濱工程大學出版社.1999附錄7.1附錄1funf=f=-1*(x(1)*sqrt(4002-x(1)2)+x(2)*(sqrt(4002-x(2)2)-sqrt(4002-x(

21、1)2)+x(3)*(sqrt(4002-x(3)2)-sqrt(4002-x(2)2)+x(4)*(sqrt(4002-x(4)2)-sqrt(4002-x(3)2)+x(5)*(sqrt(4002-x(5)2)-sqrt(4002-x(4)2)+x(6)*(sqrt(4002-x(6)2)-sqrt(4002-x(5)2)+x(7)*(sqrt(4002-x(7)2)-sqrt(4002-x(6)2)+x(8)*(sqrt(4002-x(8)2)-sqrt(4002-x(7)2)+x(9)*(sqrt(4002-x(9)2)-sqrt(4002-x(8)2)+x(10)*(sqrt(400

22、2-x(10)2)-sqrt(4002-x(9)2)+x(11)*(sqrt(4002-x(11)2)-sqrt(4002-x(10)2)+x(12)*(sqrt(4002-x(12)2)-sqrt(4002-x(11)2)+x(13)*(sqrt(4002-x(13)2)-sqrt(4002-x(12)2)+x(14)*(sqrt(4002-x(14)2)-sqrt(4002-x(13)2)+x(15)*(sqrt(4002-x(15)2)-sqrt(4002-x(14)2)+x(16)*(sqrt(4002-x(16)2)-sqrt(4002-x(15)2); ;%最大面積的目標函數(shù)fun

23、g=g=x(2)-x(1)+5;x(3)-x(2)+5;x(4)-x(3)+5;x(5)-x(4)+5;x(6)-x(5)+5;x(7)-x(6)+5;x(8)-x(7)+5;x(9)-x(8)+5;x(10)-x(9)+5;x(11)-x(10)+5;x(12)-x(11)+5;x(13)-x(12)+5;x(14)-x(13)+5;x(15)-x(14)+5;x(16)-x(15)+5;%寬度逐級遞減的約束條件fun=funf fung;x0=180 185 190 195 200 205 210 215 225 225 230 235 240 245 250 255; %初始值optio

24、ns=;vlb=85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10; %下界vub=395 390 385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320; %上界x,options=constr(fun,x0,options,vlb,vub);y=zeros(1,16);x=x.*2;x=(round(x./10).*10; %以10為倍數(shù)的寬度for i=1:16 yy=sum(y,1); y(i)=sqrt(8002-x(i)2)-yy;endy=round(y);xy s=x.*y;su

25、m(s,1)(ans)/(4002)*pi)7.2附錄2 max=0; hh1=395; yy1=(4002-hh12)(1/2); ss1=hh1*yy1; for b=1:6 hh2=385+(b-3)*5; yy2=(4002-(hh2)2)(1/2)-yy1; ss2=hh2*yy2; for c=1:6 hh3=375+(c-3)*5; yy3=(4002-(hh3)2)(1/2)-yy1-yy2; ss3=hh3*yy3; for d=1:6 hh4=365+(d-3)*5; yy4=(4002-(hh4)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3; ss4=hh4*yy4; for

26、e=1:6 hh5=355+(e-3)*5; yy5=(4002-(hh5)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4; ss5=hh5*yy5; for f=1:6 hh6=345+(f-3)*5; yy6=(4002-(hh6)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5; ss6=hh6*yy6; for g=1:6 hh7=335+(g-3)*5; yy7=(4002-(hh7)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6; ss7=hh7*yy7; for h=1:6 hh8=325+(h-3)*5; yy8=(4002-(hh8)2)(1/2)-yy

27、1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7; ss8=hh8*yy8; for i=1:6 hh9=315+(i-3)*5; yy9=(4002-(hh9)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8; ss9=hh9*yy9; for j=1:6 hh10=305+(j-3)*5; yy10=(4002-(hh10)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9; ss10=hh10*yy10; for k=1:6 hh11=285+(k-3)*5; yy11=(4002-(hh11)2)(1/2)-yy1-y

28、y2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10; ss11=hh11*yy11; for l=1:6 hh12=265+(l-3)*5; yy12=(4002-(hh12)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11; ss12=hh12*yy12; for m=1:6 hh13=245+(m-3)*5;yy13=(4002-(hh13)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12; ss13=hh13*yy13; for n=1:6 hh14=225+(n-3)*5;yy14=(4002-(hh14)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13; ss14=hh14*yy14; for o=1:6 hh15=205+(o-3)*5;yy15=(4002-(hh15)2)(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-y