數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案

1、數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 背景背景概念與思想概念與思想公式與定理公式與定理問(wèn)題與求解問(wèn)題與求解結(jié)語(yǔ)結(jié)語(yǔ) 如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)“立德樹(shù)人立德樹(shù)人”的根本任務(wù)，如何實(shí)的根本任務(wù)，如何實(shí) 施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，日益受到人們的關(guān)注。施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，日益受到人們的關(guān)注。 國(guó)際上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識(shí)、能力、思維、情國(guó)際上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識(shí)、能力、思維、情 感，而國(guó)內(nèi)目前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學(xué)情感。感，而國(guó)內(nèi)目前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學(xué)情感。 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（HPM）是今日數(shù)

2、學(xué)教育）是今日數(shù)學(xué)教育 領(lǐng)域的熱門(mén)課題。領(lǐng)域的熱門(mén)課題。 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的成效在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)，越來(lái)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的成效在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)，越來(lái) 越多的中學(xué)一線教師對(duì)越多的中學(xué)一線教師對(duì)HPM產(chǎn)生濃厚興趣。產(chǎn)生濃厚興趣。 如何設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)如何設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)HPM課例？課例？HPM視角下的數(shù)學(xué)教視角下的數(shù)學(xué)教 學(xué)實(shí)踐是否可以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展？學(xué)實(shí)踐是否可以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展？ 背背 景景 為什么要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)？融入什么？如何融入？為什么要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)？融入什么？如何融入？ 背背 景景 數(shù)學(xué)史料數(shù)學(xué)史料 人物事人物事 件件 概念術(shù)概念術(shù) 語(yǔ)語(yǔ) 數(shù)學(xué)問(wèn)數(shù)學(xué)問(wèn) 題題

3、公式定公式定 理理 學(xué)科思學(xué)科思 想想 工具符工具符 號(hào)號(hào) 選材原則選材原則 趣味性趣味性 可學(xué)性可學(xué)性 科學(xué)性科學(xué)性 有效性有效性 新穎性新穎性 運(yùn)用方式運(yùn)用方式 附加式附加式 復(fù)制式復(fù)制式 順應(yīng)式順應(yīng)式 重構(gòu)式重構(gòu)式 效果評(píng)價(jià)效果評(píng)價(jià) 知識(shí)之知識(shí)之 諧諧 方法之方法之 美美 探究之探究之 樂(lè)樂(lè) 能力之能力之 助助 文化之文化之 魅魅 德育之德育之 效效 背背 景景 教師專業(yè)發(fā)展教師專業(yè)發(fā)展 信念信念知識(shí)知識(shí)能力能力 教學(xué)取向的數(shù)學(xué)知識(shí)（教學(xué)取向的數(shù)學(xué)知識(shí)（MKT）的構(gòu)成）的構(gòu)成 背背 景景 HPM課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià) 數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)

4、數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 背景背景概念與思想概念與思想公式與定理公式與定理問(wèn)題與求解問(wèn)題與求解結(jié)語(yǔ)結(jié)語(yǔ) u教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì) 引入 古埃及一元一次方程問(wèn)題古埃及一元一次方程問(wèn)題 探究 古希臘丟番圖問(wèn)題的求解古希臘丟番圖問(wèn)題的求解 形成形成 用字母表示任意數(shù)或一類數(shù)用字母表示任意數(shù)或一類數(shù) 鞏固 字母表示數(shù)的應(yīng)用字母表示數(shù)的應(yīng)用 小結(jié)小結(jié) 字母表示數(shù)的意義字母表示數(shù)的意義 案例1 用字母表示數(shù) 案例1 用字母表示數(shù) 問(wèn)題問(wèn)題1：一個(gè)量，加上它的2/3， 它的1/2和它的1/7，等于33。求 該量。 211 33 327 xxxx 案例1 用字母表示數(shù) 問(wèn)題問(wèn)題2：已知兩數(shù)的和與差，你能 求出這兩個(gè)數(shù)嗎

5、？ 公元前1700年16世紀(jì)公元3世紀(jì) 古巴比倫人古巴比倫人 修辭代數(shù)：修辭代數(shù)： 用文字來(lái)表達(dá)用文字來(lái)表達(dá) 一個(gè)方程一個(gè)方程 丟番圖丟番圖 縮略代數(shù)：縮略代數(shù)： 用字母表示未用字母表示未 知數(shù)知數(shù) 符號(hào)代數(shù)符號(hào)代數(shù) 用字母表示任用字母表示任 意數(shù)意數(shù) 韋韋 達(dá)達(dá) 案例1 用字母表示數(shù) 案例1 用字母表示數(shù) 問(wèn)題問(wèn)題3：搭5個(gè)正方形，需要幾根火柴棍？搭任意多個(gè) 正方形呢？ 44+134+234+33 生：任意多個(gè)正方形所需火柴棍數(shù)：生：任意多個(gè)正方形所需火柴棍數(shù)：4+(正方形個(gè)數(shù)正方形個(gè)數(shù)-1) 3 案例1 用字母表示數(shù) 知識(shí)之諧知識(shí)之諧 經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母

6、表示任意數(shù)的自然過(guò)程表示任意數(shù)的自然過(guò)程 探究之樂(lè)探究之樂(lè) 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 文化之魅文化之魅 字母表示數(shù)的歷史字母表示數(shù)的歷史 德育之效德育之效 數(shù)學(xué)思想發(fā)展的曲折與艱辛數(shù)學(xué)思想發(fā)展的曲折與艱辛 學(xué)學(xué) 生生教教 師師 內(nèi)容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC） 字母表示數(shù)的歷史字母表示數(shù)的歷史 內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS） 從字母表示未知數(shù)到字母表從字母表示未知數(shù)到字母表 示任意數(shù)的困難示任意數(shù)的困難 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT） 借鑒代數(shù)學(xué)的歷史來(lái)設(shè)計(jì)教借鑒代數(shù)學(xué)的歷史來(lái)設(shè)計(jì)教 學(xué)學(xué) 太上感應(yīng)篇太上感應(yīng)篇“入重入重 出輕出輕”的的故事故事。 案例2 反

7、比例函數(shù) 引入引入 案例2 反比例函數(shù) 數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g) 第1次8100450 第2次810012150 第3次810016200 a和和n不變不變, b和和m之間的正比例關(guān)系之間的正比例關(guān)系 新課探究新課探究 案例2 反比例函數(shù) a和和m不變不變, b和和n之間的反比例關(guān)系之間的反比例關(guān)系 數(shù)據(jù)a(cm)m(g)b(cm)n(g) 第1次81001650 第2次81008100 第3次81004200 總結(jié)：當(dāng)n增加時(shí)，b卻減少， b隨 n的增加而減小。且滿足bn = am = 非零常數(shù)，b與n成反比例。 案例2 反比例函數(shù) 定義：設(shè)b = y，n = x，則y =

8、k/x。形如y =k/x（k為常數(shù)，且k 0）的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k 是比例系數(shù)。 概念形成概念形成 辨析： （1）對(duì)“形如”怎樣理解？ （2）怎樣理解“k為常數(shù)，且k 0”？ （3）反比例函數(shù)與前面所學(xué)的什么知識(shí)有聯(lián)系？ （4）為什么成為反比例函數(shù)？ u教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì) 引入 笛卡兒的故事笛卡兒的故事 探究 如何表示天花板上的蒼蠅的位置？如何表示天花板上的蒼蠅的位置？ 形成形成 直角坐標(biāo)的概念直角坐標(biāo)的概念 鞏固 在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo) 小結(jié)小結(jié) 直角坐標(biāo)系的意義直角坐標(biāo)系的意義 案例 3 直角坐標(biāo)系 從那天起，當(dāng)它們臆測(cè)從那天起，當(dāng)

9、它們臆測(cè) 又一個(gè)真理揭開(kāi)了面容又一個(gè)真理揭開(kāi)了面容 在地獄般的圈欄在地獄般的圈欄 暴發(fā)出一陣陣哀鳴暴發(fā)出一陣陣哀鳴 案例 3 直角坐標(biāo)系 繆斯女神把這光芒饋贈(zèng)繆斯女神把這光芒饋贈(zèng) 畢達(dá)哥拉斯要把祭禮行畢達(dá)哥拉斯要把祭禮行 百牛烤熟又切片百?？臼煊智衅?難表心中感激之情難表心中感激之情 難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行 畢氏讓它們永不得安寧畢氏讓它們永不得安寧 它們瑟瑟顫抖著它們瑟瑟顫抖著 絕望地閉上了眼睛絕望地閉上了眼睛 復(fù)習(xí)舊知：數(shù)軸的三要素復(fù)習(xí)舊知：數(shù)軸的三要素； 笛卡兒的故事；笛卡兒的故事； 問(wèn)題問(wèn)題1：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬5cm，如何，如何 表示它的位置？表示它的位置？ 問(wèn)題

10、問(wèn)題2：蒼蠅向左爬：蒼蠅向左爬5cm，如何，如何 表示它的位置？表示它的位置？ 案例 3 直角坐標(biāo)系 問(wèn)題問(wèn)題3：蒼蠅向上爬：蒼蠅向上爬5cm， 如何表示它的位置？如何表示它的位置？ 問(wèn)題問(wèn)題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm， 再向上再向上5cm，如何表示它的，如何表示它的 位置？位置？ S：用：用+3表示。表示。 T：那如果蒼蠅向上爬了：那如果蒼蠅向上爬了6cm， 7cm，又如何表示它的位置，又如何表示它的位置 呢？呢？ S：還是：還是+3。 T：可是，蒼蠅的位置明明：可是，蒼蠅的位置明明 不同?。坎煌?？ 案例 3 直角坐標(biāo)系 問(wèn)題問(wèn)題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5cm

11、，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ 案例 3 直角坐標(biāo)系 S：用：用8來(lái)表示。來(lái)表示。 T：那么如果蒼蠅先向右爬：那么如果蒼蠅先向右爬4cm， 再向上爬再向上爬4cm，那你怎么表示？，那你怎么表示？ S：還是：還是8。 T：不同的位置，但是你卻用：不同的位置，但是你卻用同同 一一個(gè)個(gè)數(shù)來(lái)表示，同學(xué)們覺(jué)得這樣數(shù)來(lái)表示，同學(xué)們覺(jué)得這樣 可行嗎？可行嗎？ S：不可行。：不可行。 問(wèn)題問(wèn)題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ 案例 3 直角坐標(biāo)系 S：用：用“5垂直于垂直于3”表示。表示。 T：那如果蒼蠅向左爬了：那如果蒼蠅向左爬了3cm

12、，再向上爬了，再向上爬了5cm呢？呢？ S：“5垂直于垂直于-3”。 T：這位同學(xué)很棒，用兩個(gè)數(shù)來(lái)表示點(diǎn)的位置，那么這位同學(xué)很棒，用兩個(gè)數(shù)來(lái)表示點(diǎn)的位置，那么 能不能再簡(jiǎn)練一點(diǎn)呢？能不能再簡(jiǎn)練一點(diǎn)呢？ S：5 3。 S：5.3。 S：5/3。 問(wèn)題問(wèn)題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ T：還有其他表示方法嗎？：還有其他表示方法嗎？ 有兩組學(xué)生開(kāi)始用量角器與直尺有兩組學(xué)生開(kāi)始用量角器與直尺 S7：北偏東北偏東50 。 T： T：我們將：我們將5垂直于垂直于3表示為（表示為（3, 5）。）。 案例 3 直角坐標(biāo)系 案例 3 直角坐標(biāo)系

13、知識(shí)之諧知識(shí)之諧 經(jīng)歷坐標(biāo)概念的自然發(fā)生過(guò)程經(jīng)歷坐標(biāo)概念的自然發(fā)生過(guò)程 探究之樂(lè)探究之樂(lè) 體驗(yàn)成功的快樂(lè)、積累數(shù)學(xué)活體驗(yàn)成功的快樂(lè)、積累數(shù)學(xué)活 動(dòng)經(jīng)驗(yàn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 文化之魅文化之魅 數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系 德育之效德育之效 興趣、自信心、親近數(shù)學(xué)興趣、自信心、親近數(shù)學(xué) 學(xué)學(xué) 生生教教 師師 內(nèi)容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC） 直角坐標(biāo)系的歷史直角坐標(biāo)系的歷史 內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS） 從一維到二維的困境從一維到二維的困境 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT） 借鑒坐標(biāo)概念的歷史來(lái)設(shè)計(jì)借鑒坐標(biāo)概念的歷史來(lái)設(shè)計(jì) 教學(xué)教學(xué) 水平內(nèi)容知識(shí)（水平內(nèi)容知識(shí)（H

14、CK） 直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的聯(lián)系直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的聯(lián)系 案例4 函數(shù)的概念 函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史 總之有自變量、因總之有自變量、因 變量且一變量且一個(gè)個(gè) x 有且有且 僅有一個(gè)僅有一個(gè) y 的值與的值與 其對(duì)應(yīng)的式子其對(duì)應(yīng)的式子 案例4 函數(shù)的概念 師師：關(guān)于函數(shù)概念，同學(xué)們并不陌生?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家回 憶一下，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)是怎么定義的？ 引入引入 L. Euler (1707 1783) 案例4 函數(shù)的概念 歐拉的函數(shù)定義歐拉的函數(shù)定義( (1748) )： 一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量 和一些數(shù)或常量以任何方式和一些數(shù)或常量以任何方式 組成的解析式。組成的解析式。

15、 無(wú)窮分析引論無(wú)窮分析引論 德摩根代數(shù)學(xué)德摩根代數(shù)學(xué)的定義的定義(1837)： A. de Morgan (1806-1871) 案例4 函數(shù)的概念 Any expression which contains x in any way is called a function of x. 李善蘭李善蘭的譯文：的譯文：“凡式中含天，凡式中含天， 為天之為天之函數(shù)函數(shù)?！边@便是中文這便是中文 “函數(shù)函數(shù)”名稱的由來(lái)。名稱的由來(lái)。 案例4 函數(shù)的概念 例例1(課本課本)：表表1列出了列出了男子一百米欄項(xiàng)目男子一百米欄項(xiàng)目從從1900年開(kāi)始年開(kāi)始的世界紀(jì)錄的世界紀(jì)錄 創(chuàng)立的時(shí)間和成就，創(chuàng)立的時(shí)間和成就

16、，請(qǐng)請(qǐng)思考：思考： （1）統(tǒng)計(jì)表中有統(tǒng)計(jì)表中有哪哪幾個(gè)變量？是什么？幾個(gè)變量？是什么？ （2）當(dāng)時(shí)間年份確定時(shí)，相應(yīng)的世界紀(jì)錄成績(jī)是否確定？能寫(xiě)出當(dāng)時(shí)間年份確定時(shí)，相應(yīng)的世界紀(jì)錄成績(jī)是否確定？能寫(xiě)出 成績(jī)隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？成績(jī)隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？ 年份年份19001908192019361959197319932006 成績(jī)成績(jī)15.41514.814.213.213.112.9112.88 男子男子100米欄世界紀(jì)錄統(tǒng)計(jì)表米欄世界紀(jì)錄統(tǒng)計(jì)表 案例4 函數(shù)的概念 概念生成概念生成 從從“解析式解析式”到到“變量依賴關(guān)系變量依賴關(guān)系” 案例4 函數(shù)的概念 問(wèn)題問(wèn)題：下圖為某天滬深300指數(shù)

17、隨時(shí)刻變化的圖像。該 圖像體現(xiàn)了指數(shù)和時(shí)刻之間的關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之 間的關(guān)系能否用一個(gè)解析式來(lái)刻畫(huà)呢？ 如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量，如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量， 當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，前面這當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，前面這 個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè)個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè) 量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)。量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)。 微分學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)基礎(chǔ) L. Euler (1707 1783) 案例4 函數(shù)的概念 歐拉歐拉的新定義（的新定義（1755）：）： 案例4 函數(shù)的概念 例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說(shuō)明理由。是不是一個(gè)函數(shù)？說(shuō)明理由。 師師：初中階段我們學(xué)習(xí)了具體的一次、二次

18、函數(shù)等，初中階段我們學(xué)習(xí)了具體的一次、二次函數(shù)等， 在這些函數(shù)中，變量在這些函數(shù)中，變量 y 與與 x 之間就有明確的依賴關(guān)系。之間就有明確的依賴關(guān)系。 但是，利用但是，利用“依賴關(guān)系依賴關(guān)系”來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，是否盡善盡美來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，是否盡善盡美 了呢？了呢？ 從從“變量依賴關(guān)系變量依賴關(guān)系”到到“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系變量對(duì)應(yīng)關(guān)系” 課前的問(wèn)卷調(diào)查表明：課前的問(wèn)卷調(diào)查表明：161人中有人中有 65人認(rèn)為它不是函數(shù)關(guān)系，占比人認(rèn)為它不是函數(shù)關(guān)系，占比 40.37%。理由是：。理由是： y 不隨不隨 x 的變化而變化；的變化而變化； 沒(méi)有沒(méi)有 y 與與 x 的關(guān)系式；的關(guān)系式； x 與與 y 之間沒(méi)有關(guān)系；之

19、間沒(méi)有關(guān)系； y沒(méi)有依賴沒(méi)有依賴 x 的變化而改變，的變化而改變， 是 60% 否 40% 案例4 函數(shù)的概念 例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說(shuō)明理由。是不是一個(gè)函數(shù)？說(shuō)明理由。 師師：那我們?cè)撛鯓用枋鲞@兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢？重 新審視函數(shù) y = 0 ( x R ) ，無(wú)論 怎樣變化， 的值都是 以不變應(yīng)萬(wàn)變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對(duì)應(yīng)”之 意，也就是對(duì)每一個(gè) 的值，都有 的值0與之對(duì)應(yīng)。我 們能否從這樣一個(gè)新的視角來(lái)理解前面遇到的例子呢？ 生生：男子100米欄世界紀(jì)錄表中，對(duì)于每一個(gè)出現(xiàn)的年 份，都能找到一個(gè)世界紀(jì)錄與之對(duì)應(yīng)；而在滬深指數(shù) 圖像中，每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)

20、確定的股票指數(shù)與之對(duì) 應(yīng)。 案例4 函數(shù)的概念 師師：理解得很到位，那么對(duì)于我們熟悉的函數(shù)y=2x2 呢？ 生生：對(duì)每一個(gè)x的值，都有y的值與之對(duì)應(yīng)。 師師：我們還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一 的值與之對(duì)應(yīng)，說(shuō)明我們同樣可以從對(duì)應(yīng)的角度來(lái)理 解曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)。通過(guò)以上實(shí)例的分析，同學(xué)們 能否提煉并概括一下這些關(guān)系的共同特征？ 生生：以上函數(shù)關(guān)系中，對(duì)變量 x 的每一個(gè)值，變量 y 都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。 案例4 函數(shù)的概念 師師：那么，能不能用集合的語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)描述初 中所學(xué)的函數(shù)概念呢？ 生生：如果在某個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量 x 和 y，對(duì) 于某個(gè)實(shí)數(shù)集合 D 內(nèi)的每一

21、個(gè)確定的 x， y 都有唯一 確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么 y 就是 x 的函數(shù)，x 叫做自 變量，x 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和 x 對(duì)應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值。 師師：非常好！這正是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷于1837年提 出的函數(shù)定義。 案例4 函數(shù)的概念 狄利克雷的現(xiàn)代定義（狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：）： 設(shè)設(shè) a、b 是兩個(gè)確定的值，是兩個(gè)確定的值，x 是可取是可取 a、b 之間一切值的之間一切值的 變量。如果對(duì)于每一個(gè)變量。如果對(duì)于每一個(gè) x， 有唯一有限的有唯一有限的 y 值與它對(duì)應(yīng)值與它對(duì)應(yīng), 當(dāng)當(dāng)x連續(xù)變化時(shí)，連續(xù)變化時(shí)，y 也隨之變也隨之變 化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函

22、數(shù)。的函數(shù)。 L. Dirichlet（1805-1859） 案例4 函數(shù)的概念 案例4 函數(shù)的概念 師師：反觀剛才分析過(guò)的這些函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用 一個(gè)圖表、一個(gè)圖像或者一個(gè)解析式來(lái)呈現(xiàn)，我們把 它統(tǒng)稱為“對(duì)應(yīng)法則”。例如表1中，14.2與1936對(duì)應(yīng)， 1973有唯一的13.1與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)表表格格就是一個(gè)對(duì)應(yīng) 法則。那么同學(xué)們能否從這個(gè)角度來(lái)分析其他例子的 對(duì)應(yīng)關(guān)系呢? 生生：圖2的滬指變化圖圖像像就是一種對(duì)應(yīng)法則。 生生：函數(shù) y = 2x2，這個(gè)解析式解析式就是一種對(duì)應(yīng)法則。 案例4 函數(shù)的概念 3 4096 32768 案例5 對(duì)數(shù)的概念 計(jì)算：計(jì)算： 1 16 256 2 25

23、6 4096 案例5 對(duì)數(shù)的概念 x12345678910 24816326412825651210242x x1112131415161718 2048409681921638432768655361310722621442x x192021222324 5242881048576209715241943048388608167772162x x2526272829 33554432671088641342177282684354565368709122x x30313233 10737418242147483648429496729685899345922x mnm + n MN=MN 案

24、例5 對(duì)數(shù)的概念 299792.45831536000 + 光在真空中的速度光在真空中的速度 （千米（千米/ /秒秒) ) 一年的秒數(shù)一年的秒數(shù) = 1光年光年 一個(gè)天文單位一個(gè)天文單位 299792458 31536 1798754748 899377374 1498962290 299792458 899377374 9454254955488 案例案例5 對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)的概念 計(jì)算：計(jì)算： 案例5 對(duì)數(shù)的概念 x1112131415161718 2048409681921638432768655361310722621442x x2526272829 335544326710886413

25、42177282684354565368709122x 31536 299792458 案例5 對(duì)數(shù)的概念 x 1416384.000 14.930573.625 14.9431433.166 14.94431520.438 14.944531531.364 14.9445931533.331 14.9450031537.703 1532768.000 2 x 2 log 31536 我們需要?jiǎng)?chuàng)造新數(shù)！我們需要?jiǎng)?chuàng)造新數(shù)！ 31536.000 幾何原本幾何原本卷卷11之棱柱定義之棱柱定義 一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它 是有一些平面構(gòu)成的，其中 有兩個(gè)面是相對(duì)的、相等的、 相似且平行的，其他各面都

26、是平行四邊形。 案例 6 棱柱的概念 Wentworth x 解一元二次方程： 2 2536;x 2 329x 用幾何語(yǔ)言來(lái)表達(dá)上述方程。 案例11 解一元二次方程的配方法 問(wèn)題提出問(wèn)題提出 9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代數(shù)學(xué)中提出以 下問(wèn)題：一平方與十根等于二十迪拉姆，求根一平方與十根等于二十迪拉姆，求根。（解一 元二次方程方程 ） 2 1020 xx 師師：在古代，開(kāi)方就相當(dāng)于“已知正方形面積求邊長(zhǎng)”。 那么，這個(gè)問(wèn)題是否也可以借助幾何圖形來(lái)解決呢？請(qǐng) 同學(xué)們觀察一下，這個(gè)方程的左邊可以表示成什么圖形？ 生生1：邊長(zhǎng)為x的正方形面積，再加上一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為x 和10的長(zhǎng)方形。 方法引導(dǎo)

27、方法引導(dǎo) 案例11 解一元二次方程的配方法 師師：將它們拼在一起，能得到什么圖形？ 生生：長(zhǎng)為x +10，寬為x的長(zhǎng)方形。 師師：請(qǐng)畫(huà)到黑板上，讓大家看看。 生生1：在黑板上作出一個(gè)長(zhǎng)方形。 案例11 解一元二次方程的配方法 師師：但問(wèn)題又來(lái)了，這不是一個(gè)正方形，不能直接開(kāi)平 方吧。 生生2：要把它變成一個(gè)正方形，用截補(bǔ)的方法。 生生3：在黑板上將生1所作的長(zhǎng)方形補(bǔ)成正方形。 案例11 解一元二次方程的配方法 師師：我們一起來(lái)看看，此時(shí)這個(gè)圖形的面積是怎么表示 的？ 生生：表示為 x2 + 20 x +100。 師師：對(duì)比一下原來(lái)的方程，這里的一次項(xiàng)與原方程有出 入，怎么辦？ 生生4：在等式右

28、邊也加上10 x。 生生5：不行，這樣不滿足開(kāi)平方法的特征呀。 生生：左邊滿足，右邊不行，加得太復(fù)雜了。 師師：右邊多了一次項(xiàng)，那怎么辦？能不能不讓它多出來(lái)？ 案例11 解一元二次方程的配方法 生生5：在黑板上給出了一種作圖法。 案例11 解一元二次方程的配方法 2 545x 師師：請(qǐng)生5說(shuō)說(shuō)你的具體做法。 生生5：把長(zhǎng)為x、寬為10的矩形一分為二，再把其中一半 移到正方形的下方，最后補(bǔ)上邊長(zhǎng)為5的小正方形。 師師：太棒了！和花拉子米的做法完全一樣。眾生嘖嘖 稱奇。請(qǐng)同學(xué)們想一想，這相當(dāng)于對(duì)原方程實(shí)施了怎 樣的操作呢？ 生生： 。 師師：我們最后得到的方程滿足開(kāi)平方法的特征。 2222 102

29、010520545xxxx 案例11 解一元二次方程的配方法 拓展理解拓展理解 古巴比倫泥板上的問(wèn)題古巴比倫泥板上的問(wèn)題：已知兩數(shù)乘積為10，差為4， 求這兩數(shù)，相當(dāng)于解方程一元二次方程 x2 - 4x = 10。 教師讓學(xué)生分小組討論相應(yīng)的幾何方法。學(xué)生遇到 了很大困難，一籌莫展！ 案例11 解一元二次方程的配方法 最后，一個(gè)學(xué)生仿照一次項(xiàng)系數(shù)為正的情形解決了難題。 2 2222 41042102214xxxxx 相應(yīng)的配方過(guò)程：相應(yīng)的配方過(guò)程： 數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 背景背景概念與思想概念與思想公式與定理公式與定理問(wèn)題與求解問(wèn)題與求解結(jié)語(yǔ)結(jié)語(yǔ)

30、 數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 數(shù)學(xué)史與教師數(shù)學(xué)史與教師MKT之間的密切關(guān)聯(lián)之間的密切關(guān)聯(lián) 數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)史 一般內(nèi)一般內(nèi) 容知識(shí)容知識(shí) 專門(mén)內(nèi)專門(mén)內(nèi) 容知識(shí)容知識(shí) 內(nèi)容與內(nèi)容與 課程知課程知 識(shí)識(shí) 內(nèi)容與內(nèi)容與 學(xué)生知學(xué)生知 識(shí)識(shí) 內(nèi)容與內(nèi)容與 教學(xué)知教學(xué)知 識(shí)識(shí) 水平內(nèi)水平內(nèi) 容知識(shí)容知識(shí) 一種模式一種模式 一個(gè)團(tuán)隊(duì)一個(gè)團(tuán)隊(duì) 一批案例一批案例 一條進(jìn)路一條進(jìn)路 數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 謝謝聆聽(tīng)謝謝聆聽(tīng) 師師：那我們?cè)撛鯓用枋鲞@兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢？重 新審視函數(shù) y = 0 ( x R ) ，無(wú)論 怎樣變化， 的值都是 以不變應(yīng)萬(wàn)變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對(duì)應(yīng)”之 意，也就是對(duì)每一個(gè) 的值，都有 的值0與之對(duì)應(yīng)。我 們能否從這樣一個(gè)新的視角來(lái)理解前面遇到的例子呢？ 生生：男子100米欄世界紀(jì)錄表中，對(duì)于每一個(gè)出現(xiàn)的年 份，都能找到一個(gè)世界紀(jì)錄與之對(duì)應(yīng)；而在滬深指數(shù) 圖像中，每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)確定的股票指數(shù)與之對(duì) 應(yīng)。 案例4 函數(shù)的概念 案例5 對(duì)數(shù)的概念 x12345678910 248163264128256512102