有電介質(zhì)高斯定理

1、有電介質(zhì)高斯定理 有介質(zhì)時，自由電荷和束縛電荷共同產(chǎn)生電場有介質(zhì)時，自由電荷和束縛電荷共同產(chǎn)生電場 EEE 0 E 滿足高斯定理：滿足高斯定理： 0S E d q S 0 0 ii qq 可以證明：可以證明： 00 () i S EPdSq S i P dSq 定義：定義： PED 0 稱電位移矢量稱電位移矢量 則：則： 0 S D dqS 一一. 的高斯定理的高斯定理 D 有電介質(zhì)高斯定理 的高斯定理：的高斯定理： D 通過任意閉合曲面的通過任意閉合曲面的電位移通量電位移通量 等于面內(nèi)包圍的等于面內(nèi)包圍的自由電荷自由電荷代數(shù)和代數(shù)和 1、電位移線：、電位移線： 規(guī)定：規(guī)定：1）線上各點(diǎn)切線方

2、向與）線上各點(diǎn)切線方向與D方向相同方向相同 2）通過任意單位垂直面元的電位移線條數(shù)）通過任意單位垂直面元的電位移線條數(shù) 等于該點(diǎn)電位移矢量的大小等于該點(diǎn)電位移矢量的大小 dS d D d 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 起自正自由電荷（或無窮遠(yuǎn)），起自正自由電荷（或無窮遠(yuǎn)）， 終止于負(fù)自由電荷（或無窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)自由電荷（或無窮遠(yuǎn)）， 在無自由電在無自由電 荷處不會中斷（無自由電荷處電位移矢量連續(xù)）荷處不會中斷（無自由電荷處電位移矢量連續(xù)） 討論討論 0 S D dqS 有電介質(zhì)高斯定理 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 線線線線 D E 從有電介質(zhì)時的高斯定理可

3、知：通過電介質(zhì)中任一從有電介質(zhì)時的高斯定理可知：通過電介質(zhì)中任一 閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代 數(shù)和。數(shù)和。 有電介質(zhì)高斯定理 + + + + + + + + + + 線線 P 電位移線起于正的自由電電位移線起于正的自由電 荷，止于負(fù)的自由電荷。荷，止于負(fù)的自由電荷。 電場線起于正電荷、止于電場線起于正電荷、止于 負(fù)電荷，包括自由電荷和負(fù)電荷，包括自由電荷和 極化電荷。極化電荷。 電極化強(qiáng)度矢量線起于負(fù)的電極化強(qiáng)度矢量線起于負(fù)的 極化電荷，止于正的極化電極化電荷，止于正的極化電 荷。只在電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)。荷。只在電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)。 有

4、電介質(zhì)高斯定理 二二. D 與 與E 的關(guān)系的關(guān)系PED 0 在各向同性、均勻的電介質(zhì)中在各向同性、均勻的電介質(zhì)中EP e 0 ED r 0 即：即： D 與與 E 成正比且方向相同成正比且方向相同 令：令： r 0 稱為介質(zhì)的介電常數(shù)稱為介質(zhì)的介電常數(shù) ED E r 0 )1( 真空中：真空中： ED 0 )( 1 0 PDE 介質(zhì)中真實的場：介質(zhì)中真實的場： 自由電荷產(chǎn)生的場：自由電荷產(chǎn)生的場： 束縛電荷產(chǎn)生的場：束縛電荷產(chǎn)生的場： E 0 D 0 P 3.介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用 0 S D dqS 有電介質(zhì)高斯定理 有電介質(zhì)存在時的高斯定理的應(yīng)用有電介質(zhì)存在時的高斯定理

5、的應(yīng)用 （1）分析自由電荷分布的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑妫┓治鲎杂呻姾煞植嫉膶ΨQ性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑?求出電位移矢量。求出電位移矢量。 （2）根據(jù)電位移矢量與電場的關(guān)系，求出電場。）根據(jù)電位移矢量與電場的關(guān)系，求出電場。 （3）根據(jù)電極化強(qiáng)度與電場的關(guān)系，求出電極化強(qiáng)度。）根據(jù)電極化強(qiáng)度與電場的關(guān)系，求出電極化強(qiáng)度。 （4）根據(jù)束縛電荷與電極化強(qiáng)度關(guān)系，求出束縛電荷。）根據(jù)束縛電荷與電極化強(qiáng)度關(guān)系，求出束縛電荷。 有電介質(zhì)高斯定理 求求: :板內(nèi)的場板內(nèi)的場 解解: :均勻極化均勻極化 表面出現(xiàn)束縛電荷表面出現(xiàn)束縛電荷 例例1 1 平行板電容器上自由電荷面密度為平行板電容器上自由電荷面密度為

6、0 00 r 充滿相對介電常數(shù)為充滿相對介電常數(shù)為 的均勻各向同的均勻各向同 性電介質(zhì)性電介質(zhì) r 故束縛電荷分布亦沿平面均勻分布故束縛電荷分布亦沿平面均勻分布 則：電場方向沿則：電場方向沿x方向方向 123 SSSS D dSD dSD dSD dS 上底上底 下底下底 由高斯定理：由高斯定理： SD 內(nèi)內(nèi)底底 SD 內(nèi)內(nèi) 底底 S 0 底底 S 0 D 0 0r D E 有電介質(zhì)高斯定理 例例2 2 一無限大各向同性均勻介質(zhì)平板厚度為一無限大各向同性均勻介質(zhì)平板厚度為d d 內(nèi)部均勻分布體電荷密度為內(nèi)部均勻分布體電荷密度為 求：介質(zhì)板內(nèi)、外的求：介質(zhì)板內(nèi)、外的 D E P 解：解： D E

7、 P 面對稱面對稱 平板平板 相對介電常數(shù)為相對介電常數(shù)為 r ， r 0 d x O 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖 以以x=0處的面為對稱面過場點(diǎn)處的面為對稱面過場點(diǎn) 作正柱形高斯面作正柱形高斯面S S S 底面積設(shè)底面積設(shè)S S0 0 0 S x 0 的自由電荷的自由電荷 0 S D dqS 有電介質(zhì)高斯定理 2 d x 0 2DSxD 0 2 d x 0 2DS dD 2 0 r 0 d x 0 S x x 00 2Sx 00dS r D E 0 r x 0 0 r r x 0 1 EP r 1 0 0 0 0 2 dD E EP r 1 0 0 均勻場均勻場 0 S D dqS 有電介質(zhì)高

8、斯定理 例例3 3：將電荷：將電荷 q 放置于半徑為放置于半徑為 R 相對電容率為相對電容率為 r 的介的介 質(zhì)球中心，求：質(zhì)球中心，求：I 區(qū)、區(qū)、II區(qū)的區(qū)的 D、E、 及及 U。 r I II R q 解：在介質(zhì)球內(nèi)、外各作半徑為解：在介質(zhì)球內(nèi)、外各作半徑為 r 的的 高斯球面。高斯球面。 r r 高斯面高斯面 球面上各點(diǎn)球面上各點(diǎn)D大小相等，大小相等， ,/ SdD ,4 0 2 qrD 2 0 4 r q D I區(qū)：區(qū)： 2 1 4r q D II區(qū)：區(qū)： 2 2 4r q D 由由 ED r 0 0 S D dqS 有電介質(zhì)高斯定理 r D E 0 1 1 2 0 4r q r r

9、 D E 0 2 2 2 0 4r q r E 0 0 E a a l dEU 由由 a Edr R R r drEdrEU 211 dr r q dr r q R R r r 2 0 2 0 44 R q Rr q r00 4 11 4 r drEU 22 dr r q r 2 0 4r q 0 4 r I II R q r r 高斯面高斯面 2 1 4r q D 2 2 4r q D 有電介質(zhì)高斯定理 例. 平行板電容器的電容平行板電容器的電容 已知已知: 平行板電容器平行板電容器 設(shè)電容器帶電量設(shè)電容器帶電量 Q 求求: 其電容其電容. d, S , r 解解: d s r Q - Q

10、求兩極板間的電勢差求兩極板間的電勢差 U D S D dSS D S S Q D S QD E 兩極板間的電勢差兩極板間的電勢差d S Q dEU 根據(jù)電容定義式計算電容根據(jù)電容定義式計算電容 U Q C 0r SS dd 有電介質(zhì)高斯定理 L A B 設(shè)兩極板面電荷線密度設(shè)兩極板面電荷線密度 分別為分別為 + ，- 解解: 做如圖高斯面做如圖高斯面 l r 11 SSS S D dSD dSD dS rlD 2 l r D E 2 兩極板間的電勢差兩極板間的電勢差 1 2 ln 22 2 1 R R dr r U R R 例. 圓柱形電容器的電容圓柱形電容器的電容 已知已知:圓柱形電容器圓柱

11、形電容器 R1，R2， 求求: 其電容其電容. 1 S 有電介質(zhì)高斯定理 根據(jù)電容定義式計算電容根據(jù)電容定義式計算電容 1 2 ln 2R R L U Q C 1 2 ln 2 R R L 單位長度的電容單位長度的電容 C 1 2 ln 2 R R 1 2 ln 2R R U 有電介質(zhì)高斯定理 d d1 2 0 r B C A + + 例：一平行板電容器，其中填充了一層介質(zhì)，尺寸例：一平行板電容器，其中填充了一層介質(zhì)，尺寸 如圖，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為如圖，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為 r D1D2, 1. 用高斯定理求：用高斯定理求： EE 12 ,； 3. 求此電容器之電容。求此電容器之電容。 S

12、1 D 1 S D dS 00 1 SDS 1 D 01 / E S 2 D 2 S DdS 00 2 SD S 2 D r E 0 2 2. AB UU求 B A l dE AB UU 2 0 1 0 dd r 2 0 1 0 dd S C r r d d S 2 1 0 有電介質(zhì)高斯定理 例例 . 一平行板電容器，兩極板間距為一平行板電容器，兩極板間距為b、面積為、面積為S， 其中置一厚度為其中置一厚度為t 的平板均勻電介質(zhì)，其相對的平板均勻電介質(zhì)，其相對 介電常數(shù)為介電常數(shù)為 r, 求該電容器的電容求該電容器的電容C。 b r t 解：根據(jù)定義解：根據(jù)定義 U q C 設(shè)極板面密度為設(shè)極

13、板面密度為 、- 由高斯定理可得：由高斯定理可得： 空氣隙中空氣隙中 D 1 o E 介質(zhì)中介質(zhì)中 D 2 ro E t1b rr or U q C t1b S rr or t 1 b S r r o b S o 與與t的位置無關(guān)的位置無關(guān) t 、C t=b b S C or 12 ()UEbtEt 有電介質(zhì)高斯定理 例例 .一平行板電容器，兩極板間距為一平行板電容器，兩極板間距為b、面積為、面積為S，在其間，在其間 平行地插入一厚度為平行地插入一厚度為t，相對介電常數(shù)為，相對介電常數(shù)為 r， ，面積為 面積為S/2 的的均勻介質(zhì)板。設(shè)極板帶電均勻介質(zhì)板。設(shè)極板帶電Q，忽略邊緣效應(yīng)。，忽略邊緣

14、效應(yīng)。 求 求(1)該電容器的電容該電容器的電容C(2)兩極板間的電兩極板間的電勢勢差差 U。 b r t 2S 解：（解：（1）等效兩電容的并聯(lián) 等效兩電容的并聯(lián) 左半部：左半部： 2 o S C b 2 1 o r r S C bt 右半部：右半部： 電容并聯(lián)相加：電容并聯(lián)相加： 右右左左 CCC 0 2(1) 22 1 2 (1) oo rr r rr r SS Sbt bb bt bt （2） C Q U t1b2S Qt1bb2 rro rr t 1 b S C r r o 問：問： Q左 左=Q右右 ？ 左左 右右 有電介質(zhì)高斯定理 例例 . 平板電容器極板面積為平板電容器極板面積

15、為S間距為間距為d,接在電池上維持接在電池上維持V 。 均勻介質(zhì)均勻介質(zhì) r 厚度厚度d，插入電容器一半忽略邊緣效應(yīng)插入電容器一半忽略邊緣效應(yīng) 求求(1)1、2兩區(qū)域的兩區(qū)域的 和和 ；(2)介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度 ， 表面的極化電荷密度表面的極化電荷密度 ；(3)1、2兩區(qū)域極板上自由兩區(qū)域極板上自由 電荷面密度電荷面密度 ， 。 E D P 1 2 dEdEV 21 11 22 oror o o V DE d V DE d 的方向均的方向均 2121 ,DDEE 了了？反反而而 ？為為什什么么 真真介介 21 21 DD EE ！關(guān)關(guān)鍵鍵： 21 d V EE 21 r 12 S

16、 2 S d V 解：解：（1） 有電介質(zhì)高斯定理 1 EP oe 11 11 2 222 0 or or oo V E d V EE d 21 方方向向： d V ro )1( cosP (2) 介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度 ，表面的極化電荷密度，表面的極化電荷密度 P (3) 1、2兩區(qū)域極板上自由電荷面密度兩區(qū)域極板上自由電荷面密度 1、 2 PP 180cos 上上 0)1(0cos d V PP ro 下下 0)1( d V ro r 12 S 2 S d V 1 2 有電介質(zhì)高斯定理 例題例題7-28 7-28 一半徑為一半徑為R R的金屬球，帶有電荷的金屬球，帶有電荷q q0

17、 0, ,浸埋在均浸埋在均 勻勻“無限大無限大”電介質(zhì)（電容率為電介質(zhì)（電容率為），求球外任一點(diǎn)），求球外任一點(diǎn)P P 的場強(qiáng)及極化電荷分布。的場強(qiáng)及極化電荷分布。 金屬球是等勢體，介質(zhì)以球體金屬球是等勢體，介質(zhì)以球體 球心為中心對稱分布，可知電球心為中心對稱分布，可知電 場分布必仍具球?qū)ΨQ性，用有場分布必仍具球?qū)ΨQ性，用有 電介質(zhì)時的高斯定理求解。電介質(zhì)時的高斯定理求解。 R R Q Q0 0 r r P P S S 解解: : 高斯面：過高斯面：過P P點(diǎn)作一半徑為點(diǎn)作一半徑為r r 并與金屬球同心的閉合球面并與金屬球同心的閉合球面S S， 由高斯定理知：由高斯定理知： 有電介質(zhì)高斯定理

18、2 0 4 r q D r e r q D 2 0 4 所以所以 寫成矢量式為寫成矢量式為 2 0 d4 S DSDrq ED , 所以離球心所以離球心r 處處P點(diǎn)的場強(qiáng)為點(diǎn)的場強(qiáng)為因因 000 22 0 44 rr rr qqED Eee rr 有電介質(zhì)高斯定理 r r r r r r e r q e r q e r q P 1 444 2 0 2 0 0 0 2 0 結(jié)果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無限大電介結(jié)果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無限大電介 質(zhì)后，其場強(qiáng)減弱到真空時的質(zhì)后，其場強(qiáng)減弱到真空時的1/r倍倍, 可求出電極化強(qiáng)可求出電極化強(qiáng) 度為度為 電極化強(qiáng)度電極化強(qiáng)度 與與 有關(guān)，

19、是非均勻極化。在電介有關(guān)，是非均勻極化。在電介 質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布 在與金屬交界處的電介質(zhì)表面上（另一電介質(zhì)表在與金屬交界處的電介質(zhì)表面上（另一電介質(zhì)表 面在無限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為面在無限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為 P r r P e 有電介質(zhì)高斯定理 r r R q 1 4 2 0 rr r q qq 0 00 1 因為因為r 1，上式說明，上式說明恒與恒與q0反號，在交界反號，在交界 面處自由電荷和極化電荷的總電荷量為面處自由電荷和極化電荷的總電荷量為 總電荷量減小到自由電荷量的總電荷量減小到自由電荷量的1/r倍，這是倍，這

20、是離球離球 心心r處處P點(diǎn)的場強(qiáng)點(diǎn)的場強(qiáng)減小到真空時的減小到真空時的1/r倍的原因。倍的原因。 有電介質(zhì)高斯定理 解：（解：（1 1）設(shè)場強(qiáng)分別為）設(shè)場強(qiáng)分別為E1 和和E2 ，電位移分別為，電位移分別為D1 和和D2 ，E1和和E2 與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩 層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內(nèi)，在此高斯面內(nèi) 的自由電荷為零。由有電介質(zhì)時的高斯定理得：的自由電荷為零。由有電介質(zhì)時的高斯定理得： 例題例題7-29 7-29 平行板電容器兩板極的面平行板電容器兩板極的面 積為積為S S，如圖所示，兩板極之間充有，如

21、圖所示，兩板極之間充有 兩層電介質(zhì)，電容率分別為兩層電介質(zhì)，電容率分別為1 和和2 ， 厚度分別為厚度分別為d1 和和d2 ，電容器兩板極，電容器兩板極 上自由電荷面密度為上自由電荷面密度為。求（。求（1 1） 在各層電介質(zhì)的電位移和場強(qiáng)；（在各層電介質(zhì)的電位移和場強(qiáng)；（2 2） 兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度；兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度； （3 3）電容器的電容。）電容器的電容。 + + E E1 1E E2 2 D D1 1D D2 2 S S2 2 S S1 1 d d1 1 d d2 2 A AB B 1 1 E E2 2 2 2 有電介質(zhì)高斯定理 所以所以 21 DD 1 D 2 D

22、 即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于 1 12 d0 S D SD S DS 111222 ,DEDE 所以所以 122 211 r r E E 可見在這兩層電介質(zhì)中場強(qiáng)并不相等，而是和可見在這兩層電介質(zhì)中場強(qiáng)并不相等，而是和 電容率（或相對電容率）成反比。電容率（或相對電容率）成反比。 有電介質(zhì)高斯定理 為了求出電介質(zhì)中電位移和場強(qiáng)為了求出電介質(zhì)中電位移和場強(qiáng) 的大小，我們可另作一個高斯閉合面的大小，我們可另作一個高斯閉合面 S2 ，如圖中左邊虛線所示，這一閉合，如圖中左邊虛線所示，這一閉合 面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，面內(nèi)的自由電荷等

23、于正極板上的電荷， 按有電介質(zhì)時的高斯定理，得按有電介質(zhì)時的高斯定理，得 1 1 S DSD SS 再利用再利用 222111 ,EDED 可求得可求得 011 1 r E 022 2 r E 方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。 + E1E2 D1D2 S2 S1 d1 d2 AB 1 E2 2 有電介質(zhì)高斯定理 （2 2）由于介質(zhì)內(nèi)場強(qiáng)）由于介質(zhì)內(nèi)場強(qiáng)EEE 01 000r 即：即： 1 1 2 2 1 1 1 1 r r 所以所以 有電介質(zhì)高斯定理 2 2 1 1 2 2 1 1 2211 dd S qdd dEdEVV BA 2 2 1 1 dd S VV q C BA q=S是每

24、一極板上的電荷，這個電容器的電容為是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為 可見電容與電介質(zhì)的放置次序無關(guān)。上述結(jié)果可可見電容與電介質(zhì)的放置次序無關(guān)。上述結(jié)果可 以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層 的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電 容器兩極板的表面相平行）。容器兩極板的表面相平行）。 （3 3）正、負(fù)兩極板）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢差為間的電勢差為 有電介質(zhì)高斯定理 7-10 7-10 靜電場的能量靜電場的能量 一一. .電容器的儲（靜電）能電容器的儲（靜電）能 注：電容器的能

25、量存在于兩極板之間的電場中注：電容器的能量存在于兩極板之間的電場中 有電介質(zhì)高斯定理 二二.電場能量電場能量 電場能量密度電場能量密度 S r d + + + + + + + + - - - - - - - - +Q-Q 電場具有能量電場具有能量 1.定義定義:電場能量密度電場能量密度 單位體積電場空間中的能量單位體積電場空間中的能量 w V V V W w 體積體積 內(nèi)能量內(nèi)能量體積體積 2.2.推導(dǎo)推導(dǎo): : 以平行板電容器的場為特例以平行板電容器的場為特例 Sd CU 2 2 1 V W w e e Sd dE d S 2 )( 2 1 2 2 1 E DE 2 1 ED 2 1 普遍成

26、立普遍成立 有電介質(zhì)高斯定理 二二.電場能量電場能量 電場能量密度電場能量密度 3、任一帶電體系的電場總能量任一帶電體系的電場總能量 1 dvdv 2 e WwD E 有電介質(zhì)高斯定理 R + + + + + + + + + Q r （球外為無限大介質(zhì)）（球外為無限大介質(zhì)） dr r 例例 求一均勻帶電球面的電場能量。求一均勻帶電球面的電場能量。 求求:電場空間的能量電場空間的能量 解解:1)任取體積元任取體積元dV drrdV 2 4 2)小體元的能量小體元的能量 dVEdW 2 2 1 已知：已知： Q, R, r 小體元內(nèi)小體元內(nèi): 2 4r Q E 2 22 1 4 244 R QQ

27、r dr rr R Q 8 2 3)電場空間總能量電場空間總能量 V dVEW 2 2 1 有電介質(zhì)高斯定理 例例: C U K 已知已知: C , U , d 求求: 1) K 斷斷開時開時, W e 的變化的變化. 2) K閉合時閉合時, W e 的變化的變化. 現(xiàn)將現(xiàn)將 d 增大增大 解解: 1) K 斷斷開時開時, Q 不變不變 C Q W e 2 2 1 0 2 1 2 d S Q W e d S Q 2 2 1 2) K閉合時閉合時, U 不變不變 0 2 1 2 2 dU d S W e 因此因此 2 2 1 CUW e 2 2 1 U d S 有電介質(zhì)高斯定理 例例7-30 7

28、-30 計算均勻帶電球體的電場能量，設(shè)球半徑為計算均勻帶電球體的電場能量，設(shè)球半徑為R R， 帶電量為帶電量為q q，球外為真空。球外為真空。 3 0 ,() 4 Qr ErR R 2 0 ,() 4 Q ErR r 解：均勻帶電球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布為解：均勻帶電球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布為 相應(yīng)的，球內(nèi)外的電場能量密度為相應(yīng)的，球內(nèi)外的電場能量密度為 6 0 2 22 2 3 0 0 3242 1 R rq R qr we )(Rr 4 0 2 2 2 2 0 0 3242 1 r q r q we )(Rr 有電介質(zhì)高斯定理 在半徑為在半徑為r厚度為厚度為dr的球殼內(nèi)的電場能量的球殼內(nèi)的電場

29、能量 整個帶電球體的電場能量整個帶電球體的電場能量 R q R q R q 0 2 0 2 0 2 20 3 840 drrwdW e 2 4 V edV wW drr r q drr R rq R R 2 4 0 2 2 2 0 6 0 2 22 4 32 4 32 有電介質(zhì)高斯定理 例題例題7-317-31一平行板空氣電容器的板極面積為一平行板空氣電容器的板極面積為S，間，間 距為距為d d，用電源充電后兩極板上帶電分別為，用電源充電后兩極板上帶電分別為 Q。斷。斷 開電源后再把兩極板的距離拉開到開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（。求（1 1）外力）外力 克服兩極板相互吸引力所作的功

30、；（克服兩極板相互吸引力所作的功；（2 2）兩極板之間）兩極板之間 的相互吸引力。（空氣的電容率取為的相互吸引力。（空氣的電容率取為0 0）。）。 d S C d S C 2 , 0201 222 12 100 , 22 QQ dQ d WW CSS 板極上帶電板極上帶電 Q時所儲的電能為時所儲的電能為 解解: :（1 1 ）兩極板的間距為）兩極板的間距為d d和和2 2d d時，平行板電容器的時，平行板電容器的 電容分別為電容分別為 有電介質(zhì)高斯定理 2 21 0 2 Q d WWW S （2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開兩極板，拉開兩極板 時所加外力應(yīng)等

31、于時所加外力應(yīng)等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以 S Q d A F 0 2 2 故兩極板的間距拉開到故兩極板的間距拉開到2d后電容器中電場能量的后電容器中電場能量的 增量為增量為 有電介質(zhì)高斯定理 例例7-32 7-32 物理學(xué)家開爾文第一個把大氣層構(gòu)建為一個電物理學(xué)家開爾文第一個把大氣層構(gòu)建為一個電 容器模型，地球表面是這個電容器的一個極板，帶有容器模型，地球表面是這個電容器的一個極板，帶有 5 510105 5C C的電荷，大氣等效為的電荷，大氣等效為5km5km的另一塊極板，帶正的另一塊極板，帶正 電荷。如下頁圖所示。（電荷。如下頁圖所示。（1 1）試求這個球形

32、電容器的電）試求這個球形電容器的電 容；（容；（2 2）求地球表面的能量密度以及球形電容器的能）求地球表面的能量密度以及球形電容器的能 量；（量；（3 3）已知空氣的電阻率為）已知空氣的電阻率為3 3101013 13 ，求球形電容，求球形電容 器間大氣層的電阻是多少？（器間大氣層的電阻是多少？（4 4）大氣電容器的電容和）大氣電容器的電容和 電阻構(gòu)成一個電阻構(gòu)成一個RCRC放電回路，這個放電回路的時間常數(shù)放電回路，這個放電回路的時間常數(shù) 是多少？（是多少？（5 5）經(jīng)研究，大氣電容器上的電荷并沒有由）經(jīng)研究，大氣電容器上的電荷并沒有由 于于RCRC回路放電而消失是因為大氣中不斷有雷電補(bǔ)充的回

33、路放電而消失是因為大氣中不斷有雷電補(bǔ)充的 結(jié)果，如果平均一個雷電向地面補(bǔ)充結(jié)果，如果平均一個雷電向地面補(bǔ)充25C25C的電荷，那么的電荷，那么 每天要發(fā)生多少雷電？每天要發(fā)生多少雷電？ 有電介質(zhì)高斯定理 解：解：如圖為地球表面外如圖為地球表面外 的大氣層電容模型的大氣層電容模型 （1 1）球形電容器的電容）球形電容器的電容 公式為公式為 AB BA RR RR C 0 4 地球半徑地球半徑kmr6400 電離層高度電離層高度kmh5 rRA hrRB 9 . 0C F F 有電介質(zhì)高斯定理 （2 2）地球表面電場強(qiáng)度為）地球表面電場強(qiáng)度為 2 0 4r Q E 可得地球表面的能量密度為可得地球

34、表面的能量密度為 2 0 2 1 Ewe 4 0 2 2 32r Q 可得電能為可得電能為 2 2 Q W C 8 104 . 5 J/mJ/m3 3 9 104 . 1J J （3 3）由于）由于hrhr，大氣層可簡化為長為，大氣層可簡化為長為h h 、截面積為、截面積為 的導(dǎo)體，其電阻為的導(dǎo)體，其電阻為 2 4 r 2 4 r h R 2 103 有電介質(zhì)高斯定理 + CR （4 4）等效回路如圖所示）等效回路如圖所示 放電回路時間常數(shù)為放電回路時間常數(shù)為 270RC s s （5 5）要補(bǔ)充大氣電容器的電荷，必須發(fā)生雷電的次數(shù)為）要補(bǔ)充大氣電容器的電荷，必須發(fā)生雷電的次數(shù)為 4 5 102 25 105 C C N 進(jìn)一步計算表明，進(jìn)一步計算表明，3030分鐘后電荷就只剩分鐘后電荷就只剩0.3%0.3%，近似認(rèn)為放，近似認(rèn)為放 電完畢。電完畢。 即每即每3030分鐘要產(chǎn)生雷電次數(shù)為分鐘要產(chǎn)生雷電