薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)理論

1、薄壁箱梁的扭轉(zhuǎn)理論 n薄壁箱梁的自由扭轉(zhuǎn)簡介 n薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn) n扭轉(zhuǎn)中心位置 n等截面連續(xù)梁扭轉(zhuǎn)的三翹曲雙力矩方程 n有限差分方程建立及分析 n小 結(jié) n本章參考文獻(xiàn) 一、箱形截面的特點(diǎn) 箱形截面具有良好的結(jié)構(gòu)性能，因而在現(xiàn)代各種橋梁中得到廣泛應(yīng)用。 在中等、大跨預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁中，采用的箱梁是指薄壁箱形截面的梁。其 主要優(yōu)點(diǎn)是： （1）截面抗扭剛度大，結(jié)構(gòu)在施工與使用過程中都具有良好的穩(wěn)定性； （2）頂板和底板都具有較大的混凝土面積，能有效地抵抗正負(fù)彎矩，并 滿足配筋的要求，適應(yīng)具有正負(fù)彎矩的結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁、拱橋、剛架橋、斜 拉橋等，也更適應(yīng)于主要承受負(fù)彎矩的懸臂梁T形剛構(gòu)等橋型； （

2、3）適應(yīng)現(xiàn)代化施工方法的要求，如懸臂施工法、頂推法等，這些施工 方法要求截面必須具備較厚的底板； （4）承重結(jié)構(gòu)與傳力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，使各部件共同受力，達(dá)到經(jīng)濟(jì)效果， 同時(shí)截面效率高，并適合預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)空間布束，更加收到經(jīng)濟(jì)效果 （5）對于寬橋，由于抗扭剛度大，跨中無需設(shè)置橫隔板就能獲得滿意的 荷載橫向分布； （6）適合于修建曲線橋，具有較大適應(yīng)性； （7）能很好適應(yīng)布置管線等公共設(shè)施。 二、箱形截面的構(gòu)造要點(diǎn) （一）外形：由頂板、底板、腹板及梗脅組成 1、頂板： 除承受結(jié)構(gòu)正負(fù)彎矩外，還承受車輛荷載的直接作用。在以負(fù)彎矩 為主的懸壁梁及T形剛構(gòu)橋中，頂板中布置了數(shù)量眾多的預(yù)應(yīng)力鋼束， 要求頂

3、板面積心須滿足布置鋼束的需要，厚度一般取2428cm。 2、底板 主要承受正負(fù)彎矩。當(dāng)采用懸臂施工法時(shí)，梁下緣承受很大的壓應(yīng) 力，特別是靠近橋墩的截面，要求提供的承壓面積更大；同時(shí)在施工時(shí) 還承受掛籃底模板的吊點(diǎn)反力。在T形剛構(gòu)橋和連續(xù)梁橋中，底板厚度 隨梁的負(fù)彎矩塔大而逐漸加厚。 3、腹板 承受截面剪應(yīng)力及主位應(yīng)力，并承受局部荷載產(chǎn)生的橫向彎矩， 其厚度還須滿足布置預(yù)應(yīng)力筋及澆筑混凝土的要求，以及錨固錨頭的 需要，一般厚度為30-50cm，大跨徑橋梁可采用變厚度。 4、梗脅 頂板、底板與腹板交接處設(shè)使梗脅，其作用是： （1）提高截面抗扭剛度，減少畸變應(yīng)力； （2）使橋面板支點(diǎn)加厚，減少橋面板

4、跨中彎矩； （3）使力線過渡平緩，避免應(yīng)力集中； （4）提供布置縱向預(yù)應(yīng)力鋼束的面積。 （二）箱形截面的配筋 箱形截面的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)一般配有預(yù)應(yīng)力鋼筋和非預(yù)應(yīng)力向 普通鋼筋。 1、縱向預(yù)應(yīng)力鋼筋： 2、橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋： 3、豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋： 4、普通鋼筋： 箱形截面配筋示意圖 兩層鋼筋網(wǎng) 橫向預(yù)應(yīng)力 筋 縱向預(yù)應(yīng)力 筋 豎向預(yù)應(yīng)力 筋 兩層鋼筋網(wǎng) 三、偏心荷載作用下的變形和位移三、偏心荷載作用下的變形和位移 作用在箱形梁上的重要荷載是恒載與活載。恒載 通常是對稱作用的，活載可以是對稱作用，也可以是 非對稱偏心作用，必須分別加以考慮。偏心荷載作用， 使箱形梁既產(chǎn)生對稱彎曲又產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，因此，作

5、用于 箱形梁的外力可綜合表達(dá)為偏心荷載來進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。 在偏心荷載作用下箱梁的四種基本狀態(tài)： 1 縱向彎曲縱向彎曲 2 橫向彎曲橫向彎曲 3 扭轉(zhuǎn)（自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)）扭轉(zhuǎn)（自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)） 4 扭轉(zhuǎn)變形（畸變）扭轉(zhuǎn)變形（畸變） 橫向彎曲應(yīng)力 c （按超靜定框架計(jì)算求得） 四、偏心荷載作用下的截面應(yīng)力四、偏心荷載作用下的截面應(yīng)力 1.橫向彎曲 箱形梁承受偏心荷載作用，除了按彎扭桿件進(jìn)行整體分 析外，還應(yīng)考慮局部荷載的影響。車輛荷載作用于頂板，除 直接受荷載部分產(chǎn)生橫向彎曲外，由于整個(gè)截面形成超靜定 結(jié)構(gòu)，因而引起其它各部分產(chǎn)生橫向彎曲， 四、偏心荷載作用下的截面應(yīng)力四、偏心荷載作用下的截面

6、應(yīng)力 2.縱向彎曲 縱向彎曲產(chǎn)生豎向變位 ，因而在橫截面上引起縱向 正應(yīng)力及剪應(yīng)力，見圖。圖中虛線所示應(yīng)力分布乃按初 等梁理論計(jì)算所得，這對于肋距不大的箱梁無疑是正確 的；但對于肋距較大的箱形梁，由于翼板中剪力滯后的 影響，其應(yīng)力分布將是不均勻的，即近肋處翼板中產(chǎn)生 應(yīng)力高峰，而遠(yuǎn)肋板處則產(chǎn)生應(yīng)力低谷，如圖中實(shí)線所 示應(yīng)力圖。這種現(xiàn)象稱為“剪力滯效應(yīng)”。對于肋距較 大的寬箱梁，這種應(yīng)力高峰可達(dá)到相當(dāng)大比例，必須引 起重視。 縱向彎曲產(chǎn)生縱向彎曲正應(yīng)力 M 、彎曲剪應(yīng)力 M 3.箱形梁的扭轉(zhuǎn)箱形梁的扭轉(zhuǎn) 箱形梁的扭轉(zhuǎn)（這里指剛性扭轉(zhuǎn)，即受扭時(shí)箱形的周邊不變形） 變形主要特征是扭轉(zhuǎn)角 。箱形梁受扭

7、時(shí)分自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)。 自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)，即箱形梁受扭時(shí)，截面各纖維的縱向變形是自由的， 桿件端面雖出現(xiàn)凹凸，但縱向纖維無伸長縮短，自由翹曲，因而不 產(chǎn)生縱向正應(yīng)力，只產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。 約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)，當(dāng)箱梁受扭時(shí)縱向纖維變形不自由，受到拉伸或壓 縮，截面不能自由翹曲。約束扭轉(zhuǎn)在截面上產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和約束 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。 產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)的原因有：支承條件的約束，如固端支承約束縱 向纖維變形；受扭時(shí)截面形狀及其沿梁縱向的變化，使截面各點(diǎn)纖 維變形不協(xié)調(diào)也將產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)，如等厚壁的矩形箱梁、變截面梁 等，即使不受支承約束，也將產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)。 自由扭轉(zhuǎn)只產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 k 約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生約束扭

8、轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 w 、約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力 w 3.箱形梁的扭轉(zhuǎn)箱形梁的扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)變形（畸變）產(chǎn)生畸變剪應(yīng)力 dw 、畸變翹曲正應(yīng)力 dw 、橫向彎曲應(yīng)力 dt 4.畸變畸變 畸變（即受扭時(shí)截面周邊變形）的主要變形特征是畸變角 。 薄壁寬箱的矩形截面受扭變形后，無法保持截面的投影仍為矩形。 畸變產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和畸變剪應(yīng)力，同時(shí)由于畸變而引起箱形截面 各板橫向彎曲，在板內(nèi)產(chǎn)生橫向彎曲應(yīng)力。 箱梁應(yīng)力匯總及分析箱梁應(yīng)力匯總及分析 箱梁在偏心荷載作用下的變形與位移，可分成四種基本狀態(tài)：縱向彎箱梁在偏心荷載作用下的變形與位移，可分成四種基本狀態(tài)：縱向彎 曲、橫向彎曲、扭轉(zhuǎn)及扭轉(zhuǎn)變形（即畸變曲、橫向彎曲、扭轉(zhuǎn)及

9、扭轉(zhuǎn)變形（即畸變) )。它們引起的應(yīng)力狀態(tài)為：。它們引起的應(yīng)力狀態(tài)為： 縱向彎曲縱向彎曲-縱向彎曲正應(yīng)力縱向彎曲正應(yīng)力 ，彎曲剪應(yīng)力，彎曲剪應(yīng)力 橫向彎曲橫向彎曲-橫向正應(yīng)力橫向正應(yīng)力 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)-自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 ，翹曲正應(yīng)力，翹曲正應(yīng)力 ，約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形-翹曲正應(yīng)力翹曲正應(yīng)力 ，畸變剪應(yīng)力，畸變剪應(yīng)力 ，橫向彎曲應(yīng)力，橫向彎曲應(yīng)力 因而，綜合箱梁在偏心荷載作用下，四種基本變形與位移狀態(tài)引起的因而，綜合箱梁在偏心荷載作用下，四種基本變形與位移狀態(tài)引起的 應(yīng)力狀態(tài)為：應(yīng)力狀態(tài)為： 在橫截面上：在橫截面上： 縱向正應(yīng)力縱向正應(yīng)力 剪應(yīng)力剪應(yīng)力 在縱截面

10、上：在縱截面上： 橫向彎曲應(yīng)力橫向彎曲應(yīng)力 M M c K W W dW dW dt dwwMZ )( dwwkM dtcS )( 承受偏心荷載的薄壁箱梁，將產(chǎn)生扭矩，此扭矩可分解為剛性扭 轉(zhuǎn)和畸變力 薄壁箱梁的自由扭轉(zhuǎn)簡介 單箱單室箱梁 眾所周知，在剪應(yīng)力沿箱壁均勻分布的假定下，單室箱梁自由扭 轉(zhuǎn)時(shí)下列兩式成立 k M q d k GI M 稱為Bredt第一公式，即箱 梁薄壁中線所包圍的面積 的兩倍 ds 扭 率 扭轉(zhuǎn)剛度，稱為Bredt第二 公式，自由扭轉(zhuǎn)慣矩 ds / 2 d I 扭率與剪切變形的關(guān)系為 ss d)( 1. 剪力流和扭矩的關(guān)系剪力流在整個(gè)斷面上的合力形成扭矩，即內(nèi)剪力流

11、和扭矩的關(guān)系剪力流在整個(gè)斷面上的合力形成扭矩，即內(nèi) 外扭矩平衡方程，得：外扭矩平衡方程，得： ss k dsqdsqM （陰影部分（陰影部分 ， 為三角形底邊，為三角形底邊， 為高，為高， 為三角形面為三角形面 積）積） ds ds 2 1 qM k （ 為周邊所圍面積的為周邊所圍面積的2倍）倍） t MM q kk k Mu 2. 扭矩扭矩 、扭率、扭率 和縱向位移和縱向位移 的關(guān)的關(guān) 系系 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z 我們假設(shè)我們假設(shè) 為梁為梁 軸方向，軸方向， 為縱為縱 向位移，向位移， 為箱為箱 邊邊 切線方向的切線方向的 位移：位移：

12、z u v s k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A d k GI M 0u 其中：其中： 為扭率，扭轉(zhuǎn)角沿軸線（縱向）方向變化率，由為扭率，扭轉(zhuǎn)角沿軸線（縱向）方向變化率，由 知知 為常數(shù)，如為等直圓桿為常數(shù)，如為等直圓桿 微單元微單元 的剪切變形為的剪切變形為 A z v s u )(zv 則：則：)(z s u 按虎克定律按虎克定律 )(z s u GG 由于由于 經(jīng)移項(xiàng)：經(jīng)移項(xiàng)： )( z Gs u k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 0 M 0s 1 M 上式中任選的始點(diǎn)上式中任選的始點(diǎn) （其（其

13、） 起沿周邊積分到某點(diǎn)起沿周邊積分到某點(diǎn) 得到縱得到縱 向位移：向位移： s 0 M 1 M ss dszds G zuzu 00 0 )()()( 上式中：上式中： 是是 處的縱向位移，為積分常數(shù)，即初始位移值，而處的縱向位移，為積分常數(shù)，即初始位移值，而 是是 扇形面積的兩倍以扇形面積的兩倍以 表示，則表示，則 ，如以此為坐標(biāo)參數(shù)，如以此為坐標(biāo)參數(shù)， 則為扇性坐標(biāo)，如同以弧長表示的線坐標(biāo)，及極坐標(biāo)、球坐標(biāo)等廣則為扇性坐標(biāo)，如同以弧長表示的線坐標(biāo)，及極坐標(biāo)、球坐標(biāo)等廣 義坐標(biāo)概念是一樣的。義坐標(biāo)概念是一樣的。 0 u0s s ds 0 s ds 0 k M k M z dz ds 0 M 1

14、 M 0 u )(u x )(z A 另外將另外將 代入則代入則 t M k )()()( 0 0 z t ds G M zuzu s k 因?yàn)橄淞簽殚]口截面，引因?yàn)橄淞簽殚]口截面，引 入封閉條件，對上式積分入封閉條件，對上式積分 一周，如果積分的始點(diǎn)和一周，如果積分的始點(diǎn)和 終點(diǎn)為同一點(diǎn)終點(diǎn)為同一點(diǎn) ，得，得 0 u )()()( 00 z t ds G M zuzu s k 所以：所以： )( z t ds G M s k s k t ds G M z 2 )( 如令如令 ）（稱為抗扭慣性矩）53( 2 s d t ds I （同（同橋工橋工計(jì)算截面抗扭慣性矩）計(jì)算截面抗扭慣性矩） 上式可

15、寫成：上式可寫成： )( EI M GI M d k 形式類似彎曲： 曲率曲率 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 將將 ， t M )(zu 代入代入 表達(dá)式，則縱向位移：表達(dá)式，則縱向位移： )183()()( )()( )()()()( 0 0 0 0 00 0 zzu t ds t ds dszzu dsz t ds z t ds zuzu s s ss 式中：式中： t ds t ds ds s s 0 0 （稱為廣義扇性坐標(biāo)）（稱為廣義扇性坐標(biāo)） 與開口扇性坐標(biāo)相比多與開口扇性坐標(biāo)相比多 了因?yàn)榻孛骈]合產(chǎn)生的了因?yàn)榻孛骈]合產(chǎn)生的 第二項(xiàng)，

16、廣義扇性坐標(biāo)第二項(xiàng)，廣義扇性坐標(biāo) 都是用于閉口截面。都是用于閉口截面。 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 剪應(yīng)力剪應(yīng)力 t M k 扭率扭率 d k GI M 周邊切線方向位移周邊切線方向位移 zzv )( 縱向位移縱向位移 )()()( 0 zzuzu 在任何截面在任何截面 ，截面上的某一點(diǎn)的，截面上的某一點(diǎn)的 可確定，其空可確定，其空 間位置也就確定了。根據(jù)箱梁自由扭轉(zhuǎn)的定義，截面沿梁縱向可自間位置也就確定了。根據(jù)箱梁自由扭轉(zhuǎn)的定義，截面沿梁縱向可自 由凹凸，不發(fā)生應(yīng)變由凹凸，不發(fā)生應(yīng)變 z vu,( 的函數(shù)） 0)( )( 0 z z zu

17、z u z 因因 是常數(shù)是常數(shù) ，則，則 0 u 0 )( 0 z zu 0)( z 這說明這說明 為常數(shù)，在自由扭轉(zhuǎn)情況下，為常數(shù)，在自由扭轉(zhuǎn)情況下， 不隨不隨 而變化，而變化， )(z)(zz 既：既： 從另一方面從另一方面 既既 是常數(shù)，分析是常數(shù)，分析 截面截面 上某一點(diǎn)位置以表示上某一點(diǎn)位置以表示 ，也就是說截面上任意一點(diǎn)的縱向位移只是，也就是說截面上任意一點(diǎn)的縱向位移只是 廣義扇性坐標(biāo)的函數(shù)，與廣義扇性坐標(biāo)的函數(shù)，與z無關(guān)，是截面參數(shù)，截面上某一點(diǎn)的位無關(guān)，是截面參數(shù)，截面上某一點(diǎn)的位 置定了不管在哪個(gè)截面縱向位移也就定了；這也說明，任何兩相鄰置定了不管在哪個(gè)截面縱向位移也就定了；

18、這也說明，任何兩相鄰 截面的翹曲程度是一樣的，否則由約束扭轉(zhuǎn)引起附加正應(yīng)力，截面的翹曲程度是一樣的，否則由約束扭轉(zhuǎn)引起附加正應(yīng)力， d k GI M z )( )()()( 0 zzuzu 縱向位移 箱梁自由扭轉(zhuǎn)的縱向位移為 )()()0 ,(),(),( 00 zszuszuszu 稱廣義扇性坐 標(biāo)，其意義見 后 ss ss ss 00 d / d d)( 處的縱向位移 0s 且 均沿梁縱向是常數(shù)，梁縱向纖維無伸縮應(yīng)變，不產(chǎn)生正應(yīng)力 )(),0 ,( 0 zzu),(szu 令縱向位移為 ， 表示沿跨徑， 表示沿橫截面周邊。 當(dāng)閉口截面只發(fā)生自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，有 ),(szuz s )()()0

19、,(),( 0 zszuszu 根據(jù)基本假定，閉口截面約束扭轉(zhuǎn)軸向位移為 )()()0 ,(),( 0 zszuszu 表示截面翹曲程度的某個(gè)函數(shù)，它 與扭轉(zhuǎn)角 有一定的關(guān)系 )(z 薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn) （1） 基本假定 眾所周知，烏曼斯基閉口薄壁直桿約束扭轉(zhuǎn)理論應(yīng)用以下三個(gè)基 本假定： 橫截面的周邊不變形； 橫截面上法向應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚是均勻分布的； 橫截面上縱向位移沿本截面的分布規(guī)律與自由扭轉(zhuǎn)時(shí)是相同的 箱形梁的約束扭轉(zhuǎn)箱形梁的約束扭轉(zhuǎn) k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o 一、約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算理論一、約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算理論 箱梁的約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算理

20、論是以下面假設(shè)建立的：箱梁的約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算理論是以下面假設(shè)建立的： 1.箱梁扭轉(zhuǎn)時(shí)，周邊假設(shè)不變箱梁扭轉(zhuǎn)時(shí)，周邊假設(shè)不變 形（否則為畸變），切線形（否則為畸變），切線 方向的位移方向的位移 )( )( z z v zv 2.箱壁上的剪應(yīng)力與正應(yīng)箱壁上的剪應(yīng)力與正應(yīng) 力沿壁厚方向均勻分布力沿壁厚方向均勻分布 3.約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，沿梁軸方向的縱向位移（既截面的凹凸）假設(shè)同自約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，沿梁軸方向的縱向位移（既截面的凹凸）假設(shè)同自 由扭轉(zhuǎn)時(shí)縱向位移的關(guān)系式存在相似變化規(guī)律，既由扭轉(zhuǎn)時(shí)縱向位移的關(guān)系式存在相似變化規(guī)律，既 )()()( 0 zzuzu )( 0 zu 初始縱向位移，為一積分常數(shù)；初始縱向位移

21、，為一積分常數(shù)； )(z表示截面凹凸程度（翹曲程度）的某個(gè)函數(shù)表示截面凹凸程度（翹曲程度）的某個(gè)函數(shù) )()(zz（扭率）為烏曼斯基第一理論（有些時(shí)候，誤差較大）（扭率）為烏曼斯基第一理論（有些時(shí)候，誤差較大） )(z 是一個(gè)待定函數(shù)，為烏曼斯基第二理論（按此計(jì)算）是一個(gè)待定函數(shù)，為烏曼斯基第二理論（按此計(jì)算） k M z dz 0 M 1 M ）（ zu0 )(z ds )(zu A v y s o 二、約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力二、約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力 利用彈性力學(xué)中平面應(yīng)力問題中應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式：利用彈性力學(xué)中平面應(yīng)力問題中應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式： )( 1 2 SZw E 因?yàn)榧僭O(shè)周邊不變形，切線

22、因?yàn)榧僭O(shè)周邊不變形，切線 方向的應(yīng)變?yōu)榱悖确较虻膽?yīng)變?yōu)榱?，? S )243()()( )()( 1 0 0 2 zzuE zzu z u E E w Z w )( 0 z u k M w yx, 上式中上式中 是未定的，我們可以利用平衡條件來消去它，因?yàn)橄淞菏俏炊ǖ模覀兛梢岳闷胶鈼l件來消去它，因?yàn)橄淞?截面上只有扭矩截面上只有扭矩 ，其引起翹曲正應(yīng)力，其引起翹曲正應(yīng)力 自相平衡，既正應(yīng)力自相平衡，既正應(yīng)力 總和為零（有拉伸就有壓縮），這些力對總和為零（有拉伸就有壓縮），這些力對 軸彎矩總和也是零，軸彎矩總和也是零， 因而有：因而有： )253( 0 0 0 xdAM ydAM dAN

23、wy wx w k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o 將式（將式（3-24）代入得：）代入得： )263 ( 0)()( 0)()( 0)()( 0 0 0 ydAzydAzu xdAzxdAzu dAzAzu dA xdA 式中式中 ： 為扇性靜矩（面積對為扇性靜矩（面積對 扇性坐標(biāo)的一次矩，類似扇性坐標(biāo)的一次矩，類似 ） ydA xdA 扇性慣性積（類似扇性慣性積（類似 ） ydAx 若適當(dāng)選擇極點(diǎn)若適當(dāng)選擇極點(diǎn) ，及扇性零點(diǎn)，及扇性零點(diǎn) 位置，使?jié)M足下列三個(gè)條件：位置，使?jié)M足下列三個(gè)條件： o 0 M 000ydAxdAdA 此時(shí)極點(diǎn)此

24、時(shí)極點(diǎn) 為主扇性極點(diǎn)，為主扇性極點(diǎn)， 為主扇性零點(diǎn)。為主扇性零點(diǎn)。o 0 M 0S 0 xy Io 0 M （這相當(dāng)于材料力學(xué)計(jì)算彎曲時(shí)求形心、主慣性軸以靜矩（這相當(dāng)于材料力學(xué)計(jì)算彎曲時(shí)求形心、主慣性軸以靜矩 、 慣性積慣性積 為條件，極點(diǎn)為條件，極點(diǎn) 相當(dāng)于形心相當(dāng)于形心 ， 相當(dāng)于慣性主軸，相當(dāng)于慣性主軸， 最后以形心主慣性軸為坐標(biāo)）最后以形心主慣性軸為坐標(biāo)） 先假定存在這么一點(diǎn)滿足這三個(gè)條件，由式（先假定存在這么一點(diǎn)滿足這三個(gè)條件，由式（3-26）知，這樣）知，這樣 （3-24）可以寫成：）可以寫成： k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s

25、o )283()( zE w 截面上的約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布和截面上的約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布和 廣義扇性坐標(biāo)成正比，但此時(shí)的廣義扇性坐標(biāo)成正比，但此時(shí)的 廣義扇性坐標(biāo)廣義扇性坐標(biāo) 是相對于主扇是相對于主扇 性零點(diǎn)性零點(diǎn) 的廣義扇性主坐標(biāo)的廣義扇性主坐標(biāo) （ 是截面位置是截面位置 的函數(shù)，在的函數(shù)，在 某一具體截面上它為常數(shù)）某一具體截面上它為常數(shù)） 0 M )(z z 如令如令 （約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力對廣義扇性坐標(biāo)的矩）（約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力對廣義扇性坐標(biāo)的矩） dAdB w k M B 在整個(gè)截面上積分得：在整個(gè)截面上積分得： dAB w （類同截面彎矩（類同截面彎矩 一樣，一樣， 又是一種內(nèi)力）又是一種內(nèi)力）

26、 A x ydAM 稱為約束扭轉(zhuǎn)雙力矩稱為約束扭轉(zhuǎn)雙力矩 這是一個(gè)自相平衡的力系，其數(shù)值不可能根據(jù)已知外力由平衡方程這是一個(gè)自相平衡的力系，其數(shù)值不可能根據(jù)已知外力由平衡方程 來求得，而要用約束扭轉(zhuǎn)微分方程的積分來求。來求得，而要用約束扭轉(zhuǎn)微分方程的積分來求。 k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o )293()()( 2 zEIdAzEB 將式（將式（3-28）代入得：）代入得： 式中：式中： 稱為廣義主扇稱為廣義主扇 性慣性矩性慣性矩 dAI 2 此時(shí)與材料力學(xué)中彎矩和曲率此時(shí)與材料力學(xué)中彎矩和曲率 關(guān)系式在形式上很相似關(guān)系式在形式上很相似

27、 dAyI 2 yEIM 由式（由式（3-28）：）： )303()( E z w 代入式（代入式（3-39）得：）得： I My I B w 約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布與廣義扇性主坐標(biāo)成正比。約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布與廣義扇性主坐標(biāo)成正比。 （面積對廣義扇性坐標(biāo)的二次矩，（面積對廣義扇性坐標(biāo)的二次矩， 這相當(dāng)于彎曲時(shí)截面主慣性這相當(dāng)于彎曲時(shí)截面主慣性 矩矩 ） 故而約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力 的表達(dá)式為 I sB)( 平面彎曲應(yīng)力 I My 相似 如上圖所示，取箱壁上 點(diǎn)的微分單元體進(jìn)行分析（下圖），根 據(jù)力的平衡條件，則有 A 箱 梁 承 受 外 扭 矩 k M （3）約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 ds. dz e e s d

28、z. dss e e 0 z N 0dddd zs s sz z 0 sz s s z 0 0 d 積分常數(shù)，它 表示截面上的 初始剪應(yīng)力 微分單元 現(xiàn)將 代入得到 s szsE 0 0 d)()( s sszE 0 0 d)()( SzE)( 0 s ssS 0 d)( 為了決定初始剪力流 ，從內(nèi)外力矩平衡條件得到 0 d)(d d)( d 0 0 sSzEs sSzE sM K dsS ds zE ds M K )( 0 扇性靜矩扇性靜矩 由于 （為封閉截面中線圍繞的面積） 0 2Ads sS zEM K d )( 0 得到 d d SzE M sS SzE M SzEsS zEM K K

29、 K )( )( )( )( sS SS d 折算主扇性靜矩折算主扇性靜矩 故約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為 S z E M K ) ( 可見，約束扭轉(zhuǎn)在截面上的剪應(yīng)力為兩項(xiàng)剪應(yīng)力之和。 第一項(xiàng)是自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 第二項(xiàng)是由于約束正應(yīng)力的變化而引起的剪應(yīng)力 約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力也可以用扭轉(zhuǎn)雙力矩表示 K k M S zE) ( I S B 平面彎曲剪應(yīng)力類似 Ib QS 類似 顯然，為確定約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力及剪應(yīng)力，都必須確定任意函數(shù)顯然，為確定約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力及剪應(yīng)力，都必須確定任意函數(shù) （前面已求出主極點(diǎn)和相對其極點(diǎn)的廣義扇性坐標(biāo)（前面已求出主極點(diǎn)和相對其極點(diǎn)的廣義扇性坐標(biāo)廣義扇性主廣義扇性主 坐標(biāo)）坐標(biāo)） )(z

30、雙力矩：雙力矩：)(zEIB 約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力：約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力： I B W 彎扭力矩：彎扭力矩： )(zEIM 約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力：約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力： tI SM t M z W )(z 如何求如何求 ？ （4） 函數(shù)的確定)(z sS SS d ssId)( 2 ss ss ss 00 d / d d)( s ssS 0 d)( Gz v s u 當(dāng)截面周邊不變形時(shí)，切線位移為)(zv 微分一次，則有 ，則)(z z v z v Gs u )( )( zS G zE G M s u K 積分得 sss K sz s S G zEs G M uu 000 0 d)( d)(d 為滿足周期條件（沿周邊

31、積分一圈后 ）故有 0 uu 0d)( d)(d sz s S G zEs G M K 對 再微分一次，并將各項(xiàng)除以 ，而且將 代入 后得到 z / d s sd 0 d )( d d )( d d 2 s zG s S s zE z M K )( d d )( d d d 2 2 稱為扇性慣矩 稱為自由扭轉(zhuǎn)慣矩 令 I s S s I I s I z M m dd K t 則 td mzGIzEI )()( 此式不可能同時(shí)解出和兩個(gè)未知量，需要另外尋求 和 之 間的關(guān)系式。 )(z)(z 將廣義扇性坐標(biāo) s d s s s sI s s s ss 00 0 0 d d d d d)( 代入約

32、束扭轉(zhuǎn)軸向位移中并略去 坐標(biāo) 標(biāo)記，則有s ss d s sI zzuzu 00 0 d d )()()( 沿 微分一次，并注意到 是常量，得到s)( 0 zu 1 )( )( d I z s zu 由于 則 )(z z v )()()( 0 zzuzu )( 1 )( z I zG z v s u G d 又知 約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力不引起外扭矩 sM K d d 1 )()( )()( IzIIzG sz I zGM d d K I I zz GI M dK 1)()( )()(zz GI M K 扭轉(zhuǎn)中心距剪力 流的垂直距離 截面的極 慣性矩 dsI 2 截面約束系數(shù)（或稱翹曲系數(shù)） 的大小反映

33、了截面受約束的程度 對于圓形截面 故 ，即桿件上只有自由扭轉(zhuǎn)發(fā)生 I I d 1 II d 0 對于箱形截面，當(dāng)箱的高寬比較大時(shí)， 與 差別也愈大， 值 就大，截面上約束扭轉(zhuǎn)應(yīng)力也相應(yīng)要大一些 d I I （5） 閉口箱梁約束扭轉(zhuǎn)微分方程 對 求導(dǎo)一次 )()(zz GI M K GI m zz t )()( 代入 td mzGIzEI )()( 得到 t m EI zkz )()( 2 EI GI k d 2 對固端梁：當(dāng) 當(dāng) 0, 0, 0z 0, 0,lz 扭轉(zhuǎn)中心位置 設(shè)以扭轉(zhuǎn)中心 為極點(diǎn)的扇性坐標(biāo) 為 ，形心 為極點(diǎn)的 扇形坐標(biāo)為 則有 A A B B 0d 0d 0d Ay Ax

34、A B B B 可由 求 ，具體公式如下B A Byx xy BA 約束扭轉(zhuǎn)微分方程 A x B x Bx x A y B y By y I Axs I I I Ays I I d)( d)( 由于箱梁形心總在對稱軸上，則0B 分 別 為 沿 形 心 對 軸的慣性 矩 yx, 分 別 為 沿 形 心對 軸 的 扭 轉(zhuǎn) 慣 性 矩 yx, 等截面連續(xù)梁扭轉(zhuǎn)的三翹曲雙力矩方程 前面求解了等截面簡支梁或懸臂梁的扭轉(zhuǎn)問題。若將簡支梁的 解看作是基本結(jié)構(gòu)的解答，應(yīng)用力法的概念，可建立連續(xù)梁扭轉(zhuǎn)的 三翹曲雙力矩方程 如下圖所示，現(xiàn)將各支承處的翹曲雙力矩作為贅余未知力，把 圖a）中各支承處的翹曲變形放松，分

35、別用贅余雙力矩代之，如圖b） 所示，取簡支梁為基本體系，（若遇自由端可取一端鉸支一端自由 的懸臂體系） 連續(xù)梁扭轉(zhuǎn)基本體系 a)原結(jié)構(gòu)；b)基本體系 對于箱梁翹曲變形，以 作為未知量，因?yàn)榭v向剛性移動 對翹曲 變形沒有影響，而扇性坐標(biāo) 系表示翹曲位移在截面中分布規(guī)律， 則表示翹曲沿梁縱向變化的大小程度，因此在連續(xù)箱梁分析中只 把它作為未知量，而且有了它，通過基本體系及其邊界條件，所有 內(nèi)力與變形均可獲解?，F(xiàn)將單位雙力矩引起的翹曲變形 用系數(shù) 表示。則某支座左右兩側(cè)梁跨在支座處的翹曲變形為 0 u 第 跨對支座 的翹曲變形 ii11, iiiiiiipi BB 右 右右 第 跨對支座 的翹曲的變

36、形 1i i 11, iiiiiiipi BB 左 左左 根據(jù)相鄰兩跨在支座處的相對翹曲為零的變形協(xié)調(diào)條件，有 0)()( 11,11, 右左右左 ipipiiiiiiiiiii BBB 或 0 11,11, ipiiiiiiiii BBB 式中： 端單位雙力矩對 端產(chǎn)生的翹曲) 1, 1( , iiij ji ji 點(diǎn)左右單位雙力矩引起的翹曲之和 ii i 右左 iiiiii 為左右跨外扭矩引起的翹曲之和 ip 右左 ipipip 式中最多含三個(gè)未知雙力矩，因此把它叫做三翹曲雙力矩方程。 對于連續(xù)梁每一個(gè)支座都可以列出這樣一個(gè)方程，因而可以解出全 部贅余雙力矩?？砂戳Ψㄔ碛茂B加方法求得最后解答 有限差分方程建立及分析 對于變截面T型剛構(gòu)橋，可以看作是兩端固結(jié)的梁來進(jìn)行扭轉(zhuǎn) 分析。這時(shí)，采用差分法較為方便 （1） 差分方程 將約束扭轉(zhuǎn)微分方程改寫為 t mEIkzEI 2 )( 由于雙力矩 故有 EIB t mBkB 2 是以雙力矩 表示的約束扭轉(zhuǎn)微分方