江蘇省泰興市高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 3.3.3 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（2）教案 必修5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3.3。3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題(2）教學(xué)目標(biāo):一、知識(shí)與技能1能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從實(shí)際情景中抽象解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的基本思路和主要方法；2. 在應(yīng)用中培養(yǎng)分析能力、判斷能力、作圖能力、計(jì)算能力；3。 通過(guò)對(duì)線性規(guī)劃方法的實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)一步加深對(duì)線性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)的理解； 4. 正確進(jìn)行多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯,增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)二、過(guò)程與方法 經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出不等式模型的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1. 通過(guò)具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，體會(huì)不等式對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值；2.

2、體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題；3. 通過(guò)實(shí)例，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，即根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),并利用圖解法求得最優(yōu)解的主要步驟和基本思路;教學(xué)難點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件，轉(zhuǎn)化為線性約束條件；如何把實(shí)際問(wèn)題中要的結(jié)果轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)；如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定最優(yōu)解 教學(xué)方法: 應(yīng)用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)動(dòng)感和直觀性，增大教學(xué)容量,提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量采取先師生共同分析、探究解決一兩個(gè)范例，給學(xué)生

3、提供良好有效的解決問(wèn)題的思路方法以及完整規(guī)范的解題格式和程序，再讓學(xué)生進(jìn)行模仿練習(xí),在模仿中加深對(duì)求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力教學(xué)過(guò)程：一、 問(wèn)題情景1. 提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益是現(xiàn)代化管理的根本任務(wù)，各個(gè)領(lǐng)域中的大量問(wèn)題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問(wèn)題，根據(jù)美國(guó)財(cái)富雜志對(duì)全美前500家大公司的調(diào)查表明,有的公司頻繁地使用線性規(guī)劃，并取得了提高經(jīng)濟(jì)效益的顯著效果在實(shí)際生活中，我們也經(jīng)常遇到需要合理安排資源，以得到最大效益的問(wèn)題，如:（多媒體顯示）某校辦工廠有方木料，五合板600，正準(zhǔn)備為外校新生加工新桌椅和書(shū)櫥出售已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料，五合板2,生產(chǎn)每個(gè)

4、書(shū)櫥需要方木料，五合板1，出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元,出售一張書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元（1）假設(shè)你是工廠的生產(chǎn)科長(zhǎng)，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)出工廠的生產(chǎn)方案（2)設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌張，書(shū)櫥張，利潤(rùn)元，寫(xiě)出x，y應(yīng)滿足的條件以及與x，y之間的函數(shù)關(guān)系式（3)如果你是廠長(zhǎng)，為使工廠原料充分利用，問(wèn)怎么安排能夠使資源最大限度的利用，且可獲得最大利潤(rùn)? 二、學(xué)生活動(dòng)1. 讓學(xué)生思考上面的問(wèn)題，探究解決這一問(wèn)題的方案生甲:若只生產(chǎn)書(shū)桌，用完五合板，可生產(chǎn)書(shū)桌300張，可獲得利潤(rùn)8030024000元，但方木料沒(méi)有用完生乙:若只生產(chǎn)書(shū)櫥,用完方木料，可生產(chǎn)450張書(shū)櫥,可獲得利潤(rùn)12045054000元,但五合板沒(méi)有用完師：在

5、上面兩種情況下，原料都沒(méi)有充分利用,造成了資源浪費(fèi)，那么該怎么安排能夠使資源最大限度的利用,且可獲得最大利潤(rùn)?生丙:設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌張，書(shū)櫥張,利潤(rùn)元，利用線性規(guī)劃師：應(yīng)滿足什么約束條件呢？目標(biāo)函數(shù)是什么？0.1x+0.2y=90y2x+y=600oxa（100,400）生丙：約束條件為目標(biāo)函數(shù)為,這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的最大值問(wèn)題師：能用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)解決這一問(wèn)題嗎?生?。鹤鞒隹尚杏?作出一組平行直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書(shū)桌100張，書(shū)櫥400張,有最大利潤(rùn)為元師：解決本題的關(guān)鍵在哪兒?生：根據(jù)題意，找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù),利用線性規(guī)劃圖解法求解師：哪

6、些應(yīng)用題可以用線性規(guī)劃來(lái)處理？生：(討論，再次觀察例題，總結(jié)，教師補(bǔ)充)一是人力、物力、財(cái)力等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)（即“少投入,多產(chǎn)出”）三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1。 線性規(guī)劃問(wèn)題的求解步驟：（1）審：審題（將題目中數(shù)據(jù)列表),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2)設(shè):設(shè)出變量,確定約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)；（3)畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域,作出目標(biāo)函數(shù)線；（4)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；（5）求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；

7、（6）答：回答實(shí)際問(wèn)題2。 對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)，因此,確定其最優(yōu)解，往往只需考慮在各個(gè)頂點(diǎn)的情形，通過(guò)比較，即可得最優(yōu)解四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1。 例題.例1某工廠用a，b兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)a配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)b配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)a配件和12個(gè)b配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可獲利潤(rùn)2萬(wàn)元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)3萬(wàn)元，則如何安排日生產(chǎn),可使工廠所獲利潤(rùn)最大？解設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為

8、x， y件，工廠所獲利潤(rùn)z萬(wàn)元，yxox+2y-8=024y=32468x=4約束條件為，目標(biāo)函數(shù)是作出可行域（如圖所示），可行域內(nèi)的每一個(gè)整點(diǎn)就代表所有可能的日生產(chǎn)安排將目標(biāo)函數(shù)變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族當(dāng)最大時(shí),z最大，但直線要與可行域相交當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，最大值為，因此，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件、乙產(chǎn)品2件時(shí),工廠可得最大利潤(rùn)14萬(wàn)元例2投資生產(chǎn)a產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百?lài)嵭枰Y金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200 m，可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)b產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)一百米需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100m，可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元現(xiàn)某單位可使用資金1400

9、萬(wàn)元,場(chǎng)地900 m，問(wèn)應(yīng)作怎樣的組合投資,可獲利最大？分析:資金(百萬(wàn)元)場(chǎng)地（百平方米)利潤(rùn)（百萬(wàn)元)a產(chǎn)品（百?lài)?223b產(chǎn)品(百米)312限制149解設(shè)生產(chǎn)a產(chǎn)品x百?lài)崳a(chǎn)b產(chǎn)品y百米，利潤(rùn)為s百萬(wàn)元，則約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為，作出可行域（如圖所示），將目標(biāo)函數(shù)變形為，這是斜率為,在y軸上的截距為,隨著變化的直線族當(dāng)最大時(shí),s最大,但直線要與可行域相交當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí),因此，生產(chǎn)a產(chǎn)品325t，生產(chǎn)b產(chǎn)品250m時(shí)，獲利最大,且最大利潤(rùn)為1475萬(wàn)元例3營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0。06kg的蛋白質(zhì)

10、，0。06kg的脂肪,1kg食物a含有0。105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì)，0。14kg脂肪，花費(fèi)28元;而1kg食物b含有0。105kg碳水化合物，0。14kg蛋白質(zhì)，0。07kg脂肪，花費(fèi)21元為了滿足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物a和食物b多少千克？食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kga0.1050。070。14b0.1050。140。07分析解設(shè)每天食用x kg食物a，y kg食物b，總成本為z元，則線性約束條件為:oyx1m28x21y0147y67x7y57x14y6，目標(biāo)函數(shù)為:不等式等價(jià)于 ,作出可行域如圖:考慮可變形為，這是斜

11、率為、隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當(dāng)取最小值時(shí)，z的值最小，且直線要與可行域相交,由上圖可見(jiàn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)m時(shí)，截距最小，即z最小解方程組，得m的坐標(biāo)為，所以由此可知，每天食用a食物143g，食物b約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元2.練習(xí)(1）某工廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷(xiāo)產(chǎn)品，每件銷(xiāo)售收入分別為3千元、2千元甲、乙產(chǎn)品都需要在a，b兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)a，b上加工一件甲所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí),加工一件乙所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí),a，b兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為400小時(shí)/臺(tái)和500小時(shí)/臺(tái)如何安排生產(chǎn)可使收入最大？解設(shè)甲

12、、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y件,a（200,100）y2x+y=500xox+2y=400約束條件為，目標(biāo)函數(shù)是作出可行域(如圖所示）將目標(biāo)函數(shù)變形為，這是斜率為,在y軸上的截距為，隨著變化的直線族當(dāng)最大時(shí)，z最大，但直線要與可行域相交當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大,最大值為800千元，因此,甲、乙兩種產(chǎn)品的每月產(chǎn)量分別為200，100件時(shí)，工廠可得最大收入800千元（2）某人準(zhǔn)備投資1200萬(wàn)元興辦一所完全中學(xué)，對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格(以班級(jí)為單位）：學(xué)段班級(jí)學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)(萬(wàn)元）教師年薪(萬(wàn)元）初中45226/班2/人高中40354/班

13、2/人若根據(jù)有關(guān)部門(mén)的規(guī)定,初中每人每年可收取學(xué)費(fèi)1600元，高中每人每年可收取學(xué)費(fèi)2700元因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜（含20個(gè)與30個(gè)），那么開(kāi)設(shè)初中班和高中班各多少個(gè)，每年收取的學(xué)費(fèi)總額最多?解設(shè)開(kāi)設(shè)初中班x個(gè)，高中班y個(gè)，收取學(xué)費(fèi)的總額為z萬(wàn)元滿足的約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為,可行域如圖，把，得到斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族ox203040y203010m10xy20xy30x2y407.2x10.8y0當(dāng)最大時(shí),z最大，但直線要與可行域相交當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)m時(shí)，直線在y軸上的截距最大,z最大解方程組所以由此可知，開(kāi)設(shè)20個(gè)初中班和10個(gè)高中班，收取的學(xué)費(fèi)最多，為252萬(wàn)元五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1。 線性規(guī)劃問(wèn)題的求解步驟:（1)審：審題(將題目中數(shù)據(jù)列表),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2)設(shè)：設(shè)出變量，確定約束條件，建立目標(biāo)函數(shù);（3)畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域