材力(I)第五章彎曲位移

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 1 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 5- -1 梁的位移梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 5- -2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 5- -3 按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 5- -6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能 5- -5 梁的剛度校核梁的剛度校核提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施 * 5- -4 梁撓曲線的初參數(shù)方程梁撓曲線的初參數(shù)方程 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 2 回回 顧：顧： 彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線 的變化規(guī)律。 彎曲應(yīng)力在外

2、力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截 面高度的分布規(guī)律。 本本 章章: : 彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的 變化規(guī)律。 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 3 5- -1 梁的位移梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 直梁在對稱平面xy內(nèi)彎曲時其原來的軸線AB將彎曲成 平面曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點)在垂直 于x軸方向的線位移w稱為撓度(deflection)，橫截面對其原 來位置的角位移q 稱為橫截面的轉(zhuǎn)角(angle of rotation)。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 4 彎曲后梁的軸線撓曲線(defle

3、ction curve)為一平 坦而光滑的曲線，它可以表達為w=f(x)，此式稱為撓曲線 方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故 橫截面的轉(zhuǎn)角q 也就是撓曲線在該相應(yīng)點的切線與x軸之 間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程： xfwqqtan 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 5 直梁彎曲時的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個位移不但與梁的彎曲 變形程度(撓曲線曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件 有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就 是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和

4、轉(zhuǎn)角則明顯不同。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (a)(b) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 6 在圖示坐標系中，撓度w向下為正，向上為負； 順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角q為正，逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角q為負。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 7 5- -2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 . 撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出 在4-4中曾得到等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲情況 下中性層的曲率為 這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達式。 EI M 1 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料

5、料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 8 在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還 有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對梁的變形也會產(chǎn) 生影響。但工程上常用的梁其跨長l 往往大于橫截面高度h 的10倍，此時剪力FS對梁的變形的影響可略去不計，而有 注意：對于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核電站中會遇到的那樣，梁的翼緣由不銹鋼制作，而主 要承受剪力的腹板則由價廉但切變模量較小的復(fù)合材料制 作，此時剪切變形對梁的變形的影響是不可忽略的。 EI xM x x 1 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 9 從

6、幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作 2/3 2 1 1 w w x 式中，等號右邊有正負號是因為曲率1/為度量平面曲線 (撓曲線)彎曲變形程度的非負值的量，而w是q = w 沿x方 向的變化率，是有正負的。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 10 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 再注意到在圖示坐標系中，負彎矩對應(yīng)于正值w ，正彎矩對 應(yīng)于負值的w ，故從上列兩式應(yīng)有 由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略 去，于是得撓曲線近似微分方程 EI xM w w 2/3 2 1 EI xM w 材材 料料 力力 學(xué)學(xué)

7、 電電 子子 教教 案案 11 . 撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件 求等直梁的撓曲線方程時可將上式改寫為 后進行積分，再利用邊界條件(boundary condition)確定積分 常數(shù)。 xMwEI 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 EI xM w 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 12 當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩 可用一個彎矩方程表示時(例如 圖中所示情況)有 1 dCxxMwEI 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 21 ddCxCxxxMEIw 以上兩式中的積分常數(shù)C1， C2由邊界條件確定后即可得出梁 的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。 材材 料料 力力 學(xué)學(xué)

8、電電 子子 教教 案案 13 邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如 下圖所示。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 14 若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程 需分段寫出時，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。 而對各段梁的近似微分方程積分時，都將出現(xiàn)兩個積分 常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件 (constraint condition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處 的連續(xù)條件(continuity condition)。這兩類條件統(tǒng)稱為邊 界條件。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料

9、料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 15 0 0 A A q 右左 右左 BB BB qq 邊界條件： 連續(xù)條件： 例題：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 16 例題：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。 0 0 0 C A A q 右左 右左 右左 BB DD DD qq 解：邊界條件： 連續(xù)條件： 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 17 積分法基本方法 利用積分法求梁變形的一般步驟： （1）建立坐標系（一般：坐標原點設(shè)在梁的左端），求 支座反力，分段列彎矩方程； 分段的原則: 凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點；

10、凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點； 中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間 的相互作用力，故應(yīng)作為分段點； 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 18 (2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分 兩次 對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程： 再積分一次，得撓曲線方程： 1 ( )( ) d xM x dxc dxEI q 1 ( )( )xM x dxcxD EI 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 19 (3)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 積分常數(shù)的數(shù)目取決于的分段數(shù) M (x) n 段 積分常數(shù)2n個 舉例： )(xM分2段，

11、則積分常數(shù)2x2=4個 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 20 積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件： 邊界條件邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的， 這樣的已知條件稱為邊界條件。 連續(xù)條件連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦 的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個 不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連 續(xù)條件。 邊界條件 積分常數(shù)2n個=2n個 連續(xù)條件 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 21 積分常數(shù)的物理意義和幾何意義 物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得 即坐標原點處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C； 即坐標原點處梁的撓度的EI

12、倍就是積分常數(shù)D。 幾何意義：C轉(zhuǎn)角 D撓度 (4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程； (5)計算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意 和 及其所在截面。 o EICq o EID max q max 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 22 例題例題5-1 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程， 并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 23 解：解：該梁的彎矩方程為 撓曲線近似微分方程為 以x為自變量進行積分得 xlFxM xlFxMwEI 1 2 2 C x lxFwEI 于是得00 21 C

13、C， 該梁的邊界條件為：在 x=0 處 ，w =00w 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 21 32 62 CxC xlx FEIw 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 24 從而有轉(zhuǎn)角方程 EI Fx EI Fxl w 2 2 q 撓曲線方程 EI Fx EI lFx w 62 32 根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負值， 以及撓曲線應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線的示意圖。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 25 可見該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有 EI Fl EI Fl EI Fl ww l

14、x 362 | 333 max 22 | 222 max EI Fl EI Fl EI Fl lx qq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 26 由此題可見，當(dāng)以x為自變量對撓曲線近似微分方程 進行積分時，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程中的積分常數(shù) 是有其幾何意義的： 001 |qEIwEIC x 002 |EIwEIwC x 此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 27 兩式中的積分在坐標原點處(即x=0處)總是等于

15、零，從而有 001 |qEIwEIC x 002 |EIwEIwC x 事實上，當(dāng)以x為自變量時 1 dCxxMwEI 21 ddCxCxxxMEIw 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 28 思考思考: : 試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標系中的撓曲線 方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和C2等于零嗎？ 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 29 例題例題5-2 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程， 并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移

16、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 30 解：解：該梁的彎矩方程為 撓曲線近似微分方程為 以x為自變量進行積分得： 22 22 1 2 xlx q qxx ql xM 2 2 xlx q xMwEI 1 32 322 C xlxq wEI 21 43 1262 CxC xlxq EIw 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 31 該梁的邊界條件為 在 x=0 處 w=0， 在 x=l 處 w=0 于是有0 1262 | 0 1 44 2 lC llq EIwC lx 及 即0 24 2 3 1 C ql C， 從而有轉(zhuǎn)角方程 3

17、23 46 24 xlxl EI q wq 撓曲線方程 323 2 24 xlxl EI qx w 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 32 根據(jù)對稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對值相 等，且均為最大值，故 最大撓度在跨中，其值為 EI ql BA 24 3 max qqq EI qlll ll EI lq ww lx 384 5 22 2 24 2 | 4 32 3 2max 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 33 例題例題5-3 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，

18、并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 34 解：解：約束力為 兩段梁的彎矩方程分別為 為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方 程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第 一項與方程M1(x)中的項相同。 l a FF l b FF BA ， axx l b FxFxM A 0 1 lxaaxFx l b FaxFxFxM A 2 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 35 兩段梁的撓曲線近似微分方程亦需分段列出，并

19、分別進行積分： 撓曲線近似微分方程 x l b FxMwEI 11 積分得 1 2 1 2 C x l b FwEI 11 3 1 6 DxC x l b FEIw axFx l b FxMwEI 22 2 2 2 2 22 C axFx l b FwEI 2 2 3 3 2 66 D xC axFx l b FEIw 左段梁右段梁ax 0lxa 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 36 值得注意的是，在對右段梁進行積分運算時，對于含 有(x-a)的項沒有以x 為自變量而是以(x-a)作為自變量進行 積分的，因為這樣可在運用連續(xù)條件 w1

20、 |x=a=w2|x=a 及 w1|x=a=w2|x=a 確定積分常數(shù)時含有(x-a)2和(x-a)3的項為零而 使工作量減少。又，在對左段梁進行積分運算時仍以x 為 自變量進行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 37 該梁的兩類邊界條件為 支座約束條件：在x=0處 w1=0，在 x=l 處 w2=0 連續(xù)條件： 在x=a處 ，w1=w2 21 ww 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 由兩個連續(xù)條件得： 由支座約束條件 w1|x=0=0 得 2121 DDCC， 0 1 D 0 2 D

21、從而也有 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 38 由另一支座約束條件 w2|x=l=0 有 0 6 | 2 3 3 2 lC alF b l l b FEIw lx 即 22 2 6 bl l Fb C 從而也有 22 1 6 bl l Fb C 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 39 從而得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程如下： 左段梁右段梁)0(ax )(lxa 222 11 3 1 2 xbl lEI Fb wq 222 1 6 xbl lEI Fbx w 222 2 22 3 1 2 blxax b l lEI Fb

22、wq xblxax b l lEI Fb w 223 3 2 6 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 40 左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為 lEI blFab lEI blFb xA 66 | 22 01 qq lEI alFab lxB 6 | 2 qq 當(dāng)ab時有 6 max lEI alFab B qq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 41 3 2 3 22 1 baabl x 顯然，由于現(xiàn)在ab，故上式 表明x1a，從而證實wmax確實 在左段梁內(nèi)。將上列x1的表達 式代

23、入左段梁的撓曲線方程得 3 22 1max 39 | 1 bl lEI Fb ww xx 根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax 所在 處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的 轉(zhuǎn)角方程 等于零，得 0w 1 w 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 42 由上式還可知，當(dāng)集中荷載F 作用在右支座附近因而b值甚小， 以致 b2 和 l2 相比可略去不計時有 EI Fbl EI Fbl w 22 max 0642. 0 39 它發(fā)生在 處。而此時 處(跨 中點C)的撓度wC為 l l x577. 0 3 1 l l x500. 0

24、 2 EI Fbl EI Fbl bl EI Fb ww lxC 22 22 21 0625. 0 16 43 48 | 3 22 1max 39 | 1 bl lEI Fb ww xx 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 43 當(dāng)集中荷載F作用于簡支梁的跨中時(b=l/2)，最大轉(zhuǎn)角 qmax和最大撓度wmax為 EI Fl BA 16 2 max qqq EI Fl ww C 48 3 max 可見在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，跨中 撓度與最大撓度也只相差不到3%。因此在工程計算中，只要 簡支梁的撓曲線上沒有拐點都可以跨中

25、撓度代替最大撓度。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 44 思考思考: : 試繪出圖示兩根簡支梁的彎矩圖，并描出它們的撓 曲線。并指出：(1) 跨中撓度是否最大？(2)跨中撓度的值 是否接近最大撓度值？ 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 l/4l/2 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 45 MABMCD0 MBCconst 答案答案 D D 2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(1) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 46 2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(2) FA0 FB0 MCDconst 答案答案

26、D D AB CD 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 47 5-3 按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時， 梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線性關(guān)系。在此情況下， 當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時，梁的某個截面處 的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個荷載或每種荷載單獨作用下該截 面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算梁的位移時的疊加 原理(principle of superposition)。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 48 懸臂梁和簡支梁在簡單荷載(集中荷載，集

27、中力偶，分 布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達式，以及 簡支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達式已在本教材的附 錄中以及一些手冊中給出。根據(jù)這些資料靈活運用疊加 原理，往往可較方便地計算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面 的撓度和轉(zhuǎn)角。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 49 例題例題5-5 試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面 撓度 wC 和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA 及 qB。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (a) 解：解：此梁 wC 及qA，qB 實際上可不按疊加原理而直接 利用本教材附錄表中序號13情況下的公式得出。這里

28、是 作為靈活運用疊加原理的例子，假設(shè)沒有可直接利用的現(xiàn) 成公式來講述的。 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 50 作用在該簡支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面 C正對稱和反對稱荷載的疊加(圖b)。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (b) (a) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 51 在集度為q/2的正對稱均布荷載作用下，利用本教材 附錄表中序號8的公式有 EI ql EI lq wC 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B q 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq A q 第五章第五章

29、 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 C 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 52 注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該 截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作 用而跨長為 l/2 的簡支梁。于是利用附錄表中序號8情況 下的公式有 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA qq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 在集度為q/2的反對稱均布荷 載作用下，由于撓曲線也是與跨 中截面反對稱的，故有 0 2 C w C 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 53

30、 按疊加原理得 EI ql EI ql www CCC 768 5 0 768 5 44 21 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql BBB qqq 128 3 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql AAA qqq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 54 例題例題5-6 試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B 的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點D的撓度wA和wD。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 55 第五章第五章 梁

31、彎曲時的位移梁彎曲時的位移 解：解：為利用本教材附錄中簡支梁和懸臂梁的撓度和 轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡支梁 (圖c)連接而成。原來的外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力 和彎矩 應(yīng)當(dāng)作為外力和 外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也 應(yīng)與 的正負相對應(yīng)，如圖b及圖c中所示。 22 2 2 1 qaaqM B BB MF和 S qaF B 2 S 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 56 圖c中所示簡支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡支梁B支座左側(cè)的外 力2qa將直接傳遞給支座B而不會引起彎曲后，便可知道按 圖

32、d和圖e所示情況由本教材附錄中的資料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并疊加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 57 )( 24 1 16 22 384 5 4 2 2 4 EI qa EI aqa EI aq www DMDqD 3 1 3 2 24 2 32 3 EI qa EI aqa EI aq BMBqB qqq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 58 圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同， 但要注意原外伸梁的B支

33、座截面是可以轉(zhuǎn)動的，其轉(zhuǎn)角就是 上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|a應(yīng)疊加到圖b 所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA： 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 EI qa EI aq a EI qa wwwA 4 43 21 12 7 8 2 3 1 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 59 5-4 梁撓曲線的初參數(shù)方程梁撓曲線的初參數(shù)方程 . 初參數(shù)方程的基本形式 前已得到等直梁的撓曲線近似方程為 彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關(guān)系為 后一個微分關(guān)系按q(x)向上為正導(dǎo)出。 xMwEI xqxFxFxM SS ， * 第五章第五章 梁彎曲

34、時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 60 為了使下面導(dǎo)出的撓曲線初參數(shù)方程(initial parametric equation)中除了包含與位移相關(guān)的初參數(shù)q0和w0以外，也包 含與內(nèi)力相關(guān)的初參數(shù)FS0和M0，先將二階的撓曲線近似微分 方程對x取二階導(dǎo)數(shù)求得等直梁撓曲線的四階微分方程 xqwEI 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 然后進行積分得 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 材

35、材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 61 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 以x=0代入以上四式，并注意到以x為自變量時上列四式中 的積分在坐標原點(x=0)處均為零，于是得 0403020S1 EIwCEICMCFC，q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 式中，F(xiàn)S0，M0，q0和w0為坐標原點處橫截面(初始截面) 上的剪力、彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度，它們是初參數(shù)方程中的四 個初參數(shù)。 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子

36、子 教教 案案 62 將積分常數(shù)C1，C2，C3，C4代入上述表達式中的后二 式即得轉(zhuǎn)角和撓曲線初參數(shù)方程的基本形式： 初參數(shù)方程中的四個初參數(shù)可由梁的邊界條件確定。 00 2 0S 3 2 dqqEIxMx F xxqEI 00 2 0 3 0S 4 26 dEIwxEIx M x F xxqEIw q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 63 顯然，如果梁上的分布荷載是滿布的(分布荷載在全 梁上連續(xù))，而且除梁的兩端外沒有集中力和集中力偶， 亦即荷載和內(nèi)力在全梁范圍內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，則可直接應(yīng)用 上述兩個方程。簡支梁或懸臂梁受滿布分布荷載

37、作用時就 屬這種情況。在此條件下，當(dāng)分布荷載為向下的均布荷載 時，q(x)=-q，從而有 xxxxxxx qx xq qx xq 000 4 4 0000 3 3 24 d 6 d， 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 x 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 64 例題例題5-7 試利用初參數(shù)方程求圖示等直梁的跨中撓度 wC和支座B處截面的轉(zhuǎn)角qB。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 x 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 65 解：解：1. 根據(jù)邊界條件確定初參數(shù) 另一初參數(shù)q0需利用x=l 處撓度等于零的邊界條件求 出。根據(jù)撓曲線的初參數(shù)方程有 由

38、x=0處的邊界條件得： 00 2 000S wM ql F， 00 26 1 24 0 0 3 4 lEIl qlql q 從而得 EI ql 24 3 0 q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 x 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 66 2. 列出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，求所需撓度和轉(zhuǎn)角 將已得到的四個初參數(shù)代入初參數(shù)方程得： 撓曲線方程 0 24 0 26 1 24 3 3 4 x ql x qlqx EIw 即 323 2 24 xlxl EI qx w 轉(zhuǎn)角方程 24 0 22 1 6 3 2 3 ql x qlqx EIq 即 323 46 24 xlxl EI

39、 q q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 67 . 一般情況的處理 這里所說的一般情況是指梁上分布荷載不連續(xù)，梁 上除兩端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情 況。此時，外力(荷載和約束力)將梁分為數(shù)段，每段梁 的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程各不相同，但相鄰兩段梁在交 界處的撓度和轉(zhuǎn)角仍連續(xù)。 現(xiàn)就幾種常遇情況下的初參數(shù)方程加以討論。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 68 初參數(shù)： 0 2 0 2 0S M l alq FF A ， q00(其值未知)，w0=0 第五章第五章 梁

40、彎曲時的位移梁彎曲時的位移 情況一 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 69 轉(zhuǎn)角方程： 撓曲線方程： 0 2 2 0 2 2 1 22 1 0 22 1 0 q qq EIx l alq EIx l alq EI xEIx l alq xEIx l alq EIw 0 3 2 0 3 2 1 26 1 00 26 1 0 q q 6 d 3 1 3 12 axq EI xqEIEI x a x a x a q qq 24 d 4 1 4 12 axq EIw xqEIwEIw x a x a x a x a AC段梁 （0 xa） CB段梁 （axl） 第五章第五章 梁彎曲時的位

41、移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 70 CB段梁轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中帶積分的項，是由于自 x=a處開始有向下的均布荷載而在AC段梁延續(xù)過來的相應(yīng) 方程EIq1和EIw1中增加的項。 未知初參數(shù)q0可由 x=l 處 wB=w|x=l=0 的邊界條件求 得。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 71 情況二 初參數(shù)： 0 2 2 00S M l blqb FF A ， q00(其值未知)，w0=0 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 72 AC段梁 （0 x

42、b）CB段梁 （bxl） 轉(zhuǎn)角方程： 撓曲線方程： 0 2 3 0 2 000 3 1 2 2 2 1 6 0 2 2 2 1 d q q q EIx l blqbqx EI x l blqb xqEI xxx xEIx l blqbqx xEIx l blqb xqEIw xxxx 0 3 4 0 3 0000 4 1 2 2 6 1 24 00 2 2 6 1 d q q 6 d 3 1 3 12 bxq EI xqEIEI x b x b x b q qq 24 d 4 1 4 12 bxq EIw xqEIwEIw x b x b x b x b 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的

43、位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 73 CB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中帶積分的項，是由于 考慮C截面(x=b)以右沒有向下的均布荷載，而從由AC段 梁延續(xù)過來的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中減去了的那部分在C 截面以右的均布荷載產(chǎn)生的影響的相關(guān)項。 未知初參數(shù)q0可由 wB=w|x=l=0 的邊界條件求得。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 74 情況三初參數(shù)：0 00S MFF， q00(其值未知) w00(其值未知) 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 75 C

44、A段梁(0 xc)AB段梁(cxc+l) 轉(zhuǎn)角方程： 撓曲線方程： 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 q qq EIx F EIxFEI 00 3 00 3 1 6 0 6 1 0 EIwxEIx F EIwxEIxFEIw q q 2 1 2 12 2 1 2 cx l clF EI cx F EIEI A q qq 3 1 3 12 6 1 6 cx l clF EIw cx F EIwEIw A 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 76 AB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中的第二項，是由于考慮 在由CA段梁延續(xù)過來的相應(yīng)方程EIq1和

45、EIw1中，應(yīng)將向上 的約束力在A截面(x=c)偏右截面上產(chǎn)生的剪力的影響包含 進去而增加的項。 未知初參數(shù)q0和w0 可由邊界條件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l+c=0 求得。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 77 情況四初參數(shù)： 00 0 00 e00S w MMMFF AA ， ， q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 78 AC段梁 (0 xd)CB段梁 (dxl) 轉(zhuǎn)角方程： 撓曲線方程： xM xMEI e e1 000 q 2 e 2 e1 2 00

46、 2 1 00 x M xMEIw dxMEI dxMEIEI e1 e12 q qq 2 e 1 2 e12 2 2 1 dx M EIw dxMEIwEIw 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 79 CB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中第二項，是由于考慮 在由AC段梁延續(xù)過來的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中，應(yīng)將外力 偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上對應(yīng)的彎矩所產(chǎn)生的影 響包含進去而增加的項。 在此例中，四個初參數(shù)都是已知的。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 80 思考思考: :

47、對于情況四中的等直梁，試檢驗由初參數(shù)方程 所求得的wB ，wC ，qC 是否符合如下關(guān)系： dlww CCB q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 81 5- -5 梁的剛度校核梁的剛度校核提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施 . 梁的剛度校核 對于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時， 為保證其正常工作還需對彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿 足剛度條件(stiffness condition)： 式中，l為跨長， 為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓 跨比)，q為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度 條件。 l w l w l wma

48、x max qq 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 82 土建工程中通常只限制梁的撓跨比， 。在 機械工程中，對于主要的軸， ；對于傳動軸還 要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角， 。 1000 1 250 1 l w 10000 1 5000 1 l w rad001. 0005. 0q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 83 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 例題例題5-8 圖a所示簡支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試選擇 既滿足強度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號。已知=1

49、70 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。 400 1 l w 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 84 解：一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的型 號時，先按正應(yīng)力強度條件選擇截面尺寸或型鋼型號，然 后按切應(yīng)力強度條件以及剛度條件進行校核，必要時再作 更改。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 85 1. 按正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號 作梁的剪力圖和彎矩 圖如圖c和圖e。最大彎矩 在距左支座0.8 m處， Mmax=62.4 kNm。梁所需 的彎曲截面系數(shù)為 36 6 3 max m10367 Pa1017

50、0 mN104 .62 M Wz 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 86 而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz36710-6 m3/2=183.5 10-6m3。由型鋼表查得20a號槽鋼其Wz=178 cm3，雖略小于所需 的Wz=183.510-6 m3而最大彎曲正應(yīng)力將略高于許用彎曲正應(yīng) 力，但如超過不到5%，則工程上還是允許的。 超過許用彎曲正應(yīng)力的百分數(shù)為(175-170)/1703%，未超過 5%，故允許。事實上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考慮進去，超過許用彎曲正應(yīng)力的百分數(shù)仍不到5%。 MP

51、a175Pa10175 m101782 mN104 .62 6 36 3 max 現(xiàn)加以檢驗： 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 87 2. 按切應(yīng)力強度條件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范圍內(nèi)各 橫截面上。每根槽鋼承受的最大剪力為 每根20a號槽鋼其橫截面在中性軸一 側(cè)的面積對中性軸的靜矩，根據(jù)該號 槽鋼的簡化尺寸(圖d)可計算如下： N1069 2 kN138 2 3max,S F 3 * max, mm000104 2 mm11100 mm773mm11100mm50mm100mm73 z S 第

52、五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 88 其值小于許用切應(yīng)力=100 MPa，故選用20a號槽鋼滿足切 應(yīng)力強度條件。 當(dāng)然， 的值也可按下式得出： * max, z S 3 * max, mm104000 mm 2 11100 mm7mm11100mm 2 11 100mm11mm73 z S 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 每根20a號槽鋼對中性軸的慣性矩由型鋼表查得為 Iz =1780 cm4 于是 MPa57.6Pa106 .57 m)107)(m10(1780 m10104N)1069()2/( 6 348- 3-63

53、 max,max,S max dI SF z z 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 89 3. 按剛度條件校核 此簡支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截 面C的撓度wC作為梁的最大撓度wmax。本教材附錄序號 11中給出了簡支梁受單個集中荷載F 時，若荷載離左支座 的距離a大于或等于離右支座的距離b，跨中撓度wC的計 算公式為 可見，對于此梁上的左邊兩個集中荷載，應(yīng)為 EI blFb wC 48 43 22 EI alFa wC 48 43 22 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 90 于是由疊加原理可得 m1066.

54、 4 m1078012Pa1021048 mN101671 m6 . 04m4 . 23m6 . 0N1012 m9 . 04m4 . 23m9 . 0N1040 m8 . 04m4 . 23m8 . 0N1030 m4 . 04m4 . 23m4 . 0N10120 48 1 3 489 23 22223 22223 22223 22223 max EI ww C 而許可撓度為 由于wmaxw，故選用20a號槽鋼滿足剛度條件。 m106m4 . 2 400 1 3 l l w w 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 91 . 提高梁的剛

55、度的措施 (1) 增大梁的彎曲剛度EI 由于不同牌號的鋼材它們的彈性模量E大致相同 (E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強度鋼 并無明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均 采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠的形狀，以增 大截面對于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 92 跨長為l 的簡支梁受集度為q的滿布均布荷載時，最大 彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為 2 2 max 125. 0 8 ql ql M EI ql EI ql w 44 max 0130.

56、 0 384 5 (2) 調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)的體系 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 93 如果將兩個鉸支座各內(nèi)移一個距離a而成為如圖a所 示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為 而且跨中撓度減小為 2 2 max 0214. 0 2 ql qa MMMM BAC EI ql EI al qa EI alq ww C 4 2 2 4 max 616000. 0 16 2 2 2 384 25 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (a) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 94 而此時外伸端D和E的撓度也

57、僅為 )(207000. 0 2 )2( 2 24 )2( 8 4 2 34 EI ql a EI al qa a EI alq EI qa ww ED 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 95 所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里是指增加 梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自 由端增加一個鉸支座，又例如在簡支梁的跨中增加一個鉸 支座。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 96 5-6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能 在本教材的3-6中曾講述了等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變

58、能，并利用功能原理導(dǎo)出了密圈圓柱螺旋彈簧受壓(拉)時 彈簧高度變化量的計算公式。 本節(jié)研究等直梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，由于作用在 梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功 能原理來求梁在簡單荷載情況下的位移。 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 97 等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(圖a)，其曲率 為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個端面在梁 彎曲后對應(yīng)的圓心角為 EI M 1 EI lM EI Mll e q 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 (a) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 98 (b) 圖b示出

59、了Me與q 的上列線性關(guān)系。圖b中斜直線下的三 角形面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值 Me 過程中， 外力偶所作的功： 它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時 的應(yīng)變能： qqMMV 2 1 2 1 e 將 代入上式可得 EI lM EI Ml e q EI lM V EI lM V 2 , 2 2 2 e 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 q e 2 1 MW 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 99 梁在橫力彎曲時，既有與彎曲變形相應(yīng)的彎曲正應(yīng)變能， 又有與剪切變形相應(yīng)的剪切應(yīng)變能。但如同在5-2開始時所述， 工程中常用的梁其剪切變形對位移的影響通常很小，可略去不 計。梁在

60、橫力彎曲時其長為dx的微段內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為 x EI xM Vd 2 d 2 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 100 從而全梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為 式中，M(x)為任一橫截面上彎矩的表達式，亦即彎矩方程。 此式在求梁系(例如兩根交叉在一起的梁)的位移等時是有 用的。 l x EI xM Vd 2 2 ll xw EI x EI wEI Vd 2 d 2 2 2 順便指出，由于直梁橫力彎曲時， ，因此上 式也可寫作 xMwEI 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案 101 例題例題5-9