線性空間與線性變換習(xí)題

1、第六章第六章 習(xí)題課習(xí)題課 定義定義: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合, R為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域. 如果對(duì)于如果對(duì)于 任意兩個(gè)元素任意兩個(gè)元素 , V, 總有唯一的一個(gè)元素總有唯一的一個(gè)元素 V與之與之 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 稱稱 為為 與與 的和的和(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱加法運(yùn)算加法運(yùn)算), 記作記作 = + . 若對(duì)于任一數(shù)若對(duì)于任一數(shù) R與任一元素與任一元素 V, 總有唯一的總有唯一的 元素元素 V與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 稱稱 為為數(shù)數(shù) 與與 的積的積(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算), 記作記作 = . 如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律, 那那 么么, 就稱就稱V為為數(shù)域數(shù)

2、域R上的向量空間上的向量空間(或或線性空間線性空間): 設(shè)設(shè) , , , O O V, 1, l, k R, (1) 加法交換律加法交換律: + + = = + + ; (2) 加法結(jié)合律加法結(jié)合律: ( ( + + )+)+ = = +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O O V, 對(duì)任一向量對(duì)任一向量 , 有有 +O= ; (4) 負(fù)元素負(fù)元素: 對(duì)任一對(duì)任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + = =O O , 記記 = = ; (5) 1 = ; (6) 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律: k(l ) = (l k) ; (7) 數(shù)乘對(duì)加法的分配律數(shù)乘對(duì)加法的分配

3、律: k( + )= k +k ; (8) 數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律: (k+l) = k +l . 1. 零元素是唯一的零元素是唯一的. 2. 負(fù)元素是唯一的負(fù)元素是唯一的. 3. 0 =0; (1) = ; 0=0. 4. 如果如果 = 0, 則則 = 0 或或 = 0. 定義定義2: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間, L是是V的一個(gè)非空子的一個(gè)非空子 集集, 如果如果L對(duì)于對(duì)于V中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu) 成一個(gè)線性空間成一個(gè)線性空間, 則稱則稱L為為V的的子空間子空間. 定理定理: 線性空間線性空間V的非空子集的非空子集L構(gòu)

4、成子空間的充分構(gòu)成子空間的充分 必要條件是必要條件是: L對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉. 定義定義: 在線性空間在線性空間V中中, 如果存在如果存在n個(gè)元素個(gè)元素 1, 2, , n V, 滿足滿足: (1) 1, 2, , n 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān); (2) V中任意元素中任意元素 總可以由總可以由 1, 2, , n線性表示線性表示, 則稱則稱 1, 2, , n為線性空間為線性空間V的一個(gè)的一個(gè)基基, 稱稱n為線性空為線性空 間間V的的維數(shù)維數(shù). 當(dāng)一個(gè)線性空間當(dāng)一個(gè)線性空間V中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向 量時(shí)量時(shí), 就稱就稱V是是無(wú)限維的無(wú)限維的. 維

5、數(shù)為維數(shù)為n的線性空間的線性空間V稱為稱為n維線性空間維線性空間, 記作記作Vn. 若若 1, 2, , n為為Vn的一個(gè)基的一個(gè)基, 則則Vn可表示為可表示為: Vn = = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R 定義定義: 設(shè)設(shè) 1, 2, , n為線性空間為線性空間Vn的一個(gè)基的一個(gè)基, 對(duì)對(duì) 任意任意 V, 總有且僅有一組有序數(shù)總有且僅有一組有序數(shù)x1, x2, , xn, 使使 = x1 1+x2 2+xn n , 則稱有序數(shù)組則稱有序數(shù)組 x1, x2, , xn 為為元素元素 在基在基 1, 2, , n 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo), 并記作并記作 = (x1,

6、x2, , xn)T. 線性空間線性空間V的任一元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是的任一元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是 唯一的唯一的, 在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同. 在向量用坐標(biāo)表示后在向量用坐標(biāo)表示后, 它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo)它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo) 的運(yùn)算的運(yùn)算, 因而對(duì)線性空間因而對(duì)線性空間Vn的討論就歸結(jié)為線性空間的討論就歸結(jié)為線性空間 Rn的討論的討論. 定義定義: 設(shè)設(shè)U, V是兩個(gè)線性空間是兩個(gè)線性空間, 如果它們的元素之如果它們的元素之 間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 那末就稱線性

7、空間那末就稱線性空間U與與V同構(gòu)同構(gòu). 結(jié)論結(jié)論1. 同一數(shù)域同一數(shù)域P上的同維數(shù)線性空間都同構(gòu)上的同維數(shù)線性空間都同構(gòu); 結(jié)論結(jié)論2. 同構(gòu)的線性空間之間具有同構(gòu)的線性空間之間具有等價(jià)性等價(jià)性. 同構(gòu)的意義同構(gòu)的意義: 在對(duì)抽象線性空間的討論中在對(duì)抽象線性空間的討論中, 無(wú)論構(gòu)成線性空間無(wú)論構(gòu)成線性空間 的元素是什么的元素是什么, 其中的運(yùn)算是如何定義的其中的運(yùn)算是如何定義的, 我們所關(guān)心我們所關(guān)心 的只是這些運(yùn)算的代數(shù)的只是這些運(yùn)算的代數(shù)(線性運(yùn)算線性運(yùn)算)性質(zhì)性質(zhì). 從這個(gè)意義從這個(gè)意義 上可以說(shuō)上可以說(shuō), 同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的, 而有限而有限 維

8、線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù). + + + += = + + + += = + + + += = nnnnnn nn nn ppp ppp ppp 2211 22221122 12211111 設(shè)設(shè) 1, 2, , n及及 1, 2, , n是是n維線性空間維線性空間Vn的的 兩個(gè)基兩個(gè)基, 且有且有 稱以上公式為稱以上公式為基變換公式基變換公式. 在基變換公式中在基變換公式中, 矩陣矩陣P稱為由基稱為由基 1, 2, , n到到 基基 1, 2, , n的的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣, 過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣P是是可逆的可逆的. ( 1, 2, , n)=( 1,

9、2, , n)P 將上式用矩陣形式表示為將上式用矩陣形式表示為: 定理定理1: 設(shè)設(shè)n維線性空間維線性空間Vn中的元素中的元素 , 在基在基 1, 2, , n下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (x1, x2, , xn)T, 在基在基 1, 2, , n 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (x1 , x2 , , xn )T, 若兩個(gè)基滿足關(guān)系式若兩個(gè)基滿足關(guān)系式: ( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P. 則有則有坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式: , 2 1 2 1 = = nn x x x P x x x . 2 1 12 1 = = nn x x x P x x x 或或 反之反之, 若任一元素的

10、兩種坐標(biāo)滿足上述坐標(biāo)變換若任一元素的兩種坐標(biāo)滿足上述坐標(biāo)變換 公式公式, 則兩個(gè)基滿足基變換公式則兩個(gè)基滿足基變換公式: ( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P. 定義定義: 設(shè)有兩個(gè)非空集合設(shè)有兩個(gè)非空集合A, B, 如果對(duì)于如果對(duì)于A中任一中任一 元素元素 , 按照一定按照一定規(guī)則規(guī)則, 總有總有B中一個(gè)確定的元素中一個(gè)確定的元素 和它和它 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 那么那么, 這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合A到集合到集合B的的變變 換換(或稱或稱映射映射), 記作記作 =T( ) 或記作或記作 =T ( A). 設(shè)設(shè) A, T( )= , 就說(shuō)變換就說(shuō)變換T把元素把元素 變

11、為變?yōu)?, 稱稱 為為 在變換在變換T下的下的象象, 稱稱 為為 在變換在變換T下的下的源源(或或象源象源), 稱稱 A為變換為變換T的的源集源集, 象的全體所構(gòu)成的集合稱為象的全體所構(gòu)成的集合稱為象集象集, 記作記作T(A), 即即 變換概念是函數(shù)概念的推廣變換概念是函數(shù)概念的推廣. T(A)= =T( ) | A . 顯然顯然, T(A) B. 定義定義: 設(shè)設(shè)Vn, Um分別是實(shí)數(shù)域分別是實(shí)數(shù)域R上的上的n維和維和m維線維線 性空間性空間, T是一個(gè)從是一個(gè)從Vn到到Um的變換的變換, 如果變換如果變換T滿足滿足: (1) 任給任給 1, 2 Vn , 都有都有 T( 1+ 2)=T(

12、1)+T( 2); (2) 任給任給 Vn , k R, 都有都有 T(k )= kT( ). 則稱則稱T為從為從Vn到到Um的的線性變換線性變換. 一個(gè)從線性空間一個(gè)從線性空間Vn到其自身的線性變換稱為線性到其自身的線性變換稱為線性 空間空間Vn中的線性變換中的線性變換. 零變換零變換O: O( )=0 恒等變換恒等變換(或稱單位變換或稱單位變換)E: E( )= , V, 1. T(0)=0, T( )=T( ). 2. 若若 =k1 1+k2 2+km m , 則則 T =k1T 1+k2T 2+kmT m . 3. 若若 1, 2, , m 線性相關(guān)線性相關(guān), 則則T 1, T 2,

13、, T m 亦線性相關(guān)亦線性相關(guān). 注意注意: 若若 1, 2, , m 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), 則則T 1, T 2, , T m不一定線性無(wú)關(guān)不一定線性無(wú)關(guān). 4. 線性變換線性變換T的象集的象集T(Vn)是線性空間是線性空間Vn的一個(gè)子的一個(gè)子 空間空間, 稱稱T(Vn)為線性變換為線性變換T的的象空間象空間. 5. ST= | T 1=0, Vn(經(jīng)經(jīng)T變換到變換到0的全體元素的全體元素 構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合)是是Vn的子空間的子空間. 稱稱ST為線性變換為線性變換T的的核核. 對(duì)對(duì)Rn上的線性變換上的線性變換: T(x)=Ax, x Rn, 則有則有 (1) T(x)=Ax的的象空間象空

14、間T(Rn)就是由就是由 1, 2, , n 所所 生成的向量空間生成的向量空間: 即即 T(Rn)= y = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R (2) T(x)=Ax的的核核ST就是齊次線性方程組就是齊次線性方程組Ax=0的解的解 空間空間. 表示表示, 其中其中A = (T(e1), T(e2), , T(en) Rn中任何線性變換中任何線性變換T, 都可用關(guān)系式都可用關(guān)系式 T(x)=Ax (x Rn) , 21 22221 11211 = = nnnn n n aaa aaa aaa e1, e2, ,en為單位坐標(biāo)向量組為單位坐標(biāo)向量組. + + + +

15、= = + + + += = + + + += = nnnnnn nn nn aaaT aaaT aaaT 2211 22221122 12211111 )( )( )( 定義定義: 設(shè)設(shè)T是線性空間是線性空間Vn中的線性變換中的線性變換, 在在Vn中取中取 定一個(gè)基定一個(gè)基 1, 2, , n, 如果這個(gè)基在變換如果這個(gè)基在變換T下的象為下的象為 其中其中 T( 1, 2, , n)=(T( 1), T( 2), , T( n), 則上式可表示為則上式可表示為 記記 T( 1, 2, , n)= ( 1, 2, , n)A , 21 22221 11211 = = nnnn n n aaa

16、aaa aaa A 則稱則稱A為為線性變換線性變換T在基在基 1, 2, , n下的矩陣下的矩陣. 結(jié)論結(jié)論: 在在Vn中取定一個(gè)基后中取定一個(gè)基后: 由線性變換由線性變換T可唯一可唯一 地確定一個(gè)矩陣地確定一個(gè)矩陣A; 反之反之, 由一個(gè)矩陣由一個(gè)矩陣A也可唯一地確也可唯一地確 定一個(gè)線性變換定一個(gè)線性變換T. 在給定一個(gè)基的條件下在給定一個(gè)基的條件下, 線性變換與矩陣是一一線性變換與矩陣是一一 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的. 定理定理1: 設(shè)線性空間設(shè)線性空間Vn中取定兩個(gè)基中取定兩個(gè)基: 由基由基 1, 2, , n到基到基 1, 2, , n的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為P, Vn 中的線性變換中的線性變換

17、T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和和B, 那那 末末B=P-1AP. 1, 2, , n;, 定義定義: 線性變換線性變換T的象空間的象空間T(Vn)的維數(shù)的維數(shù), 稱為線性稱為線性 變換變換T的秩的秩. 若若A是線性變換是線性變換T的矩陣的矩陣, 則則T的秩就是的秩就是R(A). 若線性變換若線性變換T的秩為的秩為r, 則則T的核的核ST的維數(shù)為的維數(shù)為nr. (1) 如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是 通常實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算通常實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算, 則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性. (2) 一個(gè)集合一個(gè)集合, 如果定義

18、的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通 常的實(shí)數(shù)間的常的實(shí)數(shù)間的加加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則則必需必需檢驗(yàn)是否滿足檢驗(yàn)是否滿足八條線八條線 性運(yùn)算規(guī)律性運(yùn)算規(guī)律. 例例1: 正實(shí)數(shù)的全體記作正實(shí)數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘在其中定義加法及乘 數(shù)運(yùn)算為數(shù)運(yùn)算為: a b = a+b, a = a , ( R, a, b R+) 問(wèn)問(wèn)R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成(實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的) 線性空間線性空間. 解解: 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證, 所定義的運(yùn)算是上的運(yùn)算所定義的運(yùn)算是上的運(yùn)算. 但對(duì)于但對(duì)于 八條運(yùn)算規(guī)律并不都成立八條運(yùn)算規(guī)律并不都成立.

19、對(duì)對(duì)(7), (8)兩條不成立兩條不成立. 例如例如, (8) (k+l)a = ak+l = ak al 所以所以, R+對(duì)所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間對(duì)所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間. ak+al = ak al = ka l a . 例例1: 設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣, 問(wèn)在什么條件下滿足問(wèn)在什么條件下滿足 xAxT=0的的n維實(shí)向量維實(shí)向量 x=(x1, x2, , xn)構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間的子空間? 解解: 記記V= x=(x1, x2, , xn) | xAxT= 0 顯然顯然0 V, 所以所以V非空非空. 對(duì)任意的對(duì)任意的 x V, k R, 有有xAxT=0. (kx)

20、A(kx)T= k2(xAxT) = 0, 則則 所以所以 kx V. 因此因此, V構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間的條件為的子空間的條件為: 對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y V, 有有(x+y)A(x+y)T = 0. 而而 (x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT 由于由于x, y V, 則有則有xAxT=0, yAyT=0. 所以所以, (x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT=2xAyT=0 故故,V構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間需要再增加條件的子空間需要再增加條件: 對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y V, 有有xAyT=0. 證一證一: 因?yàn)橐驗(yàn)镻x2是是3

21、維線性空間維線性空間, 所以所以Px2中任意中任意 三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基. 例例3: 證明證明: 1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基, 并并 求向量求向量 1+x+x2 在這組基下的坐標(biāo)在這組基下的坐標(biāo). 而而 1, x1, (x2)(x1) Px2, 令令 k11+k2(x1)+k3(x2)(x1)=0 (k1k2+2k3)+(k23k3)x +k3x2=0整理得整理得 比較等式兩邊得比較等式兩邊得 , 0 03 02 3 32 321 = = = = = =+ + k kk kkk 由方程組易得由方程組易得 k1=k2=

22、k3=0, 于是于是1, x1, (x2)(x1) 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), 所以所以1, (x1), (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基. 設(shè)設(shè)1+x+x2在給定基在給定基1, (x1), (x2)(x1)下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (a1, a2, a3)T. 則有則有 1+x+x2 = a11+a2(x1)+a3(x2)(x1), 整理得整理得 比較等式兩邊得比較等式兩邊得: : 1+x+x2 = (a1a2+2a3)+(a23a3)x +a3x2 , 1 13 12 3 32 321 = = = = = =+ + a aa aaa , 1 4 3 3 2 1 = = = = = = a

23、a a 解得解得: 所以所以 1+x+x2 在給定基下的坐標(biāo)為在給定基下的坐標(biāo)為: (3, 4, 1)T. 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1). 即即 證二證二: 已知已知 1, x, x2 是是Px2的一組基的一組基, 而而 1, (x1), (x2)(x1) Px2, 所以所以, 1, (x1), (x2)(x1)由由1, x, x2 線線 性表示性表示;又由于又由于 + + + + = = + + = = = = )1)(2(1)1(311 )1(111 111 2 xxx x xx 即即 1, x, x2 可以由可以由 1, (x1), (x2)(x1) 線性表示線性表

24、示, 所以所以 兩個(gè)向量組等價(jià)兩個(gè)向量組等價(jià). 故它們有相同的秩故它們有相同的秩, 而而1, x, x2線性線性 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 因此因此, 1, (x1), (x2)(x1)也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān). 從而從而1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基. (1) 又由又由(1)式得式得, 由基由基1, (x1), (x2)(x1)到到1, x, x2的的 過(guò)渡矩陣為過(guò)渡矩陣為: , 100 310 111 = =P 即即 顯然顯然, 1+x+x2在給定基在給定基1, x, x2下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (1, 1, 1)T. 則則1+x+x2在基在基1, (x1), (x2)(x1)下的

25、坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (1, x, x2)=(1, (x1), (x2)(x1)P . 即即 1+x+x2 = (1, x, x2)(1, 1, 1)T. = (1, (x1), (x2)(x1)P(1, 1, 1)T. = (1, (x1), (x2)(x1) 1 1 1 100 310 111 1 4 3 = (1, (x1), (x2)(x1) . 1 4 3 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).即即 例例4: 在在R3中中, 求由基求由基 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 通過(guò)過(guò)渡矩陣通過(guò)過(guò)渡矩陣 所得到的新基所得到的新基

26、 1, 2, 3, 并求并求 = 12 2+ 3在基在基 1, 2, 3下的表達(dá)式下的表達(dá)式. = = 100 110 011 A 解解: 由題設(shè)有由題設(shè)有 ( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)A =( 1, 2, 3) 100 110 011 =( 1, 1+ 2, 2+ 3) 再由再由 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 得得 1=(1, 0, 0)T, 2= (0, 1, 0)T, 3= (0, 0, 1)T, 為所求的新基為所求的新基. 5 2 1 100 110 011 1 = 12 2+ 3=( 1, 2, 3)(1, 2, 5

27、)T =( 1, 2, 3)A-1(1, 2, 5)T =( 1, 2, 3) 5 2 1 100 110 111 , 5 3 2 =( 1, 2, 3) =( 1, 2, 3) 故故 =2 1+3 2+5 3. 例例5: 設(shè)設(shè)R4的兩組基的兩組基: 求由基求由基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的過(guò)渡矩陣的過(guò)渡矩陣, 并寫并寫 出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式. ; 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 0 1 1 , 0 1 2 1 4321 = = = = = = = = . 1 2 3 4 , 2 1 4 3 , 3 4 1 2 , 4 3 2 1 4

28、321 = = = = = = = = 解一解一: 由過(guò)渡矩陣的定義有由過(guò)渡矩陣的定義有 + + + += = + + + += = + + + += = + + + += = )4( )3( )2( )1( 4443342241144 4433332231133 4423322221122 4413312211111 aaaa aaaa aaaa aaaa 整理得整理得 + + + + + + = = 1 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 4 3 2 1 41312111 aaaa 由方程由方程(1)得得 , 4 32 22 1 4131 413111 413121

29、11 312111 = = = =+ + + = =+ + + + = =+ + + aa aaa aaaa aaa , 2 6 16 11 41 31 21 11 = = = = = = = = a a a a 解得解得: 同理可以從方程同理可以從方程(2), (3), (4)求出其余的求出其余的aij , 從而確從而確 定出過(guò)渡矩陣定出過(guò)渡矩陣. 從上面的解法可以看到從上面的解法可以看到, 由定義出發(fā)由定義出發(fā), 利用解方程利用解方程 組組, 求出線性表達(dá)式中的系數(shù)求出線性表達(dá)式中的系數(shù), 得到過(guò)渡矩陣得到過(guò)渡矩陣, 這種方這種方 法計(jì)算量太大法計(jì)算量太大. 因此因此, 當(dāng)線性表達(dá)式不容易

30、得到時(shí)當(dāng)線性表達(dá)式不容易得到時(shí), 可可 采用下面的解法采用下面的解法. 解二解二: 引入一組新的基引入一組新的基: . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1111 = = = = = = = =eeee . 1100 1201 1112 0111 = =A ( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)A.于是于是 其中其中 . 1234 2143 3412 4321 = =B ( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)B.又又 其中其中 ( 1, 2, 3, 4)=( 1, 2, 3, 4)A-1B. 從基從基 1,

31、2, 3, 4到基到基 1, 2, 3, 4的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為: . 1234 2143 3412 4321 1 1100 1201 1112 0111 P=A-1B= 因此因此, 從基從基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的基變換的基變換 公式為公式為: 對(duì)任意的對(duì)任意的 R4, 設(shè)其在基設(shè)其在基 1, 2, 3, 4和基和基 1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)分別為下的坐標(biāo)分別為(x1, x2, x3, x4)T和和(y1, y2, y3, y4)T. 則坐標(biāo)變換公式為則坐標(biāo)變換公式為: , 4 3 2 1 1 4 3 2 1 = = x x x x P y y y y

32、 . 4 3 2 1 4 3 2 1 = = y y y y P x x x x 或或 例例6: 判斷下列變換是否為線性變換判斷下列變換是否為線性變換. (1) 在線性空間在線性空間V中中, 定義變換定義變換 1( )= + , V, 其中其中 是是V中的一個(gè)固定向量中的一個(gè)固定向量. (2) 在在R3中中, 定義變換定義變換 2(x1, x2, x3)=(x12, x2+ x3, x32), 其中其中 =(x1, x2, x3) R3. 解解(1): 對(duì)任意的對(duì)任意的 , V, k R, 1( + )=( + )+ , 1( )+ 1( )=( + )+( + )=( + )+2 , 1(k

33、 )=k + , k 1( )=k( + )=k +k , 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)時(shí), 1不是線性變換不是線性變換; 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí), 1是線性變換是線性變換. 所以所以, 解解(2): 對(duì)任意的對(duì)任意的 =(x1, x2, x3), =(y1, y2, y3) V, 則則 2( + )=(x1+y1)2, (x2+y2)+(x3+y3), (x3+y3)2) 2( )+ 2( )=(x12, (x2+x3), x32)+(y12, (y2+y3), y32) =(x12+y12, (x2+x3)+(y2+y3), x32+y32) 所以所以, 2( + ) 2( )+ 2( ), 因此因此, 2不是線性

34、變換不是線性變換. 例例7: 全體二階實(shí)矩陣構(gòu)成實(shí)數(shù)域全體二階實(shí)矩陣構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間上的線性空間 V, 取固定實(shí)數(shù)矩陣取固定實(shí)數(shù)矩陣 , = = dc ba A在在V中定義變換中定義變換 : (X)=AXXA, X V. (1) 證明證明 是是V中的一個(gè)線性變換中的一個(gè)線性變換; (2) 證明對(duì)任意的證明對(duì)任意的X, Y V, 恒有恒有 (XY)= (X)Y+X (Y); (3) 在在V中取一組基中取一組基: , 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 4321 = = = = = = = = EEEE 寫出寫出 在該基下的矩陣在該基下的矩陣. 證明證明(1): 對(duì)

35、任意的對(duì)任意的X, Y V, k R, (X+Y)=A(X+Y)(X+Y)A=AX+AYXAYA =(AXXA)+(AYYA) = (X)+ (Y). (kX)=A(kX)(kX)A=k(AXXA)=k (X) 故故 是是V上的一個(gè)線性變換上的一個(gè)線性變換. 證明證明(2): 對(duì)任意的對(duì)任意的X, Y V, (XY)=A(XY)(XY)A=(AX)YX(YA) =(AX)Y(XA)Y+X(AY)X(YA) =(AXXA)Y+X(AYYA) = (X)Y+X (Y) = = dc ba dc ba 00 01 00 01 (E1)=AE1E1A = = 0 0 c b =bE2+cE3. 同理可

36、得同理可得, (E2)=cE1+(ad)E2+cE4 (E3)=bE1+(da)E3bE4 (E4)=bE2cE4 , 00 0 0 00 bc cadc bdab bc . 00 0 0 00 = = bc cadc bdab bc B (E1, E2, E3, E4)所以所以 =(E1, E2, E3, E4) 即即, 線性變換線性變換 在基在基E1, E2, E3, E4下的矩陣為下的矩陣為: 解解: 如果按定義直接寫出如果按定義直接寫出 ( i)( i = 1, 2, 3)被被 1, 2, 3線性表示出的表達(dá)式相當(dāng)麻煩線性表示出的表達(dá)式相當(dāng)麻煩, 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算為了簡(jiǎn)化運(yùn)算, 可引可引

37、入一組新基入一組新基: 例例8: 在線性空間在線性空間R3中取基中取基 1=(1, 0, 2)T, 2=(0, 1, 2)T, 3=(1, 2, 5)T, 線性變換線性變換 使得使得 ( 1)=(2, 0, 1)T, ( 2)=(0, 0, 1)T, ( 3)=(0, 1, 2)T, 求求 在基在基 1, 2, 3下的矩陣下的矩陣. e1=(1, 0, 0)T, e2=(0, 1, 0)T, e3=(0, 0, 1)T, 則則 , 522 210 101 = =A ( 1, 2, 3)=(e1, e2, e3)A, 其中其中 , 211 100 002 = =B (e1, e2, e3)=( 1, 2, 3)A-1,于是于是 而而 ( 1, 2, 3)=(e1, e2