立體幾何平行

1、立體幾何平行、垂直、體積試題1（2014廣州模擬）如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1平面ABC，ABC為正三角形，側(cè)面AA1C1C是正方形，E是A1B的中點，F(xiàn)是棱CC1上的點（）當(dāng)VEABF=時，求正方形AA1C1C的邊長；（）當(dāng)A1F+FB最小時，求證：AE平面A1FB解：（）設(shè)正方形AA1C1C的邊長為x由于E是A1B的中點，EAB的面積為定值Ks5uCC1平面AA1B，點F到平面EAB的距離為定值即為點C到平面平面AA1B的距離又VEABF=VFABE，且=即，x3=8，x=2（5分）（）解法一：將側(cè)面BCC1B1展開到側(cè)面A1ACC1得到矩形ABB1A1，連結(jié)A1B，交C1C

2、于點F，此時點F使得A1F+BF最小此時FC平行且等于A1A的一半，F(xiàn)為C1C的中點（7分）取AB中點O，連接OE，EF，OC，OEFC為平行四邊形，ABC為正三角形，OCAB，又AA1平面ABC，OCAA1，且ABAA1=A，OC平面A1AB，AE平面A1AB，OCAE，又EFOC，AEEF（11分）由于E是A1B的中點，所以AEA1B，又A1BEF=E，所以直線AE與平面A1FB垂直（12分）解法二：將側(cè)面BCC1B1展開到側(cè)面A1ACC1得到矩形ABB1A1，連結(jié)A1B，交C1C于點F，此時點F使得A1F+BF最小此時FC平行且等于A1A的一半，F(xiàn)為C1C的中點（7分）過點E作EGA1F

3、交BF于G，則G是BF的中點，過點G作GHBC，交BC于H，則 又，于是在RtAGH中，；在RtABA1中，在AEG中，AE2+GE2=AG2，AEEG，AEA1F（11分）由于E是A1B的中點，所以AEA1B，又A1BA1F=E，所以直線AE與平面A1FB垂直（12分）2（2013淄博一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，P為DN的中點（）求證：BDMC；（）在線段AB是否存在點E，使得AP平面NEC，若存在，說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由解：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以BDAC，又ADNM是矩形，平面ADNM平面AB

4、CD，所以MA平面ABCD，所以MABD，又因為ACMA=A，由線面垂直的判定可得BD平面AMC又因為AC平面AMC，所以BDMC；（2）當(dāng)E為線段AB中點時，會使AP平面NEC，下面證明：取NC中點F，連接EF，PF，可得AECD，且AE=CD，由三角形的中位線可知，PFCD，且PF=CD，故可得AEPF，且AE=PF，即四邊形AEPF為平行四邊形，故可得APEF，又AP平面NEC，EF平面NEC，所以AP平面NEC，故當(dāng)E為線段AB中點時，會使AP平面NEC3（2013資陽二模）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D、E分別為A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且（）求

5、證：EF平面BDC1；（）在棱AC上是否存在一個點G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由證明：（I）取AB的中點M，F(xiàn)為AM的中點，又E為AA1的中點，EFA1M在三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分別為A1B1，AB的中點，A1DBM，A1D=BM，A1DBM為平行四邊形，AMBDEFBDBD平面BC1D，EF平面BC1D，EF平面BC1D（II）設(shè)AC上存在一點G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1：15，則，=，AG=所以符合要求的點G不存在4（2013棗莊二模）一多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，它的正視圖為直

6、角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）直觀圖中的平面BEFC水平放置（1）求證：AE平面DCF；（2）當(dāng)時，求該多面體的體積證明：（1）證法1（線面平行的判定定理法）：過點E作EGCF于G，連結(jié)DG由題設(shè)條件可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，所以ADEG，且AD=EG從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AEDG（4分）又因為AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF（6分）證法2：（面面平行的性質(zhì)法）因為四邊形BEFC為梯形，所以BECF又因為BE平面DCF，CF平面DCF，所以BE平面DCF（2分）因為四邊形ABCD為矩形，所以ABDC同理可證AB平面DCF

7、又因為BE和AB是平面ABE內(nèi)的兩相交直線，所以平面ABE平面DCF（4分）又因為AE平面ABE，所以AE平面DCF（6分）（2）由三視圖知AB平面BEFC，AD平面DCF，所以AB、AD分別為四棱錐ABEFC和三棱錐ADCF的高（7分）在RtEGF中，因為，所以GFE=60，且GF=1又因為CEF=90故CF=4從而BE=CG=3（9分）多面體的體積V=V四棱錐ABEFC+V三棱錐ADCF（12分）5（2013延慶縣一模）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，ABC=60，PA底面ABCD，PA=AB=2，E為PA的中點（）求證：PC平面EBD；（）求三棱錐CPAD的體積VCPAD；（

8、）在側(cè)棱PC上是否存在一點M，滿足PC平面MBD，若存在，求PM的長；若不存在，說明理由解：（）證明：設(shè)AC、BD相交于點F，連接EF，ABCD底面ABCD為菱形，F(xiàn)為AC的中點，又E為PA的中點，EFPC又EF平面EBD，PC平面EBD，PC平面EBD（）解：底面ABCD為菱形，ABC=60，ACD是邊長為2正三角形，又PA底面ABCD，PA為三棱錐PACD的高，VCPAD=（）解：在側(cè)棱PC上存在一點M，滿足PC平面MBD，下面給出證明PA底面ABCD，又ABCD底面ABCD為菱形，ACBD，BD平面ABCD，BDPC在PBC內(nèi)，可求，BC=2，在平面PBC內(nèi)，作BMPC，垂足為M，設(shè)PM

9、=x，則有，解得連接MD，PCBD，BMPC，BMBD=B，BM平面BDM，BD平面BDM，PC平面BDM所以滿足條件的點M存在，此時PM的長為6（2013許昌二模）在直角梯形ABCD中，ADBC，AB=1，AD=，ABBC，CDBD，如圖1，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如圖2（）求證：CDAB；（）求三棱錐ABDC的體積解答：（）證明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，CDBD，CD平面ABD，AB平面ABDCDAB；（）解：如圖1，在RtABD中，BD=2ADBC，ADB=DBC=30在RtBDC中，DC=BDtan30=SBDC=如圖2，在RtABD中，

10、過點A作AEBD于E，則AE平面BCD=VABDC=7（2013渭南二模）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點（）若PB=PD，求證：BDCQ；（）在（）的條件下，若PA=PC，PB=3，ABC=60，求四棱錐PABCD的體積解答：解：（）證明：連接AC，交BD于O因為底面ABCD為菱形，所以O(shè)為AC中點所以ACBD，O為BD中點因為PB=PD，所以POBD因為POBD=O，所以BD平面PAC因為CQ平面PAC，所以BDCQ（）解：因為PA=PC，所以PAC為等腰三角形因為O為AC中點，所以POAC由（）知POBD，且ACBD=O，所以PO平面ABCD，即

11、PO為四棱錐PABCD的高因為四邊形是邊長為2的菱形，且ABC=60，所以BO=，所以PO=所以VPABCD=2=2，即VPABCD=28（2013濰坊一模）如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD=6，BC=4，AB=2，點E、F分別在BC、AD上，EFAB現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，設(shè)AD中點為P（ I ）當(dāng)E為BC中點時，求證：CP平面ABEF（）設(shè)BE=x，問當(dāng)x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值解答：解：（ I ）證明：取AF得中點Q，連接QE、QP，則有條件可得QP與DF 平行且相等，又DF=4，EC=2，且DFEC，QP

12、與 EC平行且相等，PQEC為平行四邊形，CPEQ，又EQ平面ABEF，CP平面ABEF，CP平面ABEF（）平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC=EF，BE=x，AF=x （0x4），F(xiàn)D=6x，VACDF=（6xx2）=9（x3）2，故當(dāng)x=3時，VACDF取得最大值為39（2013天河區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=12，E為CD的中點，將DAE沿AE折起，使面DAE面ABCE；再過點D作DQAB，且（）求證：面DAE面BEQ；（）求直線BD與面DAE所成角的正弦值；（）求點Q到面DAE的距離解答：（I）證明：折疊前，矩形ABCD中，連接BE，在ABE中，AB

13、=12，AE2+BE2=AB2，AEBE，面DAE面ABCE，交線為AE，BE平面DAE，而BEBEQ，面DAE面BEQ； （II）由（I）知，BE平面DAE，BDE是直線BD與平面DAE所成的角，在RtBDE中，DE=6，故直線BD與平面DAE所成角的正弦值為 （III）設(shè)點Q到平面DAE的距離為h，DQEC且DQ=EC，四邊形DQCE為平行四邊形，QCDE，從而QC平面DAE，故點Q到平面DAE的距離等于點C到平面DAE 的距離，作DHAE與H，面DAE面BEQ，交線為AE，DH平面ABCE，則DH是D到面ABCE的距離，而由VQADE=VCADE=VDAEC，又，點Q到平面DAE 的距離

14、為10（2013石景山區(qū)一模）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC=90，PD平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4（I）求證：BDPC；（II）設(shè)AC與BD相交于點O，在棱PC上是否存在點E，使得OE平面PAB？若存在，確定點E位置解答：證明：（）在RtABD中，AD=1，AB=4，BD=2ABD=30，DBC=60在BCD中，由余弦定理得DC2=22+42224cos60=12，DB2+DC2=BC2，BDC=90BDDCPD平面ABCD，PDBD又PDDC=D，BD平面PDCBDPC（II）存在點E，使得OE平面PAB，此時證明如下：在PC上取點E使得，連接OE

15、由ADBC，可得OEPA又PA平面PAB，OE平面PAB，OE平面PAB11（2013石景山區(qū)一模）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC=90，PD面ABCDAD=1，BC=4（1）求證：BDPC；（2）求直線AB與平面PDC所成角；（3）設(shè)點E在棱PC、上，若DE面PAB，求的值解答：解：（1）DAB=90，AD=1，AB=，BD=2，ABD=30，BCADDBC=60，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）BC2=DB2+DC2，BDDC，PD面ABCD，BDPD，PDCD=D，BD面PDC，PC在面PDC內(nèi)，BDPC（5分）（2）在底面ABCD內(nèi)過D作直線DFA

16、B，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標(biāo)系，（6分）由（1）知BD面PDC，就是面PDC的法向量，（7分）A（1，0，0），B（1，0），P（0，0，a）=（0，0），=（1，0），（8分）設(shè)AB與面PDC所成角大小為，cos=，（9分）（0，90）=30（10分）（3）在（2）中的空間坐標(biāo)系中A、（1，0，0），B、（1，0），P（0，0，a）C、（3，0），（11分）=（3，a），=（3，a），=+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa）（12分）=（0，0），=（1，0，a），設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，由=0，得y=0，由=0，得xaz=0，取x

17、=a，z=1，=（a，0，1），（14分）由D、E面PAB得：，=0，3a+aa=0，=（15分）12（2013石家莊二模）如圖，在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為直角梯形，且BECD，CDBC側(cè)面ABC底面BCDE，F(xiàn)為AC的中點，BC=BE=4CD=2，AB=AC（）求證：FDCE；（）若規(guī)定正視方向與平面ABC 垂直，且四棱錐ABCDE的側(cè)（左）視圖的面積為，求點B到平面ACE的距離解答：（）證明：過F作FHBC于H，連接DH，將直角梯形BCDE補(bǔ)成正方形BCGE，（2分）連接BG側(cè)面ABC底面BCDE，平面ABC底面BCDE=BCFH底面BCDEFHBCF為AC的中點，H為BC的四等

18、分點，（4分），DHBGDHECFHDH=HEC平面FHDFDCE（6分）（）解：由題意可知ABC的高為h=（8分）AB=AC=2VABCE=在AEC中，AE=EC=2，AC=2，SAEC=VBACE=h=點B到平面ACE的距離為（12分）13（2013汕頭一模）如圖所示的幾何體為一簡單組合體，其底面ABCD為矩形，PD丄平面ABCD，ECPD，且 PD=2EC（1）若N為線段PB的中點，求證：NEPD（2）若矩形ABCD的周長為10，PD=2，求該簡單組合體的體積的最大值解答：證明：（1）連接AC、BD相較于點F，則F為BD的中點，連接NF又N為PB的中點，又ECPD，且 PD=2EC，四邊

19、形NFCE為平行四邊形，NEFCPD丄平面ABCD，PDFCPDNE（2）該幾何體可以看成是由三棱錐PABD和四棱錐BPDCE組合而成，PD平面ABCD，且底面是周長為10的矩形，設(shè)AB=x，（0x5）則CD=x，AD=BC=5x=VPABD=PD平面ABCD，BCPD，CDPD又BCCD，PDCD=D，BC平面PDCEVBPDCE=VPABCD=VPABD+VBPDCE=當(dāng)且僅當(dāng)x=5x，0x5，解得x=時取等號該簡單組合體的 體積的最大值是14（2013南京二模）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，PB平面ABCD，CDBD，PB=AB=AD=1，點E在線段PA上，且滿足PE=2EA（1）求三棱錐EBAD的體積；（2）求證：PC平面BDE解答：解：（1）過E作EFAB，垂足為F，PB平面ABCD，平面PAB平面ABCD