一類微分方程模型穩(wěn)定性的數(shù)值模擬畢業(yè)論文

1、一類微分方程模型穩(wěn)定性的數(shù)值模擬 摘要：數(shù)值模擬也叫計算機模擬。當前對于數(shù)值模擬的研究成果已經(jīng)應用于諸多領域，如一類微分方程模型穩(wěn)定性的數(shù)值模擬更是因為它能直觀和準確地反映和解決問題而受到廣泛的注意。而本文通過搜集數(shù)據(jù)和種群模型，一方面借助MATLAB編寫程序從而實現(xiàn)對種群關系問題的直觀表述，驗證理論結果，另一方面盡可能地分析模型之間的聯(lián)系，理解和分析問題的實質。關鍵詞：數(shù)值模擬 穩(wěn)定性 平衡點 微分方程1 前言20世紀以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產(chǎn)生和發(fā)展，微分方程穩(wěn)定性的應用也越來越廣泛。尤其當我們描述實際對象的某些特性

2、隨時間或空間而演變的過程,分析它的變化規(guī)律，預測它的未來形態(tài)時，就要研究微分方程模型的穩(wěn)定性。但是在理論上研究微分方程的穩(wěn)定性并不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。由于理論本身的抽象性致使這種動態(tài)變化的過程不能形象地表述。而微分方程穩(wěn)定性的數(shù)值模擬則彌補了這樣的不足，它可以借助matlab等數(shù)學軟件對方程解的集合進行幾何描述，同時根據(jù)幾何圖形間接判斷微分方程的穩(wěn)定性。這是一個從抽象的穩(wěn)定解的概念到形象的圖形表示的過程，它能夠直觀地通過方程的解模擬圖形，從而很好地幫助分析方程的穩(wěn)定性。鑒于微分方程穩(wěn)定性數(shù)值模擬的特點，本文主要從以下幾個方面準備：首先，對本文的研究背景和

3、主要工作進行簡單的論述；其次，對本文需要的知識點再進行簡單的介紹；接著，從一類關于種群的微分方程模型入手，對這些方程進行數(shù)值模擬，同時嘗試利用數(shù)值模擬的結果說明在一定范圍內圖形所具有的穩(wěn)定性。利用微分方程平衡點穩(wěn)定性結合圖形，對兩種生物種群的模型進行討論分析。著重討論微分方程的穩(wěn)定性，突出數(shù)值模擬的優(yōu)越性和微分方程平衡點穩(wěn)定性在實際問題中的重要應用；最后對這些工作進行簡單的總結。1.1 研究背景數(shù)值模擬是對具體對象抽取數(shù)學模型，然后用數(shù)值分析方法，通過計算機求解。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，開發(fā)了許多不同的科學方法，其中有：（1） 差分法法；（2）有限元法；（3）數(shù)值積分法；（4）蒙特卡洛法等。而數(shù)值模

4、擬分析方法則是從結構化矩陣分析發(fā)展而來, 逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析。近年來數(shù)值模擬方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流等求解計算, 最近又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。究其原因主要是數(shù)值模擬存在以下特點：首先體現(xiàn)在它的理論意義上。它可以通過對復雜或不可觀察的現(xiàn)象進行定量分析和對極端情況下尚不知的規(guī)則的推測和預測，實現(xiàn)對復雜現(xiàn)象的模擬，以助于認清現(xiàn)象的本質，弄清整個過程內含的規(guī)律。其次則是體現(xiàn)在數(shù)值模擬的現(xiàn)實意義上。它可以根據(jù)對研究現(xiàn)象和過程的數(shù)值模擬，優(yōu)化結構設計或者工藝設計，從而減少試驗工作量，提高產(chǎn)品或研究成果的質量。可以說, 繼理論分析和科學試驗之后, 數(shù)值

5、模擬已成為科學技術發(fā)展的主要手段之一。20世紀八十年代以來，國際數(shù)值模擬研究就取得顯著發(fā)展，它已不僅是一種現(xiàn)代化的實驗手段，而且已發(fā)展為具有獨立特征的學科分支。而隨著計算數(shù)學理論和方法的迅速發(fā)展和各種高級計算機語言的出現(xiàn)，使國內數(shù)值模擬技術更是得到更好的發(fā)展和應用。國內與國外的研究存在一個共同點,即對微分方程模型穩(wěn)定性的數(shù)值模擬及它在各個領域中相關研究和應用的關注。然而,在這一現(xiàn)象之下卻存在著差異。國外是建立在微分方程穩(wěn)定性研究發(fā)展比較充分的基礎上具有較大的開拓性和靈活性,而國內數(shù)值模擬的應用領域在很大程度上受國外研究方向和方式的影響。國內現(xiàn)在的研究一方面介紹微分方程穩(wěn)定性理論在數(shù)值模擬方面的

6、擴展應用及國外研究近況,另一方面是探討微分方程穩(wěn)定性數(shù)值模擬在實踐中的運用?；谶@些事實可知在以計算機為基礎的其他技術帶動下，數(shù)值模擬技術必將發(fā)生更大的變化，并對微分方程理論證明方向的研究起到相當大的推動作用。而在眾多關于微分方程穩(wěn)定性模型中，以種群模型為代表的一類微分方程穩(wěn)定性模型作為數(shù)值模擬研究的典型之一，它必將會得到更多的關注。1.2本文的主要工作本文主要以種群模型為例對一類微分方程穩(wěn)定性模型進行數(shù)值模擬的研究。首先針對相互競爭和相互依存兩種種群模型，對種群的演變過程進行數(shù)值模擬，驗證理論結果；接著再對食餌-捕食者模型進行分析并進行數(shù)值模擬，最后嘗試改進模型并運用數(shù)值模擬驗證結論的可行性

7、。對模型進行改進時，主要考慮的內容如下：因為種群模型有相互競爭模型、相互依存及Volterra食餌捕食模型三種，所以可以從以下幾個方面闡述。（1）首先，從兩種群的競爭關系入手建立微分方程模型，并從理論上對模型的動力學性質進行分析，揭示兩種競爭種群之間的數(shù)量變化關系。同時，結合生物學對模型作出相應的解釋，并運用數(shù)值模擬驗證結論的可行性；（2）其次，基于前兩種種群模型是目前研究和引用較廣的模型，改進和完善的空間不是很大，而Volterra食餌捕食者模型相對而言具有比較多的局限性，所以可以改進的空間比較大。（3）最后，對微分方程結構以及部分參數(shù)進行修改，達到改進和完善“食餌和捕食者”模型的目的，使之

8、可以與前兩種模型比較并運用極限環(huán)把周期性變化的結構體現(xiàn)出來，同時通過數(shù)值模擬直觀和準確地揭示問題的實質，驗證理論討論的正確性。2 預備知識2.1 二階微分方程的平衡點和穩(wěn)定性在這里，我們以二階微分方程為例，簡要敘述微分方程的穩(wěn)定性理論。下面討論以下形式的微分方程： （1）右端不顯含t，代數(shù)方程組 （2）的實根稱為方程（1）的平衡點，記為。如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解都滿足 （3）則稱平衡點是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱P0是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（1）的平衡點的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程： （4）系數(shù)矩陣記作：并假定A的行列式。于是原點是方程（4）的唯

9、一平衡點，它的穩(wěn)定性由的特征方程：的根（特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式： （5）將特征根記作，則： （6）方程（4）的解一般有形式（）或（），為任意實數(shù)。由定義（3），當全為負數(shù)或有負的實部時是穩(wěn)定的平衡點，反之，當有一個為正數(shù)或有正的實部時是不穩(wěn)定的平衡點。微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點分為結點、焦點、鞍點、中心等類型，完全由特征根或相應的取值決定，下表簡明地給出了這些結果，表中最后一列指按照定義（3）式得下列關于穩(wěn)定性的結論。表1 ：由特征方程決定的平衡點的類型和穩(wěn)定性平衡點類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結點穩(wěn)定不穩(wěn)定結點不穩(wěn)定鞍點不穩(wěn)定穩(wěn)定退化結點穩(wěn)定不穩(wěn)定退化結點不穩(wěn)定穩(wěn)定焦點穩(wěn)定不穩(wěn)定焦點不

10、穩(wěn)定中心不穩(wěn)定由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)的正負很容易判斷平衡點的穩(wěn)定性，準則如下：若A1：則平衡點穩(wěn)定。若A2： 則平衡點不穩(wěn)定。以上是對線性方程（4）的平衡點穩(wěn)定性的結論，對于一般的非線性方程（1），可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩(wěn)定性，在點將和作泰勒展開，只取一次項，得（1）的近似線性方程 (7)系數(shù)矩陣記作：特征方程系數(shù)：, 。顯然，點對于方程（7）的穩(wěn)定性由表1或準則A1、A2決定，而且已經(jīng)證明了如下結論:若方程（7）的特征根不為零或實部不為零，則點對于方程（1）的穩(wěn)定性與對于近似方程（7）的穩(wěn)定性相同。這樣，點對于方程（1）的穩(wěn)定性也由準則A1、A2決定。2.2 微分方程與

11、極限環(huán)及其穩(wěn)定性設系統(tǒng) （8）具有閉軌線C。假如在C充分小鄰域中，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當t或t時趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為(15)的一個極限環(huán).極限環(huán)C將相平面分成兩個區(qū)域：內域和外域。如果極限環(huán)C的內域的靠近C的軌線當t+(-)時盤旋地趨近于C，則稱C是內穩(wěn)定(內不穩(wěn)定的)；如果在極限環(huán)C的外域的靠近C的軌線當t+()時盤旋地趨近于C，側稱C是外穩(wěn)定的(外不穩(wěn)定的)；如果當t()時，C的內部及外部靠近C的軌線都盤旋地趨近于C，則稱C是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的),如果當t()時，C的內外部的穩(wěn)定性相反，則稱C為半穩(wěn)定的。3 一類微分方程模型穩(wěn)定性的數(shù)值模擬3.

12、1 模型: 相互競爭的種群模型1、模型假設及說明:（1）、假設有甲乙兩個種群，當它們獨自在一個自然環(huán)境中生存時，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律，記,是兩個種群的數(shù)量，是它們的固有增長率，,是它們的最大容量。（2）、當甲、乙兩個種群在同一自然環(huán)境中生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比；甲對乙有同樣的作用。（3）、：單位數(shù)量乙（相對于而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的倍。表示的意義與之相反。（4）、可解釋為相對于而言單位數(shù)量的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設食物總量為1）?？勺鲱愃平忉?。2、模型的建立:3、穩(wěn)定性分析：利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間

13、足夠長以后兩種群的變化趨勢。分析結果列入表2。表2：種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性平衡點pq穩(wěn)定條件，不穩(wěn)定根據(jù)相軌跡的性質，相關文獻中對于，的不同取值范圍的情況已經(jīng)進行了詳盡的分析，概括如下：（1）、，。由表2知對于有0, 0。穩(wěn)定；（2），。類似的分析可知穩(wěn)定；（3），。在點0, 0，故穩(wěn)定；（4），。由表2可知在點，0,故不穩(wěn)定（鞍點）。4、數(shù)值模擬根據(jù)表2中的穩(wěn)定條件，探究，在不同的取值范圍內的情況。通過數(shù)值模擬驗證其理論結果。探究1：設已知=0.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始條件1：，；初始條件2：，。(1) 首先，建立m-文件model1.m如下：functi

14、on dx=model1(t,x)a1=0.5;a2=1.6;r1=2.5;r2=1.8;N1=1.6;N2=1;dx=r1*x(1).*(1-x(1)./N1-a1*x(2)./N2);r2*x(2).*(1-x(2)./N2-a2*x(1)./N1) ;（2）其次，建立主程序Untitled1.m如下： t,x=ode45(shier1,0 30,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x(:,1),t,x(:,2),r);xlabel(時間t);ylabel(種群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(當初值分別為0.1,

15、0.1時 );subplot(2,2,2);plot(x(:,1),x(:,2),r); grid on;title(相軌線 (x1(t),x2(t);t,x=ode45(model1,0 30,1 2);subplot(2,2,3);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),r);xlabel(時間t);ylabel(種群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(當初值分別為1,2時);subplot(2,2,4);plot(x(:,1),x(:,2),r); grid on;title(相軌(x1(t),x2(t);（圖形：1）探究2：設已知

16、=1.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始條件1：，；初始條件2：，。（圖形：2）探究3：設已知=1.5，=0.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始條件1：，；初始條件2：，。（圖形：3）探究4：設已知=0.5，=0.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始條件1：，；初始條件2：，。（圖形：4）5、結果解釋根據(jù)數(shù)值模擬的結果。（1）當，時，如圖1所示。意味著在供養(yǎng)的資源的競爭中乙弱于甲， 意味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強于乙，于是種群乙終將滅絕，種群甲趨于最大容量，即、趨向平衡點。（2）當，時，如圖2所示。在競爭甲的資源中乙較強，而在競爭乙的資源中甲較強。隨著

17、時間的推移，有可能甲占優(yōu)勢，乙趨于滅亡。但也有可能乙占優(yōu)勢，而甲滅亡。究竟趨于哪個平衡點，由初始時刻兩群生物的總數(shù)決定。（3）當，時，如圖3所示。這種情況和（1）剛好相反。（4）當，時，如圖4所示。因為在競爭甲的資源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較弱，于是可達到一個雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這是種群競爭中很少出現(xiàn)的情況。顯然數(shù)值模擬的結果可以很好地解釋和說明理論結果。3.2 一類相互依存的種群模型自然界中兩種群相互依存有三種形式：（1）甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長；（2) 甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存 時相互提供食物、促進增長；（3) 甲乙均不能獨自

18、生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。下面分別對著三種情形進行討論。3.2 模型1：種群的相互依存（情形1：）1、模型假設及說明：（1）以、表示甲、乙二種群在時刻的數(shù)量，表示甲種群的固有增長率, 分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；（2）甲乙一起生存時，乙為甲提供食物、促進增長；（3）乙種群沒有甲的存在會滅亡,死亡率為,甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用；（4）乙為甲提供食物是甲消耗的 倍,甲為乙提供食物是乙消耗的倍。2、模型建立:3、穩(wěn)定性分析：利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩種群的變化趨勢。分析結果列入表3。

19、表3 種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性平衡點pq穩(wěn)定條件不穩(wěn)定顯然，是甲乙相互依存而共生的平衡點，下面我們著重分析p2穩(wěn)定的條件。由p2的表達式容易看出，要使平衡點p2有實際意義，即位于相平面第一象限，必須滿足下面兩個條件中的一個：由上面的分析知：僅在條A1件下p2才是穩(wěn)定的，而在A2條件下p2是不穩(wěn)，而是鞍點。關于這一問題，在相關文獻中已經(jīng)做了詳盡的描述。4、數(shù)值模擬根據(jù)表3中的穩(wěn)定條件，探究，在不同的取值范圍內的情況。通過數(shù)值模擬驗證其理論結果。探究1：設，初始值分別取：。(1)首先，建立m-文件model1.m如下：function dx=model1(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1

20、.5;a=0.1;b=3;N(1)=1.6;N(2)=1;dx=r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1) -x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled1.m如下：t,x=ode45(model1,0 8,0.1 0.1);subplot(2,2,1) ;plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 0.1 0.1時);subplot(2,2,2);plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值為 0.1

21、0.1時種群相軌線);t,x=ode45(model1,0 8,1 2);subplot(2,2,3);plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 1 2時);subplot(2,2,4);plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值為 1 2時種群相軌線);（圖形5）探究2：設，初始值分別?。?。（圖形：6）探究3：設，初始值分別?。?。（圖形：7）探究4：設，初始值分別?。?。（圖形：8）5、結果解釋根據(jù)數(shù)值模擬的結果。（1）當,時，如圖5所示。甲為乙提供足夠的食物，甲本身食物不足。隨著時間的增長，甲、乙于是

22、達到一個雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；（2）當，時，如圖6所示。甲和乙都無法給予對方足夠的食物，因此種群乙滅絕，甲達到最大種群數(shù)量；（3）當時，如圖7所示。由于甲、乙都能給對方提供足夠的食物，因此甲和乙有可能共存也有可能乙滅絕，究竟趨于哪個平衡點，由初始時刻兩群生物的總數(shù)決定；（4）當，時，如圖8所示。乙為甲提供足夠的食物，乙本身食物不足。種群乙滅絕，甲達到最大種群數(shù)量。顯然數(shù)值模擬的結果可以很好地解釋和說明理論結果。3.2模型2：相互依存的種群模型（情形2）1、模型假設及說明：與第一種情況的假設一樣，只需要將修改為固有增長率。2、模型建立: 3、穩(wěn)定性分析：利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長

23、以后兩種群的變化趨勢。分析結果列入表4。表4 獨立種群相互依存模型的平衡點和穩(wěn)定性穩(wěn)定條件不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定由P3點的表達式容易看出，要使平衡點P3有實際意義，即位于相平面第一象限（），必須滿足下面兩個條件中的一個：A1：1， 1， 1A2：1， 1， 1由表4可知，僅在條件下才是穩(wěn)定的。 4、數(shù)值模擬根據(jù)表4中的穩(wěn)定條件，探究，在不同的取值范圍內的情況。通過數(shù)值模擬驗證其理論結果。探究1：設，初始值分別?。?。(1)首先，建立m-文件model5.m如下：function dx=model5(t,x)r(1)=2.5;r(2)=1.8;a=0.1;b=1.6;N(1)=1.6;N(2)=1;d

24、x=r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)-a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(1-b.*x(1)/N(1)- x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled3.m如下：t,x=ode45(model5,0 8,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 0.1 0.1時);subplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2),grid on;title(初值為 0.1 0.1兩種群相軌線);t,x=ode45(model5,0 8,1 2

25、);subplot(2,2,3)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 1 2時);subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值為 1 2兩種群相軌線);（圖形：9）探究2：設，初始值分別取：。（圖形：10）探究3：設，初始值分別?。?。（圖形：11）探究4：設，初始值分別取：。（圖形：12）5、結果解釋根據(jù)數(shù)值模擬的結果：（1）當, ，1時，如圖9所示。種群乙滅絕，種群甲達到最大種群數(shù)量；（2）當，1時，如圖11所示.種群乙滅絕，種群甲達到最大種群數(shù)量；(4) 當, ，1時,

26、甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值，否則由于二者均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。因此，在共處的條件下，兩種群不會同時都對對方有很大的促進作用。顯然數(shù)值模擬的結果可以很好地解釋和說明理論結果。3.2 模型3：相互依存的種群模型（情形3）1、模型假設及說明：與第一種情況的假設一樣，只需要將修改為死亡率即可。2、模型建立：3、穩(wěn)定性分析：利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩種群的變化趨勢。分析結果列入表5。表5 獨立種群相互依存模型的平衡點和穩(wěn)定性穩(wěn)定條件不穩(wěn)定4、數(shù)值模擬根據(jù)表5中的穩(wěn)定條件，探究，在不同的取值范圍內的情況。通過數(shù)值模擬驗證其理論結果。探究1：設，初始值分

27、別。(1)首先，建立m-文件:7.m如下：function model7(t,x)r(1)=2.5;r(2)=1.8;a=0.1;b=1.6;N(1)=1.6;N(2)=1;dx=r(1).*x(1).*(-1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1)-x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled7.m如下：t,x=ode45(model7,0 4,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 0.1 0.1時);s

28、ubplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值為 0.1 0.1兩種群相軌線);t,x=ode45(model7,0 4,1 2);subplot(2,2,3)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值為 1 2時);subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值為 1 2兩種群相軌線);（圖形：13）探究2：設，初始值分別。 （圖形：14）探究3：設，初始值分別。（圖形：15）探究4：設，初始值分別。（圖形：16）5、結果解釋根據(jù)

29、數(shù)值模擬的結果：（1）當, ，1時，如圖13所示。種群甲、乙都滅絕；（2）當，1時，如圖15所示。種群甲、乙都滅絕；(4) 當, ，1時, 如圖16所示。甲、乙兩種群將分別趨于非零的有限值，達到平衡狀態(tài)。顯然數(shù)值模擬的結果可以很好地解釋和說明理論結果。3.3模型1：Volterra 食餌捕食者模型（不考慮人工捕撈）1、模型假設及說明：假設表示食餌在時刻t的數(shù)量，表示捕食者在時刻t的數(shù)量，即，表示食餌獨立存在是以指數(shù)規(guī)律增長，與捕食者相對的增長率，表示捕食者獨立存在時的死亡率，表示單位數(shù)量的乙（相對于）捕食單位數(shù)量甲（相對于）的能力，表示單位數(shù)量的甲（相對于）供養(yǎng)單位數(shù)量乙（相對于）的能力，表示

30、生存環(huán)境允許食餌的最大生存量，表示生存環(huán)境允許捕食者的最大生存量。2、模型建立：3、穩(wěn)定性分析：利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩種群的變化趨勢。分析結果列入表6。表6 獨立種群“食餌捕食者”模型的平衡點和穩(wěn)定性平衡點pq穩(wěn)定條件不穩(wěn)定表中可以看出是不穩(wěn)定的點；當時，點是穩(wěn)定點；當時，是穩(wěn)定點。4、數(shù)值模擬根據(jù)表5中的穩(wěn)定條件，探究，在不同的取值范圍內的情況。通過數(shù)值模擬驗證其理論結果。探究1：設，=25，=2則用MATLAB軟件編程結果如下：（圖形：17）探究2：設，=25，=2。（圖形：18）探究3：設，=25，=2。（圖形：19）探究4：設，=25，=2。（圖形：20）5、結果

31、解釋根據(jù)數(shù)值模擬的結果：（1）當時，如圖17和圖18所示，點穩(wěn)定。食餌和捕食者共存，無論是食餌和捕食者的數(shù)量如何，只要同時存在二者就能分別趨向于非零的有限值，而且始終都不能達到自己環(huán)境所允許的最大值；（2）時，如圖19和圖20所示，點穩(wěn)定。此時因為食餌供養(yǎng)捕食者的能力低于捕食者自身的基本生存要求，所以捕食者就慢慢滅絕了，而食餌則趨向環(huán)境允許的最大容量。顯然數(shù)值模擬的結果可以很好地解釋和說明理論結果。3.3 模型2:(考慮人工捕撈)1、模型假設及說明：與模型1的假設一樣，只需添加捕食者掠取食餌的能力，表示食餌對捕食者的供養(yǎng)能力，e表示捕獲能力系數(shù)。2、模型建立3、數(shù)值模擬設，=25，=2則用MA

32、TLAB軟件編程如下：(1)首先，建立m-文件:7.m如下：function dx=model8(t,x)r1=1;r2=0.5;m1=0.1;m2=0.02;e1=0.1;N1=100;N2=35;dx=x(1)*r1*(1-(x(1)/N1)-e1*x(1)-m1*x(1)*x(2);-r2*x(2)+(x(2)/N2)-e1*x(2)+m2*x(1)*x(2);function dx=model9 (t,x)r1=1;r2=0.5;m1=0.1;m2=0.02;e2=0.3;N1=100;N2=35;dx=x(1)*r1*(1-(x(1)/N1)-e2*x(1)-m1*x(1)*x(2)

33、;-r2*x(2)+(x(2)/N2)-e2*x(2)+m2*x(1)*x(2);(2)其次，建立主程序Untitled7.m如下：t,x=ode45(model8,0 50,25 2);subplot(2,2,1)plot(t,x(:,1),t,x(:,2) ,gtext(x1(t),gtext(x2(t),grid on;subplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2), ,grid on;t,x=ode45(model9,0 50,25 2);subplot(2,2,3)plot(t,x(:,1),t,x(:,2) ,gtext(x1(t),gtext(x2(t),gri

34、d on;subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2) ,grid on;（圖形：21）（圖形：22）4、結果解釋根據(jù)數(shù)值模擬的結果：如圖21和圖22所示。當e越小時，相軌線收斂性越強。即捕食者和魚餌數(shù)量均隨時間波動，并且當人工捕撈量下降時捕食者和魚餌的數(shù)量最大值均要高，捕撈成了影響它們數(shù)量變化的主要因素。這與實際自然界的情況相符，并且它們數(shù)量的變化符合生態(tài)系統(tǒng)種群之間的依賴關系4 總結本文以種群相互競爭模型、相互依存模型及Volterra食餌捕食者模型作為研究對象，討論了兩個種群在同一自然環(huán)境下生存時，某些因素的變化對兩者相互關系影響。而這表現(xiàn)在微分方程的穩(wěn)定性上，主要是

35、以參數(shù)和方程結構的變化對微分方程穩(wěn)定性所起的影響為主。在整個研究過程中，主要有以下幾點發(fā)現(xiàn)：（1）首先，在于這些模型結構之間的關系。簡言之，它們的不同取決于相互作用項和自身規(guī)律項（繁殖和死亡）的正負號不同。因此將種群模型的上述三種形式，分別研究同時相互比較，對于理解和研究微分方程的穩(wěn)定性有著不言而喻的作用。（2）再者，針對數(shù)值模擬的使用。一方面，相比純數(shù)學的理論分析方法，在分析微分方程穩(wěn)定性這一問題上，它能夠更為直觀地分析方程的穩(wěn)定性。然而，它也存在一定的不足，即可能會因為參數(shù)設置的不合理，造成圖像不能得到完整的展現(xiàn)，而影響人主觀的判斷。（3）最后，在本文討論的內容上。不管是分析哪種形式的種群

36、模型，關鍵在于分析, 的取值范圍。最后，針對本文完成，我在此先對老師的指導表示感謝。再者，鑒于本人對微分方程方程穩(wěn)定性認知的局限性，不能做完美的解答，希望有更多人從更多角度出發(fā)，對這一問題有更為完整的闡述。5 參考文獻1戴斌祥. 微分方程定性和穩(wěn)定性方法M, 長沙：湖南大學出版社, 2006,178-200.2陽明盛Mathematica基礎及數(shù)學軟件M. 大連理工大學出版社，2006，9.3姜啟源, 謝金星. 數(shù)學模型M, 北京: 高等教育出版社, 2007, 212-220.4 張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜.微分方程定性理論M北京：科學出版社，1985.5 馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學建模與

37、研究M.合肥：安徽教育出版社，1996.6Fan M, Zou X F. Global asymptotic stability of a class of nonautonomous integro differential systems and applicationsJ. Nonlinear Analysis, 2004,57:411-435.Abstract: the numerical simulation is also called computer simulation. The current research results on the numerical simula

38、tion has been applied in many fields, such as numerical simulation model for stability of a class of differential equations but also because it can directly and accurately reflect and solve problems and received widespread attention. And through the collection of data and population model, by means

39、of a program to realize the visual expression of MATLAB relationship of population problem, verify the theoretical results, on the other hand, as far as possible the analysis model of the link between, the essence of understanding and analysis of problems.Keywords: numerical simulation；stability；equ

40、ilibrium point ；differential equation內部資料，請勿外傳！9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVku

41、m&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmUE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2z

42、Vkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz

43、849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z8vG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxG89AmUE9aQGn8xp

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45、Nu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z8vG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6

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49、N&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGp

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