正多邊形和圓的計(jì)算

1、圓和正多邊形的有關(guān)計(jì)算(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2015涼山州期末)O的內(nèi)接正三角形和外切正方形的邊長(zhǎng)之比是()A.32B.11C.12D.23【解析】選A.如圖所示,連接CO,過(guò)點(diǎn)O作OECD于點(diǎn)E,四邊形AMNB是O的外切正方形,O切AB于點(diǎn)C,CFD是O的內(nèi)接正三角形,設(shè)圓的外切正方形的邊長(zhǎng)為a,則CO=a2,OCE=30,CE=a2cos30=3a4,O的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為2EC=3a2,3a2a=32.2.(2015廣州越秀區(qū)期末)如圖,AB與O相切于點(diǎn)B,OA=2,OAB=30,弦BCOA,則劣弧BC的弧長(zhǎng)是()A.2B.3C.4D.6【解析】選B

2、.連接OB,OC,AB為O的切線,ABO=90,在RtABO中,OA=2,OAB=30,OB=1,AOB=60,BCOA,OBC=AOB=60,又OB=OC,BOC為等邊三角形,BOC=60,則劣弧BC的長(zhǎng)為601180=3.3.如圖,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,則AB的長(zhǎng)為()A.5B.25C.35D.45【解析】選D.如圖所示,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,AOB=3605=72,AB的長(zhǎng)為:722180=45.【知識(shí)拓展】正n邊形的有關(guān)計(jì)算(1)邊長(zhǎng):an=2Rnsin180n.(2)周長(zhǎng):Pn=nan.(3)邊心距:rn=Rncos180n.(4)面積

3、:Sn=12anrnn.(5)每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(n-2)180n.(6)每一個(gè)外角的度數(shù)為360n.(7)中心角的度數(shù)為360n.4.如圖,正方形ABCD中,分別以B,D為圓心,以正方形的邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧,形成樹(shù)葉形(陰影部分)圖案,則樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為()A.aB.2aC.12aD.3a【解析】選A.四邊形ABCD是正方形,B=D=90.則扇形ABC的弧長(zhǎng)為l=90a180=12a,同理可求扇形ADC的弧長(zhǎng)為12a,樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為12a2=a.【一題多解】選A.由題意知樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為以a為半徑的圓周長(zhǎng)的一半,樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為122a=a.【互動(dòng)探究】若求陰影部分的面積呢?提示:S

4、陰影=290a2360-12a2=-22a2.二、填空題(每小題4分,共12分)5.如圖所示,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,若O的半徑為4,則陰影部分的面積等于_.【解析】正六邊形的六條半徑把正六邊形分成六個(gè)全等的等邊三角形,陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積,即為圓面積的13.陰影部分的面積為423=163.答案:163如圖,在扇形OAB中,AOB=90,半徑OA=6,將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處,折痕交OA于點(diǎn)C,求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積.【解析】連接OD,將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD

5、是等邊三角形,C陰影部分=906180+AC+CD+BD=3+12.OBD是等邊三角形,DBC=OBC=30.在RtOCB中,tanOBC=OCOB=OC6,OC=tan306=23.S陰影=S扇形OAB-2SOCB=9062360-26232=9-123.6.如圖,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30,把ABC以點(diǎn)B為中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C處,那么AC邊掃過(guò)的圖形(圖中陰影部分)的面積是_cm2.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可知,AC邊掃過(guò)的圖形(圖中陰影部分)的面積=扇形BAA與扇形BCC的面積差,為150360(42-22)=

6、5(cm2).答案:57.(2015密云期末)如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B在x軸上.將正方形ABCD沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng),當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)的坐標(biāo)是_,D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是_;當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是_.【解析】如圖,正方形ABCD每滾動(dòng)4次為一個(gè)周期,當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),正方形ABCD滾動(dòng)2次,D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0);D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是902180+901180=2+12.每一個(gè)周期中D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是902180+9011802=22+1,當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上

7、時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是:201322+1+2+12=1 0072+4 0272.答案:(3,0)2+121 0072+4 0272三、解答題(共22分)8.(6分)(2015官渡期末)如圖,已知O的半徑為8cm,點(diǎn)A為半徑OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),射線AC切O于點(diǎn)C,BC的長(zhǎng)為83.求AOC的度數(shù)和線段AC的長(zhǎng).【解析】設(shè)AOC=n;n8180=83,解得:n=60,AOC=60.AC切O于點(diǎn)C,ACO=90,A=90-AOC=30,AO=2OC=16,AC=AO2-OC2=162-82=83.9.(7分)(2015南昌期末)如圖,邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABC與O等高(即高與直徑相等),O與BC相切

8、于點(diǎn)C,O與AC相交于點(diǎn)E.求:(1)CE的長(zhǎng).(2)陰影部分的面積.【解析】(1)連接OC,并過(guò)點(diǎn)O作OFCE于F,且ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為4,故高為23,即OC=3,又ACB=60,O與BC相切,OCBC,故有OCF=30,在RtOFC中,可得OF=32,FC=32,即CE=3.(2)連接OE,S陰影=S扇形OCE-SOCE=120(3)2360-12332=-334.【知識(shí)拓展】與直角三角形有關(guān)的計(jì)算公式(1)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半(R=c2).(2)直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半(r=a+b-c2).(3)直角三角形兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的

9、高的乘積,即12ab=12ch.10.(9分)(2015龍巖期末)如圖,ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DEAC,垂足為E.(1)求證:BD=DF.(2)求證:DE為O的切線.(3)若CE=2,BAC=60,求由DC,CF與DF所圍成圖形的面積S.【解析】(1)連接AD.AB為O的直徑,ADB=90,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD,BD=DF,(2)連接OD.AB為O的直徑,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位線,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半徑,DE為O的切線.(3)連接OF.AB=AC,OF=OA,BA

10、C=60,ABC,AFO都是等邊三角形.AFO=C=60.OFCD.ODAC,四邊形DCFO是平行四邊形.OD=OF,四邊形DCFO是菱形.C=FOD=60,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=CD2-CE2=23.S=S四邊形DCFO-S扇形FOD=423-6042360=83-83.【備選習(xí)題】1.(2014內(nèi)蒙古中考)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線BD,AC分別為2,23,以點(diǎn)B為圓心的弧與AD,DC相切,則陰影部分面積為()A.23-B.43-C.23-33D.43-33【解析】選A.如圖,連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,設(shè)以B為圓心的弧與AD相切于E點(diǎn),連接BE,

11、則BEAD,菱形ABCD的對(duì)角線BD,AC分別為2,23,S菱形ABCD=12ACBD=12232=23,在RtAOD中,tanDAO=ODOA=13=33,DAO=30,ABC=120,DAB=2DAO=60,ABD是等邊三角形,BE=OA=3,S扇形=120360(3)2=,陰影部分的面積是S菱形ABCD-S扇形=23-.2.(2014河北中考)如圖,將長(zhǎng)為8cm的鐵絲AB首尾相接圍成半徑為2cm的扇形,則S扇形=_cm2.【解析】由題意可知扇形的弧長(zhǎng)為:l=4cm,所以S扇形=12lr=1242=4cm2.答案:43.(2014荊門(mén)中考)如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑的

12、圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與A相交于點(diǎn)F.若EF的長(zhǎng)為2,則圖中陰影部分的面積為_(kāi).【解析】連接AC,設(shè)A的半徑為R,CD切A于點(diǎn)C,ACCD,即ACD=90,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45,ADBC,FAD=B=45,又EF的長(zhǎng)為2,45R180=2,解得R=2,D=B=45,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45,S陰影=SACD-S扇形ACE=1222-4522360=2-2.答案:2-24.(2014撫順中考)如圖,在矩形ABCD中,E是CD邊上的點(diǎn),且BE=BA,以點(diǎn)A為圓心、AD長(zhǎng)

13、為半徑作A交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作A的切線BF,切點(diǎn)為F.(1)請(qǐng)判斷直線BE與A的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求圖中陰影部分的面積.【解析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AGBE,垂足為G,連接AE.四邊形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直線BE與A相切.(2)連接AF,BF與BG都是A的切線,由切線長(zhǎng)定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S陰影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=AD=BC=5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30,BAG=60.BG=ABcosABG=1032=53.S陰影=SABG-S扇形AMG=12535-6025360=2532-256.5.(2014昆明中考)如圖,在ABC中,ABC=90,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使A=21,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證: