第四章符號計算

1、第四章符號計算 第四章符號計算 1、符號對象的創(chuàng)建 創(chuàng)建符號變量和表達式 在MATLAB符號工具箱中，符號表達式是代 表數(shù)字、函數(shù)和變量的MATLAB字符串或字符串 數(shù)組,它不要求變量要有預(yù)先確定的值。 MATLAB提供了兩個基本函數(shù),用來創(chuàng)建符 號變量和表達式,分別是 sym和syms,共有以下三種方法: 第四章符號計算 (1)利用單引號來生成符號表達式。利用單引號來生成符號表達式。 (2)用用sym函數(shù)建立符號表達式。函數(shù)建立符號表達式。 (3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達 式。式。 下面具體介紹如何使用這三種方法。下面具體介紹如何使用這三種方法。

2、 用單引號來創(chuàng)建符號表達式用單引號來創(chuàng)建符號表達式 MATLAB在內(nèi)部把符號表達式視為字 符串，以示與數(shù)字相區(qū)別，而所有的字 符串都用單引號來設(shè)定輸入或輸出，因 此符號表達式也可用單引號來創(chuàng)建。 第四章符號計算 用單引號創(chuàng)建符號函數(shù), 符號代數(shù)方程 。 (1) 創(chuàng)建一般符號函數(shù) f=exp(x) f= exp(x) (2)創(chuàng)建符號代數(shù)方程 f=ax2+bx+c=0 f = ax2+bx+c=0 第四章符號計算 (1) sym函數(shù)函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格 式為：符號量名式為：符號量名=sym(符號字符串符號字符串) 該函數(shù)可以建立一個符號量

3、，符號字符串該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串 可以是常量、變量、函數(shù)或表達式?？梢允浅Ａ?、變量、函數(shù)或表達式。 應(yīng)用應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符函數(shù)還可以定義符號常量，使用符 號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算 不同。不同。 第四章符號計算 (2) syms函數(shù)函數(shù) 函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量一次只能定義一個符號變量 ，使用不方便。，使用不方便。MATLAB提供了另一個函提供了另一個函 數(shù)數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。，一次可以定義多個符號變量。 syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：函數(shù)的一般調(diào)用格式為： syms 符

4、號變量名符號變量名1 符號變量名符號變量名2 符號變量名符號變量名n用這種格式定義符號變量時用這種格式定義符號變量時 不要在變量名上加字符串分界符不要在變量名上加字符串分界符()，變量，變量 間用空格而不要用逗號分隔。間用空格而不要用逗號分隔。 第四章符號計算 x=sym(a) %創(chuàng)建一個符號變量x,同 時將字符串a(chǎn)賦給x。 y=sym(b) %創(chuàng)建一個符號變量y,同 時將字符串b賦給y。 y1=sym(ax2+bx+c) %創(chuàng)建一個符號表 達式,即y1=ax2+bx+c 第四章符號計算 syms c d e %創(chuàng)建一組符號變量 c,d,e,函數(shù)syms用于多個符號變量的創(chuàng) 建 x3=2*c3

5、+4*d2+5*e %用syms函數(shù)定 義的符號變量創(chuàng)建符號表達式。屬于第 三種方法：使用已經(jīng)定義的符號變量組使用已經(jīng)定義的符號變量組 成符號表達式。成符號表達式。 第四章符號計算 2. .創(chuàng)建符號矩陣創(chuàng)建符號矩陣 使用函數(shù)sym和syms可以創(chuàng)建符號矩陣，也可 以將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣。 x=sym(a b c；d e f) %由函數(shù)sym創(chuàng) 建符號矩陣x y=1 2 3;4 5 6;7 8 9 %創(chuàng)建數(shù)值矩陣 y1=sym(y) %將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣, 注意y不要用單引號括起來 syms g h i k %由函數(shù)syms創(chuàng)建符號變量g 、 h、 i、k。 z=g h i k;h i

6、 k g;i k g h;k g h i % 創(chuàng)建符號矩陣 第四章符號計算 運行結(jié)果： x = x為符號矩陣，注意 a, b, c 符號矩陣的表示方法 d, e, f y = y為數(shù)值矩陣 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第四章符號計算 y1 = y1為符號矩陣 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 z = z為符號矩陣 g, h, i, k h, i, k, g i, k, g, h k, g, h, i 第四章符號計算 由上例可見，普通數(shù)值矩陣與符號矩陣的 區(qū)別： 數(shù)值矩陣中的每個元素只是數(shù)值,而符號 矩陣中的每個數(shù)值可以是數(shù)值也可以是 字符； 1)數(shù)值矩陣顯示時，不顯示方括

7、號,而符號 矩陣顯示時，每行元素放在一對方括號 內(nèi)，而且每個元素之間用逗號分隔； 第四章符號計算 介紹一些提高符號表達式可讀性的一些操作指令。 collect(f,v) 對f表達式中指定的符號對象v的同冪系數(shù)進 行合并。 例題：按不同的方式合并同冪項。 f=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); expr1=collect(f) %默認合并x同冪項系數(shù) expr2=collect(f,exp(-t) 合并exp(-t)同冪項系數(shù) 運行結(jié)果為： expr1 = x3+2*exp(-t)*x2+(1+exp(-t)2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)

8、2+(2*x2+1)*exp(-t)+(x2+1)*x 第四章符號計算 factor(f) 對f表達式進行因式分解 例題：1）除x外不含其他自由變量的情況 syms a x; f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6; factor(f1) 結(jié)果為： ans =(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) 2）含其他自由變量的情況之一 f2=x2-a2; factor(f2) 結(jié)果為： ans =-(a-x)*(a+x) 第四章符號計算 horner(f) 對f表達式分解成嵌套形式 例題：對多項式進行嵌套分解 clear; syms a x; f1=x4-5*x3+5*x2-6; horn

9、er(f1) 運行結(jié)果為： ans =-6+(5+(-5+x)*x)*x2 第四章符號計算 1. 符號極限符號極限 limit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為： (1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計的極限值。即計 算當變量算當變量x趨近于常數(shù)趨近于常數(shù)a時，時，f(x)函數(shù)的極限值函數(shù)的極限值 (2) limit(f,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒的極限值。由于沒 有指定符號函數(shù)有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式的自變量，則使用該格式 時，符號函數(shù)時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)findsym(f)確定確定

10、 的默認自變量，即變量的默認自變量，即變量x趨近于趨近于a。 第四章符號計算 (3) limit(f)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符的極限值。符 號函數(shù)號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)findsym(f)確定確定 的默認變量；沒有指定變量的目標值時的默認變量；沒有指定變量的目標值時 ，系統(tǒng)默認變量趨近于，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即，即a=0的情況的情況 (4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限的極限 值。值。right表示變量表示變量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限值

11、的極限值 。left表示變量表示變量x從左邊趨近于從左邊趨近于a。 第四章符號計算 例例1 求下列極限。求下列極限。 極限極限1： syms xsyms x limit(sin(x)/x,x,0)limit(sin(x)/x,x,0) ans =1 極限極限2： syms xsyms x limit(x2/(x+1),x,1) limit(x2/(x+1),x,1) ans = ans = 1/21/2 第四章符號計算 極限極限3： syms x; limit(1/x,x,0,left) ans = -inf 極限極限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2

12、)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right) ans = -1/2 第四章符號計算 2. 符號微分 diff函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的 一般調(diào)用格式為：一般調(diào)用格式為： diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按 findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求求 一階導(dǎo)數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)。 diff(s,v)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求一求一 階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。 diff(s,n)：按：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符函數(shù)指示的

13、默認變量對符 號表達式號表達式s求求n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 diff(s,v,n)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求求n 階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。 第四章符號計算 例2 求f=xcos(x)的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)。 syms x diff(x*cos(x),x) diff(x*cos(x),x,2) diff(x*cos(x),x,3) 運行結(jié)果為：ans = cos(x)-x*sin(x) ans = -2*sin(x)-x*cos(x) ans = -3*cos(x)+x*sin(x) 第四章符號計算 3.符號積分 符號積分由函數(shù)符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)

14、。該函數(shù)的一般調(diào)用格來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格 式為：式為： int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按 findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符 號表達式號表達式s求不定積分。求不定積分。 int(s,v)：以：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達為自變量，對被積函數(shù)或符號表達 式式s求不定積分。求不定積分。 int(s,v,a,b)：求定積分運算。：求定積分運算。a,b分別表示定積分分別表示定積分 的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b 上的定積分。上的定積分。a和和b

15、可以是兩個具體的數(shù)，也可可以是兩個具體的數(shù)，也可 以是一個符號表達式，還可以是無窮以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當。當 函數(shù)函數(shù)f關(guān)于變量關(guān)于變量x在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)上可積時，函數(shù) 返回一個定積分結(jié)果。當返回一個定積分結(jié)果。當a,b中有一個是中有一個是inf時時 ，函數(shù)返回一個廣義積分。當，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號中有一個符號 表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。 第四章符號計算 例3 求不定積分 syms x int(1/(x2+1) ans= atan(x) 當積分式中帶有其他參變量時，在積分過程 中視為常數(shù)處理

16、。 例如:求 syms x y int(x*y2+1/x),x) ans = 1/2*x2*y2+log(x) dx x1 1 2 dxxxy)/1( 2 第四章符號計算 MATLAB不能進行多重積分，對多重積分只能通 過分次一元積分獲得。 例4 求 syms x y f=int(x*y,x) int(f,y) 運行結(jié)果：f = 1/2*x2*y ans = 1/4*x2*y2 xydxdy 第四章符號計算 例5 求下列定積分 1） 2） 3） syms x t f1=x2/(x+1); a1=int(f1,1,2) f2=1/(x2+1); a2=int(f2,-inf,+inf) f3=2

17、*t*x; a3=int(f3,1,sin(t) 2 1 2 1 dx x x dx x1 1 2 t txdx sin 1 2 第四章符號計算 計算結(jié)果為： a1 = 1/2-log(2)+log(3) a2 = pi a3 = t*(sin(t)2-1) 第四章符號計算 表達式的Taylor級數(shù)展開由函數(shù)taylor實現(xiàn)。 調(diào)用格式為: taylor(f):計算符號表達式f在默認自變量等 于0處的5階taylor級數(shù)展開式。 taylor(f,n,v):計算符號表達式f在自變量v=0 處的n-1階taylor級數(shù)展開式。 taylor(f,n,v,a):計算符號表達式f在自變量 v=a處的

18、n-1階taylor級數(shù)展開式。 第四章符號計算 例6 求函數(shù) 展開到含x4的項。 syms x f=(1+2*x+3*x2)/(1-2*x-3*x2); taylor(f,x,5) 運行結(jié)果為：ans = ans = 1+4 1+4* *x+14x+14* *x2+40 x2+40* *x3+122x3+122* *x4x4 2 2 321 32x1 xx x 第四章符號計算 符號代數(shù)方程組的求解 求解表達式的代數(shù)方程由函數(shù)solve實現(xiàn) ，其調(diào)用格式為： g=solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2, varn):求解符號表達式eq1,eq2,eqn組 成的代數(shù)方程組，自變量

19、分別為 var1,var2,varn。 第四章符號計算 syms x a b c y=a*x2+b*x+c; solve(y) 運行結(jié)果為：ans = -1/2*(b-(b2-4*a*c)(1/2)/a -1/2*(b+(b2-4*a*c)(1/2)/a 第四章符號計算 函數(shù)solve默認參數(shù)是0，求解變量x；也 可以給出參數(shù)以指明來求解哪個變量。 例如對上式求解未知變量a，可采用下面 步驟。 syms x a b c y=a*x2+b*x+c; solve(y,a) 運行結(jié)果為：ans = -(b*x+c)/x2 第四章符號計算 在求解后，有時解的表示是有理分數(shù)形式，可 以使用double函

20、數(shù)將結(jié)果化為小數(shù)形式： y=x2+3*x+4; a=solve(y) double(a) 運行結(jié)果為：a = -3/2+1/2*i*7(1/2) -3/2-1/2*i*7(1/2) ans = -1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i 第四章符號計算 若要求解是y=f(x)形式的方程，可給出整個方 程，并用單引號引用起來，或?qū)⒎匠谈臑閥- f(x)=0，并將y-f(x)賦給一個變量，然后再用 solve函數(shù)。 a=solve(x2+3*x+4=exp(x) double(a) 運行結(jié)果為：a = 3.790047671 ans = 3.1526 通過這個例子，知道了如何用solve求解方 程，同時，注意到用double命令，會使結(jié)果不 夠準確，在使用的時候一定要注意。 第四章符號計算 例 求解一元二次方程組 xy=2, x2+y2=4 輸出形式一： x,y=solve(x*y=2,x2+y2=4) 運行結(jié)果為：x = 2(1/2) -