向量的基本概念及其運算PPT學習教案

1、會計學1 向量的基本概念及其運算向量的基本概念及其運算 【知識精講知識精講】 一一. 向量的基本概念向量的基本概念 1. 向量的概念向量的概念 把既有大小又有方向的量叫做向量，記為向量 等。等。 向量的兩個要素：大小和方向 1）定義：）定義： , , a b c 2）向量的模向量的模： |,|,| |abc 等。等。 | 0a 3）單位向量單位向量： e 4）零向量零向量： 0 2. 向量的表示向量的表示 向量一般用帶箭頭的有向線段表示。 AB 表示從起點A到終點B 的向量。 A B 模為1的向量。 向量的大小叫做向量的模.記為 模為0的向量。 3. 向量之間的基本關(guān)系向量之間的基本關(guān)系 第1

2、頁/共14頁 1）向量相等： 如果兩個向量 ba, 模相等，方向相同，則兩個向量相等。記作 ab 2）相反向量： 如果兩個向量 ba, 模相等，方向相反，則這一對向量叫做相反向量。 記作 ab 3）平行向量： 如果兩個向量 ba, 的方向相同或相反，則把這一對向量叫做平行向量。 記作 / / .ab 平行向量也叫共線向量。 規(guī)定零向量平行于任意向量。 4）共面向量： 如果把幾個向量的始點移到某個平面，它們的終點也都在這個平面內(nèi)， 把這些向量叫做共面向量。 如果兩個向量 ba, 不共線， 則向量 與向量 ba, 共面的充要條件是： c 存在實數(shù)對 ， ),( .cab 使 第2頁/共14頁 二二

3、. 向量的運算向量的運算 1. 向量的加法運算 1). 加法法則: 平行四邊形法則，三角形法則和多邊形法則 a b ab a b ab 1 A 2 A 3 A 4 A n A 首尾相連首尾連 2）. 加法運算律：交換律和結(jié)合律 2. 向量的減法運算：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量. 向量減法的三角形法則： a b 5 A ab 首同尾連，箭頭指向被減向量 第3頁/共14頁 3. 向量的數(shù)乘運算 . .00 aaa aaaaaa 一個實數(shù) 乘以向量 的結(jié)果叫做向量的數(shù)乘運算仍然是一個 一個向量，當時，與 的方向相同；當時，與 的方向相反。 .)(,).2 )().1 : babaaaa

4、aa ）分配律：（ ）（結(jié)合律： 運算律向量的數(shù)乘運算滿足的 .)0(abbaa平行的充要條件：與向量 4. 向量的數(shù)量積運算 （1）.向量所成角 a b 向量所成角的范圍： 0, ()a b 第4頁/共14頁 （2）. 向量的數(shù)量積 cos()a baba b （3）. 向量數(shù)量積滿足的運算律： 交換律：a b b a 分配律： +a b ca c b c （） ()()ab ca bc 不滿足結(jié)合律：與通常不等 數(shù)乘向量與向量的數(shù)量積滿足：)()()aba bab ( （4). 數(shù)乘向量的性質(zhì) 0aba b / /=aba ba b 且方向相同時， / /=-aba ba b 且方向相反時

5、， 2 = ,a aaaa a cos() a b a b ab （5）向量所成角的余弦計算公式： 第5頁/共14頁 核心思想方法 1、定義法 2、數(shù)形結(jié)合 3、化歸與轉(zhuǎn)化 典型例題 1例 、計算12(2)7(3)abab （ ） 2 3(33 )5( 22)abcabc 1解：（ ）原式 42217abab 255ab 2（ ）原式 399abc 10105abc 131914abc 點評：向量的加減運算可以看成合并同類項。 第6頁/共14頁 5 3 CD CG CB CF 例2、如圖，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,H分別是邊AB,AD的 中點，F(xiàn),G分別是邊CB,CD上的點且 FGE

6、H 6 5 求證： A BC D E F G H 證明：E,H分別是邊AB,AD的中點 BDEH 2 1 又 5 3 CD CG CB CF 即 55 33 BC=CF,CD=CG 555 333 BCCDFCCGFG 又BD 15 26 EHBDFG 5 6 EHFG 點評：向量的方法可以用來證明立體幾何和平面幾何的有關(guān)問題，它能將復雜的幾何問題 轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題。 第7頁/共14頁 3,( ,aba b 例 、已知|=4,|=7)=60 a b 求：（1) (2) |.a b 1 cos( ,4 7 cos14a ba ba b 解：（ ）| |)60 2 2 ab （ ） 22 2a

7、a bb 162 4 7 cos6049 o 93 = 93ab +a ba （3）與 所成角的余弦值 +a ba （3）設(shè)與 所成角為 ， +a b a 則：（） =cosaba 4 93cos + 16 1228a b aa aa b （） 287 93 cos 934 93 第8頁/共14頁 點評：根據(jù)向量數(shù)量積定義求向量數(shù)量積、求向量的模、求夾角是重點題型。 | - | -a ba bb 變題： 如何求、與 所成角的余弦值。 12121212 4 eeAB e e BCee CDe e 例 、設(shè)兩個非零向量和 不共線，若= +,=2 +8 ,=3( -). 求證：A、B、D三點共線。

8、BDCDCB 證明： 12 3-e e （）- 12 -ee （28 ） 12 =5ee +5 12 =5=e eAB （ + ）5 BABD 點為公共點，、 、 三點共線。 / / .BDAB 點評：根據(jù)向量平行的充要條件證明三點共線。 5 +3-5-a babababab a b 例 、已知 、 是兩個非零向量 ，若與7垂直，4 與72 垂直， 求 、 的夾角。 第9頁/共14頁 5 +3-5-a babababab a b 例 、已知 、 是兩個非零向量 ，若與7垂直， 4 與72 垂直， 求 、 的夾角。 +3-50 -(- abab abab （） (7） 解：由題意得 (4 ) 72 )=0 22 22 +1615 308 aa bb aa bb 7=0 7=0 (1) (2) 2 (1)(2)46230,a bb 由得 2 =2 (3)ba b 即 2 32=2aa b 將（ ）代入（ ）得， 22 =ab ， =ab 即。 2 2 =2=cos(),ba bbaba b 由得2 1