Ising模型簡述.doc

1、WORD格式Ising模型簡述Lenz 曾向他的學(xué)生Ising提出一個研究鐵磁性的簡單模型，而Ising于 1925年發(fā)表了他對此模型求解的結(jié)果，所以這個模型被稱為Ising模型。當(dāng)時Ising只做出了該模型一維下的嚴格解，在一維情況下并沒有自發(fā)磁化的發(fā)生。另外他還由此錯誤地推斷出在更高維的情況下，這個模型也不存在自發(fā)磁化。這個推斷在后來被證明是錯誤的。1936 年 Peierls論證了二維或三維的Ising模型存在著自發(fā)磁化，雖然當(dāng)時他并沒有能夠給出模型的嚴格解。1944 年，當(dāng) Onsager 給出了二維 Ising模型的嚴格解之后，Ising模型開始引起人們廣泛的關(guān)注。這次求解是相變理論

2、發(fā)展上的一個重要進展，它第一次清楚地證明了從沒有奇異性的哈密頓量體系出發(fā)，在熱力學(xué)極限下能導(dǎo)致熱力學(xué)函數(shù)在臨界點附近的奇異行為，而Onsager 本人也因此獲得了諾貝爾獎。在此之后很多人又相繼發(fā)表Ising模型的各種不同解法， Baxter甚至有篇論文叫Ising模型的第 399 種解法。但至今沒有被學(xué)術(shù)界公認的三維Ising模型精確解。甚至有人發(fā)表論文證明無法解出三維Ising模型的精確解，因為三維Ising模型存在拓撲學(xué)的結(jié)構(gòu)問題。人們通常用分子場理論及其改進理論、高溫級數(shù)展開、低溫級數(shù)展開、重整化群理論、蒙特- 卡羅模擬等近似計算三維Ising模型的居里溫度和臨界指數(shù)，而其中Wilson

3、于 1971 年發(fā)展的重整化群理論能以較高精度計算三維Ising模型的近似結(jié)果18-20。我國科學(xué)家張志東提出三維“Ising模型”精確解猜想。張志東的出發(fā)點就是拓撲學(xué)中的一個常識：低維空間的扭曲和紐結(jié)可以被高一維空間的旋轉(zhuǎn)打開。通過引入第四卷曲起來的維與本征矢量上的權(quán)重這兩個猜想作為處理三維Ising模型拓撲學(xué)問題的邊界條件，并應(yīng)用這些猜想用自旋分析法評估了三維簡單正交晶格Ising模型的配分函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的對稱性越高，居里溫度也越高。他猜測三維系專業(yè)資料整理WORD格式統(tǒng)具有最高對稱性的簡單立方Ising 模型具有最高的居里溫度黃金解，在二維系統(tǒng)具有最高對稱性的正方Ising模型具有最高的居

4、里溫度白銀解。獲得的結(jié)果具有一定的對稱性和美學(xué)價值，并可部分返回到二維和一維的結(jié)果。當(dāng)然，推定的精確解正確性取決于猜想的正確性，而且其與學(xué)術(shù)界通常接受的評價標(biāo)準(zhǔn)尚不完全吻合，有待于對相關(guān)的物理本質(zhì)作進一步探討。因此，這一工作目前還只是停留在猜想階段。今天的 Ising模型根本不再是Ising博士論文中的模樣。每年差不多有6000篇左右的論文研究這一模型。除了鐵磁性之外，該模型還應(yīng)用于很多方面，如合金中的有序 - 無序轉(zhuǎn)變、液氦到超流態(tài)的轉(zhuǎn)變、液體的凍結(jié)和蒸發(fā)、晶格氣體、玻璃物質(zhì)的性質(zhì)，甚至于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)蛋白質(zhì)折疊、生物膜場論甚至社會現(xiàn)象等廣泛的領(lǐng)域。通過上述介紹，我們知道三維Ising模型尚未得到

5、嚴格解，而一維和二維情況下的解法確是多種多樣的。在這里，我們將給出Ising模型的嚴格解，采用的是 1941 年 Kramers 和 Wannier 提出的轉(zhuǎn)移矩陣方法(TransferMatrixMethod)。然后簡要地說明二維 Ising模型嚴格解的主要結(jié)果，并且同平均場理論所得的結(jié)果進行對比。圖 1.2 一維 Ising模型示意圖。專業(yè)資料整理WORD格式對于如圖1.2 所示的 Ising模型，自旋只能取向上或向下兩個分量，它可以看作是 Heisenberg 模型的一種簡化。當(dāng)只考慮最近鄰的交換相互作用，并認為這種相互作用在不同磁矩間是相同的，用常數(shù) J 表示。和Heisenberg

6、模型相同，當(dāng)J0 時，代表鐵磁的交換相互作用，它使得近鄰自旋有著同方向排列的趨向；當(dāng)J0 代表鐵磁相互作用，B 為 Bohr磁矩， h 是外磁場。對于一維情況，每個自旋只有兩個近鄰?，F(xiàn)在采用周期性邊界條件，即sN+1=s1，N 為晶格中的自旋數(shù)目。現(xiàn)將一維晶格彎成一個環(huán)，當(dāng)N時，邊界效應(yīng)將不會影響到體系的熱力學(xué)性質(zhì)。根據(jù)如上的條件，可將哈密頓量(1-14) 寫為：BhHJs i si1sisi1 ，(1-15)i2i其相應(yīng)的配分函數(shù)為：N1BhQT,hexpJs i si1si si1。(1-16)s11sN1i1kBT2在這里我們引入矩陣P，其矩陣元定義為：專業(yè)資料整理WORD格式1Bhsi

7、 Psi1 expJs i si1si si1，(1-17)kBT2因為 si 與 si+1 都能取1 兩個值，所以P 是 22 的矩陣：si1Psi11si1Psi11Psi1Psi11si1Psi11。(1-18)JBhkBTJkBTeeJk BTJBhkBTee于是配分函數(shù) (1-16) 可以重新寫成：QT,hs1Ps2s2Ps3sN1PsNsNPs2s11sN1。(1-19)s1 PNs1TrPNs11將 P 矩陣對角化得，0P，(1-20)0+和- 即為矩陣P 的本征值，由下面的久期方程決定,JBhkBTJk BTee0 ，(1-21)JkBTJBhkBTee其解為：Jk Thcos

8、h2BhJk T 2J，(1-22)e BcoshB2e Bsinhk Tk Tk TBBB專業(yè)資料整理WORD格式要注意的一點就是+ -。專業(yè)資料整理WORD格式現(xiàn)在將等式 (1-20) 代入 (1-19) ，配分函數(shù)可以表達為：NQT,hNNN，(1-23)1所以，當(dāng) N時，我們得到：lim 1lnQT,hlnNN，(1-24)JlncoshBhcosh 2Bh2eJkBTsinh2JkBTkBTkBTkBT即配分函數(shù)有P 矩陣較大的本征值決定。體系的自由能和總極化強度分別為：FT,hQT,hBhBJk Tcoshk TBNNkBT，(1-25)cosh 2Bh2eJkBTsinh2JkB

9、TkBTBhsinhM1FNk TB，(1-26)NBBhTe4JkBTsinh2BhkBT其它的熱力學(xué)函數(shù)也可同樣由自由能求出。如圖 1.3 所示，在計算中我們選取交換相互作用常數(shù)J=1kBK，對于一切T0都有 M(T,0)=0 ，也就是說Ising模型在一維的情況下不存在自發(fā)磁化，不會發(fā)生順磁 - 鐵磁轉(zhuǎn)變。從物理上看，任何溫度下自旋的平均取向由兩個對抗的因素相互競爭決定，即能量趨向最小而熵趨向最大，使得自由能達到最小值。在一維情況下，由于近鄰數(shù)低，使得自旋排列在同方向的傾向不足以對抗使熵極大的傾向，專業(yè)資料整理WORD格式結(jié)果在任何有限溫度下都不能形成自發(fā)磁化。圖 1.3 一維 Isin

10、g模型在不同溫度下，磁化強度M隨外場 h 的變化曲線。圖 1.4 一維 Ising模型在有限溫度下長程序被破壞的示意圖。如同上文所說，當(dāng)自旋排列在同方向的傾向不足以對抗使熵極大的傾向時，自旋往往會在一個較小的尺度內(nèi)保持著同方向的排列，形成所謂短程序(ShortRangeOrder) ，而在較大的尺度內(nèi)失去這種有序的狀態(tài)，也就是破壞了所謂長程序 (LongRangeOrder) 。當(dāng)我們使用蒙特卡洛方法 (MonteCarloMethod) 來計算一維 Ising模型，常常得到如圖1.4所示的結(jié)果，在某個小范圍內(nèi)，如從格點1 到格點 4( 或者從格點5 到格點 10) 體系可以看作存在自發(fā)磁化，

11、而在整體上看( 從格點 1 到格點 N)向上的自旋和向下的自旋數(shù)目在統(tǒng)計上看是相等的。專業(yè)資料整理WORD格式對于二維Ising模型，我們考慮正方晶格，每個自旋有4 個最近鄰。在零磁場下，系統(tǒng)的自由能可以表達為：FT,01lnQT,0NN。(1-27)1 1ln2sinh2J1d022其中 cosh()=cosh2cosh2-coshsinh2sinh2，而 =J， =tan -1 e-2J 。系統(tǒng)內(nèi)能則可以寫為：uT,01FJcoth2J12mK1m，(1-28)N這里的 K1(m) 是第一類橢圓積分，2dK1m，(1-29)0221msin其中 m=sinh2J/cosh 22J，m=2tanh22J-1 。而臨界點由下式確定：kBTC2.269J 。(1-30)所得熱容量為：CB T,0T0.4945ln1const ，(1-31)NkBTC這樣的熱容量在臨界點處具有對數(shù)發(fā)散的奇異性。計算自發(fā)磁化的時候，我們采用楊振寧的方法。他計算了在弱磁場h 下，系專業(yè)資料整理WORD格式統(tǒng)的自由能，最后令h0，得到磁化強度的表達式：MT,00TTC(1-32)418。NB1 sinh2JTTC而對于平均場近似(MeanFieldApproximation，簡稱 MFA)所得的磁化強度可以表達為：qJM hMT,hMtanh1B，(1-33)1NBkBT其