




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、WORD格式Ising模型簡(jiǎn)述Lenz 曾向他的學(xué)生Ising提出一個(gè)研究鐵磁性的簡(jiǎn)單模型,而Ising于 1925年發(fā)表了他對(duì)此模型求解的結(jié)果,所以這個(gè)模型被稱為Ising模型。當(dāng)時(shí)Ising只做出了該模型一維下的嚴(yán)格解,在一維情況下并沒有自發(fā)磁化的發(fā)生。另外他還由此錯(cuò)誤地推斷出在更高維的情況下,這個(gè)模型也不存在自發(fā)磁化。這個(gè)推斷在后來被證明是錯(cuò)誤的。1936 年 Peierls論證了二維或三維的Ising模型存在著自發(fā)磁化,雖然當(dāng)時(shí)他并沒有能夠給出模型的嚴(yán)格解。1944 年,當(dāng) Onsager 給出了二維 Ising模型的嚴(yán)格解之后,Ising模型開始引起人們廣泛的關(guān)注。這次求解是相變理論
2、發(fā)展上的一個(gè)重要進(jìn)展,它第一次清楚地證明了從沒有奇異性的哈密頓量體系出發(fā),在熱力學(xué)極限下能導(dǎo)致熱力學(xué)函數(shù)在臨界點(diǎn)附近的奇異行為,而Onsager 本人也因此獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。在此之后很多人又相繼發(fā)表Ising模型的各種不同解法, Baxter甚至有篇論文叫Ising模型的第 399 種解法。但至今沒有被學(xué)術(shù)界公認(rèn)的三維Ising模型精確解。甚至有人發(fā)表論文證明無法解出三維Ising模型的精確解,因?yàn)槿SIsing模型存在拓?fù)鋵W(xué)的結(jié)構(gòu)問題。人們通常用分子場(chǎng)理論及其改進(jìn)理論、高溫級(jí)數(shù)展開、低溫級(jí)數(shù)展開、重整化群理論、蒙特- 卡羅模擬等近似計(jì)算三維Ising模型的居里溫度和臨界指數(shù),而其中Wilson
3、于 1971 年發(fā)展的重整化群理論能以較高精度計(jì)算三維Ising模型的近似結(jié)果18-20。我國(guó)科學(xué)家張志東提出三維“Ising模型”精確解猜想。張志東的出發(fā)點(diǎn)就是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)常識(shí):低維空間的扭曲和紐結(jié)可以被高一維空間的旋轉(zhuǎn)打開。通過引入第四卷曲起來的維與本征矢量上的權(quán)重這兩個(gè)猜想作為處理三維Ising模型拓?fù)鋵W(xué)問題的邊界條件,并應(yīng)用這些猜想用自旋分析法評(píng)估了三維簡(jiǎn)單正交晶格Ising模型的配分函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的對(duì)稱性越高,居里溫度也越高。他猜測(cè)三維系專業(yè)資料整理WORD格式統(tǒng)具有最高對(duì)稱性的簡(jiǎn)單立方Ising 模型具有最高的居里溫度黃金解,在二維系統(tǒng)具有最高對(duì)稱性的正方Ising模型具有最高的居
4、里溫度白銀解。獲得的結(jié)果具有一定的對(duì)稱性和美學(xué)價(jià)值,并可部分返回到二維和一維的結(jié)果。當(dāng)然,推定的精確解正確性取決于猜想的正確性,而且其與學(xué)術(shù)界通常接受的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)尚不完全吻合,有待于對(duì)相關(guān)的物理本質(zhì)作進(jìn)一步探討。因此,這一工作目前還只是停留在猜想階段。今天的 Ising模型根本不再是Ising博士論文中的模樣。每年差不多有6000篇左右的論文研究這一模型。除了鐵磁性之外,該模型還應(yīng)用于很多方面,如合金中的有序 - 無序轉(zhuǎn)變、液氦到超流態(tài)的轉(zhuǎn)變、液體的凍結(jié)和蒸發(fā)、晶格氣體、玻璃物質(zhì)的性質(zhì),甚至于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)蛋白質(zhì)折疊、生物膜場(chǎng)論甚至社會(huì)現(xiàn)象等廣泛的領(lǐng)域。通過上述介紹,我們知道三維Ising模型尚未得到
5、嚴(yán)格解,而一維和二維情況下的解法確是多種多樣的。在這里,我們將給出Ising模型的嚴(yán)格解,采用的是 1941 年 Kramers 和 Wannier 提出的轉(zhuǎn)移矩陣方法(TransferMatrixMethod)。然后簡(jiǎn)要地說明二維 Ising模型嚴(yán)格解的主要結(jié)果,并且同平均場(chǎng)理論所得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖 1.2 一維 Ising模型示意圖。專業(yè)資料整理WORD格式對(duì)于如圖1.2 所示的 Ising模型,自旋只能取向上或向下兩個(gè)分量,它可以看作是 Heisenberg 模型的一種簡(jiǎn)化。當(dāng)只考慮最近鄰的交換相互作用,并認(rèn)為這種相互作用在不同磁矩間是相同的,用常數(shù) J 表示。和Heisenberg
6、模型相同,當(dāng)J0 時(shí),代表鐵磁的交換相互作用,它使得近鄰自旋有著同方向排列的趨向;當(dāng)J0 代表鐵磁相互作用,B 為 Bohr磁矩, h 是外磁場(chǎng)。對(duì)于一維情況,每個(gè)自旋只有兩個(gè)近鄰?,F(xiàn)在采用周期性邊界條件,即sN+1=s1,N 為晶格中的自旋數(shù)目?,F(xiàn)將一維晶格彎成一個(gè)環(huán),當(dāng)N時(shí),邊界效應(yīng)將不會(huì)影響到體系的熱力學(xué)性質(zhì)。根據(jù)如上的條件,可將哈密頓量(1-14) 寫為:BhHJs i si1sisi1 ,(1-15)i2i其相應(yīng)的配分函數(shù)為:N1BhQT,hexpJs i si1si si1。(1-16)s11sN1i1kBT2在這里我們引入矩陣P,其矩陣元定義為:專業(yè)資料整理WORD格式1Bhsi
7、 Psi1 expJs i si1si si1,(1-17)kBT2因?yàn)?si 與 si+1 都能取1 兩個(gè)值,所以P 是 22 的矩陣:si1Psi11si1Psi11Psi1Psi11si1Psi11。(1-18)JBhkBTJkBTeeJk BTJBhkBTee于是配分函數(shù) (1-16) 可以重新寫成:QT,hs1Ps2s2Ps3sN1PsNsNPs2s11sN1。(1-19)s1 PNs1TrPNs11將 P 矩陣對(duì)角化得,0P,(1-20)0+和- 即為矩陣P 的本征值,由下面的久期方程決定,JBhkBTJk BTee0 ,(1-21)JkBTJBhkBTee其解為:Jk Thcos
8、h2BhJk T 2J,(1-22)e BcoshB2e Bsinhk Tk Tk TBBB專業(yè)資料整理WORD格式要注意的一點(diǎn)就是+ -。專業(yè)資料整理WORD格式現(xiàn)在將等式 (1-20) 代入 (1-19) ,配分函數(shù)可以表達(dá)為:NQT,hNNN,(1-23)1所以,當(dāng) N時(shí),我們得到:lim 1lnQT,hlnNN,(1-24)JlncoshBhcosh 2Bh2eJkBTsinh2JkBTkBTkBTkBT即配分函數(shù)有P 矩陣較大的本征值決定。體系的自由能和總極化強(qiáng)度分別為:FT,hQT,hBhBJk Tcoshk TBNNkBT,(1-25)cosh 2Bh2eJkBTsinh2JkB
9、TkBTBhsinhM1FNk TB,(1-26)NBBhTe4JkBTsinh2BhkBT其它的熱力學(xué)函數(shù)也可同樣由自由能求出。如圖 1.3 所示,在計(jì)算中我們選取交換相互作用常數(shù)J=1kBK,對(duì)于一切T0都有 M(T,0)=0 ,也就是說Ising模型在一維的情況下不存在自發(fā)磁化,不會(huì)發(fā)生順磁 - 鐵磁轉(zhuǎn)變。從物理上看,任何溫度下自旋的平均取向由兩個(gè)對(duì)抗的因素相互競(jìng)爭(zhēng)決定,即能量趨向最小而熵趨向最大,使得自由能達(dá)到最小值。在一維情況下,由于近鄰數(shù)低,使得自旋排列在同方向的傾向不足以對(duì)抗使熵極大的傾向,專業(yè)資料整理WORD格式結(jié)果在任何有限溫度下都不能形成自發(fā)磁化。圖 1.3 一維 Isin
10、g模型在不同溫度下,磁化強(qiáng)度M隨外場(chǎng) h 的變化曲線。圖 1.4 一維 Ising模型在有限溫度下長(zhǎng)程序被破壞的示意圖。如同上文所說,當(dāng)自旋排列在同方向的傾向不足以對(duì)抗使熵極大的傾向時(shí),自旋往往會(huì)在一個(gè)較小的尺度內(nèi)保持著同方向的排列,形成所謂短程序(ShortRangeOrder) ,而在較大的尺度內(nèi)失去這種有序的狀態(tài),也就是破壞了所謂長(zhǎng)程序 (LongRangeOrder) 。當(dāng)我們使用蒙特卡洛方法 (MonteCarloMethod) 來計(jì)算一維 Ising模型,常常得到如圖1.4所示的結(jié)果,在某個(gè)小范圍內(nèi),如從格點(diǎn)1 到格點(diǎn) 4( 或者從格點(diǎn)5 到格點(diǎn) 10) 體系可以看作存在自發(fā)磁化,
11、而在整體上看( 從格點(diǎn) 1 到格點(diǎn) N)向上的自旋和向下的自旋數(shù)目在統(tǒng)計(jì)上看是相等的。專業(yè)資料整理WORD格式對(duì)于二維Ising模型,我們考慮正方晶格,每個(gè)自旋有4 個(gè)最近鄰。在零磁場(chǎng)下,系統(tǒng)的自由能可以表達(dá)為:FT,01lnQT,0NN。(1-27)1 1ln2sinh2J1d022其中 cosh()=cosh2cosh2-coshsinh2sinh2,而 =J, =tan -1 e-2J 。系統(tǒng)內(nèi)能則可以寫為:uT,01FJcoth2J12mK1m,(1-28)N這里的 K1(m) 是第一類橢圓積分,2dK1m,(1-29)0221msin其中 m=sinh2J/cosh 22J,m=2tanh22J-1 。而臨界點(diǎn)由下式確定:kBTC2.269J 。(1-30)所得熱容量為:CB T,0T0.4945ln1const ,(1-31)NkBTC這樣的熱容量在臨界點(diǎn)處具有對(duì)數(shù)發(fā)散的奇異性。計(jì)算自發(fā)磁化的時(shí)候,我們采用楊振寧的方法。他計(jì)算了在弱磁場(chǎng)h 下,系專業(yè)資料整理WORD格式統(tǒng)的自由能,最后令h0,得到磁化強(qiáng)度的表達(dá)式:MT,00TTC(1-32)418。NB1 sinh2JTTC而對(duì)于平均場(chǎng)近似(MeanFieldApproximation,簡(jiǎn)稱 MFA)所得的磁化強(qiáng)度可以表達(dá)為:qJM hMT,hMtanh1B,(1-33)1NBkBT其
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 山西省運(yùn)城市臨猗縣臨晉中學(xué)2025年高三下學(xué)期第三次(線上)周考數(shù)學(xué)試題含解析
- 蘭州工商學(xué)院《中西文化交流史》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 南京視覺藝術(shù)職業(yè)學(xué)院《數(shù)據(jù)庫設(shè)計(jì)與開發(fā)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 錦州師范高等??茖W(xué)?!夺t(yī)學(xué)物理學(xué)實(shí)驗(yàn)》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 西藏日喀則區(qū)南木林高級(jí)中學(xué)2025年高三下學(xué)期5月畢業(yè)考試生物試題含解析
- 三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院《微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 荊門職業(yè)學(xué)院《臨床檢驗(yàn)儀器與技術(shù)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 濰坊食品科技職業(yè)學(xué)院《植物細(xì)胞工程》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 委托工程公開招標(biāo)代理合同
- 印刷設(shè)備購銷合同書
- 國(guó)際公法學(xué)馬工程全套教學(xué)課件
- MOOC 跨文化交際入門-華中師范大學(xué) 中國(guó)大學(xué)慕課答案
- YY/T 0655-2024干式化學(xué)分析儀
- 中華民族共同體概論課件專家版2第二講 樹立正確的中華民族歷史觀
- 四年級(jí)四年級(jí)下冊(cè)閱讀理解100篇及答案經(jīng)典
- 中職對(duì)口升學(xué)復(fù)習(xí)資料:《汽車機(jī)械基礎(chǔ)》試題庫+答案
- 部編版語文五年級(jí)下冊(cè)第六單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)教案
- 平面變壓器設(shè)計(jì)與仿真
- 為何家會(huì)傷人
- 2024年發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)崗位職責(zé)16篇
- 板式給料機(jī)購銷合同
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論