講義分析力學-正則方程

1、6 哈密頓正則方程一、教學目標：1. 了解哈密頓函數(shù)的建立過程及意義；2. 了解哈密頓正則方程的建立及意義；3. 了解哈密頓正則方程的應用。二、教學重點和難點：重點：哈密頓正則方程。難點：能量積分和廣義能量積分。三、教學方法：多媒體輔助教學四、教學過程引言：哈密頓正則方程是與拉氏方程等價的動力學方程。山6么6么這組拉氏方程是s個關(guān)于廣義坐標的二階常微分方程。在這組拉氏方程中的拉氏函數(shù)L 它是廣義坐標彳，廣義速度。以及時間（的函數(shù)：L = L（q、q、t）。如果我們把拉氏函數(shù)中的廣義速度變換成-廣義動量a，即L = L（q,p,f）那么就可以將上而的s個拉氏方程化成2s個一階常微分方程，而且這2

2、s個一階常微分方程 還具有一左的很漂亮的對稱性。要想把拉氏函數(shù)：L=Uqt）變成是廣義坐標、廣義動 量P及時間/的函數(shù)-L = L（g,p、t）,以及將s個拉氏方程化成2s個一階常微分方程。將 會用到勒毀特變換這一數(shù)學工具。1. 勒襄特變換現(xiàn)在先討論兩個變量的勒襄徳變換，假設所給的函數(shù)是兩個變疑X】和X2的函數(shù)，即：f = f（xlfx2）則由高等數(shù)學的知識可得此函數(shù)的全微分df =-dxA+dx2dx dx2在此我們令oxx ox2oxi并以心和“2為新的變疑立義一個新函數(shù)：2 g 三 兀“,一 / = XxllA + x2u2 - f如果我們從變換方程（1）解出七,使“是的函數(shù)，即兀=兀（

3、山），再代入上式中去，那么，g就是只含新變量冷的函數(shù)了，即g = g（|，“2）（2）我們先對式兩邊進行微分，則得：22 芳 $df I 2dg =工gdUj=E % +（% 一日仏i =Xxi（h,ij=i;=i QX （=i |_/=!又因為將舊變量呂換成新變疑之后，新函數(shù)g就是新變量心的函數(shù)：g = g（,“2）那么對它微分就有：dg =空-d“ + 上蘭-“，*du, 1 du2 -將這個等式與上一等式進行比較就可得到變換關(guān)系：%! =, x2 = du1（3）du du2前面我們利用變換方程（1）把舊的變M X1A2及舊的函數(shù)/（“，心）變?yōu)樾碌淖兞俊薄?及新的函數(shù)g = g（“|,

4、“2）的方法，就稱為勒讓徳變換。我們從方程（1）結(jié)合方程（3）又可看出，勒讓徳變換具有完全的對稱性：新變量就是 舊函數(shù)對舊變量的偏導數(shù)，而舊變量又恰好是新函數(shù)對新變量的偏導數(shù)。所以說勒讓徳變換 具有很好的對稱性。雖然，我們在前而是以兩個變量的情況推出勒讓徳變換的，但是，由上而的推導結(jié)果,我們很容易把勒讓徳變換推廣到n個變量的情形，即兀=，(i=l,2,3 n)OUj除此之外，還可以對它再加以推廣。如果在已知函數(shù)f中除了含有旺之外還含有與兀(i=l,2,3n)無關(guān)的獨立變量兒(戸123k)也就是假立f = f (“心，兒兒)那么，當進行勒讓徳變換時，只須將兒看作為參數(shù)，而不參與變換，則上述的推導

5、過程完 全照舊，當然此時函數(shù)g中含有兒，那么不難得到此情形下的變換方程為：= , A； =- (i=l, 2, n)Ox,兩以及網(wǎng)一/由于此時的g函數(shù)通過f而含有兒，因此，由上面的*和卿式可以直接得到附加關(guān)系：獸=_譽(j=l，2,k)ON, dyj下而我們就通過這種推廣后的勒讓徳變換來建立哈密頓正則方程。2. 正則方程：2.1.廣義動量：上次課我們在討論循環(huán)積分的時候提到過廣義動量的槪念，在分析力學中通常左義廣義動量a等于拉氏函數(shù)L對廣義速度的偏導數(shù)：Pa三oL在開始的時候我就講過，如果將拉氏函數(shù)中的廣義速爲換成廣義動量廠 亦即將L = L(q.QJ) T 厶=Uq、p、t) 那么就可將完整

6、、保守系的拉氏方程化成2s個一階常微分方程，如此化得的2s個一階常 微分方程就是與拉氏方程等價的哈密頓正則方程，所以現(xiàn)在我們先對拉氏函數(shù)作勒讓徳變在這里將爲作為進行變換的獨立變量，相當于上面一般情形中的兒而爲及/視為不參與變換的參量,它們相當于前而的”于是就可引入作為新的變量,dL(qyqJ)2飛廠這里的q=1,2so那么，我們由這s個變換方程就可解得s個廣義速度將它代入拉氏函數(shù)L = L(qqt)中去就可得到L = g o例如在有心力場中有一質(zhì)點，英拉氏函數(shù):L = T-V = -m(r2 +r202)-V(r)2則根據(jù)變換方程可得:dLp =mrr dr可見它是一徑向動量。同理又可以得到吩

7、務心動量矩由此兩式于是就有:可見通過變換方程變換之后就可得到用廣義坐標和廣義動雖:表示的廣義速度。2.2正則方程的推導：另外，由于引入這一變換關(guān)系：oL之后，我們前而所立義的哈密頓函數(shù):也就可以寫成為：H 二為P&-La那么，將從變換方程解得的廣義速度叭代進上式，顯然哈密頓函數(shù)H也就可以化成是廣義坐標、廣義動量和時間的函數(shù)：H =現(xiàn)在我們就在通過這樣變換后的基礎(chǔ)上推出正則方程。因為Q如果在這里仍把厶看作q.qj的函數(shù)，則對此等式兩邊微分則有:在此我們要用到保守系的拉氏方程:d dL dL 八=U山嘰 dcla由拉氏方程可得dL所以為SMa 一 Pga)一牛力dHadPa-pM-dt如果考慮到經(jīng)

8、變換以后哈密頓函數(shù)H它是G p. f的函數(shù)H = H(q、pM那么對H的全微分應該是：+也仇）+dPa6ta比較兩式，于是就可得到:dHoH這是2s個對廣義坐標“a和廣義動量Pa的一階常微分方程組?？梢娝鼈兙哂蟹浅：啙嵉膶?稱性，因此就稱它們?yōu)檎齽t方程。這一組方程首先是由哈密頓得到的，因此也就將它們稱作為哈頓正則方程，有的書上還 將它稱作為哈密頓運動方程。由（?。?）兩式的比較我們還可以得到一個附加關(guān)系：dH _ dL這一附加關(guān)系沒有什么重要的用途，它只是給出了哈密頓函數(shù)和拉氏函數(shù)的關(guān)系，指岀了H 是否顯含時間t完全處決于拉氏函數(shù)L是否顯含時間f。下而對給出的哈密頓正則方程作兩 點必要的討論

9、。2.3.討論：（1）由推出的正則方程可以看出：正則方程是以廣義坐標q和廣義動量p作為獨立變雖 的2s個一階常微分方程，q和p就稱作為正則變呈:。任正則方程中，q和p是等同地位 的自變量，我們知道拉氏方程求解的是廣義坐標血=么和廣義速度；.而正則方程所要求解的是q = q和p = p;.正則方程是從完整約束、保守系 的拉格朗日方程推出來的，所以完整保守系的拉氏方程運用的條件也就是正則方程成立的條 件，因此正則方程成立的條件也就是：完整約束、主動力都具有勢能的情況，即完整約朿、 保守力系。前而我們從拉氏方程推出了正則方程，反過來我們從正則方程中消去廣義動量也 可以推出s個拉氏方程，正如此它們在求

10、解力學問題中是等價的，同樣在一泄的條件下, 哈密頓正則方程也同拉氏方程一樣，存在一次積分，也就是說，在一上條件下，由哈密頓正 則方程可以給岀它的能量積分和循環(huán)積分。3. 正則方程的能量積分和循環(huán)積分：3.1能量積分.假泄哈密頓函數(shù)H = H /?）不顯含時間那么H對t的全導數(shù)應該是:dHdt利用正則方程于是就可得到:dH oH cH dH 6H=()=0山 a 如見見dqan = 0,它的一次積分：H=LOdt由推導得到的結(jié)果說明了，如果H不顯含時間r,只要滿足這個條件，我們從正則方程 也可以推岀廣義能量積分：力這一結(jié)論，再次證明了如果H不顯含f,那么H是守恒的， 這與用拉氏方程推出的結(jié)果是一

11、致的，因此說明哈密頓函數(shù)也是力學體系的特性函數(shù)，如果 系統(tǒng)所受的約束為 穩(wěn)左約束，H就是系統(tǒng)機械能，即樂動能和勢能之和：H=T+V. 如果是不穩(wěn)立約束，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為廣義能量，即H=T2-T()+V a從上而的推導我們還可以看出：由正則方程得岀能量積分，要比由拉氏方程得出能疑積分顯 然要簡便得多，這正是用哈密頓正則方程解決力學問題優(yōu)點之一。3.2循環(huán)積分下面轉(zhuǎn)到對正則方程的循環(huán)積分，由哈密頓的正則方程也比拉氏方程更容易得到它的循 環(huán)積分。如果哈密頓函數(shù)II中不含有某個與廣義動量對應的廣義坐標厲，這個厲就叫做 的循環(huán)坐標。如果II中存在循環(huán)坐標，那么孔0于是由正則方程：6H馬上可以推岀p,

12、=0o因此可以得到它的一次積分：門=常數(shù)，這就說明了對應循環(huán)坐標的廣義動量門是守恒的。所以由這個結(jié)果也就說明了：利用正則方程同樣可以得廣義動 量積分也就是循環(huán)積分。因此，這也再一次地顯示了拉氏方程與正則方程在研究力學問題上 的等價性。在這里還需指出的是：我們不難證明拉氏函數(shù)L的循環(huán)坐標也必立是II的循環(huán)坐標。G6% a % oqi a dqa dq, dqt oq.是厶和H的共同循環(huán)坐標。因此今后我們沒必要區(qū)分厶和的循環(huán)坐標。只要是循環(huán)坐標, 對應循環(huán)坐標的廣義動量巴必定是守恒的。4. 正則方程的應用：下而我們舉一些具體的例子來應用正則方程解。應用正則方程求解力學問題的一般步 驟是很有規(guī)則的：

13、（1）首先確泄研究系統(tǒng)和廣義坐標。（2 ）寫出L = T-V = L（q,q,t）的表達式，再由廣義動量的定義式：dL解出用廣義坐標g及卩表示的q = q（pyt）,然后將它代入哈密頓函數(shù)定義式中去。（3）H = 2paqa_L求出用q .p表示的哈密頓函數(shù)=H（qW 求的方法有a兩種，一種是根據(jù)的泄義式H =召詈qa-L來訃算，是根據(jù)哈密頓函數(shù)H的力學 意義：=門-幾+匕或 =T+U（穩(wěn)泄約束），T是廣義速度的二次齊次函數(shù)。（4）列岀正則方程，解岀g（門、P（/）o這里還要強調(diào)兩點：一列出正則方程必需是自 由度的2倍，即2s個方程，不要遺漏掉方程：二建立正則方程后求偏導數(shù)時，要注意到應 把g

14、，p，/看作等同地位的自變量。（5）解出最終的結(jié)果。例1 . （pag.235）設電荷為弋的電子在電荷為Ze的核力場中運動，Z為原子序數(shù)。試用正 則方程研究電子的運動。解:解題的步驟就是前而所講的前三步。題目已經(jīng)給我們選定了研究對象和廣義坐標。即(1) 研究對象是皿 以球坐標為廣義坐標。即s=r, q2=0, q5=(p(2) 寫出拉氏函數(shù)L=T-V, L = 1 m(x2 +y2 +z2)-V(r)2在這里我們得先將拉氏函數(shù)化成用表示的函數(shù)。在球坐標系中，直角坐標與球坐標的關(guān) 系是：x = rsincos : ( x = ,sin&cos0 + r0cos0cossinsin(/)y = /

15、 sin Osin。 y = sin sin + r0 cos sinsin&cos0Z = rcQsO* z = rcosO - rOsnO于是可得：I廠=JC + 乙-=廠 +sin 0對于這個結(jié)果我們結(jié)合上圖的情況還是比較容易記住的，希望大家能記住它，以后用起來就 比較方便，免得花時間去推導它。將此結(jié)果代入L中去就可得到用p.qX表示的拉氏函數(shù)了。 即L = m(r2 + r232 + r22 sin2 0)- 2 /將厶化成了幾q,t的函數(shù)之后，還得利用廣義動量的泄義式：oLPa =dcla求出用表示的q = qaiM)有三個廣義坐標就得三個廣義動量即：mdL=,lir = Prdo

16、= mr2sn2O I 600化mrg代mr sin 0(3) 就是將它們都代入H的總義式H = 2卩詡廠LXAmr2空+血+m mr島召;哼+島“=_L 3+總+(_)+2nir r2 廠2 血？ R r我們在前而講過求H的方法有兩種，除了由H的立義式來求出H之外，也可以由片的力學 意義來得出，此結(jié)果我們根據(jù)題意可以分析得出H=T+V.因為有心力場是不隨時間改變的 穩(wěn)泄場.質(zhì)點在有心力場中運動所具有的勢能V=V(r)不顯含時間，而耳也不顯時間人即斥=和,&0)H = -m(r2 + r2O2 +r2(/2 sin2 O) + v(r) 2=(p+-4-, -2m，r r2 r2 sin2 9

17、r例2.如下圖所示，質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)小圓柱，在半徑為R的固立大圓柱而上的頂端無初速地滾下。試求小圓柱的哈密頓運動方程和任一瞬時的角速度0 O解:根據(jù)題意知小圓柱被約朿在大圓柱上作純滾動，因此，除了重力之外其它非保守力都不 作功。所以此題可用正則方程求解匚解題的步驟與前二例總是相同的，即(1)選小圓柱為研究系統(tǒng)。由于小圓被約束在大圓柱上運動，它只有一個自由度，它也就只有一個廣義坐標，我們就選q=eL = L(q4M T厶=L(q.T = -,n(R + r)202 +-I co22 2 c其中z 1 ,I = mr c 2根據(jù)純滾動條件可得出一條約朿方程為：R + r- (Ri)e = g 3 =or代入7則有：T =丄(R + 廠)2 滬 + 丄(丄”2)(化工&)2 = 2 m(R + r)20222 2/4V = mg(R +廣)cos&(以O點為0勢點)3T = T-V = m(R + r)202 -mg(R + r)cosO4由廣義動量的定義得2心3m(R + r)2（2）求可由其宅義式di .h =eLdo求出，也可由H的力學意義來求。系統(tǒng)為穩(wěn)泄保守系，厶中不顯含/且是廣義速度&的二次齊函數(shù)H =T + V = m(R + r)2O2 +mg(R +r)cos0 =_ +mg(R +r)cos043m(R + ry（3）列出哈密頓正則方程:2 ，dpe 3