等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 第1頁/共11頁 問題問題1：1+2+3+100=？ 這個(gè)問題，德國著名數(shù)學(xué)家高斯（這個(gè)問題，德國著名數(shù)學(xué)家高斯（1777年年1855年年 ）10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？ ） 這個(gè)問題，可看成是求等差數(shù)列這個(gè)問題，可看成是求等差數(shù)列 1，2，3，n， 的前的前100項(xiàng)的和。項(xiàng)的和。 假設(shè)1+2+3+ +100=x, (1) 那么100+99+98+ +1=x. (2) 由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x, 100個(gè)101 所以,1001012xx=5050.

2、 第2頁/共11頁 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3, 它的前它的前n 項(xiàng)和是項(xiàng)和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1) 若把次序顛倒是若把次序顛倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差數(shù)列的性質(zhì)由等差數(shù)列的性質(zhì) a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 由由(1)+(2) 得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 因?yàn)橐驗(yàn)?an= a1+（n-1）d 所以所以 Sn=na1+n (n-1)d/2 下面將對(duì)等差數(shù)列的前下面將對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo)項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo) 即前即前n項(xiàng)的和與首項(xiàng)末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)項(xiàng)

3、的和與首項(xiàng)末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)有關(guān) 若已知若已知a1，n，d，則如何表示，則如何表示Sn呢？呢？ 第3頁/共11頁 由此得到等差數(shù)列的由此得到等差數(shù)列的 an 前前n n項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的公式 2 )( 1n n aan S 即：等差數(shù)列前即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)首末項(xiàng)的的和和與與項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)乘乘積積的一半。的一半。 上面的公式又可以寫成上面的公式又可以寫成 d nn naSn 2 )1( 1 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an = a1+(n-1)d 解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。 個(gè)個(gè)可求另已知其中個(gè)量：公式共涉及到23.,5 1n

4、n Sanda 知三求二 第4頁/共11頁 例例1 如圖，一個(gè)堆放鉛筆的如圖，一個(gè)堆放鉛筆的 V形形 架的最下面一層放一支鉛筆，往架的最下面一層放一支鉛筆，往 上每一層都比它下面一層多一支上每一層都比它下面一層多一支 ，最上面一層放，最上面一層放120支。這個(gè)支。這個(gè)V形形 架上共放著多少支鉛筆？架上共放著多少支鉛筆？ 解解：由題意可知，這個(gè)由題意可知，這個(gè)V形架上共放著形架上共放著120層鉛層鉛 筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記 為為an,其中其中 a1=1 , a120=120.根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)項(xiàng) 和的公式，得和的公式，得 2

5、60 7 2 )1201 (120 120 S 答：答：V形架上共放著形架上共放著 7 260支鉛筆。支鉛筆。 第5頁/共11頁 例例2 等差數(shù)列等差數(shù)列 10， 6， 2，2，前多少項(xiàng)的和是前多少項(xiàng)的和是54 ？ 解解：設(shè)題中的等差數(shù)列為設(shè)題中的等差數(shù)列為an，前，前n項(xiàng)和是項(xiàng)和是 Sn， 則則a1= 10，d= 6 ( 10) 4,設(shè)設(shè) Sn=54， 根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式，得項(xiàng)和公式，得 544 2 ) 1( 10 nn n 0276 2 nn n1 9，n23 (舍去舍去) 等差數(shù)列等差數(shù)列-10，-6，-2，2，前前9項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是54。 第6頁/共11頁 已知等

6、差數(shù)列已知等差數(shù)列a an n中中, ,已知已知a a6 6=20,=20,求求S S11 11=? =? 例例3 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中a2+a5+a12+a15=36. 求前求前16項(xiàng)的和項(xiàng)的和? 解解: 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） 18=144 答答:前前16項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為144。 分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 第7頁/共11頁 例例4 已知一個(gè)等差數(shù)列的前已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前，前20項(xiàng)項(xiàng) 的和是的和是1220，求，求Sn. 220 119020 31024510 1 1 da da 6, 4 1 da 解： S10=310，S20=1 220 nn nn nSn 2 36 2 )1( 4 第8頁/共11頁 1：在：在a，b之間插入之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成 AP,求這求這10個(gè)數(shù)的和。個(gè)數(shù)的和。 )(5 2 )(10 ,2 )(5)( 2 )(12 )(1 101 101 ba xx Sbaxx baba ba baSS n ：解法 ：解法 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 第9頁/共11頁 并求這些元素的和。 的元素個(gè)數(shù)，