132函數(shù)的奇偶性

1、忻城高中忻城高中莫麗娟莫麗娟 寶馬奔馳東風(fēng)雪鐵龍豐田 請請 你你 欣欣 賞賞 四川曹家大院一景 曹家多子院大門 二道門 水鏡臺 請請 你你 欣欣 賞賞 曹家大院某院 晉祠鼓樓 晉祠碩亭 太谷民居門墩石獅子 請請 你你 欣欣 賞賞 x y o x y o 2 )(xxfxxf)( 觀察下列兩個函數(shù)圖象并思考以下問題：觀察下列兩個函數(shù)圖象并思考以下問題： （1）這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？）這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？ （2）相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？）相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？ x-3-2 -1 0 1 2 3 2 )(xxf x -3-2 -1 0

2、1 2 3 xxf)( 9410149 3210123 我們得到我們得到, ,這兩個函數(shù)圖象都關(guān)于這兩個函數(shù)圖象都關(guān)于 y y軸對稱軸對稱. .從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到，從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到， 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取一對相反數(shù)時取一對相反數(shù)時, ,相應(yīng)的相應(yīng)的 兩個函數(shù)值相同兩個函數(shù)值相同. .即點(diǎn)即點(diǎn)(x,f(x)(x,f(x)在圖象在圖象 上上, ,相應(yīng)的點(diǎn)相應(yīng)的點(diǎn)(-x,f(x)(-x,f(x)也在函數(shù)圖象也在函數(shù)圖象 上。上。 我們能否利用函數(shù)解析式來描述函我們能否利用函數(shù)解析式來描述函 數(shù)圖象的特征呢？數(shù)圖象的特征呢？ y=x2 -x x 當(dāng)x1=1, x2= -1時， f(-1)

3、=f(1) 當(dāng)x1=2, x2= -2時， f(-2)=f(2) 對任意x，f(-x)=f(x) 偶函數(shù)定義： 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x ,都有 f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函數(shù)。 x -3-2 -1 1 2 3 x xf 2 )( 22 1 3 2 1 3 2 我們得到,這兩個函數(shù)圖象都關(guān)于原點(diǎn)對稱, 從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到: 當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時,相應(yīng)的兩個函數(shù) 值相反.即點(diǎn)(x,f(x)在圖象上,相應(yīng)的點(diǎn) (-x,-f(x)也在函數(shù)圖象上。 我們同樣可以利用函數(shù)解析式來描述函數(shù)圖 象的這個特征。 奇函數(shù)定義： 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x, 都有f(-x）=-

4、f(x)。那么f(x)就叫奇函數(shù)。 思考思考: : 偶函數(shù)與奇函數(shù) 圖象有什么特征呢? 偶函數(shù)的偶函數(shù)的 圖象圖象關(guān)于關(guān)于 Y Y軸對稱軸對稱. . 函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2的圖的圖像像 偶函數(shù)的圖像特征偶函數(shù)的圖像特征 奇函數(shù)的圖像特征奇函數(shù)的圖像特征 O 奇函數(shù)的奇函數(shù)的 圖象圖象關(guān)于關(guān)于 原點(diǎn)對稱原點(diǎn)對稱. . 的圖象函數(shù) x 2 y 對于奇、偶函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明: (2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶 性的先決條件。 (3)奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即： 若函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 則f(-x)=f(x)成立。 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù), 則f(-x)= f(x)

5、 成立。 (1)如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們 就是說函數(shù)f(x) 具有奇偶性。 例例1.1.根據(jù)下列函數(shù)圖象根據(jù)下列函數(shù)圖象, ,判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)奇偶性. . 11 2 )( 2 x xf y x y x xxf)( y x -12 2 , 1,)( 2 xxxf y x -1 1 1 , 1,)( 3 xxxf 例例2.2.判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性: : ; 1 )( 2 2 x xxf 解:(1)對于函數(shù) ，其定義域?yàn)?因?yàn)閷Χx域內(nèi)的每一個x,都有： 所以函數(shù) 為奇函數(shù)。 ;)( 3 xxf （1） （2） 先確定定義域先確定定義域, ,再驗(yàn)證再驗(yàn)

6、證 f(x)f(x)與與f(-x)f(-x)之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 3 )(xxf ),( ),()()( 33 xfxxxf 3 )(xxf ;22)()3(xxxf 2 2 1 )( x xxf ).( 1 )( 1 )()( 2 2 2 2 xf x x x xxf ).()22( 2222)( xfxx xxxxxf 0)(xf（5） （4） )1 , 3(x 2 )(xxf 定義域關(guān)于原 點(diǎn)對稱是 函數(shù)具有奇偶性的必要條 件。 1 , 3x 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所 以f(x)為非奇非偶函數(shù)。 解：（4）由于 （5） )()( )()(, 0)()( xfxf xfxfxfxf

7、且 故函數(shù)f(x)為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。 奇函數(shù) 偶函數(shù) 既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 根據(jù)奇偶性, 函數(shù)可劃分為四類: 判斷函數(shù)奇偶性步驟判斷函數(shù)奇偶性步驟: : (1)(1)先確定函數(shù)定義域先確定函數(shù)定義域, ,并判斷定義域是并判斷定義域是 否關(guān)于原點(diǎn)對稱否關(guān)于原點(diǎn)對稱; ; (2)(2)確定確定f(x)f(x)與與f(-x)f(-x)的關(guān)系的關(guān)系; ; (3)(3)作出結(jié)論：作出結(jié)論： 若若f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)或或f(-x)-f(x)=0,f(-x)-f(x)=0, 則則f(x)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù); ; 若若f(-x)= - f(x)f(-x)= - f(x)或

8、或f(-x)+f(x)=0,f(-x)+f(x)=0, 則則f(x)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù). . 思考1：函數(shù)f(x)=2x+1是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？ x y 0 1 2 f(x)=2x+1 -1 分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 （也稱為非奇非偶函數(shù)） 如右圖所示：圖像既不關(guān)于原 點(diǎn)對稱也不關(guān)于y軸對稱。 思考2：完成課本頁的練習(xí) 小結(jié)：小結(jié)： 奇偶性定義奇偶性定義: :對于函數(shù)對于函數(shù)f(x),f(x),在它的定義域內(nèi)，在它的定義域內(nèi)， 把任意一個把任意一個x x換成換成-x-x，(x,-x(x,-x均在定義域內(nèi)）均在定義域內(nèi)） 若有若有f(-x)=-f(x), f(-x)=-f(x), 則則f(x)f(x)叫做奇函數(shù)；叫做奇函數(shù)； 若有若有f(-x)=f(x), f(-x)=f(x), 則則f(x)f(x)叫做偶函數(shù)。叫做偶函數(shù)。 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)