2020年晶體學(xué)基礎(chǔ)晶向指數(shù)與晶面指數(shù)

1、作者：舊在幾作品編號(hào)：2254487796631145587263GF24000022時(shí)間:2020.12.131.4晶向指數(shù)和晶而指數(shù)一晶向和晶而1晶向晶向：空間點(diǎn)陣中各陣點(diǎn)列的方向（連接點(diǎn)陣中任意結(jié)點(diǎn)列的直線方向）。晶體中的某 些方向，涉及到晶體中原子的位置，原子列方向，表示的是一組相互平行、方向一致的直線 的指向。2晶面晶而：通過空間點(diǎn)陣中任意一組陣點(diǎn)的平而（在點(diǎn)陣中由結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的平而）。晶體中原 子所構(gòu)成的平面。不同的晶而和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的許多性質(zhì)和行為（如各種 物理性質(zhì)、力學(xué)行為、相變、X光和電子衍射特性等）都和晶而、晶向有密切的關(guān)系。所以, 為了研究和描述材

2、料的性質(zhì)和行為，首先就要設(shè)法表征晶而和晶向。為了便于確定和區(qū)別晶 體中不同方位的晶向和晶而，國(guó)際上通用密勒（血12r）指數(shù)來統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)與晶而指 數(shù)。二晶向指數(shù)和晶而指數(shù)的確泄1晶向指數(shù)的確定方法三指數(shù)表示晶向指數(shù)Snr的步驟如圖1所示。（1）建立以晶軸a，b、c為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，各軸上的坐標(biāo)長(zhǎng)度單位分別是晶胞邊長(zhǎng)a, b, c,坐標(biāo)原點(diǎn)在待標(biāo)晶向上。（2）選取該晶向上原點(diǎn)以外的任一點(diǎn)Pg yb, zc）。將xa, yb, zc化成最小的簡(jiǎn)單整數(shù)比u, v, w,且u ：卩：w二xa : yb : zc（4）將u, v,療三數(shù)置于方括號(hào)內(nèi)就得到晶向指數(shù)”叩，。圖1晶向指數(shù)的確定方法圖2不同

3、的晶向及英指數(shù)當(dāng)然，在確左晶向指數(shù)時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)不一左非選取在晶向上不可。若原點(diǎn)不在待標(biāo)晶向 上，那就需要選取該晶向上兩點(diǎn)的坐標(biāo)尸(爼，%, zj和yz, zJ ,然后將(x-xz) (y-yz) (zi-z：)三個(gè)數(shù)化成最小的簡(jiǎn)單整數(shù)u, v, w,并使之滿足u. v.產(chǎn)(出-上):(yi-js) : (zi-z：) 則”屈為該晶向的指數(shù)。顯然，晶向指數(shù)表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，則晶向指 數(shù)的數(shù)字相同，但符號(hào)相反，如圖3中OTO與010。說明：a指數(shù)意義：代表相互平行、方向一致的所有晶向。b負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的相反方向。C晶向族：晶體中原子排列情況相同

4、但空間位向不同的一組晶向。用uvw表示，數(shù)字 相同，但排列順序不同或正負(fù)號(hào)不同的晶向?qū)儆谕痪蜃濉＞w結(jié)構(gòu)中那些原子密 度相同的等同晶向稱為晶向軸，用UVW表示。ioo： loo010oolToooTo(ooTm： 111TTT1TTT11T1T1T1TT111T圖3正交點(diǎn)陣中的幾個(gè)晶向指數(shù)2晶面指數(shù)的確立國(guó)際上通用的是密勒指數(shù)，即用三個(gè)數(shù)字來表示晶而指數(shù)(h k 1) o圖4中的紅色晶圖4晶而指數(shù)的確定(1) 建立一組以晶軸a，厶c為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，令坐標(biāo)原點(diǎn)不在待標(biāo)晶而上，各軸上的坐 標(biāo)長(zhǎng)度單位分別是晶胞邊長(zhǎng)a，b, c。(2) 求出待標(biāo)晶而在a, b, c軸上的截距yb, zc如該晶而

5、與某軸平行，則截距為8。(3) 取截距的倒數(shù)1/xa, 1/yb, /ZCo(4) 將這些倒數(shù)化成最小的簡(jiǎn)單整數(shù)比h, kt 1,使方：& ： 2= 1/xa : 1/yb : 1/zc。(5) 如有某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號(hào)標(biāo)注在該數(shù)字的上方，將h,k,l宜于圓括號(hào)內(nèi)，寫成(M2), 則(W)就是待標(biāo)晶面的晶面指數(shù)。說明：晶而指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著一組相互平行的晶而。a指數(shù)意義：代表一組平行的晶而：bO的意義：而與對(duì)應(yīng)的軸平行：c平行晶而：指數(shù)相同，或數(shù)字相同但正負(fù)號(hào)相反：d晶而族：晶體中具有相同條件(原子排列和晶而間距完全相同)，空間位向不同的各 組晶面,用hkl表示。在立方系

6、中,loo： doo)(010)(001), no： (no)(101)(oil)( Tio) (Tod(oT 1), in： (in) (Tn)(1T1)(ill)e若晶而與晶向同而，則hu+kv+lw=0;f若晶面與晶向垂直,則u=h, k=v, w=L立方系常用晶面指數(shù)圖5。圖5立方系常用晶面指數(shù)例子：請(qǐng)確左圖6中的晶而的晶而指數(shù)，并在圖7中畫出這些晶而指數(shù)所代表的晶而。 首先選立坐標(biāo)系，如圖所示。然后求岀待標(biāo)晶而在&, b, C軸上的截距，分別為a/2, 2b/3, c/2o取倒數(shù)后得到2, 3/2, 2。再將其化成最小的簡(jiǎn)單整數(shù)比，得到4, 3, 4 三個(gè)數(shù)。于是該而的晶而指數(shù)為（4

7、34） o圖7晶而指數(shù)的標(biāo)注所有相互平行的晶而在三個(gè)晶軸上的截距雖然不同，但它們是成比例的，其倒數(shù)也仍然 是成比例的，經(jīng)簡(jiǎn)化可以得到相應(yīng)的最小整數(shù)。因此，所有相互平行的晶面，英晶而指數(shù)相 同，或者三個(gè)符號(hào)均相反。可見，晶而指數(shù)所代表的不僅是某一晶而，而且代表著一組相互 平行的晶而。圖8立方晶胞的110. 111晶而族3關(guān)于晶而指數(shù)和晶向指數(shù)的確左方法還有以下幾點(diǎn)說明：(1) 參考坐標(biāo)系通常都是右手坐標(biāo)系。坐標(biāo)系可以平移(因而原點(diǎn)可苣于任何位置)。但 不能轉(zhuǎn)動(dòng)，否則，在不同坐標(biāo)系下定出的指數(shù)就無法相互比較。(2) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù)可為正數(shù)，亦可為負(fù)數(shù)，但負(fù)號(hào)應(yīng)寫在數(shù)字上方，如(T23), 2T

8、1等。(3) 若各指數(shù)同乘以不等于零的數(shù)n,則新晶而的位向與舊晶面的一樣，新晶向與舊晶 向或是同向(當(dāng)n0),或是反向(當(dāng)水0)。但是，晶而距(兩個(gè)相鄰平行晶而間的距離)和 晶向長(zhǎng)度(兩個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)間的距離)一般都會(huì)改變，除非千1。110 =(110)+(11 o)+(ioi)+ (ioi)+(ou)+(oil) +(iio)+(no)+ (ioi) +(ioi)+(oil) + (oil)123 = (123)十(123)十(123) + (123) + (132) + (132) +(132) + (132)十(213) + (213) + (2B) + (213) + (231) + (2

9、31) + (231) + (231) +(312) + (312) + (312) + (312) + (321) + (321) + (321) + (321)+(123)十(123)十(123) + (123) + (132) + (132) + (132)十(132) +(213) + (213) + (213) + (213) + (231) + (231) + (231) + (231) +(312) + (312) + (312) + (312) + (321) + (321) + (321) + (321)從以上各例可以看岀，立方晶體的等價(jià)晶而具有“類似的指數(shù)”，即指數(shù)的數(shù)字相

10、同，只是 符號(hào)(正負(fù)號(hào))和排列次序不同。這樣，我們只要根據(jù)兩個(gè)(或多個(gè))晶而的指數(shù)，就能判 斷它們是否為等價(jià)晶而。另一方而，給岀一個(gè)晶面族符號(hào)hki,也很容易寫出它所包括的 全部等價(jià)晶而。對(duì)于非立方晶系，由于對(duì)稱性改變，晶而族所包括的晶面數(shù)目就不一樣。例如正交晶系， 晶面(100), (010)和(001)并不是等同晶面，不能以100族來包括。與晶而族類似，晶體中因?qū)ΨQ關(guān)系而等同的各組晶向可歸并為一個(gè)晶向族，用表 示。仿照上例,讀者可以寫出在立方晶系中的, , , 和等晶向 族所包括的等價(jià)晶向。以后，在討論晶體的性質(zhì)(或行為)時(shí)，若遇到晶而族或晶向族符號(hào)，那就表示該性質(zhì)(或 行為)對(duì)于該晶而族

11、中的任一晶而或該晶向族中的任一晶向都同樣成立，因而沒有必要區(qū)分 具體的晶而或晶向。另外，在立方晶系中，具有相同指數(shù)的晶向和晶而必泄是相垂直的，kpVhki m 4.六方晶系指數(shù)表示上而我們用三個(gè)指數(shù)表示晶面和晶向。這種三指數(shù)表示方法，原則上適用于任意晶系。 對(duì)六方晶系，取a* b、c為晶軸，而&軸與&軸的夾角為120 , c軸與a, b軸相垂直，如 圖9所示。圖9六方晶體的等價(jià)晶而和晶向指數(shù)但是，用三指數(shù)表示六方晶系的晶而和晶向有一個(gè)很大的缺點(diǎn)，即晶體學(xué)上等價(jià)的晶面 和晶向不具有類似的指數(shù)。這一點(diǎn)可以從圖9看出。圖中六棱柱的兩個(gè)相鄰表而（紅而和綠 面）是晶體學(xué)上等價(jià)的晶而，但其密勒指數(shù)卻分別是

12、（1T0）和（100）。圖中夾角為60的 兩個(gè)密排方向2和2是晶體學(xué)上的等價(jià)方向，但其晶向指數(shù)卻分別是100和110。 由于等價(jià)晶面或晶向不具有類似的指數(shù)，人們就無法從指數(shù)判斷英等價(jià)性，也無法由晶面族 或晶向族指數(shù)寫出它們所包括的各種等價(jià)晶而或晶向，這就給晶體研究帶來很大的不便。為 了克服這一缺點(diǎn)，或者說，為了使晶體學(xué)上等價(jià)的晶面或晶向具有類似的指數(shù)，對(duì)六方晶體 來說，就得放棄三指數(shù)表示，而采用四指數(shù)表示（密勒-布拉菲指數(shù)）。四指數(shù)表示是基于4個(gè)坐標(biāo)軸:尙,A2, m和C軸，如圖10所示,其中,血，Q2和C軸 就是原胞的G 和C軸，而fl3=-（fll+2）o下而就分別討論用四指數(shù)表示的晶而及

13、晶向指數(shù)。圖10六方晶體的四軸系統(tǒng)（1）六方晶系晶而指數(shù)的標(biāo)定六方晶系晶而指數(shù)的標(biāo)泄原理和方法同立方晶系中的一樣，從待標(biāo)晶而在山，血， 和C軸上的截距可求得相應(yīng)的指數(shù)力，k, i, I,于是晶而指數(shù)可寫成（hkig根拯幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過三個(gè)。應(yīng)用上述方法標(biāo)左的晶而指 數(shù)形式上是4個(gè)指數(shù)，但是不難看出，前三個(gè)指數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們之間有以下的 關(guān)系：i=-（h + k）,因此，可以由前兩個(gè)指數(shù)求得第三個(gè)指數(shù)。六方晶體中常見晶而及其四指數(shù)（亦稱六方指數(shù)）標(biāo)于圖11中。從圖看出，采用四指 數(shù)后，同族晶而（即晶體學(xué)上等價(jià)的晶而）就具有類似的指數(shù)。例如：1010二(1010

14、) + (1100) + (0110) + (1010) + (1100) +(0110)共 6 個(gè)等 價(jià)而(I型棱柱而)。1120二(1120) + (1210) + (2110) + (1120) + (1210) + (2110) 6 個(gè)等 價(jià)面(II型棱柱面)。而0001只包括(0001) 一個(gè)晶而，稱為基面。六方晶體中比較重要的晶而族還有請(qǐng)讀者寫出英全部等價(jià)而。圖11六方晶體中常見的晶而(2) 六方晶系晶向指數(shù)的標(biāo)定采用四軸坐標(biāo)，六方晶系晶向指數(shù)的標(biāo)立方法如下：當(dāng)晶向通過原點(diǎn)時(shí)，把晶向沿四個(gè) 軸分解成四個(gè)分量，晶向OP可表示為：0P二ua：+va：+ta尸WC,晶向指數(shù)用uvtw表示

15、，其中 t=-(u+v).原子排列相同的晶向?yàn)橥痪蜃?，圖12中a：軸為21T0, a：軸T2TO,a,軸TT20均屬2TT0，其缺點(diǎn)是標(biāo)定較麻煩?？上扔萌S制確左晶向指數(shù)UVW, 再利用公式轉(zhuǎn)換為uvtw。采用三軸坐標(biāo)系時(shí)。C軸垂直底而，a、a：軸在底而上，苴夾角 為120,如圖12,確泄晶向指數(shù)的方法同前。采用三軸制雖然指數(shù)標(biāo)泄簡(jiǎn)單，但原子排列 相同的晶向本應(yīng)屬于同一晶向族，其晶向指數(shù)的數(shù)字卻不盡相同，例如100, 010, TTO,見圖 12。圖12六方晶系的一些晶而與晶向指數(shù)六方晶系按兩種晶軸系所得的晶向指數(shù)可相互轉(zhuǎn)換如下u=i(2U-V), v = l(2V-/7) , r = -

16、(w + v), w=W。例如，TT0-TT20, 100-*2TTO,010-T2TO,這樣等同晶向的晶向指數(shù)的數(shù)字都相同。標(biāo)立方法通常采用行龍法。用行龍法確泄六方晶體的四軸晶向指數(shù)時(shí)，會(huì)遇到一個(gè)新的 問題，即解是不唯一的。例如，型軸的指數(shù)可以是2iio,也可以是2000：型軸的指數(shù)可 以是i2io, 也可以是0200。分析各種等價(jià)晶向的四指數(shù)后發(fā)現(xiàn)，要想使等價(jià)晶向具有 類似的四指數(shù)，就需要人為地附加一個(gè)條件，即前三個(gè)指數(shù)之和為零。若將晶向指數(shù)寫成 胡7明，則上述附加條件可寫成：U+V+T為,或&-(阿按照這個(gè)附加條件，上述型軸的 指數(shù)就應(yīng)該是2iio,而不是io。：同樣,去和d軸的指數(shù)分別

17、是i2io和匝20 圖13中標(biāo)出了六方晶體中各重要晶向的四指數(shù)，它們是0001, , 1120 等a圖13六方晶體中常見的晶向除上述幾個(gè)特殊晶向外，對(duì)一般的晶向，很難直接求出四指數(shù)閃7科， 沿島，念,d和e軸分別走了叢V, T和護(hù)步后既要到達(dá)晶向上的另一點(diǎn)， &-如。比較可靠的標(biāo)注指數(shù)方法是解析法。該法是先求出待標(biāo)晶向在, 下的指數(shù)，V, （這比較容易求得），然后按以下公式算出四指數(shù)出以因?yàn)楹茈y保證在 又要滿足條件I，血和c三個(gè)軸T、肌才扣躍-V）y=-(2v -2Z)3(i-i)T- (.U * V)W- w此公式可證明如下。由于三指數(shù)和四指數(shù)均描述同一晶向，故：仏+ laa Ta#+- y

18、 畑+叱(1-2)又由幾何關(guān)系：母 + Zfa = Zfe(1-3)再由等價(jià)性要求：7=-(沂0作者：舊在幾作品編號(hào)：2254487796631145587263GF24000022時(shí)間:2020.12.13(1-4)解以上三個(gè)聯(lián)立方程，即得到：u二2彷久V = 2舛匕r = W(1-5)(1-5)式和(1-1)式可用矩陣表示如下: U2 1 0UV1 2 0VW 0 0 1 W U2o 113312fV-0V33W 0 0 1 卜-而舉兩個(gè)例子。例1請(qǐng)寫出6軸的晶向指數(shù)。解：從晶胞圖直接得到：口,產(chǎn)0,按（1-1）式算得:2 11 1二 一一,f 二 一一,w 二 0, 故 a - 2110

19、3333例2請(qǐng)寫出戲和-&交角的平分線2?的晶向指數(shù)。解：從晶胞圖可看岀：滬6+（-出）二2型-型，得盧2,尸1,產(chǎn)0,代入（1-1）式得到：尖1,m,膽o,- 10105立方和六方晶體中重要晶向的快速標(biāo)注在以后各章將多次遇到立方和六方晶體中的一些低指數(shù)重要晶向，需要迅速確左其指 數(shù)。根據(jù)上述標(biāo)左指數(shù)的方法，我們歸納出一條快速標(biāo)左晶向指數(shù)的口訣，即：“指數(shù)看特 征，正負(fù)看走向”。就是說，根據(jù)晶向的特征，決泄指數(shù)的數(shù)值；根據(jù)晶向是順軸”（即 與軸的正向成銳角）還是“逆軸”（即與軸的正向成鈍角），決左相應(yīng)于該軸的指數(shù)的正負(fù)。 下面具體討論立方和六方晶體中的各重要晶向。（1）立方晶體立方晶體中各重要

20、晶向的特征如下：（1）100是晶軸。若沿著a軸，則第一指數(shù)為1,依次類推；如果“逆軸”（如沿 -a軸）,則相應(yīng)指數(shù)為L(zhǎng)（2）110是立方體而對(duì)角線。若面對(duì)角線在a而（KP（100）面）上，則第一指數(shù)為零，其余兩個(gè)指數(shù)為區(qū)（取決于所討論的對(duì)角線是“順著”還是“逆著”相應(yīng)的晶軸）。（3）111是體對(duì)角線。三個(gè)指數(shù)都是1或1，取決于該對(duì)角線與相應(yīng)軸的交角（銳角為1,鈍角為1）。（4）是頂點(diǎn)到對(duì)而（即不通過該頂點(diǎn)的100而）而心的連線。如果對(duì)而是日 而，則第一指數(shù)為2或，其余兩個(gè)指數(shù)為1或L（2）六方晶體六方晶體中各重要晶向的特征如下：（1）0001 C 軸1 一-（2）3和已，去或?yàn)檩S平行的晶向。和

21、哪個(gè)軸正（或反）平行，則相應(yīng)的指數(shù)就是2 （或）,其余三個(gè)指數(shù)就是1, L 0 （或1, 1, 0）。1 - _（3）3兩個(gè)晶軸土去和交角的平分線（,、J-1, 2, 3, i*。例如,2 1010 - 01103 是+型軸和-型軸交角的平分線；3是-型軸和站軸交角的平分線等等。根據(jù)以上幾類晶向指數(shù)，還可以迅速求得某些不平行于基而的重要晶向。方法是先求該晶向 在基而上的投影線的指數(shù)Q70,而妙可從晶胞圖中直觀看出。例如，求圖1-19中妙的指數(shù)時(shí)，先將血平移至原點(diǎn)，找出其投影CT的指數(shù)從圖1-19中可直觀看出曲 1,故妙的指數(shù)3 3 3,化整后得到2243。6晶帶相交于某一晶向直線或平行于此直線

22、的晶而構(gòu)成一個(gè)晶帶，此直線稱為晶帶軸。設(shè)晶帶 軸的指數(shù)為uvw,則晶帶中任何一個(gè)晶而的指數(shù)（hkl）都必須滿足：hu+kv+lw=0,滿足此 關(guān)系的晶而都屬于以UVW為晶帶軸的晶帶，已知兩個(gè)非平行的晶面指數(shù)為（hlk山）和（h2k2b） 則其交線即為晶帶軸的指數(shù)uvw： U=kl2-k2l9 v = /1/j2-/2/ip w = hk2-h2k圖14晶帶軸7晶面間距一組平行晶而中，相鄰兩個(gè)平行晶面之間的距離叫晶面間距。兩近鄰平行晶面間的垂直 距離，用dhM表示。對(duì)于不同的晶而族hklH晶面間距也不同?？偟膩碚f，低指數(shù)晶而的而 間距較大，髙指數(shù)晶而的而間距較小。()圖15晶而間距圖16晶而間距

23、公式的推導(dǎo)系：dhkl = 式用于復(fù)雜。此公由晶而指數(shù)的立義，可用數(shù)學(xué)方法求出晶而間距，(簡(jiǎn)單立方)：d=a/(h2+k2+I2)l/2,正交卩)+(、 立力系：佃 =J爪；+八 八力系：d血每、陣(如體心立方，而心立方等)時(shí)要考慮晶面層數(shù)的增加。蜀如，咻心瓷方(001)而之間還有同一類的晶而，可稱為(002)而，故晶而間距應(yīng)為簡(jiǎn)單晶胞蝕的一半，等于號(hào)。 由公式也可看出低指數(shù)晶而的面間距大。三晶體的極射赤而投影采用立體圖難以做到淸晰表達(dá)晶體的各種晶向、晶面及它們之間的夾角。通過投影圖可 將立體圖表現(xiàn)于平而上。晶體投影方法很多，廣泛應(yīng)用的是極射赤面投影。1參考球與極射赤而投影(1)參考球設(shè)想將一

24、很小的晶體或晶胞宜于一個(gè)大圓球的中心，由于晶體很小，可認(rèn)為各晶而均通 過球心，由球心作晶而的法線與球而的交點(diǎn)稱為極點(diǎn)，這個(gè)球稱參考球，如圖17。球而投 影用點(diǎn)表示相應(yīng)的晶而，兩晶而的夾角可在參考球上量岀，如圖17, (110)與(010)夾角為45。 但使用上仍不方便。可在此基礎(chǔ)上再作一次極射赤面投影。圖17參考球與立方系球而投影(2)極射赤面投影以球的南北極為觀測(cè)點(diǎn)，赤道而為投影而。連結(jié)南極與北半球的極點(diǎn)，連線與投影面的 交點(diǎn)即為晶面的投影，如圖18。投影圖的邊界大圓與參考球直徑相等叫基圓。位于南半球 的極點(diǎn)應(yīng)與北極連線，所得投影點(diǎn)可另選符號(hào)，使之與北半球的投影點(diǎn)相區(qū)分。也可選與赤 道平行的

25、其他平而作投影而，所得投影圖形狀不變，只改變其比例。對(duì)于立方系，相同指數(shù) 的晶而和晶向互相垂直、所以立方系標(biāo)準(zhǔn)投影圖的極點(diǎn)即代表了晶而又代表了晶向。若將參 考球比擬為地球，以地球的兩極為投影點(diǎn)，將球而投影投射到赤道平而上，就叫極射赤而投 影。圖18極射赤而投影2標(biāo)準(zhǔn)投影圖以晶體的某個(gè)晶面平行于投影而，作出全部主要晶而的極射投影圖稱為標(biāo)準(zhǔn)投影圖。一 般選擇一些重要的低指數(shù)晶而作投影而，如立方系(001), (Oil), (111)及六方系(0001)等。例 如(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖是以(001)為投影而，進(jìn)行極射投影而得到的，如圖19。IQO100圖19立方系（001）標(biāo)準(zhǔn)投影圖3吳氏網(wǎng)吳氏網(wǎng)是球

26、網(wǎng)坐標(biāo)的極射平面投影，分度為2。，具有保角度的特性。其讀數(shù)由中心向 外讀，分東，南，西，北。吳氏網(wǎng)如圖20所示。702010204Q70W圖20吳氏網(wǎng)（分度為2）使用吳氏網(wǎng)時(shí)，投影圖大小與吳氏網(wǎng)必須一致。利用吳氏網(wǎng)可方便讀出任一極點(diǎn)的方位, 并可測(cè)左投影而上任意兩極點(diǎn)間的夾角，是研究晶體投影，晶體取向等問題的有力工具。在 測(cè)量時(shí)，用透明紙畫岀直徑與吳氏網(wǎng)相等的基圓，并標(biāo)出晶而的極射赤而投影點(diǎn)。將透明紙 蓋于吳氏網(wǎng)上。兩圓圓心始終重合，轉(zhuǎn)動(dòng)透明紙、使所測(cè)兩點(diǎn)落在赤道線上，子午線上，基因上，同一經(jīng)線上。兩點(diǎn)緯度差（在赤道上為經(jīng)度差）就等于晶而夾角。不能轉(zhuǎn)到某一緯線去 測(cè)夾角，因?yàn)榇藭r(shí)所測(cè)得的角度不是實(shí)際夾角。例題1.已知純鈦有兩種同素異構(gòu)體，低溫穩(wěn)定的密排六方結(jié)構(gòu)。一賽和高溫穩(wěn)左的體心立方結(jié) 構(gòu)卩_忑,其同素異構(gòu)轉(zhuǎn)變溫度為882.5C,計(jì)算純鈦在室溫（200和900C時(shí)晶體中（112） 和（001）的晶