電磁場與電磁波課后習(xí)題六章習(xí)題解答

1、第六章時變電磁場6.1 有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時變磁場之中，如題6.1圖所示?；奈恢糜蓌 = 0.35(1-cos 曲)口】確左道終端接有電阻/?=0-2Q，試求電流1.ay1b:OOoo:0.2m:Ooor14dc0.7m題6.1圖解穿過導(dǎo)體回路abcda的磁通為C = j BdS = e.Be.ad xcib = 5 cos cot x 0.2(0.7 - x)=cos 11。時，電流也為直流，宙u=Rl=JS=yJ=IE此時導(dǎo)線內(nèi)的切向電場為蟻HO當(dāng) U=U (t)時，dfu = Ri + 厶攀=RyE S + L (皿(f)S) atat寧呦S + O

2、S讐dE(Q |dr LyS LyS求解此微分方程就可得到E( o6.5 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b,長為人設(shè)外加電壓為 sinE,試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。解當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓 時的電場分布可視為相同(準(zhǔn)靜態(tài)電場)，即D UQ sin cotE = et In (b/d)故電容器兩極板間的位移電流密度為r dD匕 cos cotJd =escodtrn(b/a)$2亦/r7rr=COUa COS OJt = CcdJa cos cotln(b/a) 00iTTSlscoU cos c

3、otc =式中,ln(b/d)是長為i的圓柱形電容器的電容。 流過電容器的傳導(dǎo)電流為4 = C = CcoUQ cos cotdf可見6.6由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點電荷的電場強(qiáng)度公式和泊松方程。 解點電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程VxE = 0和廠 D = p由0D = q得J V Ddr=J pdttr據(jù)散度定理，上式即為# D dS = q利用球?qū)ΨQ性，得D = J嚴(yán)4龍廠故得點電荷的電場表示式g宀4亦廠由于VxE = 0,可取E = f(p，則得VxZ= 6V- Zs =刃(p=訊、(p= p即得泊松方程72(p = - 6.7試將麥克斯方程的微分形式寫成八個標(biāo)量方程：(1)在直角

4、坐標(biāo)中; 坐標(biāo)中；(3)在球坐標(biāo)中。解(1)在直角坐標(biāo)中OH.dz. dzdx叫附dxdy退勿dz dxdtJ、善dt,dD.dt-A- dt-dt6乩dx dydt(2)6優(yōu) cBy 63 A + + =0 dx dy dzdDx cDx 沁.+ + =p dx dy dz在圓柱坐標(biāo)中1 dH.叫 dDr“ =丿，+r d(/f dz r dt附叫詁+叫dz drdt6Dd-dt1 6E.% dHr =一口-dt-dz dr dtr orr 00dtr 00 dz dEr oEz(3)1 J R 1 叫_0A)+_-7+- = 0r orr c(p oz1 / 門 5 dD-冷D；云=P在球

5、坐標(biāo)系中在圓柱丄2的叫）一些|詁+哲r sm dOo（j）dtlr 1 附 0 /八 r dDd7而莎一和化滬厶+1F帥丿-韻7+讐盂養(yǎng)（sm&d）-而一“藥1 r 1 dEr 6 /匚門dHe7而而一討血滬一藥丄壬（血）一魯一“讐A f （廣遇）+嘉（sm 鷗）+ 導(dǎo)=0r orrsin oOrsin o（p1 5 “16 一亦、 1 如7訥丹歸麗純叫）+圖莎F6.8 已知在空氣中 E = 3 lsinl0Qcos（6;rxl09f 0込），求丹和0。 提示：將E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可求得0。&E解電場E應(yīng)滿足波動方程將己知的丄彳=匕耳代入方程，得&E、d2Evd2Ev“心“_0SrSr

6、dr式中Fe= -0.1(10)2 sm 10 7tx cos(6 x 109 r - /7)&Fer- = O.lsuilOxr-/72 cos(6xl09/ 一 fiz)址&Eo$o= O.l/00 sin 10x-(6 x 109 )2 cos(6x109Z-/7)故得-(107T)2 -0 + /0-0(6.?rxl09)2 = 0則0 = 72/53 = 54.4 liad/m由于E - “屁=0得&H1 口 口1 r退dE引“0“0&辦=-e v 0.1/? siii 10/rx sin(6,r x 109 Z - /7z) “0+ S 0.1 x 10兀 cos 10/rx co

7、s(6;r xlO9/-/?)將上式對時間t積分，得H = e 0.1/7sml0xvcos(6xl09r-z/ox 6x10+ e: 7t cos 1 Ottx sm(6 x 109 Z - 0z)= -eY2.3xl0_4sml0.TACos(6xl09r-54.41z)-ef1.33xl0-4 cos 10/rx siii(6 xlO9/-54.4 lz) A/m6.9已知自由空河中球面波的電場為E = e0 sin0 cos(勁 一 kr)求H和也解 可以和前題一樣將E代入波動方程來確定k,也可以直接由麥克斯韋方程求與E 相伴的磁場H。而此磁場又要產(chǎn)生與之相伴的電場，同樣據(jù)麥克斯韋方程

8、求得。將兩個電場 比較，即可確定k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。由OH 1 口1 仏 ”、=-VxE =-(遲)ot“o“o r dr=e E sin 6 cos(曲-kr)k=e “Eq sin 0 sin(dX 一 kr)將上式對時間f枳分，得(1)H =sEq siii 0cos(a)t - kr)將式（1）代入竺rsinO dr2kEok2EQsm0 .erJ cos(血-kr) - edsin(血-kr)3叮3吋=抄備敘沁叫一e舟（皿 叫1將上式對時間f積分，得 =丄2kFk2E（2）er 一 J sin（勁 一 kr） + ee sin 0 cos（期-kr） 少。廠U將己知的EE

9、 = eesin0 cos（曲-kr） r與式（2）比較，可得丄含項的E,分量應(yīng)略去，且加=3叭,即k =（Oyp將k =代入式（1）,得H = e “。勺 Eq sin 0 cos（曲-kr）Esin 0 cos（曲 一 kr）l6-10試推導(dǎo)在線性、無損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用E和表示麥克斯韋方程。 解注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)“是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此VxH = Vx() = V(l)xB + -VxB“ “ “=-丄+ 丄 7xBr dD r d（sE） r oE J + = J + _ =J + dtdtdt因此，麥克斯韋第一方程VxH= J + dt變?yōu)?E 1VxB = /J +

10、“ + V/xB dt /V- Z) = (wE) = E 刃 E = p故麥克斯韋第四方程7 D = p變?yōu)?E = 丄 2E 則在非均勻媒質(zhì)中，用E和B表示的麥克斯韋方程組為&E V x B = /J + V/xBdt /VxE =dtVB = O6.11寫出在空氣和P = s的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。 解空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件 為nxE = 0hxH =J,根據(jù)電磁對偶原理，采用以卞對偶形式E-H、H-E,九即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條 件nxH = 0ltxE = -Jms式中，丿林為表面磁流密度。6.12提出推導(dǎo)宀/嚴(yán)人的詳細(xì)步驟。解 如題6.12圖所示

11、，設(shè)第2區(qū)為理想導(dǎo)體（人=）。在分界面上取閉合路徑 abcda, ab = cd = M,bc = da = A/? t0。對該閉合路徑應(yīng)用麥克斯韋第一方程可得嚴(yán)dZ+J：Hd/+J/d + J；H.d/*/】/ lim(J丿dS + J=d5)(1)T。sscD 因為dt為有限值，故上式中l(wèi)im . TO &而（1）式中的另一項lim fj-dSA/i-0 J為閉合路徑所包闈的傳導(dǎo)電流。取N為閉合路徑所|韋|面積的單位矢量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關(guān)系），則有l(wèi)im J 6S=J-NMMtO J9AZ = (Nx)/故式（1）可表示為(耳一H J (N x n)M = Js NM

12、(2)(3)應(yīng)用矢量運算公式AQxCXQA)./,式變?yōu)?hx(H1-H2)-N=Js-N 故得nx(Hl-H2) = Js由于理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率y嚴(yán)s,故必有艮=，弘=0,故式變?yōu)?nxHl=Js6.13在由理想導(dǎo)電壁(y = s )限定的區(qū)域內(nèi)存在一個由以下各式表示的電 磁場：、. = Haico-) S111() sm(kz - cot)7t aHx = HQk () sm() sm(fc 一 cot) 7t aH. = Ho cos()cos(fa 一 OJt)aXIZa03題6.13圖這個電磁場滿足的邊界條件如何？導(dǎo)電壁上的電流密度 的值如何？解 如題6.13圖所示，應(yīng)用理想導(dǎo)體的邊界

13、條件可以得 出卄E =05 H=0H 二=Ho cos(fe 一 cot)孫 E、=aH=O在x=a處，xH 二=-Hq cos(fe - at)上述結(jié)果表明，在理想導(dǎo)體的表面，不存在電場的切向 分量和磁場的法向分量另外，在才二0的表面上，電流密度為Js =n xH |ro= ex X (exHx + e:H: ) |A=0=J x e： H: |v=o = -eyH. cos火-cot) 在x二a的表面上，電流密度則為Js=Hx=-exx(exHAe:H:)x=a=_0存冬日丄=“ =_jHoCos仗-型)6.14海水的電導(dǎo)率Z = 4Sm,在頻率f=lGHz時的相對介電常數(shù)芻-如果把海水

14、視為一等效的電介質(zhì)，寫出H的微分方程。對于良導(dǎo)體，例如銅，=1 = 5.7x10 S/m 比較在f=lGHz時的位移電流和傳導(dǎo)電流的幅度?？梢钥闯觯词乖谖⒉l率卞，良導(dǎo)體中 的位移電流也是可以忽略的。寫出H的微分方程。解對于海水，H的微分方程為VxH =J + jcoD = yE + jcosE = jcos- j )ECD即把海水視為等效介電常數(shù)為力的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)，得10 4妙X叭lx茹7丹)= j(4.5-j4)E = (4+j4.5)E對于銅，傳導(dǎo)電流的幅度為？E,位移電流的幅度3詐。故位移電流與傳導(dǎo)電流的幅度 之比為2fx xW9竺=也叭=36;:= 9.75x10-/5.

15、7xl07可見，即使在微波頻率卞，銅中的位移電流也是可以忽略不計的。故對于銅，H的微分方程 為xH = yE = 5.7xlO7E6.15計算題6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。 解瞬時能流密度矢量為S = ExH= eyEy x (exHx + e:H:) = exEyHz-ezEyHx=eHlpco sin() cos() sm(fe - cot) cos(炫-曲) 7t aa-eHhicok)2 sm2()sin2(fc - cot)7ta=ev -Hqpcosin()cos()sin2(fe - cot)2 7t a a-e. -Hhia)k()2 sin2()1 -cos2

16、(fc- cot)27：a為求平均能流密度矢量，先將電磁場各個分量寫成復(fù)數(shù)形式匚円、再X仗=)sm()e-兀 a 口 a、嚴(yán)“咲/ =%(_皿()e-7t aH： = Hq cos(故平均能流密度矢量為S“ = *ReE x H* = ReexEyH；-e:EyH；1 r 小 a .，兀x、,7tx、=Reev/o/sin()cos()e -2 n a a-e_H和cok&y sin2() = y丄 Hi(ok(y sm2()71a27ta6-16寫出存在電荷P和電流密度丿的無損耗媒質(zhì)中E和H的波動方程。 解 存在外加源。和丿時，麥克斯韋方程組為qpVxH =J + s dtdt xE=一“雲(yún)

17、(1)(2) H = 0(3)ve = 對式(1)兩邊取旋度，得VxVx/ = VxJ + f (VxE)dt而VxVx/ = V(V/)-V2/故V(VH) = V2H = VxJ + -(VxE) dt將式(2)和式(3)代入式(5),得TJdr 這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。同樣，對式(2)兩邊取旋度，得Vx VxE = -/ (VxH)即V(VE)-V2E=-/-|(VxH)將式(1)和式(4)代入式(6),得V2E= + -Vpdt2 dt 此即E滿足的波動方程。對于正弦時變場，可采用復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程表示VxH = J + jcosEVxE = -jcopHV-H =

18、Oe = 對式(7)兩邊取旋度，得Vx VxH = Vx J + jco/xE利用矢量恒等式VxVx/=-V(VH)-V2H得V(VH)-V2Z/ = VxJ + jcoxE將式(8)和式(9)代入式(11),得V2H + 6?2/H=-VxJ 此即H滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對式(8)兩邊取旋度，得V x V x E = - jcojN x H(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)V(VE)-V2H= -jcoN x H(12)將式(7)和式(10)代入式(12),得V2E + cerpeE = jcopj + -Vp 此即E滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍

19、茲方程。6.17在應(yīng)用電磁位時，如果不采用洛倫茲條件，而采用所謂的庫侖規(guī)范，令V A = 0t 試導(dǎo)出A和卩所滿足的微分方程。解將電磁矢量位A的關(guān)系式B = VxA和電磁標(biāo)量位卩的關(guān)系式代入麥克斯韋第一方程Vx/=J + dtdEVx/ = Vx(VxA) = J + ： “dtdAIt)= J + -Vg?-Ot利用矢量恒等式Vx Vx A = V(V A) - V2AV(V-A)-V2A = /J + /.is (-V (p - -)(1)又由 E = V(_W-里)= dt v2+(V a)= _dt按庫侖規(guī)范，令=將其代入式(1)和式(2)得V2 = - 8式(3)和式(4)就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和。所滿足的微分方程。(2)(3)(4)6.18設(shè)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為E = Eq cos+ $,)H = H0 cos(曲+ $ 證明其坡印廷矢量的平均值為Sav=-EoxHo cos(0”J解坡印廷矢量的瞬時值為S = ExH = Eq cos(a)t + i/e)xHQ cos(曲+ 0川)= -ox H。cos(曲 + 叭 + cot + $”) + coscot + 代一曲一 $” = -0xH0cos(2dX + . + 0“ J + cos(代一 0” J故平均坡印廷矢量為1 Sdt01 f r 1=f Jo