第四章 指數(shù)因素分析法的改進(統(tǒng)計指數(shù)理論及其應用-上海財經(jīng)大學 徐國祥 )

1、page1 第四章指數(shù)因素分析法的改進 4.1 增量分析法 4.2 因素分配分析法 4.3 積分因素分析法 回本書目錄 page2 4.1 增量分析法 一、增量分析法的基本理論 （一）增量分析法的基本原理 對于任意二元函數(shù)W=f(x,y)，其全增量可表示為： wy y w x x w yxfyyxxf yxyyxfxyxfw yx 0000 22 0000 , , 其中w 是x和y同時變動對w的交互影響值 回本書目錄 回本章目錄 page3 000 0 ,yyyxyxf x w yx 000 0 ,xxyxyxf y w xy yxyxxyww 00 yxyxxyw 00 由于： 因此： 對于

2、任意二元函數(shù)w=f(x,y)，其增量可分解為三個部分： (1) 表示由于x的單純變動對總體w的影響值； (2) 表示由于y的單純變動對總體w的影響值； (3) w表示由于x和y同時變動對w的影響值，其計算公式為： yyxfxyxfww yx0000 , yyxfy 00, xyxfx 00, 回本書目錄 回本章目錄 page4 （二）增量分析法的步驟 1、確定總量指標與因素指標之間的經(jīng)濟關系式； 2、計算總量指標和各個因素指標的增量； 3、計算各個因素的單純變動影響值； 4、計算交互影響值。 （三）運用增量分析模型應考慮的幾個問題 1、數(shù)學分析中w是高階無窮小量，在一定條件下趨于零；而在 經(jīng)濟

3、統(tǒng)計分析中w就是確定的數(shù)值，不能省略不計。 2、交互影響指標是x和y兩者同時運動的結(jié)果，如果其中有一個指 標保持不變的話，那么不管另一個指標的變動有多大，交互影響 因素還是為零。 3、增量分析法在測定因素變動對總體的影響程度時，是以基期的 同度量因素的，這種假定條件符合因素分析應從基期出發(fā)的原則。 4、增量分析法不僅適用于因素指標是任何函數(shù)關系的形式。 回本書目錄 回本章目錄 page5 二、增量分析法的應用 （一）增量分析法在兩因素分析中的應用 生產(chǎn)支出總額(W)=單位產(chǎn)品成本(Z)產(chǎn)品產(chǎn)量(Q) 相對數(shù)體系 例：例：某工廠生產(chǎn)支出情況如下表所示，分析生產(chǎn)支出變動及其影 響因素。 0000

4、0 00 0 0000 QZ QZ QZ QZ QZ ZQ W W W W W W W W ZQQ Z 8.25%=-12.14%+24.28%-3.89% 生產(chǎn)支出總額增長8.25% 其中： 1、由于單位產(chǎn)品成本降低使生產(chǎn)支出總額減少 12.14%； 2、由于產(chǎn)品產(chǎn)量增長使生產(chǎn)支出總額增長 24.28%； 3、由于單位產(chǎn)品成本和產(chǎn)品產(chǎn)量的同時變動使 生產(chǎn)支出總額降低了3.89%。 回本書目錄 回本章目錄 page6 絕對數(shù)體系 W=Q0Z+Z0Q+ZQ 4620=-6800+13600-2180 生產(chǎn)支出總額增長4620元 其中： 1、由于單位產(chǎn)品成本降低使生產(chǎn)支出總額減少6800元； 2、

5、由于產(chǎn)品產(chǎn)量增長使生產(chǎn)支出總額增長13600元； 3、由于單位產(chǎn)品成本和產(chǎn)品產(chǎn)量的同時變動使生產(chǎn)支出總額降低了2180 元。 增量分析法不會出現(xiàn)第84頁實例中相對數(shù)分析和絕對數(shù)分析不相 一致的情況。 相對數(shù)體系 絕對數(shù)體系 44%=20%+20%+4%88=40+40+8 0000 0 00 0 0 QZ QZ QZ QZ QZ ZQ W W W=Q0Z+Z0Q+ZQ 相對數(shù)分析與 絕對數(shù)分析一致 回本書目錄 回本章目錄 page7 （二）增量分析法在多因素分析中的應用 例：例：某商店商品銷售利潤相關資料如下表所示，分析銷售利潤額 變動及其影響因素。 商品銷售利潤額(W)=商品銷售量(q)銷售

6、單價(p)銷售利潤率 (m) 相對數(shù)體系 00000 W W W W W W W W W W qpm m pq 38%=8.75%-5%+33.13%+1.12% 商品銷售利潤額增長38% 其中： 1、由于商品銷售量增加使商品銷售利潤上升 8.75%； 2、由于銷售單價下降使銷售利潤下降5%； 3、由于銷售利潤率提高使銷售利潤上升33.13%； 4、由于三者的交互影響作用使銷售利潤上升 1.12%。 回本書目錄 回本章目錄 page8 絕對數(shù)體系 389120=89600-51200+339200+11520 商品銷售利潤增長11520元 其中： 1、由于商品銷售量增加使銷售利潤增加89600

7、元； 2、由于由于銷售單價下降使銷售利潤減少51200元； 3、由于銷售利潤率提高使銷售利潤增加339200元； 4、由于三者交互影響作用使銷售利潤增加11520元。 mpqpqmmqpmpq mpqpmqqmpW 000 000000 交互影響作用可做如下進一步分解為： * 000 qpmpmqmqp qpm WWWW mpqpqmmqpmpqW 11520=-7680+44800-21760-3840 回本書目錄 回本章目錄 page9 （三）增量分析法在平均數(shù)變動分析中的應用 例：例：某煤炭管理部門所屬企業(yè)的采煤量情況如下表所示，分析平 均勞動生產(chǎn)率變動及其影響因素。 相對數(shù)體系 0 0

8、0 0 0 1 1 01 0 00 0 00 1 10 0 00 0 00 0 01 0000 t tq t t t t qq t tq t tq t tq t tq t tq t tq q W q W q W q W qt t q 104.02%=72.62%+6.58%+24.82% t qt q平均勞動生產(chǎn)率： 平均勞動生產(chǎn)率增長104.03% 其中： 1、由于各組勞動生產(chǎn)率提高 使平均勞動生產(chǎn)率上升 76.62%； 2、由于工人結(jié)構(gòu)變動使平均 勞動生產(chǎn)率上升6.58%； 3、由于兩者交互影響作用使 平均勞動生產(chǎn)率上升 24.82%。 回本書目錄 回本章目錄 page10 0 0 1 1

9、 01 0 00 1 10 0 00 0 01 t t t t qq t tq t tq t tq t tq WWWW qttq 43.92噸/人=30.66噸/人+2.78噸/人+10.48噸/人 絕對數(shù)體系 平均勞動生產(chǎn)率增長43.92噸/人 其中： 1、由于各組勞動生產(chǎn)率提高使平均勞動生產(chǎn)率增加30.66噸/人； 2、由于工人結(jié)構(gòu)變動使平均勞動生產(chǎn)率增加2.78噸/人； 3、由于兩者交互影響作用使平均勞動生產(chǎn)率增加10.48噸/人。 增量分析不會發(fā)生相對數(shù)/相對靈敏分析和絕對數(shù)分析不相一致的 矛盾。 回本書目錄 回本章目錄 page11 W：平均全周轉(zhuǎn)時間； A ：貨車平均全周轉(zhuǎn)距離；

10、B ：貨車運行速度； C ：貨車每中轉(zhuǎn)一次平均行走的公里數(shù)； D ：貨車中轉(zhuǎn)一次平均停留時間； E ：管內(nèi)裝卸率，即每輛貨車在一次周轉(zhuǎn)中平均裝卸作業(yè)的次數(shù)； F ：貨車平均一次貨物作業(yè)停留時間。 例：例：某鐵路局某年貨車周轉(zhuǎn)時間及其有關因素指標資料如下表所 示，分析實際與計劃的變動及其影響因素。 （四）增量分析法在復雜關系式中的應用 FED C A B A W 平均全周轉(zhuǎn)時間滿足如下關系式： 回本書目錄 回本章目錄 page12 ABCDEFFEDCBA WWWWWWWW 3.17=8.34-0.51-1.57-2.34+1.7-1.6-0.85 該鐵路局某年火車全周轉(zhuǎn)時間比計劃增加3.17小

11、時的原因是： 1、由于貨車平均全周轉(zhuǎn)距離增加，使總體增加8.34小時； 2、由于貨車運行速度加速，使總體減少0.51小時； 3、由于貨車每中轉(zhuǎn)一次平均行走公里數(shù)增加，使總體減少1.57小時； 4、由于貨車每中轉(zhuǎn)一次平均停留時間減少，使總體減少2.34小時； 5、由于管內(nèi)裝卸率提高，使總體增加1.7小時； 6、由于貨車平均一次貨物作業(yè)停留時間減少，使總體減少1.6小時； 7、由于六個因素同時變動（包括57個交互影響值），使總體減少0.85小時。 回本書目錄 回本章目錄 page13 例：例：某商店資金利稅率及有關指標的資料如下表所示，分析資金 利稅率計劃與實際的變動及其影響因素。 HG F E

12、DCBAW100 資金利稅率滿足如下關系式： W：資金利稅率； A ：流動資金占全部資金的比重； B ：商品資金占流動資金的比重； C ：商品資金周轉(zhuǎn)率； D ：毛利率； E ：平均工資； F ：勞動效率； G：工資以外流通費用率 H：財產(chǎn)損益凈率。 回本書目錄 回本章目錄 page14 ABCDEFGHHGFEDCBA WWWWWWWWWW 4.3387%=-0.7050%-1.0055%+3.9094%+1.2884%+0.0645% +0.1811%+0.3766%+0.3369%-0.1077% 根據(jù)上面的增量分析，該商店資金利稅率之所以較計劃提高4.3387%，其原因如下： 1、由于

13、流動資金占全部資金的比重降低，使資金利稅率降低0.7050%； 2、由于商品資金占流動資金的比重降低，使資金利稅率降低1.0055%； 3、由于商品資金周轉(zhuǎn)率的加快，使資金利稅率提高3.9094%； 4、由于商品銷售毛利率的提高，使資金利稅率增長1.2884%； 5、由于職工的平均工資減少，使資金利稅率增長0.0645%； 6、由于職工勞動效率的提高，使資金利稅率增長0.1811%； 7、由于工資以外流通費用率的降低，使資金利稅率增加0.3766%； 8、由于財產(chǎn)損益凈率實際較計劃降低，使資金利稅率增加0.3369%； 9、由于八種因素同時變動(包括247個交互影響值），使資金利稅率降低0.1

14、077%。 回本書目錄 回本章目錄 page15 4.2 因素分配分析法 一、簡單現(xiàn)象因素分配分析法及其應用 （一）由兩個因素構(gòu)成的簡單現(xiàn)象的因素分配的計算 00 00 00 11 qp qqpp qp qp 0000 10 00 01 00 11 111 qp qp qp qp qp qp qp qp e%k2k1 2 1 % i i i i k k ed 相對數(shù)分析 分配到各因素中去的交互影響的相對數(shù)為： 2 1 2 00 10 2 1 1 00 01 00 11 %1%11 i i i i k k e qp qp k k e qp qp qp qp 因此，有相對數(shù)體系： 回本書目錄 回本

15、章目錄 page16 絕對數(shù)分析 001000010011 qpqpqpqpqpqpE 分配到各因素中去的交互影響的絕對數(shù)為： 2 1i i i i k k ED 其中： 2 1 2 0010 2 1 1 00010011 i i i i k k Eqpqp k k Eqpqpqpqp 因此，有絕對數(shù)體系： 分配分析法的前提條件是假定各個因素同時變動，這適用于并行 因素和因果因素，但不適用于繼起因素。 回本書目錄 回本章目錄 page17 例：例：某商店商品銷售資料如下表所示，分析銷售額的變動及其影 響因素。 2 1 2 00 10 2 1 1 00 01 00 11 %1%11 i i i

16、i k k e qp qp k k e qp qp qp qp %525%175%225%300%75%100%700 相對數(shù)體系： 2 1 2 0010 2 1 1 00010011 i i i i k k Eqpqp k k Eqpqpqpqp 萬元萬元萬元5.525.175.22305.71070 絕對數(shù)體系： 回本書目錄 回本章目錄 page18 （二）由多個因素構(gòu)成的簡單現(xiàn)象的因素分配的計算 例：例：某廠某月生產(chǎn)情況資料如下表所示，分析總產(chǎn)值變動及其影 響因素。 %2.24242.01 110000 136640 1 0000 1111 或 PLTN PLTN k 元26640110

17、000136640 00001111 PLTNPLTN 總產(chǎn)值增長率： 總產(chǎn)值增長額： 回本書目錄 回本章目錄 page19 相對數(shù)分析： 絕對數(shù)分析： 回本書目錄 回本章目錄 page20 二、復雜現(xiàn)象因素分配分析法及其應用 （一）由兩個因素構(gòu)成的復雜現(xiàn)象的因素分配的計算 2 1 2 00 10 2 1 1 00 01 00 11 %1%11 i i i i k k e qp qp k k e qp qp qp qp 2 1 2 0010 2 1 1 00010011 i i i i k k Eqpqp k k Eqpqpqpqp 相對數(shù)體系： 絕對數(shù)體系： 回本書目錄 回本章目錄 page

18、21 （二）由多個因素構(gòu)成的復雜現(xiàn)象的因素分配的計算 3 1 3 000 100 3 1 2 000 001 3 1 1 000 010 000 111 %1 %1%11 i i i i i i k k e mqp mqp k k e mqp mqp k k e mqp mqp mqp mqp 3 1 3 100000 3 1 2 000001 3 1 1 000010000111 i i i i i i k k Emqpmqp k k Emqpmqp k k Emqpmqpmqpmqp 相對數(shù)體系： 絕對數(shù)體系： 銷售利潤=銷售價格(p)銷售量(q)銷售利潤率(m) 回本書目錄 回本章目錄

19、page22 例：例：某商店銷售資料如下表所示，分析銷售利潤變動及其影響因 素。 相對數(shù)分析結(jié)果： 絕對數(shù)分析結(jié)果： 38%=(8.75%+0.21%)+(-5%+0.12%)+(33.13%+0.79%) =8.96%-4.88%+33.91% 389120(元)=(89600+2150)+(-51200+1299)+(339200+8141) =91750(元)-49971(元)+347341(元) 回本書目錄 回本章目錄 page23 因素分配分析法不會產(chǎn)生相對數(shù)分析和絕對數(shù)分析不相一致的矛 盾，而且能反映客觀實際的經(jīng)濟效益。 因素分配分析法中，不管數(shù)量指標或質(zhì)量指標，其同度量因素都 固

20、定在基期，這與動態(tài)分析應從基期出發(fā)的要求相符，且不存在 各因素先后排列的順序問題。 因素分配分析法中，各因素變動對總體的影響值是各個因素單純 變動影響值和交互影響值之和，因此這是一種能反映經(jīng)濟現(xiàn)象變 動受各種因素影響的客觀實際的分析法 。 因素分配分析法把各個因素的交互影響值分配到各個因素對總體 的影響值中去，更全面準確地反映各個因素的變動對總體的影響 程度和影響方向，但該方法缺乏嚴密的數(shù)理基礎。 回本書目錄 回本章目錄 page24 4.3 積分因素分析法 一、積分分析法基本理論和方法研究 （一）積分分析法的基本原理 增量分析法中利用了全微分公式計算各因素對總量指標的影響 yyxwxyxww

21、 yx0000 , 交互影響值 把真值x和y分成n個相當小的增量，運用全微分公式，就可以得出 用來表示指標w全部變動情況的另一種公式，即 yx n i y n i x ww yyiyxixwxyiyxixww 1 0 00 1 0 00 , n x x n y y其中： x因素的影響值 y因素的影響值 回本書目錄 回本章目錄 page25 當n時 1 0 00 ,lim n i Te xx n x dxwxyiyxixww 1 0 00 ,lim n i Te yy n y dywyyiyxixww 其中Te表示聯(lián)結(jié)(x0，y0)和(x1，y1)兩點的直線定向線段。 積分分析法的計算通式：積分

22、分析法的計算通式： 設由m個因素引起的總量指標變動的函數(shù)為：y=w(x1，x2，xm) 每個因素在n個點中的值構(gòu)成如下矩陣： n m nn n m m xxxM xxxM xxxM , , , 21 22 2 2 12 11 2 1 11 其中： 是j指標在i時的值；M1和Mn點是各個因素在相應分析期基期 和報告期的值。 i j x 回本書目錄 回本章目錄 page26 則有 假設y指標在分析期取得增量y；函數(shù)y=w（x1，x2，xm）可被 微分， 而是該函數(shù)自變量xj的偏導數(shù)。 mx xxxw j , 21 dtxxtxxx txxxtxxxwy i j i j i m i m i m ii

23、iiii xij j 11 1 0 2 1 221 1 11 , 其中：j=1,2,m；i=1,2,n-1 計算所有積分，我們便可以得到如下矩陣： mnjnnn imijii mj mj yyyy yyyy yyyy yyyy 112111 21 222221 111211 各元素表示各元素表示j因素因素 對對i時期總量指標時期總量指標 變動的影響變動的影響 按照矩陣各列總計yij的值，得出下列行式： 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 , n i im n i ij n i i n i i yyyy mi yyyy, 21 該行式中的元素說明該行式中的元素說明j因素對總量指標變動的影響，

24、因素對總量指標變動的影響，yj的總和構(gòu)成總量指的總和構(gòu)成總量指 標的全部增量標的全部增量 回本書目錄 回本章目錄 page27 （二）積分分析中模型計算方法研究 因素系統(tǒng)乘法模型被積表達式 回本書目錄 回本章目錄 page28 因素系統(tǒng)乘法模型結(jié)構(gòu)元素計算公式 回本書目錄 回本章目錄 page29 因素系統(tǒng)倍數(shù)模型被積表達式 回本書目錄 回本章目錄 page30 因素系統(tǒng)倍數(shù)模型結(jié)構(gòu)元素計算公式 回本書目錄 回本章目錄 page31 二、積分因素分析法在乘法模型和倍數(shù)模型中 的應用 （一）在乘法模型中的應用 例：例：某商店兩種商品報告期和基期銷售資料如下表所示，分析銷 售額變動及其影響因素。

25、y0y1x0 x1x0y0 x1y1 x0y1x1y0 元444444 2 1 2 1 10 yyxwx 元444444 2 1 2 1 10 xxywy 元44200288 0011 yxyxw yx www 相對數(shù)體系 88=44+44 000 w w w w w w yx 44%=22%+22% 絕對數(shù)體系 回本書目錄 回本章目錄 page32 （二）在倍數(shù)模型中的應用 例：例：某商業(yè)股份公司資金利稅相關資料如下表所示，分析資金利 稅率變動及其影響因素。 資金利稅率w滿足如下公式： 4 1i i A x qpzy x w 4 1i i A 其中： 代表由4個因素構(gòu)成的全部資金。 回本書目

26、錄 回本章目錄 page33 %16.10 530.521 237.90 670.457 677.125 4 1 0 0 4 1 1 1 i i i i A x A x w %2.7 530.521 670.457 ln 86.63 44.35 ln 4 1 0 4 1 1 4 1 i i i i i i x A A A x w %46.0030.10 86.63 029.0 4 1 y A ww w i i x y %0.44.86 86.63 0296.0 4 1 z A ww w i i x z %41.075.8 86.63 0296.0 4 1 q A ww w i i x q %1

27、7.0753.3 86.63 0296.0 4 1 p A ww w i i x p w=wx+wy+wz+wq+wp 因此各因素綜合影響為： 10.16%=7.2%+(-0.46%)+4.0%+(-0.41%)+(-0.17%) 回本書目錄 回本章目錄 page34 三、對數(shù)分析法研究 （一）簡單現(xiàn)象對數(shù)分析法 設函數(shù)w=xy在分析期取得增量w，連接(x0，y0)和(x1，y1)兩點 的曲線定向線段L的函數(shù)方程可列為： t t y y yy x x xx 0 1 0 0 1 0 因此： dt y y y y ydy dt x x x x xdx t t 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

28、 ln ln 0t1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 ln ln ln ln lnln w w y y w w w x x w dt y y y y y x x xdt x x x x x y y y dywdxwwww tt L y L xyx w1w0 回本書目錄 回本章目錄 page35 0 1 ln w w W S為對數(shù)分析法的系數(shù) 當w1w0時 0 0 1 01 0 1 ln lim ln lim 0101 w w w ww w w w S wwww 此時 0 1 0 0 1 0 lnln y y w x x ww 假定x0=2，x1=4，y0=4，y1=2，則 w=w1-w0=8-8=0 55.5 2 4 ln8ln 0 1 0 x x wwx 55.5 4 2 ln8ln 0 1 0 y y wwy 可見由于x因素變動對總體的影響值為5.55和y因素變動對總體的 影響值為-5.55相互抵消，才導致總體變動為0。 回本書目錄 回本章目錄 page36 對數(shù)分析法的計算通式：對數(shù)分析法的計算通式： 假定經(jīng)濟現(xiàn)象總體為w，其中影響總體的諸因素為a、b、c、 、