教案 第二十一章　一元二次方程

1、第二十一章 一元二次方程1通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)，分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念2了解一元二次方程的解的概念，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別活動(dòng)1 復(fù)習(xí)舊知1什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？2下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式(1)2x1 (2)mxn0 (3)10 (4)x213下列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x13的解？并

2、給出方程的解的概念A(yù)0 B1 C2 D3活動(dòng)2 探究新知根據(jù)題意列方程1教材第2頁 問題1.提出問題：(1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？(3)這個(gè)方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程2教材第2頁 問題2.提出問題：(1)本題中有哪些量？由這些量能夠得到什么？(2)比賽隊(duì)伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有5個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？(3)如果有x個(gè)隊(duì)參賽，一共比賽多少場呢？3一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩個(gè)數(shù)之積為0，求這兩個(gè)數(shù)提出

3、問題：本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果能夠設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎么列？4一個(gè)正方形的面積的2倍等于25，這個(gè)正方形的邊長是多少？活動(dòng)3 歸納概念提出問題：(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？(2)類比一元一次方程，我們能夠給這個(gè)類方程取一個(gè)什么名字？(3)歸納一元二次方程的概念1一元二次方程：只含有_個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_，這樣的_方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是ax2bxc0(a0)，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)提出問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號(hào)的左、右分別是什么？(2)為什么要限

4、制a0，b，c能夠?yàn)?嗎？(3)2x2x10的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)活動(dòng)4 例題與練習(xí)例1 在下列方程中，屬于一元二次方程的是_(1)4x281；(2)2x213y；(3)2；(4)2x22x(x7)0.總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程例2 教材第3頁 例題例3 以2為根的一元二次方程是( )Ax22x10 Bx2x20Cx2x20

5、Dx2x20總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，能夠?qū)⑦@個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等練習(xí)：1若(a1)x23ax10是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是_2將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)(1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x3.3教材第4頁 練習(xí)第2題4若4是關(guān)于x的一元二次方程2x27xk0的一個(gè)根，則k的值為_答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4.活動(dòng)5 課堂小結(jié)與作業(yè)布置課堂小結(jié)我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程嗎？作業(yè)布置212.1 配方法

6、(3課時(shí))第1課時(shí) 直接開平方法理解一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2c0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a(exf)2c0型的一元二次方程使用開平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，領(lǐng)會(huì)降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想通過根據(jù)平方根的意義解形如x2n的方程，將知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(xm)2n(n0)的方程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)們完成下列各題問題1：填空(1)x28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x_)2；(3)x2px_(x_)2.解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)()

7、2.問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？二、探索新知上面我們已經(jīng)講了x29，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x3，如果x換元為2t1，即(2t1)29，能否也用直接開平方的方法求解呢？(學(xué)生分組討論)老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t13即2t13，2t13方程的兩根為t11，t22例1解方程：(1)x24x41(2)x26x92分析：(1)x24x4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x2)21.(2)由已知，得：(x3)22直接開平方，得：x3即x3，x3所以，

8、方程的兩根x13，x23例2市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應(yīng)該是1010x10(1x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1x)10(1x)x10(1x)2解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，則：10(1x)214.4(1x)21.44直接開平方，得1x1.2即1x1.2，1x1.2所以，方程的兩根是x10.220%，x22.2因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x22.2應(yīng)舍去所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特

9、點(diǎn)是什么？共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”三、鞏固練習(xí)教材第6頁練習(xí)四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2p(p0)的方程，那么x轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么mxn，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無解五、作業(yè)布置.第2課時(shí)配方法的基本形式理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題通過復(fù)習(xí)可直接化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟講清直接降次有困難，如x26x160的一元二次方

10、程的解題步驟將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們解下列方程：(1)3x215(2)4(x1)290(3)4x216x169(4)4x216x7老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x2p或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x或mxn(p0)如：4x216x16(2x4)2，你能把4x216x7化成(2x4)29嗎？二、探索新知列出下面問題的方程并回答：(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三個(gè)方程的解法呢？問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場地的長和寬各是多少？

11、(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有此特征(2)不能既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：x26x160移項(xiàng)x26x16兩邊加(6/2)2使左邊配成x22bxb2的形式x26x32169左邊寫成平方形式(x3)225降次x35即x35或x35解一次方程x12，x28可以驗(yàn)證：x12，x28都是方程的根，但場地的寬不能是負(fù)值，所以場地的寬為2 m，長為8 m.像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)

12、一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解例1用配方法解下列關(guān)于x的方程：(1)x28x10(2)x22x0分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上解：略三、鞏固練習(xí)教材第9頁練習(xí)1，2.(1)(2)四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程五、作業(yè)布置第3課時(shí)配方法的靈活運(yùn)用了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目講清配方法的解題步驟對(duì)于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一

13、元二次方程，通常把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項(xiàng)系數(shù)為1，再用配方法求解一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))解下列方程：(1)x24x70(2)2x28x10老師點(diǎn)評(píng)：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題解：略(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？二、探索新知討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完

14、全平方式；(5)變形為(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是xp；如果q0，方程無實(shí)根例1解下列方程：(1)2x213x(2)3x26x40(3)(1x)22(1x)40分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個(gè)含有x的完全平方式三、鞏固練習(xí)教材第9頁練習(xí)2.(3)(4)(5)(6)四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到五、作業(yè)布置21.2.2公式

15、法理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2bxc0(a0)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用一元二次方程求根公式的推導(dǎo)一、復(fù)習(xí)引入1前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程(1)x24(2)(x2)27提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？提問2這種解法的局限性是什么？(只對(duì)那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程)2面對(duì)這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式)(學(xué)生

16、活動(dòng))用配方法解方程2x237x(老師點(diǎn)評(píng))略總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；(5)變形為(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是xp；如果q0，方程無實(shí)根二、探索新知用配方法解方程：(1)ax27x30(2)ax2bx30如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題問題：已知ax2bxc0(a0)，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1，x2(這個(gè)方程一定有解嗎？什么

17、情況下有解？)分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)，b，c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去解：移項(xiàng)，得：ax2bxc二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2x配方，得：x2x()2()2即(x)24a20，當(dāng)b24ac0時(shí)，0(x)2()2直接開平方，得：x即xx1，x2由上可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2bxc0，當(dāng)b24ac0時(shí)，將a，b，c代入式子x就得到方程的根(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根例1用公式法解下列方程：(1)2x2x10(2)x21.53x(3)x2x0(4