隨機過程(汪榮鑫版)第一、二、四章習(xí)題答案pdf

1、第一章隨機過程的基本概念1設(shè)隨機過程 x (t) = x cosw0 t,- t 0 時此時若 c o ws0 t同理有x1x-x 22f (x, t) =px=cosw0t edxcosw0t2p 0f (x, t )1-x21f (x, t) =e2 c o 2sw0txc o sw0 t2p 0 時xxf (x, t) =px = 1 - px cosw0t cosw0t 1xe-x 2= 1 -cosw0t2 dx2p01-x21f (x, t) = -e2 c o 2swt0c ows0 t2p綜上當(dāng)： cosw0 t 0即t 1(k +1)p 時w0211-x2f (x, t) =

2、e2 cos2w0t| cosw0 t |2p2利用投擲一枚硬幣的試驗，定義隨機過程為1cospt, 出現(xiàn)正面x (t) = 2t, 出現(xiàn)反面1假定“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為 1 2 。試確定 x (t) 的一維分布函數(shù) f (x, 2)和 f (x,1) ，以及二維分布函數(shù) f (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 f (x,1)2p出現(xiàn)正面 01 cos2,出現(xiàn)正面顯然 x = = 1出現(xiàn)反面2 2 -,出現(xiàn)反面 121 隨機變量 x 的可能取值只有 0，1 兩種可能，于是2 1 11 1px = 0=px = 1=2 22 2所以0x 01 1f x,=0 x 12

3、 21x 1再求 f（x,1）cosp出現(xiàn)正面-1出現(xiàn)正面顯然 x (1) = = 2出現(xiàn)反面 2出現(xiàn)反面px (1) = -1= px (1) = 2=12所以0x -11f (x,1) =-1 x 221x 21(2)計算 f (x1 , x2 ; 2 ,1)10出現(xiàn)正面-1出現(xiàn)正面x () = 出現(xiàn)反面, x (1) = 出現(xiàn)反面212于是211 fx x1, x2;,1=px x1 ; x (1) x2 22 0x1 0- x2 +或 x1 0,x2 -110 x1 1,-1 x2 1,x2 23設(shè)隨機過程 x (t ),- t 0)其中 x 是具有分布密度 f(x)的隨機變量。試求

4、x(t)的一維分布密度。 解：對于任意 t0 因為fx (x, t) = p(x(t) x) 當(dāng) x0 時- xtln x fx (x, t) = pe x= p- xt ln x= px -t ln x - ln x= 1 - px 0tttrx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= ee- xt1 e- xt2 = ee- x (t1 +t2 ) = 0t e -x(t1 +t2 ) f x(x)dx =1(1 - e -t (t1 +t2 ) )t (t1 + t2 )6設(shè)隨機過程 x (t),- t +在每一時刻 t 的狀態(tài)只能取 0 或 1 的數(shù)值，而在不同時

5、刻的狀態(tài)是相互獨立的，且對于作意固定的 t 有px (t) = 1= ppx (t) = 0= 1 - p其中 0p1。試求 x(t)的一維和二維分布，并求 x(t)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)解：一維分布px(t) = 1= ppx(t) = 0= 1 - p二維分布：px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 1= p 2px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 0= p(1 - p) px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 1= (1 - p) p px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 0= (1 - p)2x(t)的數(shù)字期望4mx (t) = ex (t) = 1

6、 px (t) = 1+ 0 px (t) = 0= p隨機過程 x (t)的自相關(guān)函數(shù)為rx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= 1 px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 1+0 px (t1 ) = 1且 x (t2 ) = 0 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 1 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 0= px (t1 ) = 1 px (t2 ) = 1= p 27設(shè) x n , n 1是獨立同分布的隨機序列，其中 x j 的分布列為xj1-1j=1，2，1-1p22n定義yn = x j 。試對隨機序列yn , n

7、 1求j =1（1）y1 的概率分布列；（2）y2 的概率分布列；（3）yn 的數(shù)字期望；（4）yn 的相關(guān)函數(shù) ry（n, m）。解：（1） y1=x1故概率分布則為 py = 1=1py = -1=11212（2） y2 = x 1 + x 2y2 可能的取值為 0 或 2，-2py2 = 0= px1 + x 2 = 0= px1 = 1, x 2 = -1+ px1 = -1, x 2 = 1= px1 = 1px 2 = -1+ px1 = -1px 2 = 1=1+1=1442py = 2= px+ x= 2= px= 1, x= 1=1212214py = -2= px+ x= -2= px= -1, x= -1=1212214n（3）yn = x j的數(shù)字期望為j =1eyn（4）自樣關(guān)函數(shù)n= e x j =1ry (m, n)n= ex jj j =1= ey (m)y (n11=