十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編及答案(2010—2019)

1、十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編及答案（20102019）專題空間向量1. （2014全國2理TH）直三棱柱ABC-AQ中，NHZRO。，MN分別是4風(fēng)4G的中點(diǎn),6。二口二8,則BM與4V所成角的余弦值為（）A-B, C.回 D.在105102【答案】c【解析】如圖，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn),CA QI：, CC所在的直線分別為X軸,y軸,Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=CA=CCi=l,可知點(diǎn)J（0, 1, D,-V（0, j,0）, 5（1,0,0）.:前=,BM = （-i, cos = AN BM 10根據(jù)前與詢的夾角及4V與6v所成角的關(guān)系可知,BM與4V所成角的余弦值為嚕.2. （2013

2、 北京文T8）如圖，在正方體極力力心乙中，戶為對(duì)角線放的三等分點(diǎn)，尸到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）A. 3個(gè)B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長為盤建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則。(0, 0,0), (0, 0, a), G(0, ay a), C(0, a 0), B(a, a, 0), 6 (a a, a),月(a, 0, 0),4(a, 0, a),亍出久)，則，加了/- /ia2 + a2 + a2 =亙昌 弋9 993PD = -a2 + -a2 + -a2 -a,y/999PD；+ q2 +=等a,砥=兩超出+)2+0刊PC n PA d,2 + /

3、 + ,2 - ga, 西京2 +/2 +)2 =親3. (2012 陜西理T5)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA&k。=8？四則直線BG與直線型夾角的余弦值為()【答案】A上|【解析】不妨設(shè) 儂L則.由題圖知,月點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 0,0), 6點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0, 1),房點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 2, 1), c點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 2, 0).所以跖二(0,2, TL),彳瓦=(-2, 2, 1).1/81由 l、J石kxJ)X(-2)+2x2+(-1)X1 仄所以 cosBCi，i48iz:i= .4. (2010大綱全國文T6)直三棱柱ABC-ABC大若NBAC=90 ,AB二AC=A

4、A”則異面直線BA：與AQ所成的角等于()A. 30 B.45 C. 60 D. 90【答案】C【解析】不妨設(shè)AB=AC=AA尸1,建立空間宜角坐標(biāo)系如圖所示,則 B(0, T, 0), A1(0, 0, 1),A(0, 0, 0), Q(-1, 0, 1),，方擊二(0, 1, 1),而=(T,0, 1).,：cos抵W，福/畫,石=j = 1 1 BAX ACX 72X722.：豆不，闔)40。.:異面直線歷】與月4所成的角為60 .5. (2019 天津理 T17)如圖,AEL平面 ABCD, CF/AE, AD/7BC, ADAB, AB=AD=1, AE=BC二2.(1)求證:BF

5、平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E-BD-F的余弦值為g求線段CF的長.【解析】證明依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以荏，而，獲的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正1/81方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得 方0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0, 1,0), E(0, 0, 2).設(shè)CF=h(h0),則 F(l,2,h).1/81依題意，裾二(1, 0, 0)是平面儂的法向量，乂定:(0, 2),可得於布士乂因?yàn)橹本€跖I平面座所以平面ADE.(2)解依題意，麗二(-1, 1, 0),而二(T, 0, 2),次=(-1, -2, 2).麗=0,而

6、=0,設(shè)n=(x, % 2)為平面順的法向量,不妨令z-1,可得n=(2,2,l).因此有 cos - C E zi所以，直線與平面MF所成角的正弦值為、解設(shè)m=(8y, z)為平面皮廠的法向量,則牖二：e + y = 0， + hz = 0,不妨令尸1,可得9).由題意，有/cos血切卷=解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.所以,線段廳的長為發(fā)6. (2019 浙江 T 19)如圖，已知三棱柱 ABC-4BC,平面 4474，平面 ABC, ZABC=Q0 , Z 歷k30 ,4月2c玄GE尸分別是;4A的中點(diǎn).(1)證明:年J_6G(2)求直線0與平面4%所成角的余弦值.【解析】方法一：(1)連接4月因

7、為&4引 E是4c的中點(diǎn),所以4反L 42乂平面4月CG_L平面ABC, 4氏平面AACC,平面AMC, A平面ABC=AC,所以,42L平面ABC,則A.E.LBC.乂因?yàn)?AF/ZAB, /ABC0O ,故 BCLA.F.所以5aL平面A,EF.因此EFLBC.取用中點(diǎn)G,連接EG, GF,則助丸是平行四邊形.由于4_L平面ABC,故4ELEG,所以平行 四邊形瓦74為矩形.山得6UL平面EGF4,則平面45C_L平面跖,所以牙在平面48。上的射影在直線4G上.連接4G交斤于0,則/故；是直線普與平面46。所成的角(或其補(bǔ)角).不妨設(shè):4,則在RtZ4G中，4*2b,反乃巨由于0為4G的中

8、點(diǎn)，故0二面岑=苧，/ 口“ EO2OG2-EG2 3 所以cos/EOGi福石一藍(lán)因此,直線4與平面46。所成角的余弦值是方法二：連接4因?yàn)?4笈 5是的中點(diǎn)，所以A.ELAC.乂平面447C_L平面AB& 4氏平面A.ACC,平面 AXACC, A 平面 ABC=AC,所以,4EL平面板：如圖，以點(diǎn)少為原點(diǎn)，分別以射線E& EA.為y, z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.不妨設(shè) AC=4t 則 4(0, 0, 273),不V5, l,0),A(V3, 3, 2例,/(?，1，23), no, 2,0).因此,前二停|, 2，同=(詔1,0).由市正力得爐_1%設(shè)直線廳與平面4%所

9、成角為夕.由可得證二(S 1,0),碇=(0.2, -2折.設(shè)平面46C的法向量為n-(x, y, z).取 n=（l,倔 1）,故 sin 0-/cos 三絲EF n 5因此,直線萬與平面所成的角的余弦值為 O7. (2019 全國1理T18)如圖，直四棱柱 板的底面是菱形，網(wǎng)工出2, N歷出毛0 ,EMN分別是6G即,4。的中點(diǎn).(1)證明：/V平面QDE-,(2)求二面角力二眼V的正弦值.【解析】連接AG您因?yàn)镸 分別為B&、6。的中點(diǎn)，所以劭S AG且;吐KC.乂因?yàn)镹為4。的中點(diǎn)，所以八% A.D.由題設(shè)知44“；可得6c 4故ME M因此四邊形業(yè)必歹為平行四邊形，/V短Z乂物比平面

10、EDC,所以MV平面&DE.由已知可得DE_LDA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),瓦5的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則幺(2, 0, 0), 4 (2, 0, 4), Ml, V3, 2), Ar(l, 0, 2)，市=(0, 0, -1)，而=(-1,亞-2),布=(-1, 0, -2)，麗=(0, -V3, 0).設(shè)m=（崗y, z為平面4.用的法向量，則M 亞=o,（?n , ArA = 0.所以卜” +第y2z = 0,可取m=（倔1, o）. t-4z = 0.設(shè)n=（R q, r）為平面4場.的法向量，則Q亞=0, n AN = 0.所以要二?？扇?。，公于是 co

11、sm n2存 _ V152X 娼 一 5 1所以二面角於必V的正弦值為孝.8. （2019 全國2 理T17）如圖，長方體力用a-45，的底面被力是正方形，點(diǎn)在棱皿上，龍LEG.證明:比_L平面被G;若AE二AE求二面角B-EC-&的正弦值.【解析】證明由已知得,SCJ平面 儂4,好平面ABBA,故BC1BE. 乂紀(jì)1尾,所以BE1/81(2z = 0,x-y + z = 0,平面期a（2）解山（1）知N應(yīng)區(qū)K00 ,由題設(shè)知所以N曲=15 ,故 AE=AB, AAAB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦5的方向?yàn)閤軸正方向，萬?/為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dryz, 則。(0,1, 0), 5(

12、1,1,0), G(0, 1, 2), 5(1, 0, 1),CB =(1, 0, 0), CE1, -1, 1),忘=(0, 0, 2).設(shè)平面的法向量為n=(x, y, z),則 n = 0, p,j (% = 0, =o, b-y + z = o,所以可取n=(o,-l,-l).設(shè)平面ECC,的法向量為m=(x, y, z),則1/81所以可取m=(l, 1,0).工日/ 、九 m 1十是 cos =.n m 2所以，二面角5-氏4的正弦值為9. （2019 全國3 理T19）圖1是由矩形ADEB,RtZABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=

13、60 .將其沿AB, BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.（1）證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面,且平面ABCJ_平面BCGE;求圖2中的二面角B-CG-A的大小.【解析】（1）證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD, CG確定一個(gè)平面，從而A, C, G, D四點(diǎn)共面.III 已知得 AB_LBE, AB J_BC,故 AB_L平面 BCGE.乂因?yàn)锳Bu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.解作EH_LBC,垂足為H.因?yàn)镋Hu平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,所以EH_L平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長為2, ZEBC=60 ,可求得

14、BH=1, EH二機(jī).以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，近的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則月(-1, 1, 0),。(1, 0, 0), G(2, 0, V3),CG =(1, 0,有)，就=(2, -1, 0).設(shè)平面力題的法向量為n=(x, y, z),則件* n = ，即x +=0，Uc-n = 0,12%-y = 0.所以可取 n=(3,6, -x/3).乂平面6西的法向量可取為m=(0, 1, 0),所以 cos n m =. n m 2因此二面角B-CG-A的大小為30 .10. (2018 浙江T 8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等,E是線段AB

15、上的 點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)SE與BC所成的角為01,SE與平面ABCD所成的角為82,二面角S-AB-C的平 面角為63,則()A.010203 B.639201C.01O302 D.92e3=tan % GH EH o 3 o 2. A o 1 o 3 o 2.當(dāng)點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)E與點(diǎn)G重合,此時(shí)0 1= 0 3= 0 2.綜上可知，o 0 3 0 2.11. (2018 全國3 理T19)如圖，邊長為2的正方形月5Q?所在的平面與半圓弧曲所在平面垂 直，必是曲上異于的點(diǎn).(1)證明：平面AMD _L平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正

16、弦值.B解析】(1)由題設(shè)知,平面CMD，平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD, BCu平面ABCD,所以BC 平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為比上異于C, D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM1CM. 乂 BCACM=C,所 以DM,平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD J_平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，石?的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),M為 曲的中點(diǎn).由題設(shè)得2?(0, 0, 0), 1(2, 0, 0), 5(2, 2, 0), 0(0, 2, 0), .17(0, 1,1), AM =(-2, 1, 1),屈二(0,

17、2, 0),57 =(2, 0, 0)設(shè)n=(x, y, z)是平面MAB的法向量,麗7 = 0,冏 r2x + y + z = 0, 荏=012y = 0.可取 n=(l,0,2),而是平面JO的法向量，因此cos h,方?二竺=正,sin=-.所以,二面角氏5。尸的正弦值為邛. m n 101010設(shè)線段 分的長為方(方 0,2),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0,，可得加=(-1,-2).易 知,5? =(0,2,0)為平面ADGE的一個(gè)法向量，故/cos前,比川嚕%=赤金.山題意，可得 募書5600日,解得人咚 0,2.所以,線段分的長為14. (2018 全國1 理T18)如圖，四邊形ABCD

18、為正方形,E, F分別為AD, BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把a(bǔ)DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.證明：平面PEF，平面ABFD;求DP與平面ABFD所成角的正弦值.【解析】(1)由已知可得,BFJ_PF,BF_LEF,所以BF_L平面PEF.乂 BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD.作PHJ_EF,垂足為H.由（1）得,PH_L平面 ABFD.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，喬的方向?yàn)閥軸正方向，用武，為單位氏建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 H-xyz.ND 可得，DELPE.乂 DP2 DEA 所以、PE, 乂 PFA EF2 故PE1PF.可得PHq的則從0,0,0）,（0,0,二），

19、4-1,-：，0）,萬？ = （1,：,考），加=（0,0,：）為平面彳跖9的法向 量.設(shè)如與平面4a叨所成角為,則 sin 8 二HP DP3.IV3HP DP - 叵-4所以如與平面4a叨所成角的正弦值為孚. 415. （2018 全國 2 理 T20）如圖，在三棱錐 P-ABC 中，AB=BC=2位,PA=PB=PC=AC=4, 0 為 AC 的中 點(diǎn).（1）證明:P0_L平面ABC;若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30 ,求PC與平面PAM所成角的正弦值.所以代哈宇3又無=(0, 2, -2次)，所以cos PC, n)4所以先與平面4獷所成角的正弦值為416. (2018 浙

20、江 T9)如圖，已知多面體ABCA,BC, 44 B出, C均垂直于平面ABC, Z 1是RC與平面儂所成的角.得 cos/Q4 等,sin/Q4&*,所以QD亞、故sinN切啜=等因此直線公與平面儂所成的角的正弦值是等 解法二證明：如圖，以AC的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，分別以射線OB, 0C為x, y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:4（0, -V3, 0）, 5（1, 0, 0）, 4 （0, T與,4）,區(qū)（1, 0, 2）, G （0,瓜 1）.因止/,2）,X二（1，郎，-2）,Z7=（O, 2/，-3）.山福-TKr,彳導(dǎo)力益_46.由福港TC得A&LA-.G.

21、所以月R_L平面44Q(2)設(shè)直線月&與平面月能所成的角為0.由(1)可知溫=(0, 2亞 1) ,AB=1, V3, 0),西二(0, 0, 2).設(shè)平面ABB,的法向量n=(x, y, z).由 1 ,竺：即卜 + 怖曠=6 可取 n=(/, 1,0).所以 sin 0 =/COs/-n = (n BBi = 0,(2z = 0,4G n嚕因此,直線公與平面月能所成的角的正弦值是17. (2018上海-T17)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2.(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；(2)設(shè)P0=4, 0A, 0B是底面半徑,且NA0B=90 , M為線段AB的中點(diǎn)，如圖,求異面

22、直線PM與0B所成的角的大小.PaB解析)(1) 圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2,母線長為4,:圓錐的體積X2:. 333(2) VP0=4, 0A, OB是底面半徑,且NAOB=90 , M為線段AB的中點(diǎn)，以0為原點(diǎn),0A為x軸,0B為y軸,0P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,P(0, 0,4), A 0, 0), B(0, 2, 0), M(1, 1, 0), 0(0, 0, 0),ZPM=(1, 1, -4),而=(0,2,0).設(shè)異面直線FV與仍所成的角為3m.in PM OBlX0 + lX2+(-4)X0y/2貝 IJ COS = -r-=.PM 0BJ I2 +12 + (

23、-4)2 xVo2+22+O26 “Frccos 6,:異面直線兩與仍所成的角的大小為arccos. 618. (2017 北京理T16)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,平面PAD,平面ABCD, 點(diǎn) M 在線段 PB 上,PD平面 MAC, PA=PD=x/6, AB=4.求證:M為PB的中點(diǎn);求二面角B-PD-A的大?。磺笾本€MC與平面BDP所成角的正弦值.【解析】(1)證明設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D平面MAC,平面MACA平面PDB二ME,所以PDME.因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).解取AD的中點(diǎn)0,連接OP, 0E.因?yàn)?/p>

24、 PA二PD,所以 0P_LAD.乂因?yàn)槠矫鍼AD,平面ABCD,且OPu平面PAD,所以O(shè)P1_平面ABCD.因?yàn)镺Eu平面ABCD,所以O(shè)PLOE.因?yàn)锳BCD是正方形，所以0E1AD.如 圖 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系O-xyZy 則戶(0, 0, V2),Z?(2, 0, 0), 6(-2, 4, 0),前二(4,0),而=(2, 0, -V2).設(shè)平面區(qū)方的法向量為n=(x, y, z),則，.亞=0,(n PD = 0,4x-4y = 0, 2x-2z = 0.令 x=l,則 y-1, z=2.于是n-(l, 1, V2),平面于。的法向量為p-(0, 1, 0).所以co

25、s n由題知二面角B-PD-A為銳角，所以它的大小為3解山題意知J(T, 2,今，。(2, 4, 0),證=(3, 2, -分.設(shè)直線,必與平面助所成角為。，則 sin o = cos/n.n MC 9所以宜線與平面研所成角的正弦值為等.19. (2017 全國 1 理 T18)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD,且NBAP二NCDP=90 .證明：平面PAB_L平面PAD;(2)若 PA=PD二AB=DC, ZAPD=90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.【解析】（1）證明由已知 NBAP二NCDP=90，得 AB_LAP, CD_LPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB_L平

26、面PAD.乂 ABu平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.解在平面PAD內(nèi)作PF1AD,垂足為F.由（1）可知,/15_L平面為枚ABLPF,可得加1平面極。以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，目?的方向?yàn)樘燧S正方向，/萬/為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fryz.由及已知可得A （,0,0）/（0,0, y） ,5仔，1,0）,C（-f ,1,0）.所以麗= （-y,l,-y）,CF =（V5, 0, 0）,以=（/, 0,后）,南-（0,1,0）.設(shè)n=（x, y, n）是平面產(chǎn)的法向量，則心至=0,即瑤x + y/z = 0,5 CB = 0,（72% = 0.則血色=0,即t?n 力B = 0,

27、設(shè)m=(x, y, z)是平面Q45的法向量，%孕=o,可取 1n=(1, 0, 1).則 cos h, y=0.|n|m| 3所以二面角力-C的余弦值為20. (2017 全國2 理T19)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD, NBAD二NABC=90 , E 是 PD 的中點(diǎn).證明：直線CE平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45 ,求二面角M-AB-D的余弦值.【解析】(1)證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD, EF=i AD.Ill ZBAD=ZABC=90 得 BCA

28、D,乂 BCAD,所以EF BC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE/7BF, 乂 BFu平面PAB, CEQ平面PAB,故CE 平面 PAB.解由已知得BALAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，說的方向?yàn)閤軸正方向，痛/為單位長,建立如圖所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 A-xyz, 則4(0, 0, 0), 5(1, 0, 0),C(l, 1, 0), P(0, 1, V3),PC-(1, 0,心,而=(1, 0, 0) .設(shè)必(x, y, z) (0 1),則BM =(xT, y, z), PM =(x, y-1, zV5).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45 ,而n=(0, 0, 1)是底面A

29、BCD的法向量，所以 cos /-=sin 45 , , z =,即R.J (x-l)2+y2+z 2 2乂 M在棱PC上,設(shè)前二/l前，則X=A, y=lf z增人.卜=1 + 9，p = 1-?由,解得(y= i,(舍去),從而嬴=(1后，1，T)-設(shè)m= (x0, y0, z0)是平面ABM的法向量，則m AM = 0,即(2-/2)x0 + 2yo + Wz。= 0,m*45 = 0,，& = 0,所以可取 m=(0, 2).于是 cos ni n =. m n 5因此二面角MTS-。的余弦值為手.21. (2017哈國3理T19)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形，ZACD是

30、直角三角形，NABD二ZCBD, AB=BD.(1)證明：平面ACD,平面ABC;過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.DEA【解析】(1)證明山題設(shè)可得,4ABD-CBD,從而AD=DC.乂力是直角三角形，所以N49CK00 .取力。的中點(diǎn)0,連接DO, BO,則DOVACy DO=AO.乂III于板是正三角形，故皿AC.所以N,仍為二面角0TC-8的平面角.在 Rt 水省中，BgAO 二盛,乂 AB二BD,所以 B。+D。=B。+A。=AE 二泣故N戊為R0 .所以平面47?_L平面板解出題設(shè)及知，OA, 0B,如兩兩垂宜

31、，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方?的方向?yàn)閤軸正方向，/為單 位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則 4(1, 0, 0), 5(0, V3, 0), C(-l, 0, 0), (0, 0, 1).由題設(shè)知，四面體力aF的體積為四面體力收的體積的%從而匯到平面板的距離為到平面 板的距離的今即為的的中點(diǎn),得0, y, 1).故而二(-1,0, 1),左二(-2,0,0),荏=卜1,9，.設(shè)n=(x,y,z)是平面皿的法向量，則前=0,即LL，1族=o, + 曰y + = 0-可取nl, 1).m AC = 0,)71 族=0.設(shè)m是平面45T的法向量，則同理可取 m-(0, T., /3).則 c

32、os -. n m 7所以二面角。的余弦值為22. (2017 山東理T17)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的,G是鈾的中點(diǎn).(1)設(shè)P是 金 上的一點(diǎn)，且AP_LBE,求NCBP的大?。划?dāng)AB=3, AD=2時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.【解析】(D 因?yàn)?AP_LBE,AB_LBE, AB,APu 平面 ABP, AB A AP = A,所以 BE_L 平面 ABP, 乂 BPu 平面ABP,所以 BEJ_BP, 乂NEBC= 120 .因此NCBP=30 .(2)解法一:取所的中點(diǎn)H,連接EH, GH, CH.因?yàn)镹EB

33、O120。，所以四邊形BEHC為菱形，所以AE=GE=AC=GCJ32 + 22 = y/13.取AG中點(diǎn)M,連接EM, CM, EC,則EMAG, CM_LAG,所以/EMC為所求二面角的平面角.乂加仁1,所以日仁:WKTwVl在 ABEC 中，由于 NEBC=120 ,由余弦定理得 EC2=22+22-2X2X2Xcos 1200 =12,所以EO26，因此AEMC為等邊三角形，故所求的角為60。.解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE, BP, BA所在的直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系.由 題 意 得 J(0,0,3), (2,0,0),(7(1, V3 ,3), 0(

34、-1,75,0), 故族二(2, 0, -3),而=(1, V3, 0)，出=(2, 0, 3),設(shè)m=(x“必,為)是平面力?G的一個(gè)法向量.由k1 ,竺=0,可得f=。,取歷2可得平面在z;的一個(gè)法向量m=(3, 0 2).(mAG = 0,Ui + 73yl = 0.設(shè)n=(x2, y2, z2)是平面ACG的一個(gè)法向量.由卜亞=0,可得呼+普;，n CG = 0,t2%2 + 3z2 0.取生=-2,可得平面“G的一個(gè)法向量n=(3, -a/3, -2).所以 cos m, m n 2因此所求的角為60.23. （2017 天津理T17）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,

35、 NBAO90 ,點(diǎn)D,E,N分別為 棱PA, PC, BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4, AB=2.求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值；已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為斗 求線段AH的長.【解析】如圖，以月為原點(diǎn)，分別以話，就，點(diǎn)方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo) 系.依題意可得 A(0, 0,0), B(2, 0, 0),C(0, 4,0),P(0, 0, 4),D(0, 0,2),E(0, 2, 2),M(0, 0, 1),N(1,2, 0).(1)證明:萬5=(0, 2, 0)，麗二(2, 0, -2),設(shè)n=(x,

36、 y, z)為平面區(qū)旅的法向量,n DE = 0,n = 0,f2y 0, (2x-2z = 0.不妨設(shè)z=l,可得n=(l,0,l).乂標(biāo)二(1,2, -1),可得而因?yàn)镸NQ平面BDE,所以MN平面BDE.易知nl=(l, 0, 0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x, y, z)為平面EMN的法向量，則42 畫=0,n2 MN = 0.因?yàn)辂?(0, -2, -1),而=(1,2, -1),所以產(chǎn)y-z = o,1 z(x 4- 2y-z = 0.不妨設(shè)尸1,可得H2=(Y,l,-2).因此有 cosh 2一2 二噫:, 九1 n2 21于是sinDF,AF，F(xiàn)E, 所以AF,平面E

37、FDC. 乂 AFu平面ABEF,故平面ABEF J_平面EFDC.(2)解過D作DG1EF,垂足為G, ill (1)知DG_L平面ABEF,以G為坐 標(biāo)原點(diǎn)，聲的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長,建立如圖所示的空間 直角坐標(biāo)系G-xyz.由(1)知NDFE為二面角D-AF-E的平面角，故NDFE=60 ,則 DFI =2, DG =V3 ,可得 A (1, 4, 0), B (-3, 4, 0), E (-3, 0, 0), D (0, 0, V5).Ill 已知,AB/7EF,所以 AB平面 EFDC.乂平面 ABCD n 平面 EFDC二CD, 故 AB CD, CD/7EF.所以N田為二面

38、角C-播-尸的平面角，Nd尸W0 .從而可得C(-2, 0,3).所以前二(1, 0, ,EB=(0f 4, 0), AC=(-3, -4,右)，痛二(-4, 0, 0),設(shè)n=(x, y, z)是平面比F的法向量，則什 = 0,即儼+呼=0,所以可取n=(3,0,-付.設(shè)m是平面ABCD的法向量，則 (九 EB = 0, Hy = 0.Cm X? = 0,(zn AB = 0,同理可取m=(0, V3, 4),則cos DO AD 4所以 OHA DH=DH4.中是 D# +0百寸+f=10=DWDHOH. 乂 0HLEF,而 OHC EF二乩 所以從L平面版7Z(2)解如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)

39、笳的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則H(0, 0, 0),A(-3,-l,0),B(0, -5, 0), C(3,-1, 0), D, (0, 0, 3),AB=(3f -4, 0)，就二(6, 0, 0),=(3, 1, 3).設(shè)m=(xl, yl, zl)是平面ABD的法向量，則,竺：O即修 (m 力。=0,G - 4yl = 0,+% + 3Z = 0,設(shè)n=（x2, y2, z2）是平面ACD,的法向量,則,”n ADy = 0,=0,+ y2 + 3z2 = 0,所以可取n=(0,-3, 1).工日 /、 m n十7E cos m, n/-m n-147x/5.、2

40、屏 sinm, vXvflO 2525因此二面角6叨M-C的正弦值是等.26. （2016 山東理T17）在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓0的直徑,EF是上底面圓0的直 徑,FB是圓臺(tái)的一條母線.已知G, H分別為EC, FB的中點(diǎn).求證:GH平面ABC;已知EF=FB=AC&W, AB=BC,求二面角F-BJA的余弦值.【解析】（1）證明設(shè)FC中點(diǎn)為I,連接GLHL 在4CEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，所以GI/7EF.乂 EFOB,所以 GIOB.在4CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HIBC.乂 HIPGI=I,所以平面GHI平面ABC.因?yàn)镚Hu平面GHI,所以GH平面ABC.（2）

41、解連接00,則00 _L平面ABC.乂 AB=BC,且AC是圓0的直徑,所以B01AC.以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題意得6（0, 2亞0）,。（-2/瓦0, 0）.過點(diǎn)F作FM垂宜0B于點(diǎn)M, 所以 EZFB2-BM2% 可得 5(0, 3, 3) .設(shè)m二（崗% z）是平面吩的一個(gè)法向量.故就=(-2亞-2悔,0)歷=(0, -V3, 3).:瓢:可得- 2 岳-2 舟=0, 一/可 + 3z = 0.可得平面及少的一個(gè)法向量m1, 1,程）.因?yàn)槠矫嬖?。的一個(gè)法向量n=（0, 0, 1）,所以cosL4K m = 0 底1 + 3yl + y/3z1 =

42、0,取 m=(V5, 0, -1);由回.幾=0,得產(chǎn)+ 3y2=2，C4K * n = 0(、2 + 3y2 + *322 = 0,取 n=(3, 2于是,cos m n =. m 9 n 4所以，二面角5-47-尸的平面角的余弦值為亙. 428. (2016 全國 3 理 T19)如圖，四棱錐 P-ABCD 中，PA _L 底面 ABCD, AD /BC, AB=AD二AC二3, PA=BO4, M 為線段 AD 上一點(diǎn),AM=2MD, N 為 PC 的中點(diǎn).證明:MN 平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【解析】（1）證明山已知得出閆砂2取外的中點(diǎn)7；連接烈山為產(chǎn)。中

43、點(diǎn)知TN/B& TNBC=Q. 2乂 ADBC,故 TN AM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN/7AT.因?yàn)锳Tu平面PAB, MNQ平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解取 BC 的中點(diǎn) E,連接 AE. Ill AB=AC 得 AEBC,從而 AEJ_AD, 且 AE=4aB2-BE2 = JaB2-管)2 =底以A為坐標(biāo)原點(diǎn),力三的方向?yàn)閄軸正方向，建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.2y-4z = 0, 梟+y 一由 題意知，?(0, 0, 4), (0, 2, 0), C( V5 ,2,0), N 俘，1,2)，兩 二(0,2, Y), PN = (f, AN 2),設(shè) n=(8 y, z)為平面 /W 的法向量,=0 =0可取 n=(0, 2,1).于是 cos 一”.變 =. n AN 2529. (2015全國2理T19)如圖，長方體ABCD-AQD,中,嬌16,比=10, AA 點(diǎn)E F分別在4瓦,C上,4二尸過點(diǎn)E尸的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形