概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案浙江大學(xué)主編

1、第一章 概率論的基本概念注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1解：該試驗(yàn)的結(jié)果有9個(gè)：（0，a），（0，b），（0，c），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c）。所以，（1） 試驗(yàn)的樣本空間共有9個(gè)樣本點(diǎn)。（2） 事件a包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者，少量吸煙的身體健康者，吸煙較多的身體健康者。即a所包含的樣本點(diǎn)為（0，a），（1，a），（2，a）。（3） 事件b包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者，不吸煙的身體一般者，不吸煙的身體有病者。即b所包含的樣本點(diǎn)為（0，a），（0，b），（0，c）。2、解 （1）或；（2）（提示：題目等價(jià)于，至少有2個(gè)發(fā)生，與（1）相似

2、）；（3）；（4）或；（提示：，至少有一個(gè)發(fā)生，或者不同時(shí)發(fā)生）；3（1）錯(cuò)。依題得,但，故a、b可能相容。（2） 錯(cuò)。舉反例（3） 錯(cuò)。舉反例（4）對(duì)。證明：由,知 ,即a和b交非空，故a和b一定相容。4、解（1）因?yàn)椴幌嗳?，所以至少有一發(fā)生的概率為：(2) 都不發(fā)生的概率為：；（3）不發(fā)生同時(shí)發(fā)生可表示為：，又因?yàn)椴幌嗳?，于是?解：由題知,.因得，故a,b,c都不發(fā)生的概率為 .6、解 設(shè)“兩次均為紅球”，“恰有1個(gè)紅球”，“第二次是紅球”若是放回抽樣，每次抽到紅球的概率是：，抽不到紅球的概率是：，則（1）；（2）；（3）由于每次抽樣的樣本空間一樣，所以：若是不放回抽樣，則（1）；（2）

3、；（3）。7解：將全班學(xué)生排成一排的任何一種排列視為一樣本點(diǎn)，則樣本空間共有個(gè)樣本點(diǎn)。（1） 把兩個(gè)“王姓”學(xué)生看作一整體，和其余28個(gè)學(xué)生一起排列共有個(gè)樣本點(diǎn)，而兩個(gè)“王姓”學(xué)生也有左右之分，所以，兩個(gè)“王姓”學(xué)生緊挨在一起共有個(gè)樣本點(diǎn)。即兩個(gè)“王姓”學(xué)生緊挨在一起的概率為。（2） 兩個(gè)“王姓”學(xué)生正好一頭一尾包含個(gè)樣本點(diǎn)，故兩個(gè)“王姓”學(xué)生正好一頭一尾的概率為。8、解（1）設(shè)“1紅1黑1白”，則；（2）設(shè)“全是黑球”，則；（3）設(shè)第1次為紅球，第2次為黑球，第3次為白球”，則。9解：設(shè),.若將先后停入的車位的排列作為一個(gè)樣本點(diǎn)，那么共有個(gè)樣本點(diǎn)。由題知，出現(xiàn)每一個(gè)樣本點(diǎn)的概率相等，當(dāng)發(fā)生時(shí)

4、，第i號(hào)車配對(duì)，其余9個(gè)號(hào)可以任意排列，故（1）。（2）1號(hào)車配對(duì)，9號(hào)車不配對(duì)指9號(hào)車選28號(hào)任一個(gè)車位，其余7輛車任意排列，共有個(gè)樣本點(diǎn)。故.(3) ，表示在事件：已知1號(hào)和9號(hào)配對(duì)情況下，28號(hào)均不配對(duì)，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為28號(hào)車隨即停入28號(hào)車位。記，。則。由上知，（），（）。則故。10、解 由已知條件可得出:；（1）；（2）于是 ；（3）。11解：由題知,則 12、解 設(shè)該職工為女職工，該職工在管理崗位，由題意知，所要求的概率為（1）；（2）。13、解： 14、解 設(shè)此人取的是調(diào)試好的槍 ，此人命中，由題意知：，所要求的概率分別是：（1）；（2）。15解：設(shè)，則,(1) （2） 16、解

5、 設(shè)，分別為從第一、二組中取優(yōu)質(zhì)品的事件，分別為第一、二次取到得產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的事件，有題意知：，（1） 所要求的概率是：（2）由題意可求得：所要求的概率是：。17解：（1）第三天與今天持平包括三種情況：第2天平，第3天平；第2天漲，第3天跌；第2天跌，第3天漲。則（2） 第4天股價(jià)比今天漲了2個(gè)單位包括三種情況：第2天平，第3、4天漲；第2、4天漲，第3天平；第2、3天漲，第4天平。則。19(1)對(duì)。證明：假設(shè)a,b不相容，則。而，即，故，即a,b不相互獨(dú)立。與已知矛盾，所以a,b相容。（2） 可能對(duì)。證明：由,知 ,與可能相等，所以a,b獨(dú)立可能成立。（3）可能對(duì)。（4）對(duì)。證明：若a,b不

6、相容，則。而，即，故，即a,b不相互獨(dú)立。18、證明：必要條件由于，相互獨(dú)立， 根據(jù)定理1.5.2知，與也相互獨(dú)立，于是：，即 充分條件由于及，結(jié)合已知條件，成立化簡(jiǎn)后，得：由此可得到，與相互獨(dú)立。20、解 設(shè)分別為第個(gè)部件工作正常的事件，為系統(tǒng)工作正常的事件，則（1）所要求的概率為：（2） 設(shè)為4個(gè)部件均工作正常的事件，所要求的概率為：。（3）。21解：記，（1） （2）（3）22、解 設(shè)=照明燈管使用壽命大于1000小時(shí)，=照明燈管使用壽命大于2000小時(shí)，=照明燈管使用壽命大于4000小時(shí)，由題意可知，（1） 所要求的概率為：；（2）設(shè)分別為有個(gè)燈管損壞的事件（），表示至少有3個(gè)損壞的概

7、率，則所要求的概率為：23解：設(shè)，則,（1） （2） 記，則 第二章 隨機(jī)變量及其概率分布注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1解：x取值可能為2,3,4,5,6，則x的概率分布律為： ；。2、解 （1）由題意知，此二年得分?jǐn)?shù)可取值有0、1、2、4，有，從而此人得分?jǐn)?shù)的概率分布律為： 0 1 2 4 0.8 0.16 0.032 0.008（2）此人得分?jǐn)?shù)大于2的概率可表示為：；(3)已知此人得分不低于2，即，此人得分4的概率可表示為：。3解：（1）沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是；（2） 每一期沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是， n期沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是。4、解（1）用表示男嬰的個(gè)數(shù)，則可取值有0、1、2、3，至少有1名男

8、嬰的概率可表示為：；（2）恰有1名男嬰的概率可表示為：；（3）用表示第1，第2名是男嬰，第3名是女嬰的概率，則；（4）用表示第1，第2名是男嬰的概率，則。5解：x取值可能為0,1,2,3；y取值可能為0,1,2,3，。y取每一值的概率分布為：，。6、解 由題意可判斷各次抽樣結(jié)果是相互獨(dú)立的，停止時(shí)已檢查了件產(chǎn)品，說(shuō)明第次抽樣才有可能抽到不合格品。的取值有1、2、3、4、5，有，；（2）。7解：（1），。（2） 診斷正確的概率為。（3） 此人被診斷為有病的概率為。7、解 （1）用表示診斷此人有病的專家的人數(shù)，的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的條件下，診斷此人有病的概率為：在此人無(wú)病的條件下

9、，診斷此人無(wú)病的概率為：（2）用表示診斷正確的概率，診斷正確可分為兩種情況：有病條件下診斷為有病、無(wú)病條件下診斷為無(wú)病，于是：；（3）用表示診斷為有病的概率，診斷為有病可分為兩種情況：有病條件下診斷此人為有病、無(wú)病條件下診斷此人為有病，于是：；8、解 用表示恰有3名專家意見(jiàn)一致，表示診斷正確的事件，則所求的概率可表示為：9解：（1）由題意知，候車人數(shù)的概率為，則，從而單位時(shí)間內(nèi)至少有一人候車的概率為，所以解得則。所以單位時(shí)間內(nèi)至少有兩人候車的概率為。（2） 若，則，則這車站就他一人候車的概率為。10、解 有題意知，其中（1）10：00至12：00期間，即，恰好收到6條短信的概率為：；（2）在1

10、0：00至12：00期間至少收到5條短信的概率為：于是，所求的概率為：。11、解：由題意知，被體檢出有重大疾病的人數(shù)近似服從參數(shù)為的泊松分布，即，。則至少有2人被檢出重大疾病的概率為。12、解 （1）由于，因此的概率分布函數(shù)為：，（2）13、解：（1）由解得。（2） 易知時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，x的分布函數(shù)為（3） 。（4） 事件恰好發(fā)生2次的概率為。14、解 （1）該學(xué)生在7：20過(guò)分鐘到站，由題意知，只有當(dāng)該學(xué)生在7：207：30期間或者7：407：45期間到達(dá)時(shí)，等車小時(shí)10分鐘，長(zhǎng)度一共15分鐘，所以：；（2）由題意知，當(dāng)該學(xué)生在7：207：25和7：357：45到達(dá)時(shí)，等車時(shí)間大于5

11、分鐘又小于15分鐘，長(zhǎng)度為15分鐘，所以：；（3）已知其候車時(shí)間大于5分鐘的條件下，其能乘上7：30的班車的概率為：其中 ，于是。15、解：由題知，x服從區(qū)間上的均勻分布，則x的概率密度函數(shù)為在該區(qū)間取每個(gè)數(shù)大于0的概率為，則，。16、解（1）（2）（3）17、解：他能實(shí)現(xiàn)自己的計(jì)劃的概率為。18、解 （1），有題意知，該青年男子身高大于170cm的概率為：（2）該青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率為：（3）該青年男子身高小于172cm的概率為：。19、解：系統(tǒng)電壓小于200伏的概率為，在區(qū)間的概率為，大于240伏的概率為。（1） 該電子元件不能正常工作的概率為。（2） 。（3）

12、 該系統(tǒng)運(yùn)行正常的概率為。20、解 （1）有題意知：于是 ，從而得到側(cè)分位點(diǎn) ；（2），于是 ，結(jié)合概率密度函數(shù)是連續(xù)的，可得到側(cè)分點(diǎn)為 ；（3）于是 ，從而得到側(cè)分位點(diǎn)為 。21、解：由題意得，則，解得，。22、解 （1）由密度函數(shù)的性質(zhì)得：所以 ；（2）令 ，上式可寫為：。23解：（1）易知x的概率密度函數(shù)為（2） a等待時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率是。（3） 等待時(shí)間大于8分鐘且小于16分鐘的概率是。24、解 用，分別表示甲、乙兩廠生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品的壽命，用表示從這批混合產(chǎn)品中隨機(jī)取一件產(chǎn)品的壽命，則該產(chǎn)品壽命大于6年的概率為：（2）該產(chǎn)品壽命大于8年的概率為：所求的概率為： 。25、解：（1

13、）由題知，（2） .（3） 每天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為， 則每一周至少有6天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為。26、解 （1）這3只元件中恰好有2只壽命大于150小時(shí)的概率為：，其中 于是 ；（2）這個(gè)人會(huì)再買，說(shuō)明這3只元件中至少有2只壽命大于150小時(shí)，這時(shí)所求的概率為：。27、解：依題知，y的分布律為，28、解 （1）由密度函數(shù)的性質(zhì)可得：于是 （2）設(shè)，的分布函數(shù)分別為：，的概率密度為，有那么， ；（3）設(shè)的分布函數(shù)為：。當(dāng)，顯然。當(dāng)，有，于是有 從而，的概率密度為： ，的分布函數(shù)為：。29、解：（1）依題知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，t的概率分布函數(shù)為（2） 。30、解 由題意知，即的概率

14、密度為：設(shè)，的分布函數(shù)分別為：，其中。有當(dāng)，顯然有。當(dāng)那么 。31解：由題意知，x的概率分布函數(shù)為則 32、解 由題意知，即的概率密度為：設(shè)，的分布函數(shù)分別為：，其中。當(dāng)，顯然有。當(dāng)，有那么 。33解：（1）由題意知，解得。（2） 的反函數(shù)為，則 34、解 設(shè)，的分布函數(shù)分別為：，。由，容易得出：當(dāng)，有。當(dāng)，有，從而求得的概率密度：；又 ，于是從而 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、解 互換球后，紅球的總數(shù)是不變的，即有，的可能取值有：2，3，4，的取值為：2，3，4。則的聯(lián)合分布律為：由于，計(jì)算的邊際分布律為：2解： 因事件與事件相互獨(dú)立，則,即 由，解得

15、。3、解 利用分布律的性質(zhì)，由題意，得計(jì)算可得：于是的邊際分布律為：的邊際分布律為，4解：（1）由已知，則，。（2）5、解 （1）每次拋硬幣是正面的概率為0.5，且每次拋硬幣是相互獨(dú)立的。由題意知，的可能取值有：3，2，1，0，的取值為：3，1。則的聯(lián)合分布律為：，的邊際分布律為：，的邊際分布律為：（2）在的條件下的條件分布律為：，6解：（），。（） ，。（） ，。7、解 （1）已知，。由題意知，每次因超速引起的事故是相互獨(dú)立的，當(dāng)時(shí)，。于是的聯(lián)合分布律為：，（；）（2）的邊際分布律為：，即。（該題與41頁(yè)例3.1.4相似）解：（）可取值為，。（） ，。9、解 (1)由邊際分布函數(shù)的定義，知（

16、2）從和的分布函數(shù)，可以判斷出和都服從兩點(diǎn)分布，則的邊際分布律為： 0 1 0.3 0.7 的邊際分布律為 0 1 0.4 0.6 （3） 易判斷出，所以的聯(lián)合分布律為：。解：(1)，。（2） 當(dāng)或時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，。所以，的聯(lián)合分布函數(shù)為11、解 由的聯(lián)合分布律可知，在的條件下，的條件分布律為：因此在的條件下，的條件分布函數(shù)為12解：設(shè)，則，時(shí)，即。所以的聯(lián)合分布函數(shù)為13，解 由的性質(zhì)，得：，所以 （2）設(shè)，則（3）設(shè)，則14解：（1）由得。（2） 由（1）知，則15、解 （1）由題意，知當(dāng)，當(dāng) ，所以：；當(dāng) ，當(dāng)， 所以 ：；（2）當(dāng)時(shí)，有（3）當(dāng)已知時(shí)，由的公式可以判

17、斷出，的條件分布為上的均勻分布。16解：（1）由得，（2）當(dāng)時(shí)，（3） 。17、解 （1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以 ；（2）當(dāng)時(shí)（3）當(dāng)時(shí)，所以 。18解：（1）因，所以（2）19、解 設(shè)事故車與處理車的距離的分布函數(shù)為，和都服從（0，m）的均勻分布，且相互獨(dú)立，由題意知：當(dāng)時(shí)， ，有所以的概率密度函數(shù)為：20解：由題意得，即（1）（2）（3） 同理得，所以，故和不獨(dú)立。21、解 （1）設(shè)，的邊際概率密度分別為，由已知條件得，（計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)例3.3.5）（2）有條件概率密度的定義可得： 在的條件下，的條件概率密度為：（3）22解：（1） ， ，（2） 當(dāng)時(shí)，與，與均獨(dú)立，則所以，即與獨(dú)立

18、。23、解 設(shè)表示正常工作的時(shí)間。由題意知（），即。設(shè)是設(shè)備正常工作時(shí)間的概率分布函數(shù)，是概率密度函數(shù)。則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，。于是：同時(shí)可求得：。24解：（1），。所以，（2）所以，。25、解 設(shè)，分別是，的概率密度。利用公式（3.5.5），由題意得：，。26解： 27、解 設(shè)為一月中第天的產(chǎn)煤量（），是一月中總的產(chǎn)煤量。由于，且相互獨(dú)立，因此有，即。于是，28解： 所以，。29、解 （1）由于（），且相互獨(dú)立，因此有（見(jiàn)例3.5.1），由題意知，得（2）所求的概率為：（3）由題意可求：及于是所求的概率為：30解：，。，。，。31、解 設(shè)的概率密度函數(shù)為。（1）串聯(lián)當(dāng)時(shí)計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，顯然有。因此的概率

19、密度函數(shù)為為：（2）并聯(lián)當(dāng)時(shí)計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，顯然有。因此的概率密度函數(shù)為為：（3）備份由題意知，于是當(dāng)時(shí)，顯然有。當(dāng)時(shí)從而所求的概率密度函數(shù)為：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)32解：令，則 所以，33、解 （1）由題意得，對(duì)獨(dú)立觀察次，次觀察值之和的概率分布律為：，（2）的可能取值為：0，1，的可能取值為：0，1，因此的聯(lián)合分布律為：34解：令，則 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、 解 每次抽到正品的概率為：，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次數(shù)為：2、方案一：平均年薪為3萬(wàn)方案二：記年薪為x，則，故應(yīng)采用方案二3 、解 由于：所以的數(shù)學(xué)期望不存在。4、，。5、 解 每次向右移動(dòng)的概率

20、為，到時(shí)刻為止質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的平均次數(shù)，即的期望為：時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置的期望為：6、不會(huì)7 、解 方法 1：由于，所以為非負(fù)隨機(jī)變量。于是有：方法二：由于，所以，可以求出t的概率函數(shù)：于是8、，（1）（2）（3） 。9解 設(shè)棍子上的點(diǎn)是在0,1之間的，q點(diǎn)的位置距離端點(diǎn)0的長(zhǎng)度為q。設(shè)棍子是在t點(diǎn)處跌斷，t服從0,1的均勻分布。于是：包含q點(diǎn)的棍子長(zhǎng)度為t，則：，于是包q點(diǎn)的那一段棍子的平均長(zhǎng)度為：10、，即先到的人等待的平均時(shí)間為20分鐘。11、解 (i)每個(gè)人化驗(yàn)一次，需要化驗(yàn)500次（ii）分成k組，對(duì)每一組進(jìn)行化驗(yàn)一共化驗(yàn)次，每組化驗(yàn)為陽(yáng)性的概率為：，若該組檢驗(yàn)為陽(yáng)性的話，需對(duì)每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)

21、需要k次，于是該方法需要化驗(yàn)的次數(shù)為：。將（ii）的次數(shù)減去（i）的次數(shù)，得：于是：當(dāng)時(shí)，第二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)時(shí)，第一種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)時(shí)，二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)一樣多。12、。13、解 由題意知：，（1） 計(jì)算可得（2） a的位置是（x，y），距中心位置（0，0）的距離是：，于是所求的平均距離為： 14、（1）時(shí)，時(shí)，由得，。（2） ，。15、解 于是：16、記為進(jìn)入購(gòu)物中心的人數(shù)，為購(gòu)買冷飲的人數(shù)，則 故購(gòu)買冷飲的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，易知期望為。17、解：由題意知 ，其中。于是從而于是：又從而18、 .19、解 20、 ，21、解 (1)設(shè)p表示從產(chǎn)品取到非正品的概

22、率，于是有：，用x表示產(chǎn)品中非正品數(shù)，x服從二項(xiàng)分布b(100，0.06)，有：（參考77頁(yè)的例4.2.5）（3） 用y表示在該條件下正品數(shù)，y服從二項(xiàng)分布b(100,0.98)，于是22、 （1） （2） 23、解 證明：24、 （1）故服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故，。故。（2），故。（3) ，25、解（1）由相關(guān)系數(shù)的定義，得：，其中通過(guò)計(jì)算得，即，從而說(shuō)明是不相關(guān)的。（2）很顯然，不是相互獨(dú)立的。26、(1)，同理，故和正相關(guān)。又，故和不獨(dú)立。（2）故，即和不相關(guān)。又 所以，故和相互獨(dú)立。27、解（1）由題意得：，結(jié)合已知條件，可求出：，由于a和b是獨(dú)立同分布的，于是（a,b）的聯(lián)合分布律為

23、： a b p(a=i) 1/16 1/8 1/16 1/4 1/8 1/4 1/8 1/2 1/16 1/8 1/16 1/4（2）（3），其中所以：，說(shuō)明a和c是負(fù)相關(guān)的。28（1）不會(huì)寫（2）（3） ，。29.解 （1）證明：由于x和y相互獨(dú)立，于是由題意得從而有（2）當(dāng)時(shí)，和是不相關(guān)的；當(dāng)，即時(shí)，說(shuō)明和是正相關(guān)的當(dāng)，即時(shí)，說(shuō)明和是負(fù)相關(guān)的顯然，和是 不獨(dú)立的30 （1），故和不獨(dú)立。（2） 故和正相關(guān)。31、解 （1）泊松分布的表示式為：，于是通過(guò)計(jì)算有：故：因此若為正整數(shù)，則眾數(shù)為和-1；當(dāng)不為正整數(shù)時(shí)，則眾數(shù)為的整數(shù)部分。32 （1）由知，和不相關(guān)，等價(jià)于和相互獨(dú)立。，和分別為和的

24、標(biāo)準(zhǔn)化變量。 （2) 時(shí)，則（3） 因，故定義知的中位數(shù)為，眾數(shù)為。（4）故或時(shí)，和不相關(guān)。又正態(tài)分布的獨(dú)立性與相關(guān)性相同，故或時(shí)，和獨(dú)立且不相關(guān)，否則不獨(dú)立且相關(guān)。33、解 （1）由題意可知：，說(shuō)明 ，說(shuō)明 ，說(shuō)明 （2）對(duì)于二維正態(tài)而言，兩變量不相關(guān)等價(jià)于兩變量獨(dú)立。由于，所以與相關(guān)且不獨(dú)立 由于，所以與相關(guān)且不獨(dú)立由于，所以與不相關(guān)且獨(dú)立從而（由88頁(yè)性質(zhì)4）可以判斷出，與不相互獨(dú)立（3）計(jì)算有，于是，其中，第5章 大數(shù)定律及中心極限定理注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、 解（1）由于，且，利用馬爾科夫不等式，得（2），利用切比雪夫不等式，所求的概率為：2、解：，3、 解 服從參數(shù)為

25、0.5的幾何分布，可求出于是令，利用切比雪夫不等式，得有從而可以求出4、解：，。則，。，。，所以。5、 解 服從大數(shù)定律。由題意得：由根據(jù)馬爾科夫大數(shù)定律，可判斷該序列服從大數(shù)定律的。6、解：（1），則連續(xù)。，則，有，則，。（2） 連續(xù)，則，有，則，。（3），故(4)原式依概率收斂，即 7 解 （1）由題意得：根據(jù)推論5.1.4，可求得（2）由題意得：，根據(jù)中心極限定理，可知（3） ，利用中心極限定理，可知從而8、解：，9、解 （1）由題意得：記，引入隨機(jī)變量，且于是服從二項(xiàng)分布：方法一：（y的精確分布）方法二（泊松分布）近似服從參數(shù)為的泊松分布方法三：（中心極限定理）近似服從于是： （2）設(shè)

26、至少需要n次觀察記，這時(shí)于是近似服從經(jīng)查表有，從而求得n=11710、解：，則 11 、解 （1）由題意得，引入隨機(jī)變量，且所求的概率為：（2）用表示第i名選手的得分，則并且同時(shí)，于是所求的概率為：第6章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、解：易知的期望為，方差為，則，所以，。2、解 （1）由題意得：（2）服從正態(tài)分布，其中：，從而 由于，且相互獨(dú)立，因此：由于，所以由于，所以（3）由于，以及，因此有：3、解：（1） 故（2） 4、解 用表示的估計(jì)值，則。由題意得：經(jīng)查表有：5、解：（1），因，故，所以。（2） 因，故，由分布函數(shù)的的右連續(xù)性知，即。（3） 因，故故6、解

27、（1）由題意得：，于是：（2）由于，即，于是7、解：， ， ，顯然，和相互獨(dú)立。則，取，則8、 解 由題意得：，以及，從而有，即9、解：（1）和相互獨(dú)立，（2）因，則10、解 （1）由題意得：，從而，（2）由題意可計(jì)算：（3）近似服從正態(tài)分布，于是11、解：，12、 解 （1），（2），（3），13、解：和是統(tǒng)計(jì)量，則，則。14、解由題意得：，于是：，從而：15、解：和分別是總體的期望和方差的無(wú)偏估計(jì)。又，故，。16、解（1）由于，且相互獨(dú)立，以及，因此：，（2）由于，所以同時(shí)（3）由題意得：從而求得：（4）由（3）知：，又和，于是，從而化簡(jiǎn)后求得：17、解：，且和相互獨(dú)立。則，則，又為連續(xù)分

28、布，故。第七章 參數(shù)估計(jì)注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤） 1、 解 由，可得的矩估計(jì)量為，這時(shí)，。3、 解 由，得的矩估計(jì)量為：。建立關(guān)于的似然函數(shù)：令，得到的極大似然估計(jì)值：4、解：矩估計(jì)：，,故解得為所求矩估計(jì)。極大似然估計(jì)：，解得即為所求。5、 解 由，所以得到的矩估計(jì)量為建立關(guān)于的似然函數(shù)：令，求得到的極大似然估計(jì)值：6、解：(1)，由得為的矩估計(jì)量。令得，所以的極大似然估計(jì)為。(2)，令得為的矩估計(jì)量。，令得為的極大似然估計(jì)。(3) ，令得為的矩估計(jì)量。令得，為的極大似然估計(jì)。(4) ，令得為的矩估計(jì)量。，因，要使最大，則應(yīng)取最大。又不能大于，故的極大似然估計(jì)為(5) ，故。，由和

29、得為的矩估計(jì)量。則令得為的極大似然估計(jì)。7、 解 （1）記，由題意有根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性可得概率的極大似然估計(jì)為：（2） 由題意得：，于是經(jīng)查表可求得的極大似然估計(jì)為8、(1)，(2)則即為所求。9、 解 由題意得及所以和都是的無(wú)偏估計(jì)量又：以及有，說(shuō)明更有效。10、(1)依題，與相互獨(dú)立，故是的無(wú)偏估計(jì)的充要條件為(2) 記個(gè)樣本的方差為，則，故，故要使為最有效估計(jì)，只須使在的條件下取最小值即可。令由得即為所求。11、 解 由題意可以求出：。建立建立關(guān)于的似然函數(shù)：，于是有：令，得到的極大似然估計(jì)值：。又：，無(wú)偏的。12、，故為的矩估計(jì)量，且為無(wú)偏估計(jì)。顯然關(guān)于單調(diào)遞減。故取最小值時(shí)最大

30、。又不小于，故為的極大似然估計(jì)。又，故即故為的有偏估計(jì)。13、 解 ，于是得的矩估計(jì)量為：。建立建立關(guān)于的似然函數(shù)：，若使其似然函數(shù)最大，于是可以求出的極大似然估計(jì)值：。(2)由，可計(jì)算。設(shè)，那么，當(dāng)時(shí)，于是從而：因此和都是的無(wú)偏估計(jì)量。又由于，所以比更有效。14、(1)，為的單調(diào)遞增函數(shù)，故取最大值時(shí)取最大值。又不大于，故為的極大似然估計(jì)。因易知所以，即是的有偏估計(jì)。是的無(wú)偏估計(jì)。(2) ，則是的矩估計(jì)量且為無(wú)偏估計(jì)。(3)，故比更有效。(4) 由切比雪夫不等式知，故與為的相合估計(jì)。15、解 由于 ，可求出的矩估計(jì)量為：又根據(jù)的似然函數(shù)：，令，得到的極大似然估計(jì)量：因此既是的矩估計(jì)量，也是極

31、大似然估計(jì)量。（2） ，以及。用作為的估計(jì)量，其均方誤差為：于是，取時(shí)，在均方誤差準(zhǔn)則下，比更有效。16、(1)，故為的矩估計(jì)量，且為無(wú)偏估計(jì)。故，故為的相合估計(jì)。(2)易知為的單調(diào)遞減函數(shù)，故取最小值時(shí)，取最大值。又不小于，故為的極大似然估計(jì)。故，故為的有偏估計(jì)。所以故為的相合估計(jì)。17、 解 （1）只對(duì)x做一次觀察。由題意得：x的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)以及其聯(lián)合概率密度函數(shù)分別為：，從而的條件概率密度函數(shù)為，于是的貝葉斯估計(jì)為：（2）對(duì)x做三次觀察。由題意得：的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)以及其聯(lián)合概率密度函數(shù)分別為：，從而的條件概率密度函數(shù)為：，于是的貝葉斯估計(jì)為：18、(1)因與參數(shù)無(wú)關(guān)，故可取

32、為關(guān)于的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題的樞軸量。(2) 設(shè)常數(shù)，滿足，即此時(shí)，區(qū)間的平均長(zhǎng)度為，易知，取，時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng)度最短，從而的置信水平為的置信區(qū)間為。19、 解 由題意得：，由題意得：的矩估計(jì)量為：。由題意得：，設(shè)存在兩個(gè)數(shù)和，使得：，即，經(jīng)查表得到，于是的置信水平為80%的雙側(cè)置信區(qū)間為：（20、易知的置信水平為95%的置信區(qū)間為將，代入得的置信水平為95%的置信區(qū)間為。21、 解設(shè)， 由題意得，由給定的置信水平95%，利用excel得到，所以的置信水平為95%的置信區(qū)間為：22、 的置信水平為99%的置信區(qū)間為將，及的值代人得的置信水平為99%的置信區(qū)間為。23、 解 由題意得，于是的置信水平為90%

33、的置信區(qū)間為：24 、已知，(1) 的置信水平為95%的置信區(qū)間為其中，查excel表得的值，將各值代人得的置信水平為95%的置信區(qū)間為(2) 依題，故可認(rèn)為無(wú)顯著差異。25、 解 （1）設(shè)和分別是第一種和第二種機(jī)器的平均分鐘，取的無(wú)偏估計(jì)為，由于兩個(gè)總體的方差相等，所以有，根據(jù)已知條件知，可以求得于是，的置信水平為95%的置信區(qū)間為：（2） 從第一問(wèn)的結(jié)果可以看出有顯著差異。26、，(1) 的置信水平為95%的置信區(qū)間為查excel表得和的值，將各值代人得的置信水平為95%的置信區(qū)間為(2) 這些資料不足于說(shuō)明不同于。28易知置信水平為的置信區(qū)間為由已知資料計(jì)算得，故所求的置信區(qū)間為。27、

34、解 （1）設(shè)和分別是郊區(qū)a和郊區(qū)b的居民收入方差，則：，根據(jù)已知條件知，于是，的置信水平為95%的置信區(qū)間為：可見(jiàn)兩郊區(qū)居民收入的方差有顯著差異，郊區(qū)b居民的貧富差距程度比郊區(qū)a居民嚴(yán)重。（2）設(shè)和分別是郊區(qū)a和郊區(qū)b的居民平均收入，取的無(wú)偏估計(jì)為，由于兩個(gè)總體的方差相等，所以有，可以求得于是，的置信水平為95%的置信區(qū)間為：，可見(jiàn)，兩郊區(qū)居民的平均收入方差有顯著差異，郊區(qū)a居民平均收入比郊區(qū)b居民低。第八章 假設(shè)檢驗(yàn)注意： 這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1 、解 由題意知：（1）對(duì)參數(shù)提出假設(shè)：， （2）當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，又樣本實(shí)測(cè)得，于是（3）由（2）知，犯第i類錯(cuò)誤的概率為0.0207（

35、4）如果時(shí)，經(jīng)查表得，于是（5）是。2、 故將希望得到支持的假設(shè)“”作為原假設(shè)，即考慮假設(shè)問(wèn)題 ：，：因未知，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，由樣本資料，和代入得觀察值，拒絕域?yàn)?，查分布表得，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該廣告是真實(shí)的。3、 解（1）由題意得，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其拒絕域?yàn)楫?dāng)時(shí)，犯第ii類錯(cuò)誤的概率為：（2），當(dāng)未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，檢驗(yàn)犯第i類錯(cuò)誤的概率為：4、 (1)提出假設(shè)：，：建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中在顯著水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?，由樣本資料得觀察值，故有顯著差異。(2) 的95%的置信區(qū)間為，由樣本資料得的95%的置信區(qū)間為(3) 。5、 解 （1）。由題意得，樣本測(cè)得的值為，經(jīng)查表得，于

36、是均值的95%的置信區(qū)間為：（2）全國(guó)男子身高的平均值是169.7，從（1）中的結(jié)果中，可以看出該地區(qū)男子的身高明顯低于全國(guó)水平。6、 假設(shè)兩組數(shù)據(jù)均來(lái)自正態(tài)總體，設(shè)表示服用減肥藥前后體重均值的差，將減肥藥無(wú)效即“”作為原假設(shè)，即考慮假設(shè)問(wèn)題：，：由數(shù)據(jù)資料可知減肥前后數(shù)據(jù)分散程度變化不大，故可以為兩總體方差相等，因此可采用檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，其中，由樣本資料得，分布自由度為，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為，值為，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該藥的減肥效果明顯。7、 解 由題意得，建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇建設(shè)：， 又。當(dāng)未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，又樣本實(shí)測(cè)得，于是利用excel計(jì)算得所以有充分的理由拒絕原假設(shè)，不需要退

37、貨。8、 (1) 因檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，故的置信水平為95%的置信區(qū)間為，將，代入得，即為所求。(2) ，當(dāng)成立時(shí)，拒絕域?yàn)榛?，將，代入得，觀察值，故接受。9、 解 （1）由樣本資料。建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)：， 由于未知，取檢驗(yàn)量，將樣本資料有：得到觀察值。利用excel計(jì)算得。由的值沒(méi)有充分的理由拒絕原假設(shè)，即沒(méi)有充分的理由認(rèn)為（2）由題意知，于是的95%的置信區(qū)間為：10、 假設(shè)：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，其中。當(dāng)成立時(shí)，由樣本資料得，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為，值為，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為。11、 解 (1)相同設(shè)和分別是甲、乙兩人頁(yè)出錯(cuò)字?jǐn)?shù)，并且分別服從正態(tài)分布和。建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)：， 取檢驗(yàn)

38、統(tǒng)計(jì)量為，當(dāng)成立時(shí)，。根據(jù)樣本資料計(jì)算結(jié)果如下：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為。利用excel得，即，因此不拒絕，可以認(rèn)為甲、乙兩人頁(yè)出錯(cuò)字?jǐn)?shù)的方差是相同的。（2）在接受方差相等的假設(shè)下，我們采用精確t檢驗(yàn)對(duì)兩組均值進(jìn)行比較，考率兩總體的右邊檢驗(yàn)：， 兩組合樣本方差為，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為，的值，因此我們拒絕原假設(shè)的判斷，從而甲頁(yè)均出錯(cuò)不是顯著少于乙的。12、 (1) 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，當(dāng)成立時(shí)，拒絕域?yàn)?，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值，查表得，即，故接受。(2) 由(1)知，接受，此時(shí)的置信水平為置信區(qū)間為，其中，將樣本數(shù)據(jù)代入得即為所求。13、 解 （1）設(shè)“一周內(nèi)去過(guò)教堂”的人的比例為。由01分布性質(zhì)和中心極限

39、定理，知近似服從，于是，由題意得樣本的觀察值為，從而求得的置信區(qū)間為（詳細(xì)步驟見(jiàn)133頁(yè)）（2）設(shè)， 由（1）的結(jié)果我們有充分的理由接受原假設(shè)，即認(rèn)為不足一半的人去過(guò)教堂。14、 考慮假設(shè)問(wèn)題 ：在中參數(shù)未知，由極大似然法求得參數(shù)的估計(jì)為，則，列表求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值為，查分布表得，故沒(méi)有充分理由拒絕原假設(shè)，即可認(rèn)為符合泊松分布。15、 解 記為數(shù)字i的概率，為檢驗(yàn)過(guò)程中數(shù)字i出現(xiàn)的頻數(shù)，為總試驗(yàn)次數(shù)?？紤]假設(shè)問(wèn)題：這時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為查表得，因此接受16、假設(shè)：，則，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值為，利用excel計(jì)算得，故接受假設(shè)，即認(rèn)為服從幾何分布。17、 解 考慮假設(shè)問(wèn)題：利用極大似然法求得參數(shù)的估計(jì)為。當(dāng)原假設(shè)成立，x的分布函數(shù)為