結構力學課件：結構動力學-6

1、3.1 3.1 自由振動分析自由振動分析自由振動分析的目的是確定體系的動力特性自由振動分析的目的是確定體系的動力特性. .可不計阻尼?？刹挥嬜枘帷Ｒ灰? .運動方程及其解運動方程及其解 0ykym 或或1)(1ty2)(2ty運動方程運動方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設方程的特解為設方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk00)00(2122122211211XXmmkkkk0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk 0)(2Xmk 02

2、mk-頻率方程頻率方程1)(1ty2)(2ty解頻率方程得解頻率方程得 的兩個根的兩個根2 0ykym 或或運動方程運動方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設方程的特解為設方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk00)00(2122122211211XXmmkkkk0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程-振型方程振型方程值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作基本頻率也稱作基本頻率;

3、 ; 值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(21121121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(212121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy1)(1ty2)(2ty解頻率方程得解頻率方程得 的兩個根的兩個根2值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作基本頻率也稱作基本頻率; ; 值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(211

4、21121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy)sin(112111121tXXyy)sin(222212221tXXyy通解通解)sin()sin(22221211211121tXXtXXyy二二. .頻率與振型頻率與振型體系按特解振動時有如下特點體系按特解振動時有如下特點1)1)各質點同頻同步各質點同頻同步; ;21111121111121)sin()sin()()(XXtXtXtyty)sin()sin(112121111111tXytX

5、y11211122111kmkXX2)2)任意時刻任意時刻, ,各質點位移的比各質點位移的比 值保持不變值保持不變定義定義: :體系上所有質量按相同頻率作自由振動時體系上所有質量按相同頻率作自由振動時 的振動形狀稱作體系的主振型。的振動形狀稱作體系的主振型。幾點說明：幾點說明：1.1.按振型作自由振動時，各質點的按振型作自由振動時，各質點的 速度的比值也為常數，且與位移速度的比值也為常數，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(XXtXtXtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動是有條件的發(fā)生按振型的自由振動是有條件的. .211121211121

6、) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界因素無關與外界因素無關. .幾點說明：幾點說明：1.1.按振型作自由振動時，各質點的按振型作自由振動時，各質點的 速度的比值也為常數，且與位移速度的比值也為常數，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(XXtXtXtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動是有條件的發(fā)生按振型的自由振動是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率

7、是體系本身固有的屬性, , 與外界因素無關與外界因素無關. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個頻率和個頻率和N N個振型個振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiXi得得N N個振型個振型 0)(2XmkN N個振型是線性無關的個振型是線性無關的. .5 5。若已知柔度矩陣時。若已知柔度矩陣時6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求

8、振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個頻率和個頻率和N N個振型個振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiXi得得N N個振型個振型 0)(2XmkN N個振型是線性無關的個振型是線性無關的. .振型方程振型方程 0)(2XmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動時按振型振動時)sin()sin(2211t

9、XytXy)sin()sin(222211tXytXy )sin()sin(22222111tXmItXmI5 5。若已知柔度矩陣時。若已知柔度矩陣時6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2XmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動時按振型振動時)sin()sin(2211tXytXy)sin()sin(222211tXytXy )sin()sin(22222111tXmItXmI11X22X121Xm222Xm2222212121222212121111XmXmXXmXmX 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動時，振型可看作是體

10、系按振型振動時，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移三三. .求頻率、振型例題求頻率、振型例題例一例一. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI解解1111122221EIl322112434EIl321124867 02mI0/1/122222111222111mmmm令令21111m01/1112111120)8/7()1 (228/1822692. 5mlEImlEImm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222218/1822692. 5mlEIml

11、EI2222212121222212121111XmXmXXmXmX22212121111XmXmX21112212211mmXX1121111212122111mmXX1122111222122212mmXX1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型2222212121222212121111XmXmXXmXmX22212121111XmXmX21112212211mmXX1121111212122111mmXX1122111222122212mmXX1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型 111X 112X對稱體系的振型分對稱體系的振型分成兩組成兩組: :一

12、組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222211 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111X 112X對稱系的振型分對稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221按對稱振型振動按對稱振型振動m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動按反對稱振型振動1 11 1第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111X 112X對稱系的振型分對

13、稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221按對稱振型振動按對稱振型振動m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動按反對稱振型振動m3/l6/l對稱系的振型分對稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221mm 1mm 23/l3/l3/lEI按對稱振型振動按對稱振型振動m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動按反對稱振型振動m3/l6/l=1=1l/9EIl31148613/045.22mlEI31/692. 5mlEI32/045.22mlEI解解: :例二例二. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmk12k1EI1EI1k20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kk