二次曲面習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1二次曲面習(xí)題課二次曲面習(xí)題課Chap. 4 二次曲面二次曲面(quadric surfaces)(quadric surfaces)空間解析幾何的兩個基本問題： 一、給定曲面，建立方程； 二、給定方程,研究它的圖形及其幾何性質(zhì)。第1頁/共54頁1 1、柱面、柱面 ( (cylinder) )定義定義：一直線L沿一已知曲線C平行移動而得的曲面稱為 柱面柱面。 C 準(zhǔn)線 (directrix ) ， L 母線(ruling )( , )0( , )0,0 . F x zF x zyy方程表示為準(zhǔn)線母線平行于 軸的柱面直柱面：第2頁/共54頁射影柱面射影柱面0),(0),( zyxGzyxF

2、空間曲線依次消去一個變元0),(0),(0),(321zyFzxFyxF射影柱面柱面的參數(shù)方程柱面的參數(shù)方程(parametric equation)（P147 ex4）( ) ( ), ( ), ( ), , ( , )( )r ux uy u z usX Y Zr u vr uvs準(zhǔn)線為母線平行于的柱面為第3頁/共54頁圓錐面圓錐面 直線l1繞另一條與l1相交于O的直線l2旋轉(zhuǎn)一周 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面. O 頂點(diǎn) (vertex) 兩直線的夾角 半頂角 錐面錐面 一直線通過定點(diǎn)O，且沿空間中一條定曲線C 移動所產(chǎn)生的曲面稱為錐面. O 頂點(diǎn) C 準(zhǔn)線（不唯一 ） 動直線 母線（不唯一

3、）2 2、錐、錐 面面 (conical (conical surface)surface)第4頁/共54頁錐面的參數(shù)方程（錐面的參數(shù)方程（P152 ex6）00000( ) ( ), ( ), ( ), ( , )( )(1)r ux uy u z urxyzr u vvr uv r準(zhǔn)線為，頂點(diǎn)向徑為的錐面為第5頁/共54頁3、旋轉(zhuǎn)曲面 (surface of revolution)定義定義：曲線C繞定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 曲面曲面。 l 旋轉(zhuǎn)軸 ， C 母線( , )0:0f y zCzx曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為22( ,) 0fxyz旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程（旋

4、轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程（P158 ex3）2222( ) ( ), ( ), ( ) ( , )( )( )cos ,( )( )sin , ( ) .r ux uy u z uzr u vx uy uvx uy uv z u曲線 ： 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周得到第6頁/共54頁4 4、橢、橢 球球 面面 (ellipsoid)(ellipsoid) （1 1）橢球面的方程）橢球面的方程 )0,(1222222cbaczbyax（2 2）橢球面的性質(zhì)）橢球面的性質(zhì) （1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對稱。 （2）czbyax| ,| ,|并有六個頂點(diǎn) ),0,0( ,)0,0(,)0,0,(cba第7頁/共

5、54頁（3 3）形狀（與三個坐標(biāo)面的交線）：）形狀（與三個坐標(biāo)面的交線）： 012222zbyax(1) 是一個橢圓 (ellipse)012222yczax(2) 是一個橢圓 012222xczby(3) 是一個橢圓 xyzobca第8頁/共54頁（4 4）橢球面的參數(shù)方程橢球面的參數(shù)方程sinsincoscoscosczbyax（廣義球坐標(biāo)系）, 0222第9頁/共54頁5 5、雙曲面、雙曲面 (hyperboloid)(hyperboloid) I I 單葉雙曲面單葉雙曲面 (hyperboloid of one sheet)(hyperboloid of one sheet) 方程：方

6、程： )0,(1222222cbaczbyax性質(zhì)：性質(zhì)： （1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對稱。 （2）有四個頂點(diǎn) )0,0(,)0,0,(ba（3）形狀： 012222zbyax（1） 是一個橢圓 （腰橢圓） xyzo第10頁/共54頁012222yczax（2） 是雙曲線 (hyperbola) 012222xczby（3） 是雙曲線 （4） 是一個橢圓 hzchbyax2222221xyzo第11頁/共54頁IIII雙葉雙曲面雙葉雙曲面 (hyperboloid of two sheets) 方程： 性質(zhì)： （1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對稱。 （2）有兩個頂點(diǎn) （3）形狀：

7、 )0,(1222222cbaczbyax),0,0(c012222yczax012222xczby（6） 是雙曲線 （7） 是雙曲線 第12頁/共54頁)0,(1222222cbaczbyax 參數(shù)方程參數(shù)方程 (P168 ex.7)(1) 單葉雙曲面(2) 雙葉雙曲面)0,(1222222cbaczbyaxsec cossec sintanxauvybuvzcutan costan sinsecxauvybuvzcu第13頁/共54頁6 6、拋、拋 物物 面面 (paraboloid)(paraboloid) I I橢圓拋物面橢圓拋物面(elliptic paraboloid)(ellip

8、tic paraboloid) 方程方程： )0,(22222bazbyax性質(zhì)性質(zhì)： （1）橢圓拋物面對稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面， 對稱于z軸，無對稱中心。 （2）與對稱軸交于原點(diǎn)（0，0，0）， 叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn)。 xyzo第14頁/共54頁（3）形狀： 0222yzax0222xzby（1） 是拋物線 (parabola) （2） 是拋物線 主拋物線主拋物線 （3） 是一個橢圓 容易知道圖形（3）的兩對頂點(diǎn)分別在主拋物線（1）與（2）上。 hzhbyhax2222122xyzo第15頁/共54頁 （4） 是拋物線 tybtzax)2(22222xyzo第16頁/共54頁IIII雙曲拋

9、物面雙曲拋物面 (hyperbolic paraboloid)(hyperbolic paraboloid) 方程方程： 性質(zhì)性質(zhì)： )0,(22222bazbyax（1）橢圓拋物面對稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面， 對稱于z軸，無對稱中心。 （2）形狀： 002222zbyax（5）是一對相交于原點(diǎn)的直線第17頁/共54頁0222yzax0222xzby（6）是拋物線 （7）是拋物線 主拋物線主拋物線 （8）是雙曲線(hyperbola) hzhbyhax2222122tybtzax)2(22222（9） 是拋物線第18頁/共54頁、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線定

10、義：由一族直線生成的曲面稱為直紋面直紋面(ruled surface)這族直線稱為曲面的一族直母線一族直母線。第19頁/共54頁、單葉雙曲面、單葉雙曲面)0,(1222222cbaczbyax不同時為零wubywczaxubyuczaxw, 11u 族直母線不同時為零tvbytczaxvbyvczaxt, 11v 族直母線&對于單葉雙曲面上的每個點(diǎn)，兩族直母線中各有一條 直母線經(jīng)過該點(diǎn)第20頁/共54頁)0,(22222bazbyax、雙曲拋物面、雙曲拋物面 2 2zbyaxvvbyaxorzbyaxuubyax&對于雙曲拋物面上的每個點(diǎn)，兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過該點(diǎn)直母線：第21頁/共

11、54頁定理定理單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面，而雙曲拋物面上異族的任意兩直母線必相交。定理定理單葉雙曲面或雙曲拋物面上同族的任意兩直母線總是異面直線，而且雙曲拋物面上同族的全體直母線平行于同一平面。第22頁/共54頁例例 題題第23頁/共54頁042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx第24頁/共54頁的圓錐面方

12、程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM第25頁/共54頁xy22221xzac分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac繞 z 軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z第26頁/共54頁例 4、求準(zhǔn)線是 ，母線方向?yàn)?的柱面方程。 22250 xyz(5,3,2)s 解：準(zhǔn)線可改寫為( )(5cos ,5sin ,0), 0,2 r uuuu所求柱面方程為(

13、, )(5cos ,5sin ,0)(5,3,2) (5cos5 ,5sin3 ,2 ).r u vuuvuvuvv消去參數(shù) u, v 得2253()()25.22zzxy第27頁/共54頁例 5、求半徑為2，對稱軸為 的圓柱面方程。 234xyz解：在所求圓柱面上任取一點(diǎn) ，( , , )M x y z由|(2,3,4)|2.|(2,3,4)|OM 得222(43 )(24 )(32 )116.yzzxxy第28頁/共54頁例 6、求準(zhǔn)線是 ，頂點(diǎn)為原點(diǎn)的錐面方程。 22xpyzk解：準(zhǔn)線方程為2( )( , ), (,)2ur uukup 所求錐面方程為22( , )( , )(,).22

14、uu vr u vv ukuvkvpp消去參數(shù) u, v 得22.kxpyz第29頁/共54頁例7、由橢球面 的中心，引三條兩兩 互相垂直的射線，分別交曲面于 ，設(shè) ，試證： 2222221xyzabc123,P P P112233,OPr OPr OPr222222123111111.rrrabc（課本P162, ex4）解：設(shè) 的單位向量分別為312,OP OP OP 123123123( ,),( ,),( ,)a a ab b bc c cP1的坐標(biāo)為 ，代入橢球面方程，得 1 11213(,)ra ra ra222312222211.aaarabc第30頁/共54頁同理可得 2223

15、12222222223122222311.bbbrabccccrabc由于 兩兩垂直，知 是正交的矩陣，312,OP OP OP 123123123aaabbbccc于是有222111222222222333111abcabcabc所以222222123111111.rrrabc第31頁/共54頁例 8、試求單葉雙曲面 上互相垂直的兩 直母線交點(diǎn)的軌跡方程。 2222221xyzabc（課本P182, ex8）11: 1xzyuvacbLxzyvuacb 解：過單葉雙曲面上所求軌跡上一點(diǎn) 的兩條直母線分別為L1和L2000(,)xyz當(dāng) 時， 010yb000, 1;xzyuvacb 當(dāng) 時，

16、 010yb0001, .yxzuvbac 第32頁/共54頁L1和L2的方向向量分別為2222122221121(),(),121(),()uvsuvuvbcacabststsstbcacab21: 1xzystacbLxzytsacb 當(dāng) 時， 010yb0001, ;yxzstbac 當(dāng) 時， 010yb000, 1.xzystacb 第33頁/共54頁由 垂直，得 12,s s 222222222222221()()()()0.uvsta uvtsuvsta ca b010yb010yb分別在 和 的情況下，計算上式各項(xiàng)，再整理得所求軌跡均為 2220002222222220001,.

17、xyzabcxyzabc第34頁/共54頁6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t第35頁/共54頁1xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyx第36頁/共54頁r1101:zyxL繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周, 求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程. 解解:在 L 上任取一點(diǎn)

18、), 1 (000zyM軸繞為設(shè)zMzyxM0),(旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn),Lxozy0MM則有00zy z22yx 201y得旋轉(zhuǎn)曲面方程1222zyxr，代入第二方程將zy 0第37頁/共54頁222201xyyyz1) 1() 1(1:222222zyxzyxC002222zyyx第38頁/共54頁zxyo1C所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域。上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:第39頁/共54頁22yxz221zxyxyz 221xyxy2210 xyxyz 求曲線繞 z

19、軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 1zyx解：解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 2yz 0 x,它與所給平面的第40頁/共54頁作作 圖圖 練練 習(xí)習(xí)第41頁/共54頁 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo21、畫圖:第42頁/共54頁(3)zxyo oaoa222azx222ayx第43頁/共54頁(4)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy第44頁/共54頁yz2x3思考思考: :by 對平面交線情況如何?,3時當(dāng)b交線情況如何?,3時當(dāng)b19422yx3y第45頁/共54頁,2) 1 (2xy拋物柱面0z平面