星期五最值及應用

1、前節(jié)回顧上單調(diào)增加；在則）如果（,)(),(, 0)(1baxfbaxxf.,)(),(, 0)(2上單調(diào)減少在則）如果（baxfbaxxf駐點不可導點(1) )(xf “左左正正右右負負” ,.)(0取極大值在則xxf(2) )(xf “左左負負右右正正” ,;)(0取極小值在則xxf,0)() 1 (0 xf若則 在點 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若;)(0取極小值在則xxf一、函數(shù)的最值與求法一、函數(shù)的最值與求法 在許多理論和應用問題中,需要求一個函數(shù)在某區(qū)間上的最大值和最小值(統(tǒng)稱為最值). 最值是對整個區(qū)間而言的,是全局性的;極值是對極值點的鄰域而言的,是局部性的

2、.另外,最值可以在區(qū)間的端點取得,而按定義極值只能在區(qū)間的內(nèi)點取得. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取得在該區(qū)間上的最大值M和最小值m.,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點極值點或端點端點處達到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2 , 252124最大值與最小值上的在區(qū)間求函數(shù)例xxy解：) 1(44423xxx

3、xy0 y令1, 1, 0321xxx得駐點5|0 xy4|4|11xxyy13|2xy13250min）（）（manyy例例2 求函數(shù) 在2,2上的最值.1 3( )(1)(1)f xxx解解2 32(21)(1)3xx1 32 31( )(1)(1)(1)3f xxxx 令 ,得駐點 ;( )0fx112x 顯然,x2=1為導數(shù)不存在的點.計算f(x)點x1,x2和區(qū)間2,2端點處的函數(shù)值:1 3121( )( )1.19,232f (1)0f1 3( 2)31.44, f f(x)在2,2上的最大值為 f(2)=3,1( )1.19.2f 最小值為3)2(f特別特別: 當 在 內(nèi)只有一個

4、極值可疑點時,)(xf,ba 當 在 上單調(diào)單調(diào)時,)(xf,ba最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、應用問題舉例則問題化為求函數(shù) 的最小值,故 是唯一的駐點.例例3 將正數(shù)a分解為兩個正數(shù)之乘積,使分解后兩正數(shù)之和為最小.解解 設分解后的兩個正數(shù)為x和a/x ,( )af xxx221( )1()(),afxxaxaxx xax(0,a)由實際問題知，函數(shù)f(x)在(0,a)上確實存在最小值，且有唯一駐點，故，當 時，函數(shù)達到最小值

5、xa()2faa即 為要求的分解.aaa例例4 用同種材料做一個面積給定為S的無蓋圓柱形桶,求桶容積最大時,桶高h和底半徑r的關(guān)系.解解 桶的容積為V=r2h.因面積=r2+2rh=S為常數(shù),解出2() 2 (4.12)hSrr將h代入V,得22() 2VrSrr21()2r Sr得唯一駐點 .2( )30f rSr03rS于是,問題歸結(jié)為求f(r)=r(Sr2)在 上的最大值.0,S由故r0為最大值點.此時,將 代入式(4.12),得203Sr22000(3) 2hrrrr當無蓋圓柱形桶高等于底圓半徑時,容量最大.由實際問題知，函數(shù)確實存在最大值，且函數(shù)有唯一駐點例例5(利潤最大利潤最大)

6、已知某商品的需求函數(shù)為Q=120060p總成本函數(shù)為C=1000+10Q求使總利潤最大的價格p、需求量(銷售量)Q和最大總利潤.解解 銷售量為Q時的總收益為R(p)=pQ=1200p60p2于是,總利潤為L(p)=R(p)C(p)因此, 價格為15個單位時,總利潤最大, 為 L(15)=500個單位.=1200p60p21000+10(120060p)=60p2+1800p13000( )12018000L pp 由得唯一駐點 p0=15由實際問題知，確實有最大利潤存在.而函數(shù)有唯一駐點故,駐點p0為最大值點.總利潤最大時為Q(15)=300個單位.例例6(平均成本最小平均成本最小) 設某廠每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品x單位的 總成本為C(x)=ax2+bx+c其中a,b,c為常數(shù).問:每批生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時,其平均成本最小?并求出最小平均成本和相應的邊際成本.解解 平均成本為( )( )C xcAC xaxbxx由2( )0cAC xax得駐點 (舍去負根).0 xc a故， 最小值點由實際問題知，存在最小平均存本.且是唯一駐點因此,每批生產(chǎn)量為 個單位時,平均成本最小,最小平均成本為0 xc ac a0()2cAC xa c abacbc a邊際成本為( )( )2MC xC xaxb故相應于x0的邊際成本為0()2MC xa c ab02()acbAC x 可見,對于一般的成本函數(shù),當