小學奧數(shù)-幾何五大模型(相似模型).doc

1、學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考任意四邊形、 梯形與相似模型模型四相似三角形模型( 一 ) 金字塔模型(二 )沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE： S ABC AF 2 : AG 2 。所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形( 只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似 ) ，與相似三角形相關的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半。相似三角形

2、模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具。在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形?！纠?】如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中， AB 16 ， AD 10 ， BE 4 ，那么 FC 的長度是多少？DCFABE【解析】 圖中有一個沙漏， 也有金字塔， 但我們用沙漏就能解決問題，因為 AB 平行于 CD ，所以 BF : FC BE : CD 4:161: 4 ，所以 FC 1048 41學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【例2】如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC ， AB 的長為 15 厘米， AC 被分為 60等份。如果小玻璃管口DE 正好對著量具

3、上20 等份處 ( DE 平行 AB ) ，那么小玻璃管口徑DE 是多大？BEADC0102030405060【解析】 有一個金字塔模型， 所以 DE : ABDC : AC ，DE :1540:60 ，所以 DE10 厘米?！纠?】如圖， DE 平行 BC ，若 AD : DB2:3 ，那么 S ADE : S ECB_ 。ADEBC【解析】 根據(jù)金字 塔模型AD:AB AE:ACDE :BC2: (23) 2:5 ，S ADE : S ABC22 :524: 25，設S ADE4份 ， 則S ABC25 份 ， SBEC2 55 3份，所以S: S4。: 1ADEE CB【例4】如圖，AB

4、C 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD DFFB ，則 S ADE : S四邊形 DEGF : S四邊形 FGCB。ADEFGBC【解析】 設 S ADE1 份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所 以 SADE : SAFG AD2 : AF 21: 4 ， SADE : SABC AD 2 : AB21: 9， 因 此S AFG 4 份， S ABC 9 份，進而有 S四邊形 DEGF3 份， S四邊形 FGCB5 份，所以 S ADE : S四邊形 DEGF : S四邊形 FGCB1:3:5學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【鞏固】如圖，DE 平行 BC，且 AD2， AB5，

5、 AE4，求 AC 的長。ADEBC【解析】 由金字塔模型得AD : ABAE : ACDE : BC2:5 ，所以 AC42510【鞏固】如圖， ABC中，PQ ，互相平行，AD DF FM MP PB，DE FG MNBC則 S ADE : S四邊形 DEGF: S四邊形 FGNM: S四邊形 MNQP: S四邊形 PQCB。ADEFGMNPQBC【解析】 設 S ADE1 份 ， SADE : SAFGAD2:AF21: 4，因 此 SAFG4份，進而有S四邊形 DEGF3份，同理有S四邊形 FGNM5 份，四邊形7 份， 四邊形PQCB9 份SMNQPS所以有 ADE:四邊形DEGF:

6、 四邊形FGNM: 四邊形MNQP: 四邊形PQCB1:3:5:7:9SSSSS【總結】繼續(xù)拓展， 我們得到一個規(guī)律：平行線等分線段后，所分出來的圖形的面積成等差數(shù)列。【例 5】已知ABC 中，DE 平行 BC ，若 AD : DB2，2:3 ，且 S梯形 DBCE 比 SADE 大 8.5 cm求 SABC。ADEBC【解析】根據(jù)金字塔模型AD:ABDE:BC2:(23)2:5，S ADE : S ABC22 :524:25 ，設S梯形D B C2 E54份， S梯形DBCE比S ABC 12.5 cm 2SA D4份 ， 則S ABC25份 ，ES ADE大17 份 ， 恰 好 是 8.5

7、 cm2， 所 以【例6】如圖： MN 平行 BC ，SMPN : S BCP4 :9 ， AM4 cm ，求 BM 的長度學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考AMNPBC【解析】 在沙漏模型中， 因為 SMPN : S BCP4:9 ，所以 MN : BC2:3，在金字塔模型中有：AM:ABMN:BC 2:3 ，因為 AM4 cm ， AB42 36 cm ， 所 以BM6 4 2 c m【鞏固】如圖，已知DE 平行 BC ， BO: EO3:2，那么 AD:AB_。ADEBOC【解析】 由沙漏模型得 BO : EOBC : DE 3: 2 ，再由金字塔模型得AD:ABDE :BC2:3 【

8、例7】如圖， ABC 中，AE11AC，ED與BC平行，EOD 的面積是 1AB，AD44平方厘米。那么AED 的面積是平方厘米。AEDOBC【解析】 因為 AE1 AB， AD1AC，ED與BC平行，44根據(jù)相似模型可知ED: BC 1:4， EO:OC 1:4，SCOD4S EOD 4 平方厘米，則SCDE4 1 5 平方厘米，又因為 S AED : S CDEAD:DC1:3 ，所以 S AED515(平方厘米 )33【例8】在圖中的正方形中，A ， B ， C 分別是所在邊的中點，CDO 的面積是ABO 面積的幾倍？CFCBOBOADEAD【解析】 連接 BC ，易知 OA EF ，根

9、據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知OB :OD AE : AD ，且學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考OA:BE DA:DE 1: 2 ， 所 以CDO的面積等于 CBO的面積；由113OA，所以 S CDO S CBO 3S ABO ，即 CDO 的面積是OABEAC 可得 CO2 4ABO 面積的 3 倍?！纠?9】 如圖，線段 AB 與 BC 垂直，已知 AD EC4，BDBE 6 ，那么圖中陰影部分面積是多少？AADDOBECBECADOBEC【解析】解法一：這個圖是個對稱圖形， 且各邊長度已經(jīng)給出， 不妨連接這個圖形的對稱軸看看作輔助線BO，則圖形關于BO對稱，有SADO SC E ，S DB

10、OS EBO， 且OS: SD B O4:6 2:3A D O設 ADO 的面積為 2 份，則 DBO 的面積為 3 份，直角三角形 ABE 的面積為 8 份因為 S ABE610230 ，而陰影部分的面積為4 份，所以陰影部分的面積為308415解法二：連接DE、AC由于 AD EC 4， BDBE6，所以 DE AC ，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知 DE : AC BD : BA6:103:5 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理， S DOE : S DOA : S COE : S COA32 :3 5: 35 :529:15 :15: 25，所以 S陰影 : S梯形 ADEC1515:915152515:

11、32 ，即 S陰影15S梯形 ADEC ；32又 S梯形 ADEC1 1010166=32 ，所以 S陰影15 S梯形 ADEC15 2232【例10】( 2008年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽) 如圖，四邊形ABCD 和 EFGH 都是平行四邊形，四邊形ABCD 的面積是 16， BG : GC3:1 ，則四邊形 EFGH 的面積_AEDFHBGC【解析】 因為 FGHE為平行四邊形，所以EC / / AG ，所以 AGCE 為平行四邊形學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考BG :GC3:1 ，那么 GC : BC 1: 4 ，所以 S AGCE1S ABCD116 444

12、又 AEGC ，所以 AE: BG GC : BG1:3 ，根據(jù)沙漏模型，F(xiàn)G:AFBG : AE 3:1 ，所以 S FGHE334 3 S AGCE44【例11】已知三角形 ABC 的面積為 a ， AF : FC 2:1，E 是 BD的中點，且 EF BC，交 CD 于 G ，求陰影部分的面積ADEFGBC【解析】 已 知A F:， 且EFBC，利用相似三角形性質(zhì)可知FC2:1E F:B CA: F A2C，:所以 EF24 : 9BC，且 SAEF :S ABC31又因為 E 是 BD 的中點，所以EG 是三角形DBC 的中位線，那么EGBC ，2EG:EF123:4，所以G F:EF

13、1:4，可得S: S1 : 8:3C F GA F E， 所 以2S: S1:18aC F GA B C，那么 S CFG18【例12】已知正方形ABCD ，過 C 的直線分別交AB 、 AD 的延長線于點E、F ，且AE10 cm ， AF 15 cm ，求正方形 ABCD 的邊長ABEDCF【解析】 方法一：本題有兩個金字塔模型，根據(jù)這兩個模型有BC: AFCE:EF ，DC:AECF : EF ，設正方形的邊長為x cm ，所以有 BCDCCECF1 ，即 xxAFAEEFEF1 ，解得 x 6 ，所以正方形的邊長為6 cm 1510x15 x ，解得 x方法二：或根據(jù)一個金字塔列方程即

14、61015【例13】如圖，三角形 ABC 是一塊銳角三角形余料，邊BC120毫米，高 AD80 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC 上，其余兩個頂點分別在AB 、 AC 上，這個正方形零件的邊長是多少？學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考APNBHD GC【解析】 觀 察圖中有金字塔模型5 個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以有PNAP，PHBP ，設正方形的邊長為 x 毫米， PNPHAPBP1 ，即BCABADABBCADABABxx，解得 x48 ，即正方形的邊長為 48 毫米120180【鞏固】如圖，在 ABC 中，有長方形 DEFG ，G 、F 在 BC 上，

15、D 、E 分別在 AB 、 AC上， AH 是 ABC 邊 BC 的高，交 DE 于 M ， DG: DE1: 2， BC12厘米，AH8 厘米，求長方形的長和寬ADMEBGHFC【解析】 觀 察圖中有金字塔模型5 個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以DEAD ，DGBD，所以有 DEDGADBD1 ，設 DG x ，則 DEx2 ，BCABAHABBCAHABAB所以有2xx1，解得 x24 ， 2x48 ，因此長方形的長和寬分別是48 厘米，12877724 厘米7【例14】圖中 ABCD 是邊長為 12cm的正方形， 從 G 到正方形頂點 C 、 D 連成一個三角形，已知這個三角形

16、在AB 上截得的 EF 長度為 4cm，那么三角形GDC 的面積是多少？GGAEF BAEF BNDCDMC【解析】 根據(jù)題中條件， 可以直接判斷出EF 與 DC 平行，從而三角形 GEF 與三角形 GDC 相似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來解決問題做GM 垂直 DC于M ，交 AB于 N因為 EF DC ，所以三角形 GEF與三角形GDC 相似，且相似比為EF : DC4:121:3 ，所以 GN : GM1:3 ，又因為 MNGMGN12，所以 GM18 cm ，學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考所以三角形GDC 的面積為11218108 cm22【例15】如圖，將一個邊長為2 的正

17、方形兩邊長分別延長1 和 3，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？EMBNOF【解析】 根據(jù)相似三角形的對應邊成比例有：NF33； EM11，5 ，122232則 NF5，EM93S陰19512223053【例16】( 2008 年 101中學考題 ) 圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)( 厘米 ) ，它們的面積之和等于 52 平方厘米，則陰影部分的面積是ABCDGHFE【解析】 設大、小正方形的邊長分別為m 厘米、 n 厘米 ( m2252 ，所以n ) ，則 m nm8 若 m5 ，則 m2225052，不合題意， 所以 m 只能為6或7檢n5 2驗可知只有 m6 、 n4 滿足題意，

18、所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和 4厘米根據(jù)相似三角形性質(zhì)，BG:GFAB :FE6: 43: 2，而 BGGF 6，得BG3.6 ( 厘米 ) ，所以陰影部分的面積為：163.610.8 ( 平方厘米 ) 2【例17】如圖， O 是矩形一條對角線的中點，圖中已經(jīng)標出兩個三角形的面積為3和4，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？DADA4E 34E 3OOCFBCFB【解析】 連 接OB, 面積為4的三角形占了矩形面積的1，所以OE B4 3 1, 所以4SOE: EA 1:3, 所以 CE: CA 5: 8,由三角形相似可得陰影部分面積為5 22 58 ( )88學習資料學習資料收

19、集于網(wǎng)絡，僅供參考【例18】已知長方形ABCD 的面積為70厘米， E 是 AD 的中點， F 、 G 是 BC 邊上的三等分點，求陰影EHO 的面積是多少厘米？AEDAEDHOHOBFCBFGCG【解析】 因為 E 是 AD 的中點， F 、 G 是 BC 邊上的三等分點， 由此可以說明如果把長方形的長分成 6 份的話，那么 EDAD 3份、 BFFG GC2份，大家能在圖形中找到沙漏 EOD 和 BOG ：有 EDBG = 34，所以 ODBO34 ，相當于把 BD分成 ( 3 4 ) 7 份，同理也可以在圖中在次找到沙漏：EHD 和 BHF 也是沙漏，EDBF 32 ，由此可以推出：HD

20、BH 32 ,相當于把 BD分成( 3 2) 5份，那么我們就可以把BD分成 35份( 5 和 7 的最小公倍數(shù) ) 其中 OD 占 15份，BH 占 14份， HO 占 6 份，連接 EB 則可知 BED 的面積為70 435 ，在 BD 為底的三角2形中 HO 占 6 份，則面積為：356( 平方厘米 ).2335【例19】ABCD 是平行四邊形，面積為72 平方厘米， E 、 F 分別為 AB 、 BC 的中點，則圖中陰影部分的面積為平方厘米ADAGDOOEEHMMBFCBFC【解析】 方法一：注意引導學生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關性質(zhì)設G、 H 分別為 AD、 DC的中點，

21、連接GH 、EF 、BD1，可得 S AED=S平行四邊形 ABCD4對角線 BD被 EF、 AC、GH 平均分成四段，又OM EF ，所以232:3 ， OE :EDED OD: ED32 :31:3，DO:EDBD: BD44所 以11S平行四邊形 ABCD116 (平方厘 米 )，S AEO437234S ADO2S AEO12 (平方厘米 )同理可得 S CFM 6平方厘米， S CDM12 平方厘米所以S ABC S AEOS CFM366624 (平方厘米 )，于是，陰影部分的面積為24121248(平方厘米 )方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CDAO:OC 1:2， FC : AD

22、 CM : AM 1:2，因此 O,M為 AC 的三等分點，S ODM1172 12 ( 平方厘米 )，S平行四邊形 ABCD6116S AEOSOCD2 6 ( 平方厘米 ) ，同理 S FMC6 ( 平方厘米 ) ，所以4124S陰影7212 66 48( 平方厘米 ) 學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【例20】如圖，三角形 PDM 的面積是8 平方厘米，長方形ABCD 的長是 6 厘米，寬是4 厘米， M 是 BC 的中點，則三角形 APD 的面積是平方厘米ADANDKPPBMCBMC【解析】 本題在矩形內(nèi)連接三點構成一個三角形，而且其中一點是矩形某一條邊的中點，一般需要通過這一點做

23、垂線取 AD的中點 N，連接 MN ，設 MN 交PD于 K則三角形 PDM 被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊MK ，可知三角形 PDM 的面積等于1MKBC8 ( 平方厘米 ) ，所以 MK=8(厘米 )，那么8423NK4(厘米)338因為 NK 是三角形 APD 的中位線，所以AP2 NK( 厘米 ) ，所以三角形 APD183的面積為(平方厘米 )26 83【例21】如圖，長方形 ABCD 中， E 為 AD 的中點， AF 與 BE 、 BD 分別交于 G 、 H ，OE垂直 AD于 E，交 AF 于O，已知 AH5 cm ， HF3cm ，求 AG AEDGOHFBC

24、【解析】 由于 AB DF ，利用相似三角形性質(zhì)可以得到AB: DFAH:HF5:3，又因為 E 為 AD 中點，那么有 OE : FD1:2，所 以3A B:OE5:， 利用相似三角形性質(zhì)可以得到1 0: 32AG :GOAB :OE10:3 ，而 AO11534 cm ，所以 AG1040AF24cm 21313【例22】右圖中正方形的面積為1， E、 F 分別為 AB、 BD的中點， GC1FC求3陰影部分的面積學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考ADADEFEFGGBCBHIC【解析】 題中條件給出的都是比例關系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形

25、，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì)陰影部分為三角形， 已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高， 便可求出面積 可以作FH 垂直 BC于H，GI垂直 BC于I根據(jù)相似三角形性質(zhì)，CI :CH CG:CF1:3 ，又因為 CHHB ，所以CI :CB1: 6，即 BI : BC6 1:6 5:6，所以 S BGE1155 22624【例23】梯形 ABCD 的面積為 12，AB2CD ，E 為 AC 的中點， BE 的延長線與 AD 交于 F ，四邊形 CDFE的面積是DCGDCFFEEABAB【解析】 延長 BF 、 CD 相交于 G 由于 E 為 AC 的中點，根據(jù)相似三角形性質(zhì)， CG

26、AB2CD ，GD11GCAB ，22再根據(jù)相似三角形性質(zhì)， AF:FD AB:DG2:1 ， GF : GB 1:3， 而SABD:S BCDAB: CD2，:11SABCD14，SGBC 2SBCD8 所以 S BCD1233又 SGDF111，SEBC1 S GBC ，所以 SCDFE111S GBC1SGBC8 S GBC23622633【例24】如圖，三角形ABC 的面積為60 平方厘米， D 、 E 、 F 分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積是平方厘米AADEDEMNBFCBFC學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考ADMENBFC【解析】 陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，不方便直接

27、求面積， 可以將其轉化為兩個三角形的面積之差 而從圖中來看， 既可以轉化為BEF 與EMN 的面積之差， 又可以轉化為BCM 與 CFN 的面積之差( 法 1) 如圖，連接 DE 由于 D 、 E 、 F 分別為各邊的中點，那么BDEF 為平行四邊形，且面積為三角形ABC 面積的一半，即 30 平方厘米；那么BEF 的面積為平行四邊形BDEF 面積的一半，為15 平方厘米根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于 DE 為三角形 ABC 的中位線， 長度為 BC 的一半，則 EM : BMDE :BC 1:2，所以1EB ；EM13EN :FNDE :FC1:1 ，所以ENEF21 1 1那 么的面積占B