2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)學(xué)案第3章《3.1.2 第2課時(shí) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用》(含解析)

1、第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用.2.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系直線ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程直線與橢圓的位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)及的取值的關(guān)系如表所示直線與橢圓解的個(gè)數(shù)的取值兩個(gè)不同的公共點(diǎn)兩解0一個(gè)公共點(diǎn)一解0沒有公共點(diǎn)無解01直線yx1與橢圓x21的位置關(guān)系是()A相離 B相切 C相交 D無法確定答案C解析聯(lián)立消去y，得3x22x10，因?yàn)?212160，所以直線與橢圓相交2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()

2、A. B.C. D.答案C解析聯(lián)立消去y，得3x24x20，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0.縱坐標(biāo)y0x011.3橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|_.答案解析因?yàn)閨PF1|PF2|4，|PF1|，所以|PF2|4.4過橢圓1的右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的面積是_答案解析由題意，在1中，c，故F(，0)當(dāng)x時(shí)，y3，所以|AB|，故以AB為直徑的圓的面積是2.一、實(shí)際生活中的橢圓例1(多選)中國的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界首

3、個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)的航天器.2019年9月25日，中國科研人員利用嫦娥四號(hào)數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號(hào)的著陸位置，并再現(xiàn)了嫦娥四號(hào)的落月過程，該成果由國際科學(xué)期刊自然通訊在線發(fā)表如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是()Aa1c1a2c2B .a1c1a2c2C.答案BD解析由圖可知，a1a2，c1c2所以a1c1a2c2，所以A不正確；在橢圓軌

4、道中可得，a1c1|PF|，在橢圓軌道中可得，|PF|a2c2，所以a1c1a2c2，所以B正確；a1c2a2c1，兩邊同時(shí)平方得，ac2a1c2ac2a2c1，所以ac2a1c2ac2a2c1，即b2a1c2b2a2c1，由圖可得，bb，所以2a1c22a2c1，0，得3m3.于是，當(dāng)3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(2)由0，得m3.也就是當(dāng)m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)由0，得m3.從而當(dāng)m3時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)

5、根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)反思感悟直線與橢圓有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍解由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10，直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范圍為.命題角度2弦長(zhǎng)問題例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值.(

6、1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：ykx1與(1)中曲線C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|時(shí)，求直線l的方程解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，由題意得kPAkPB.，化簡(jiǎn)整理得y21.故點(diǎn)P的軌跡方程C是y21(x)(2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k20，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意直線l的方程是yx1，即xy10或xy10.反思感悟求弦長(zhǎng)的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)

7、的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長(zhǎng)跟蹤訓(xùn)練3已知斜率為1的直線l過橢圓y21的右焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)解設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由橢圓方程知a24，b21，c，F(xiàn)(，0)，直線l的方程為yx，將其代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.1過橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)F(c，0)的弦中最短弦長(zhǎng)是()A. B.C. D.答案A解析最短弦是過焦點(diǎn)F(c，0)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦將點(diǎn)(c

8、，y)的坐標(biāo)代入橢圓1，得y，故最短弦長(zhǎng)是.2已知直線l：xy30，橢圓y21，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A相離 B相切C相交 D相交或相切答案A解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)24532640, 直線與橢圓相離3已知F是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則ABF面積的最大值為()A6 B15 C20 D12答案D解析S|OF|y1y2|OF|2b12.4(多選)某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米，并且F，A，B三點(diǎn)在同一

9、直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2b，2c，則()AacmR BacnRC2amn Db答案ABD解析地球的中心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，并且根據(jù)圖象可得 (*)acmR ，故A正確；acnR，故B正確；(*)中兩式相加mn2a2R，可得2amn2R，故C不正確；由(*)可得兩式相乘可得(mR)(nR)a2c2.a2c2b2 ，b2(mR)(nR)b ，故D正確5已知橢圓4x2y21及直線yxm，當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由得5x22mxm210，當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，4m245(m21)0，即4m250，解得m.1知識(shí)清單：(1)直

10、線與橢圓的位置關(guān)系(2)弦長(zhǎng)公式2方法歸納：判別式法3常見誤區(qū)：代數(shù)計(jì)算中的運(yùn)算失誤1直線yx1與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交 B相切C相離 D無法判斷答案A解析方法一直線過點(diǎn)(0,1)，而00，所以直線與橢圓相交2(多選)若直線ykx2與橢圓1相切，則斜率k的值是()A. B C D.答案AB解析由得(3k22)x212kx60，由題意知144k224(3k22)0，解得k.3直線xy10被橢圓y21所截得的弦長(zhǎng)|AB|等于()A. B.C2 D3答案A解析由得交點(diǎn)為(0,1)，則|AB|.4若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案

11、D解析方法一由于直線ykx1恒過點(diǎn)(0,1)，所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則00且m5，m1且m5.5已知橢圓C：x21，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為()A9xy40 B9xy50C4x2y30 D4x2y10答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以x1，x1.，得(x1x2)(x1x2)0.因?yàn)镻是線段AB的中點(diǎn)，所以x1x21，y1y21，代入得9，即直線AB的斜率為9.故直線AB的方程為y9，整理得9xy50.6已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的

12、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_答案2解析由題意可設(shè)橢圓的方程為1(a2)，與直線方程xy40聯(lián)立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2.7過橢圓1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_答案解析由已知可得直線方程為y2x2，|OF|1，聯(lián)立方程得解得A(0，2)，B，所以SAOB|OF|yAyB|.8已知橢圓的方程為1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點(diǎn)F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)若直線AB的傾斜角為，則弦長(zhǎng)|AB|為_答案解析易知F1(1,0)，直線AB的傾斜角為，直線AB的斜率為1，可得直線AB的方程為yx

13、1.聯(lián)立整理得7x28x80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1x2，x1x2，則由弦長(zhǎng)公式得|AB|.9對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)0，即m時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng)0，即m時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)0，即m或m時(shí)，直線與橢圓相離10.某海域有A，B兩個(gè)島嶼，B島在A島正東4海里處，經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群以A，B所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系

14、(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)某日，研究人員在A，B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)(傳播速度相同)，A，B兩島收到魚群在P處反射信號(hào)的時(shí)間比為53，問你能否確定P處的位置(即點(diǎn)P的坐標(biāo))?解(1)由題意知曲線C是以A，B為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，又2c4，則c2，a4，故b2，所以曲線C的方程是1.(2)由于A，B兩島收到魚群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為53，設(shè)此時(shí)距A，B兩島的距離比為53，即魚群分別距A，B兩島的距離為5海里和3海里設(shè)P(x，y)，B(2,0)，由|PB|3，3，x2，y3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)或(2，3)11橢圓1(ab0)的離心率為，若直線ykx與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的

15、橫坐標(biāo)x0b，則k的值為()A. B C. D答案B解析根據(jù)橢圓的離心率為，得.由x0b，得yb2，所以y0，k.12以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線xy30有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由題意設(shè)橢圓方程為1，得(2b21)x26(b21)x8b29b40，由0得b24，所以b2的最小值為4，由e，則b24時(shí)，e取最大值，故選C.13若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_答案6解析由1可得，F(xiàn)(1,0)設(shè)P(x，y)，2x2，則x2xy2x2x3x2x3(x2)22，當(dāng)x2時(shí)，取得最大值6.14斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為_答案解析方法一設(shè)直線l的方程為yxt，由消去y得(xt)21，整理得5x28tx4(t21)0.64t280(t21)0，tb0)過點(diǎn)，離心率