初中圓題型總結(jié)

1、圓的基本題型縱觀近幾年全國(guó)各地中考題，圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題， 選擇 題的形式考查并占有一定的分值；一般在 10分-15分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如 垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運(yùn)用一般以計(jì)算證明的形 式考查；利用圓的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)如代數(shù)函數(shù)， 方程等相結(jié)合作為中考?jí)狠S題 將會(huì)占有非常重要的地位，另外與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，閱讀理解題，探索存在 性問題仍是熱門考題，應(yīng)引起注意.下面究近年來圓的有關(guān)熱點(diǎn)題型，舉例解析 如下。一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)系.（3）圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性

2、質(zhì)【例1】（江蘇鎮(zhèn)江）如圖，ab為。直徑，cd為弦，且cd ab ,垂足為h .（1） ocd的平分線ce交。于e ,連結(jié)oe.求證：e為弧adb的中點(diǎn)；（2）如果。的半徑為1 , cd 卮求。到弦ac的距離;edce .填空：此時(shí)圓周上存在【解析】（1） qoc oe , 又 oce dce , eoe / cd .又 cd ab, aoe boe 900.e為弧adb的中點(diǎn).(2)qcd ab, ab為。的直徑，cd 由，3_ch -cd 也.又 oc 1, 而 cob ch 2 近.22oc 12cob 60,bac 300.1 1作op ac于p,則 op -oa2 23.【點(diǎn)評(píng)】 本

3、題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的能力.運(yùn)用垂徑定理時(shí)，需添加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距，本題的弦心距就是指線段 od的長(zhǎng).在圓中 解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時(shí)，常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距，把垂 徑定理和勾股定理結(jié)合起來解題.如圖，。的半徑為r ,弦心距為d ,弦長(zhǎng)a之間2的關(guān)系為r2 d2 a .根據(jù)此公式，在a、r、d三個(gè)量中,知道任何兩個(gè)量就可 2以求出第三個(gè)量.平時(shí)在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基本圖形 .【例2】(安徽蕪湖)如圖，已知點(diǎn)e是圓。上的點(diǎn)，a/ab、c分別是劣弧ad的三等分點(diǎn)，boc 46,/j則

4、aed的度數(shù)為-7/【解析】由b、c分別是劣弧ad的三等分點(diǎn)知，圓心角/ aobw boc=cod, 又 boc 46,所以/aod=138.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。從而有aed=69o.點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系?！緩?qiáng)化練習(xí)】【1】.如圖，。是abc勺外接圓，bac 60 , ar ce分別是bg ab上的高,且ar ce交于點(diǎn)h,求證：ah=aoai 如圖，在。中，弦 ac! bd, oh ab,垂足為 e,求證：oe=2cd. 一一 、一1(2)如圖，ac, bd是。o的兩條弦，且 acbd。的半徑為2,求ad+cd的值?！?】(第25題)如圖，。是

5、abc的外接圓，弦bd交ac于點(diǎn)e,連接cd,且ae=de , bc=ce.(1)求/ acb的度數(shù)；(2)過點(diǎn)。作oflac于點(diǎn)f,延長(zhǎng)fo交be于點(diǎn)g, de=3 , eg=2,求ab的長(zhǎng).二、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、直線與圓的位置關(guān)系有三種：如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這條直線與這個(gè)圓相離.如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這條直線與這個(gè)圓相切，此 時(shí)這條直線叫做圓的 切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這條直線與這個(gè)圓 相交，此時(shí) 這條直線叫做圓的割線，這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).2、直線與圓的位置關(guān)系的判定；3、弦切角定理弦

6、切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；4 .和圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；(2)推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；(3)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；(4)推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。5 .三角形的內(nèi)切圓(1)有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；6、圓的切線的性質(zhì)與判定。d由dom-4m痔給捌器皿業(yè)由口踮皿印 二皺二鼓二理二tw ai） dl 前=

7、ac - bc且(rwe 0c牛ac , eoce，qc【例1】（甘肅蘭州）如圖，四邊形abcd內(nèi)接于。o, bd是。的直徑，ae cd ,垂足為e , da平分 bde .（1）求證：ae是。的切線;(2)若 dbc 30, de 1cm,求 bd 的長(zhǎng).eda .【解析】（1）證明：連接oa,qda 平分 bde,bdaqoa od,oda oad .oad eda.oa / ce .q ae de ,aed 90,oaedea 900.ae oa.ae是。的切線.(2) qbd是直徑,bcdbadq dbc30,bdc60,bde120 .q da平分bdebdaeda60.abdead

8、在 rtaed 中,aed 90,ead30, ad在ft abd 中,bad 90,abd30, bd2ad 4de .q de的長(zhǎng)是1cm,bd的長(zhǎng)是4cm【點(diǎn)評(píng)】證明圓的切線,過切點(diǎn)的這條半徑為必作輔助線.即經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【例2】(廣東茂名)如圖，o o是4abc勺外接圓，且ab=ac,點(diǎn)d在弧bc上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)d作de/ bg dex ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e,連結(jié)ad bd.(1)求證：/ adb：/ e;(2)當(dāng)點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，de是。的切線？請(qǐng)說明理由.b(3)當(dāng)ab=5, bc=6時(shí)，求。的半徑.(4分)【解析】(1)在4abc中，ab=ag /

9、abc：/ c. de/ bq/ abc：/ e, ./ e=z c.又./ adb：/ c,(2)當(dāng)點(diǎn)d是弧bc的中點(diǎn)時(shí)，de是。的切線.理由是：當(dāng)點(diǎn)d是弧bc的中點(diǎn)時(shí)，則有adlbq且ad過圓心o.又. de/ bc,adl ed. . de是。的切線.(3)連結(jié)bo ao并延長(zhǎng)aox bc于點(diǎn)f,1 一則 afbg 且 bf：- bc=3.2又. ab=5,af=4.設(shè)。的半徑為 r ,在 rtzxobf中，of=4 r , ob=r , bf=3,r 2 =32 + (4r ) 2解彳4r =25,二。的半徑是”. 88【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線判定，解題最關(guān)鍵

10、是抓住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論.【例4】 已知：如圖7,點(diǎn)p是半圓o的直徑ba延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，pc切半圓于c點(diǎn)，cd!ab于 d點(diǎn)，若 pa po 1: 2, db= 4,求 tan / pcar pc的長(zhǎng)。圖7證明：連結(jié)cb.pc切半圓o于c點(diǎn)，./ pc七z b./p= /p,pa(capcb .ac bc= pa pc一 n ac pa 1tan= tan b =8c pc 2.ab是半圓o的直徑，./ ac氏90 又cdl abac2 ad*bg bi) ab.ab= ad+ d氏 5叨也融+pa=- pc=2pa = 33【例5】 已知：如圖8,在rtabc

11、t, /b= 90 , / a的平分線交bc于點(diǎn)d,e為ab上的一點(diǎn)，d dc以d為圓心，db長(zhǎng)為半徑作。q )求證：(1) ac是。d的切線；卡、(2) ab+ eb= ac分析：(1)欲證ac與。d相切，只要證圓心d到ac的距離等于。d的半徑bd 因此要作df! ac于f(2)只要證ao af+ fo ab+ eb,證明的關(guān)鍵是證 b已fc,這又轉(zhuǎn)化為證 ebd cfd證明：(1)如圖8,過d作dfag f為垂足 ,. adb/ bac的平分線，dbl ab, d及 df 點(diǎn)d至ij ac的距離等于圓d的半徑 ac是od的切線(2) v ab br od的半徑等于 br.ab是。d的切線，

12、. ab= af.在 rtbed?口 rtfcd中，ed= cr bd= fd .bedafctd . .be= fc .ab+ be= af+ fo ac小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)， 可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出， 可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類【例6】 已知：如圖9, ab為。o的弦，p為ba延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，pe與。相1于點(diǎn)e, c為刃月中點(diǎn)，連ce交ab于點(diǎn)f。求證:分析：由已知可得 pt = papb,因此要證pp=papb,只要證pe= pf。 即證/ pfe= / pe

13、e證明一：如圖9,作直徑cd交ab于點(diǎn)g連結(jié)er /ce氏 900.點(diǎn) c為 wf 的中點(diǎn)，ccl ab,./cfg z d pe為。o切線，e為切點(diǎn). /pe已 / d,/pe已 z cfg. /cfg / pfe ./pfe= /pee a pe= pf. pu= pa pb, a pf2=pa- pb.點(diǎn)c是2的中點(diǎn)，ac=bc連結(jié)ag ae.pe 切。o 于點(diǎn) e,pea= /c / pfe= / ca拼 / c, / pe已 / pea / aec ./pfe= /pee .pe= pf. pu= pa pb, a pf2=pa- pbc(d)圖 10-1【例7】（1）如圖10,已知

14、直線ab過圓心o,交。于a、b,直線af交。o 于f （不與b重合），直線l交。于c、d,交ba延長(zhǎng)線于e,且與af垂直， 垂足為g連結(jié)ag ad圖10求證：/ ba氏/ cag ac ad-ae- af（2）在問題（1）中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)，與。o相切時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)你在圖10-1中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10標(biāo)記字母；問題（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果 不成立，請(qǐng)說明理由。證明：（1）連結(jié)bd.ab是。的直徑，./ ad氏900 /ag口 / ad氏 900又acdb!。內(nèi)接四邊形丁. / ac8 / b,/ bad= / cag連結(jié)cfvz ba氏 /

15、cag / ea岸 / fab丁. / dae= / fac又/adc= / f, .ad曰aafcad _ar. af /.ac- ad= ae- af(2)見圖10- 1兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：連結(jié)bg. ab是直徑， ./ acb= 90 ./acb= /ag已 900. gcw。于 c, . / gcaf /abc丁. / bac= / cag(即 / ba氏 / cag連結(jié)cfvz ca8 / bac / gcf / gac / gca / cae / ac已 / accg- / gfc / e= / acg_ / caeac _af /ac曰 /e, .acs aae(c. -

16、.ac= ae- af (即 ac- ad= ae- af)說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的 提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注?！緩?qiáng)化練習(xí)】1(第22題)如圖，o o的直徑ab為10cm,弦bc為5cm, d、e分別是/ acb的平分線與o o, ab的交點(diǎn)，p為ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 pc=pe.(1)求ac、ad的長(zhǎng)；(2)試判斷直線 pc與。o的位置關(guān)系，并說明理由.【2】(第23題)如圖，在 abc中，/ 0=90 , / abc的平分線交 ac于點(diǎn)e,過點(diǎn)e作be的垂線交ab于點(diǎn)f , oo是 bef的外接圓.(

17、1)求證：ac是。的切線.(2)過點(diǎn)e作ehlab于點(diǎn)h,求證：cd = hf.【3】（第25題）如圖，在。中，ab, cd是直彳5, be是切線，b為切點(diǎn)，連接 ad , bc,bd.(1)求證： abda cdb ;(2)若/ dbe=37 ,求/ adc 的度數(shù).【4】（第24題）如圖，ab為。o的直徑，pd切。o于點(diǎn)c,交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn) d,且 / d=2 / cad .（1）求/ d的度數(shù)；（2）若cd=2,求bd的長(zhǎng).5（第27題）如圖，rta abc中，/ abc=90,以ab為直徑作半圓。交ac與點(diǎn)d, 點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，連接de.（1）求證：de是半圓。o的切線.（2）若/

18、 bac=30 , de=2 ,求ad的長(zhǎng).三、圓與圓的位置關(guān)系的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接： 如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，如圖（1）、（2）、 所示.其中又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含.（3）中兩圓的圓心相同，這 兩個(gè)圓還可以叫做同心圓.如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相切,如圖（4）、（5）所示.其中 又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切.如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相 交，如圖（6）所示.【例1】（甘肅蘭州）.如圖是北京奧運(yùn)會(huì)自行車比賽項(xiàng)目標(biāo)志，則圖中兩輪所在圓的位置關(guān)系是（）a.內(nèi)含b.相交c.相切d.外離【解析】圖中的兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的所有點(diǎn)都在

19、另一個(gè)圓的外部，故兩圓外離，選d.【點(diǎn)評(píng)】圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.其關(guān)系可以用圓與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定，也可以用數(shù)量關(guān)系來表 示圓與圓的位置關(guān)系:如果設(shè)兩圓的半徑為口、上，兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系 如下表兩圓的位置關(guān)系數(shù)量美系及其識(shí)別方法f外離外切d二門+為相交口 -（門十13 r2）內(nèi)切d-r -r2（rirs）內(nèi)含門 一、（門【例2】（赤峰市）如圖（1）,兩半徑為r的等圓。o和。o2相交于m, n兩點(diǎn),且。q過點(diǎn)oi .過m點(diǎn)作直線ab垂直于mn ,分別交。o和。o2于a, b兩點(diǎn),連結(jié)na, nb .(1)猜想點(diǎn)o2與

20、。o有什么位，.置關(guān)系，并給出證明；(2)猜想4nab的形狀，并給出證明；(3)如圖(2),若過m的點(diǎn)所在的直線ab不垂直于mn ,且點(diǎn)a, b在點(diǎn) m的兩側(cè)，那么(2)中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)給出證明.圖(2)【解析】解：(1) o2在eoi上證明：o過點(diǎn) o1 , o1o2 r .又。的半徑也是r ,點(diǎn)o2在。o上.(2) 4nab是等邊三角形證明：q mn ab , nmb nma 900.bn是。q的直徑，an是。的直徑，即 bn an 2r , o2在bn 上，o1 在 an 上.連結(jié)o1o2 ,則o1o2是 nab的中位線.ab 2o1o2 2r.ab bn an ,則 nab是

21、等邊三角形.(3)仍然成立.證明：由(2)得在。o中弧mno寸的圓周角為60.在oo中弧mnff對(duì)的圓周角為60 .當(dāng)點(diǎn)a, b在點(diǎn)m的兩側(cè)時(shí),在oo中弧mnff對(duì)的圓周角 man 60,在。q中弧mn所對(duì)的圓周角mbn 60o , nab是等邊三角形.注：（2）, （3）是中學(xué)生猜想為等腰三角形證明正確給一半分.，【點(diǎn)評(píng)】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且。 q過點(diǎn)oi,構(gòu)建對(duì)稱性知, 。過q,再證ana配等腰三角形；（2） 1是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有一定的 開放性.四、圓與多邊形的計(jì)算考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、圓與正多邊形的關(guān)系的計(jì)算；2、弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計(jì)算.【例11 （

22、贛州）小芳隨機(jī)地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是 【解析】設(shè)圓的半徑為1,則圓的面積為，易算得正方形的邊長(zhǎng)為42 ,正方形面積為2,則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是 -.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何概率，解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積， 根據(jù) 古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比.【例2】?jī)赏膱A，大圓半徑為3，小圓半徑為1 ,則陰影部分面積為 【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為 8 ,圖中的陰影面積為圓 環(huán)面積的一半4 .【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)面積計(jì)算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形 計(jì)算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和

23、整體思想 .五、圓的綜合性問題的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：圓的有關(guān)知識(shí)與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應(yīng)用?！纠?1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓 m經(jīng)過原點(diǎn)o,且與x軸、y軸分別相交于a 80、b 0, 6兩點(diǎn).(1)求出直線ab的函數(shù)解析式；(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于 y軸且經(jīng)過點(diǎn)m頂點(diǎn)c在。m上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)b,求此拋物線的函數(shù)解析式;(3)設(shè)(2)中的拋物線交x軸于d e兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn) p,使得1spde s abc ?右存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；右不存在，請(qǐng)說明理由. 10【解析】(1)設(shè)ab的函數(shù)表達(dá)式為y kx b.0. a 8,0 , b 0, 6 ,68kb.

24、346.直線ab的函數(shù)表達(dá)式為y 3x 6.4(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與。m相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)又設(shè)對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn) n,在直角三角形 aob中，ab . ao2 ob2.82 62 10.因?yàn)?。m經(jīng)過o a、b三點(diǎn)，且 aob 90 , ab為。m的直徑，半徑 ma=5 .n 為 ao 的中點(diǎn) an=no=4 a mn=3. cn=m-mn=5-3=2,c 點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,2).設(shè)所求的拋物線為y ax2 bx c2a 4,則 2 16a 4bc,1 a2b 4,6 c.c 6. 1 c所求拋物線為y -x2 4x 62一人 12(3)令 2-x2 4x 6. 0,

25、得 d e 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 d (-6, 0)、e (-2, 0),所以de=4又 ac=2j5,bc 4a/5,直角三角形的面積 s abc -?2?5 20. 2假設(shè)拋物線上存在px,y使得spde s abc,即-?de? y ?20, y 1 . 10210當(dāng)y 1時(shí)，x 4 j2;當(dāng)y1時(shí)，x4 v6.故滿足條件的存在.它們是p 4 乏1,p24 近,1尸34v6,1,p44 揮，1【點(diǎn)評(píng)】 本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖 形中的點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；【例2】(第27題)如圖，在。0的內(nèi)接 abc中，/ acb=90 , ac=2bc過

26、c作ab的垂線l交。0于另一點(diǎn)d,垂足為e.設(shè)p是正上異于a, c的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),射線ap交l于點(diǎn)f,連接pc與pr pd交ab于點(diǎn)g.(1)求證： pa6apdf(2)若 ab=5 |ap=bp,求 pd的長(zhǎng)；(3)在點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)空二x, tan/afd=ybg求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍) 圓的綜合題(1)證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例.因?yàn)轭}中因 圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向， 因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角/ dpf利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等 弧對(duì)等角等知識(shí)易得/ dpfw apc則結(jié)論易證.(2)求pd的長(zhǎng)

27、，且此線段在上問已證相似的 pdf中，很明顯用相似得 成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路.利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則 pd可求.(3)因?yàn)轭}目涉及/ afd與也在第一問所得相似的 pdf中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn) 化，/afdw pca連接 pb得/afdw pcaw pbg過 g點(diǎn)作ab的垂線， 若此線過pb與ac的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形abcffi似可用ag表示/ pb的對(duì)的這條高線.但是“此線是否過 pb 與ac的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動(dòng)點(diǎn) p,觀察我們的猜想.驗(yàn) 證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過pb與 ac的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵

28、.常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn) h,然后連接交點(diǎn)與b,再證明/hbg=pcawafd因?yàn)?g d關(guān)于ab對(duì)稱，可以延長(zhǎng) cg慮p點(diǎn)的對(duì) 稱點(diǎn).根據(jù)等弧對(duì)等角，可得/ hbg=pca進(jìn)而得解題思路.(1)證明：: ac二皿./dpf=180 - /apd=180 -.所對(duì)的圓周角=180 -菽所對(duì)的圓周 角二,所對(duì)的圓周角=/ apc在pacffi pdf 中，f zapc=zdpfinpk二/pdf . .pa。apdf(2)解：如圖1,連接pq則由酢=1市，有polab,且/pab=45 , aapoaef都為等腰直角三角形.在 rtabc中，.ac=2

29、bc. a隹bc+ac=5bc ,. ab=5 bc=.， .ac=*, .ce=ac?si叱 bac=ac?-=2 二？,=2, a5 5ae=ac?cosbac=ac?=2 ? 一 =4a5 5.aef為等腰直角三角形，bef=ae=4 . fd=fc+cd =ef- ce)+2ce=ef+ce=4+2=6 apo等腰直角三角形，ao=?ab= .ap=2pd pafd ca .pds achb嗤pd=- 2(3)解：如圖2,過點(diǎn)g作gkab,交ac于h,連鞍 圓，連接cg并延長(zhǎng)交。0于q,. hclcb ghlgb .g g都在以hb為直徑的圓上， ./hbg=acq.g d關(guān)于ab對(duì)稱

30、，g在ab上，q p關(guān)于ab對(duì)稱，_. . ap=aq, ./pcaw acq ./hbg= pca. pa。apdf . / pcaw pfdwafdy=tan / afd=tanz pca=tanzhg=tan hag?ag=tah bac?ag= ac二x.本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡(jiǎn)單， 但最后一問需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié).總體來講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過程，自己如何找到思路.【例3】(第24題)如圖，已知：在矩形 abcd勺邊ad上有一點(diǎn)o, 0=3, 以0為圓心，0a長(zhǎng)為半徑作圓，交ad于m恰好與bd相切于h,過h作

31、弦hp/ ab, 弦hp=3若點(diǎn)e是cd4上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) e與c, d不重合)，過e作直線ef/ bd 交bc于f,再把cer&著動(dòng)直線ef對(duì)折，點(diǎn)c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為g.設(shè)ce=x aefg 與矩形abcdt疊部分白面積為s.(1)求證：四邊形abhp1菱形；(2)問4efg的直角頂點(diǎn)g能落在。0上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能， 請(qǐng)說明理由；5 c- 1。e rzr1cia圖i備用圖)(3)求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 fg與。相切時(shí)，s的值.第3題圖考點(diǎn)：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑 定理；切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有

32、專題：壓軸題.分析： (1)連接0h可以求出/ h0d=60, /hdo=30,從而可以求出ab=3 由hp/ ab, hp=3可證到四邊形abhpt平行四邊形，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得 ba=bh即可證到四邊形abhp1菱形.(2)當(dāng)點(diǎn)g落到ad上時(shí)，可以證到點(diǎn)g與點(diǎn)m重合，可求出x=2.(3)當(dāng)0&x02時(shí)，如圖，s=s egf,只需求出fg就可得到s與x之間的函 數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2x03時(shí)，如圖，s=sgef- sasg5只需求出sg rg就可得到 s與x之間白緲數(shù)關(guān)系式.當(dāng)fg與。0相切時(shí)，如圖，易得fk=ab=3 kq=aq -ak=2- 2v3+/3x.再由fk=/kq即可求出x,從而求出s.解答：解：(1)證明：連接0h如圖所示. 四邊形abc此矩形，丁. / adc= bad=90 , bc=ad ab=cd v hp/ ab, ./anh+bad=180 . ./anh=90 .hn=pn=hp=.qh=oa=-;,sin zhon=. oh 2丁. / hon=60.bd與。0相切于點(diǎn)h, .ohl bd丁. / hdo=30 . od=23， .ad=3bc=3 o0 的直徑，ba與。0相切于點(diǎn)a.bd與。0相切于點(diǎn)h, ba=bh;平行四邊形abhp1菱形.(2) zmfg的直角頂點(diǎn)g能落在