函數(shù)的最大最小值與導(dǎo)數(shù)

1、1.3.3函數(shù)的最大函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù)二、函數(shù)的極值定義二、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0附近有定義，附近有定義，如果對(duì)如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x0), 則則f(x0) 是函

2、數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作的一個(gè)極小值，記作y極小值極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的函數(shù)的極大值極大值與與極小值極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱 為為極值極值. 使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的點(diǎn)點(diǎn)x0稱為稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)2、求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：u求定義域u求導(dǎo)u求極值點(diǎn)u列表u寫極值左正右負(fù)極大值，左負(fù)右正極小值左正右負(fù)極大值，左負(fù)右正極小值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之三、求函數(shù)最值求函數(shù)最值. . 極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小值與它附

3、近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小, ,并不意并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。 在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在整在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間上，哪個(gè)值最大或最小的問題，這個(gè)定義域區(qū)間上，哪個(gè)值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的就是我們通常所說的最值問題最值問題. . . 1圖 xfy abxyo探究如何求出函數(shù)在探究如何求出函數(shù)在a,b上的最值？上的最值？ 取得？最大值與最小值在何處小值嗎上有最大值、最它們?cè)诘膱D象上的函數(shù)觀察中在圖?,baxfyba 觀察右邊一個(gè)定義觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間在區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f

4、(x)的圖象：的圖象：x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x) 發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中 是極小值，是極小值， 是極大值，在區(qū)是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是間上的函數(shù)的最大值是 ，最小值是，最小值是 。f(x2)f(x1)f(x3)f(x3)f(b)1. “最值最值”與與“極值極值”有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢？有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢？2.怎樣得到函數(shù)最值？v“最值最值”與與“極值極值”的有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢？的有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢？v 、“最值”是整體概念；而“極值”是個(gè)局部概念 v、從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在給定的閉區(qū)間【a，b】上的最值是唯一的；而極值可能有多個(gè)，也可

5、能只有一個(gè)，還可能一個(gè)都沒有； v、在極值點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f（x0）=0，而最值點(diǎn)不一定，最值有可能在極值點(diǎn)取得，也可能在端點(diǎn)處取得。 2.2.怎樣得到函數(shù)最值？怎樣得到函數(shù)最值？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)1 1、函數(shù)、函數(shù)f(x)f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上的上的最值點(diǎn)在最值點(diǎn)在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得. . 2 2、只要把函數(shù)、只要把函數(shù)f(x)f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上的所有極值點(diǎn)連同端點(diǎn)的上的所有極值點(diǎn)連同端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值。函數(shù)值進(jìn)行

6、比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值。最大值最大值最最小值小值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之三、求函數(shù)最值求函數(shù)最值. . (2) (2)將將y=f(x)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端點(diǎn)處端點(diǎn)處) ) 比較比較, ,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的其中最大的一個(gè)為最大值，最小的 一個(gè)為最小值一個(gè)為最小值. . 求求f(x)f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上的最值的步驟上的最值的步驟(1)(1)求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值( (極大值或極小值極大值或極小值) )例例1 1、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3 /

7、3-4x+4/3-4x+4在區(qū)間在區(qū)間00，3 3 內(nèi)的最內(nèi)的最大值和最小值大值和最小值 由圖表知：或解得：令所以解：因?yàn)?2,0)( ,4)( ,4431)(22xxxfxxfxxxfx（0,2）2（2,3）f(x)-0+f(x)-4/334)2( 3 , 0f為上沒有極大值，極小值所以函數(shù)在.3443 , 0)(1)3(, 4)0(，最小值為上最大值是在因此，函數(shù)又xfff2 2、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=3x-xf(x)=3x-x3 3 在區(qū)間在區(qū)間 -3-3，3 3 內(nèi)的最大值和最小值內(nèi)的最大值和最小值 練習(xí)練習(xí) 1 1、變式將區(qū)間變式將區(qū)間 00，3 3 改為改為-3,4-3,4 求函

8、數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值 f(x)f(x)最大值為最大值為f f（-2-2）=f=f（4 4）=28/3=28/3f(x)f(x)最小值為最小值為f(2)=-4/3f(2)=-4/3f(x)f(x)最大值為最大值為f f（1 1）=2=2f(x)f(x)最小值為最小值為f f（-3-3）=-36=-36典型例題典型例題 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例題 ：已知函數(shù)在， 上有最小值求實(shí)數(shù) 的值；求在， 上的最大值。反思：本題是由函數(shù)的最值求參數(shù)的值：反思：本題是由函數(shù)的最值求參數(shù)的值： 基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大基本方法最終落腳到比

9、較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上，從而解決問題小上，從而解決問題. 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 為 3.(0),fa(2)8fa 一一. .函數(shù)極值與最值區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)極值與最值區(qū)別與聯(lián)系二二.利用導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法課堂小結(jié)課堂小結(jié)求求f(x)在在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：上的最大值與最小值的步驟如下：:求求y=f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極極大值與極小值小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各的各極值與極值與f

10、(a)、f(b)作比較作比較, 其中最大的一個(gè)為最大值其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值最小的一個(gè)為最小值. 注意注意1) 函數(shù)的最值是函數(shù)的最值是整體性整體性的概念；的概念；2) 函數(shù)的最大值（最小值）函數(shù)的最大值（最小值）唯一唯一；3) 函數(shù)的最值函數(shù)的最值可在端點(diǎn)取得可在端點(diǎn)取得.總結(jié)總結(jié)1 1f f( (x x) )= =2 2x x+ +- -1 1( (x x 0 0) ), ,x xf f( (x x) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 則則 （ ） A有最大值有最大值 B有最小值有最小值 C是增函數(shù)是增函數(shù)D是減函數(shù)是減函數(shù)A高考鏈接高考鏈接4、函數(shù)、函數(shù)y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值為（上的最大值為（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C1.習(xí)題答案習(xí)題答案練習(xí)（第練習(xí)（第3131頁）頁）2(1) ( )62f xxxmin149()1224ff max(2)20ff3(2) ( )27f xxxmax( 3)54ffmin(3)54ff 習(xí)題答案習(xí)題答案3(3) ( )6 12f xxx3(4) ( )3f xxxmax(2)22ffmin155()327ffmax(2)2ff min(3)18ff 已知已知a a為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，（）求導(dǎo)