考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班課件

1、考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班一、一、 曲線積分的計算法曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間域區(qū)間域 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲面積分曲面積分考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班( , )dDf x y 定積分定積分:.),(lim10iiniif 二重積分二重積分: :三重積分三重積分: :( )dbaf xx iinixf )(lim10 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 設(shè)設(shè) 是是平平面面或或空空間間的

2、的一一個個可可度度量量的的幾幾何何體體，f為為定定義義在在 上上的的函函數(shù)數(shù), ,T對對 作作分分割割1maxd( )ii n 稱稱 ,in 它它把把 分分成成 個個可可度度量量的的小小幾幾何何體體T為為分分割割 的的細細度度, ,iiP 且且在在上上任任取取一一點點01lim( ),niiif PJ 極極限限若若有有iJTP且且 的的值值與與分分割割 及及介介點點 的的取取法法無無關(guān)關(guān), ,.fJf則則稱稱 在在 上上可可積積極極限限 為為 在在上上的的積積分分. .01lim( )( )dniiif PF P 記記作作：考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班x當(dāng)當(dāng) 是是 軸軸上上的的時時, ,上上式式就

3、就直直線線段段是是定定積積分分; ;01lim( )niiifx ( )d ;baf xx 當(dāng)當(dāng) 是是時時, ,上上式式就就是是二二平平面面區(qū)區(qū)域域重重積積分分；01lim( ,)niiiif ( , )d ;Df x y 當(dāng)當(dāng) 是是時時, ,上上式式就就是是三三空空間間區(qū)區(qū)域域重重積積分分；01lim( ,)niiiiifV ( , , )df x y z v 平平面面曲曲線線或或當(dāng)當(dāng) 為為空空間間曲曲線線時時，第第一一型型（對對弧弧長長的的）上上式式為為曲曲線線積積分分；01lim( )( )dniiif PF P 空空間間當(dāng)當(dāng) 為為曲曲面面時時，第第一一型型（對對面面積積的的）上上式式為

4、為曲曲面面積積分分；考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（一）（一）曲線積分的概念與性質(zhì)曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（二）曲線積分的計算方法（三）格林公式及其應(yīng)用（三）格林公式及其應(yīng)用 一、一、 曲線積分的計算法曲線積分的計算法（四）線積分的應(yīng)用（四）線積分的應(yīng)用考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（一）（一）曲線積分的概念與性質(zhì)曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義）定義設(shè)設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線面上的連續(xù)曲線L是是分段光滑分段光滑的，的，且有且有有限長度，有限長度，函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在在L上上有界，有界， 在曲線在曲線L上依次上依次插入分點插入分點nMMM,100(M及及nM為為L的兩個端點的兩個端點

5、),把把L分成分成n個小弧段個小弧段，iiMM1 記小弧段記小弧段iiMM1 的長度的長度為為,is ,max1nss 并在并在iiMM1 上任取一點上任取一點).,(iiiN 如果如果極限極限iiinisf ),(lim10 存在，存在，oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班iiinisf ),(lim10 存在，存在，如果如果極限極限則稱則稱此極限此極限為為函數(shù)函數(shù)f(x,y)在平面曲線在平面曲線L上對弧長的上對弧長的曲線積分，曲線積分，記作記作.d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 積分變量積分變量積分弧

6、段積分弧段被積表達式被積表達式弧長元素弧長元素積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 ( , )d .LMx ys 也稱第一類曲線積分也稱第一類曲線積分.考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班注意：注意： (1)曲線積分曲線積分也是一個也是一個確定的常數(shù)，確定的常數(shù)，它只與被積函它只與被積函數(shù)數(shù)f(x,y)及積分弧段及積分弧段L有關(guān)有關(guān).d),( Lsyxf(2) f(x,y)在在閉曲線閉曲線L上對弧長的曲線積分記為上對弧長的曲線積分記為.d),(d),(d),(2121 LLLLsyxfsyxfsyxf(3)若若L分段光滑的分段光滑的)(21LLL 則有則有(4)存在條件：存在條件：當(dāng)當(dāng)f(x,

7、y)在在光滑曲線弧光滑曲線弧L上上連續(xù)連續(xù)時，時， Lsyxfd),(對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分存在存在.考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(5)物理意義：物理意義：( , )dLMx y s 是是線密度在線密度在L上的線積分上的線積分.d),( LsyxfA柱柱面面面面積積(6)幾何意義：幾何意義：即：高在底即：高在底L上的線積分上的線積分.(7)推廣推廣:函數(shù)函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧在空間曲線弧 上對弧長的曲線積分為上對弧長的曲線積分為 szyxfd),(01lim( ,).niiiiifs .d Lls特別地：特別地：,d abxba ,d D .d Vv 聯(lián)想：聯(lián)想：),(yxfz

8、 zxoyALABab Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（2）性質(zhì)）性質(zhì) (1) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x y sg x y s (2)( , )d( , )d().LLkf x y skf x y sk 是是常常數(shù)數(shù)12 (3)( , )d( , )d( , )d .LLLf x y sf x y sf x y s 12().LLL (4)無向性：無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān)對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即即( , )d( , )dABBAf x y sf x y s 思考

9、思考: 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負可能為負.回憶定積分：回憶定積分： ( )d( )dbaabf x xf x x 故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（1）定義定義設(shè)設(shè)L為為xoy面上從點面上從點A到點到點B的一條的一條分段光滑分段光滑的的有有向曲線，向曲線， 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP、在在L上上有界有界. 沿沿L的方向的方向依次依次取分點取分點,10BMMMAn 把把L分成分成n

10、個個有向小弧段有向小弧段iiMM1 ，), 2 , 1(ni 設(shè)設(shè)iiMM1 , jyixii 并記并記 為所有為所有小弧段長度的最大值小弧段長度的最大值. 在在iiMM1 上任意取一點上任意取一點),(ii 如果極限如果極限iiniixP ),(lim10 存在，存在，那么這個那么這個極限極限稱為稱為函數(shù)函數(shù)),(yxP在有向弧段在有向弧段L上上對坐標(biāo)對坐標(biāo)x的曲線積分，的曲線積分，記作記作.d),( xyxPL 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班類似地，類似地， 如果極限如果極限iiniiyQ ),(lim10 存在，存在，那么那么這個這個極限極限稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxQ在有向弧段在有向弧段L上

11、對上對坐標(biāo)坐標(biāo) y記作記作.d ),( yyxQL 的曲線積分，的曲線積分，即即 xyxPLd ),( ，iiniixP ),(lim10 yyxQLd ),( iiniiyQ ),(lim10 其中其中),(),(yxQyxP、稱為稱為被積函數(shù)，被積函數(shù)，yyxQxyxPd),(d),(、稱為稱為被積表達式，被積表達式，(1) L稱為稱為積分路徑積分路徑.說明：說明：(2)與與第一類曲線積分第一類曲線積分記號的區(qū)別記號的區(qū)別.iiyx ,可正可負可正可負.這里的這里的考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(3)組合形式組合形式( , )d( , )dLLP x y xQ x y y Wddd.rxiyj

12、由實例和定義知由實例和定義知:變力變力 沿沿A B所作的功為：所作的功為：F( , )d( , )dABP x yxQ x yy dABFr LyyxQxyxPd),(d),(4)特殊路徑情況特殊路徑情況,bax由由,ba L若若則則 LLyyxQxyxPd),(d),( , )( , )FP x y iQ x y j 為為向向量量值值函函數(shù)數(shù)， 記作記作01lim(,)niiiiPx 01lim(,)niiiiQy ( ,0)d0baP xx ( ,0)d .baP xx . ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW cosWFAB .F AB ix iy ),(yxFoxyLBA

13、1 nMiM1 iM2M1M),(iiF 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班),(),(yxQyxP當(dāng)當(dāng)在光滑曲線弧在光滑曲線弧L上上連續(xù)連續(xù)時，時，第二類曲線積分第二類曲線積分 存在存在. LyyxQxyxPd),(d),(.),(limd),(10 iiiniixPxzyxP ( , , )d( , , )d( , , )dP x y z x Q x y z yR x y z z .),(limd),(10 iiiniiyQyzyxQ .),(limd),(10 iiiniizRzzyxR 空間有向曲線弧空間有向曲線弧考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì) 1()性性質(zhì)

14、質(zhì) 線線性性性性質(zhì)質(zhì), 設(shè)設(shè) 、 是是常常數(shù)數(shù) 則則12 ( , )( , ) dLF x yF x yr 12 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 性性質(zhì)質(zhì)2 2( (可可加加性性) )L如如果果有有向向曲曲線線弧弧 可可分分成成兩兩段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲線線弧弧 和和則則12 ( , ) d( , ) d( , ) d .LLLF x yrF x yrF x yr 性性質(zhì)質(zhì)3 3( (有有向向性性) )LLL 設(shè)設(shè) 是是有有向向光光滑滑曲曲線線弧弧, , 是是 的的反反曲曲線線弧弧，則則 ( ,) d( ,) d .LLF x yrF x yr 即

15、即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向方向有關(guān)有關(guān). abbaxxfxxf d)(d)(回憶定積分：回憶定積分： ( , ), ( , )d(d ,d ),( , )d( , )ddLLLFP x y Q x yrxyP x yxQ x yyFr 有有線線曲曲線線元元故定積分是第二類曲線積分的特例故定積分是第二類曲線積分的特例. .( , )d( , )dLP x y x Q x y y 01lim( ,)niiiiPx 01lim( ,)niiiiQy 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班性性質(zhì)質(zhì)4 4 dABxLx 在在 軸軸上上的的投投影影( (可可正正可可負負) ) dAByLy

16、在在 軸軸上上的的投投影影( (可可正正可可負負) ) ( , )dLP x y x 01lim(,)niiiiPx ( , )dLQx y y 01lim( ,)niiiiQy 性性質(zhì)質(zhì)5 5( (垂垂直直性性) )( ,)0Lxx yx L L若若軸軸P Pd d( ,)0LyQ x yy L L若若軸軸d dix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx = =BAyy = =考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班例例1. ,1f x y 設(shè)曲線設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點和第四象限內(nèi)的點N， 為為L上上 d,fx yy （B）

17、d,f x y s （C） ,d,dxyfx yxfx yy （D） ,fx y（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）, ,df x yx （A）則下列小于零的是（則下列小于零的是（ ）從點從點M到點到點N的一段弧，的一段弧， oxy MNB考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（二）曲線積分的計算方法（二）曲線積分的計算方法基本思路基本思路:計算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分1.計算第一類曲線積分的基本方法計算第一類曲線積分的基本方法)( 01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 1. :( ),( ) L xtytt 22 ( , )d ( ), ( )( )( )d Lf x ysftt

18、ttt 2. :( ) L yxaxb 2 ( , )d , ( ) 1( )dbLaf x ysf xxxx )(ba 3. :( ) L xycyd 2 ( , )d ( ), 1( )ddLcf x ysfyyyy )(dc 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班u對弧長的曲線積分的計算步驟：對弧長的曲線積分的計算步驟：(1)積積分分畫畫出出弧弧段段的的圖圖形形；(2)將將積積分分弧弧段段用用參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方線線積積分分法法把把化化為為三三代代一一定定定定積積分分. .:( ),( ) ()L xtytt 如如： ( , )dLf x y s ( )xt “一一代代”；

19、( )yt “二二代代”；22d( )( )dsttt “三三代代”；,. “一一定定限限”: :小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限化為：化為： 22 ( ),( )( )( )d .fttttt 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班222xya 0 x 0 yLOA OBAB (1) :0,0OA yxa ，21dOAIx s 23011 0d3axxa ，(2) :0,0OB xya ，22dOBIy s 2 01 0dayy 31.3a22(3) :,0AB yaxxa 23dABIa s 212.4aa 333312311121()33232IIIIaaaa 22222()d ,0,0

20、LIxysL xya xy 計計算算其其中中 為為所所圍圍區(qū)區(qū)域域.的的整整個個邊邊界界考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班xy42 ox1-22yd , LIy s 計計算算例例2.24 ,(1,2)(1, 2)Lyx ：從從到到的的一一段段弧?。?:2L yx 21 : , 22,4L xyy 22 21 ( ) d2yIyy 0注意到：關(guān)于注意到：關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù)是奇函數(shù). .計算第一類曲線積分的簡化方法：計算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性利用第一類曲線積分的對稱性.3.利

21、用第一類曲線積分的利用第一類曲線積分的積分弧段的方程積分弧段的方程化簡被積函數(shù)化簡被積函數(shù).考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班注：第一類曲線積分的對稱性：注：第一類曲線積分的對稱性：1.Ly若若 關(guān)關(guān)于于 軸軸對對稱稱，則則 ( , )dLf x ys (, )( , )fx yf x y ，0，(, )( , )fx yf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oyx2.Lx若若 關(guān)關(guān)于于 軸軸對對稱稱，則則LL1Oxy ( , )dLf x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0，( ,)( , )f xyf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oxy3.L若

22、若 關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱，則則 ( , )dLf x ys (,)( , )fxyf x y ，0，(,)( , )fxyf x y ，1 2( , )dLf x ys ，4.Lyx 若若 關(guān)關(guān)于于直直線線軸軸對對稱稱，則則 ( , )dLf x ys ( , )d .Lf y xs 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班22222,(+)d ,0.xyzaIxyzsxyz 求求其其中中 為為圓圓周周例例3.解解:由由對對稱稱性性知知：222ddd .xsyszs 2221()d3Ixyzs 故故2d3as 32.3a (2d ,)as 球球面面大大圓圓周周長長對于用對于用一般方程一般方程表示的空間曲線

23、表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方程化為曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程，這個過程一這個過程一般是比較困難的，般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理在特殊情況下可用特殊方法處理.要計算函數(shù)對弧長的要計算函數(shù)對弧長的1dd()d03y sz sxyzs 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程參數(shù)方程為為則:( ),( ),( )()xtytztt ( , , )df x y zs ( ), ( ), ( )fttt 222( )( )( ) dtttt d ,Iy s 計計算算其其中中 為為空空間間點點( (1 1, ,0 0, ,0 0)

24、)與與( (0 0, ,1 1, ,1 1) )的的直直線線段段. .例例4.解解:1111xyz 直直線線 : :1, 01xtyttzt 直直線線 的的參參數(shù)數(shù)方方程程: : 1 0I 1 1 1dtt 1 03dt t 3.2 xyzO( (0 0, ,1 1, ,1 1) )1考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班 例例5. 計算計算22d ,Lxys 其中其中L為圓周為圓周22.xya x 提示提示: 原式原式 =dLax s 22a 說明說明: 1.若用參數(shù)方程計算若用參數(shù)方程計算,:L(02) xaoyr2(1cos )ax 2sinay 則則22ddsxy d2a 2.若用參數(shù)方程：若用參數(shù)

25、方程：:L2cosxa cossinya 22ddsxy da ()22 cossinxryr dLax s 原原式式202(1 cos )d2aaa 2222cosdaa dLax s 原原式式22a 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班2.計算第二類曲線積分的基本方法計算第二類曲線積分的基本方法)( 定理定理( ),( )ttLxyt : :的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為， ( , )d( , )dLP x y x Q x y y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 特殊情況：特殊情況：(1)曲線弧曲線弧L的方程為：的方程為：，)(xyy x自自a到到b, )(: xyy

26、xxL則則(2)曲線弧曲線弧L的方程為：的方程為：，)(yxx y自自 c到到d,則則(3)推廣推廣 ：則則 )(: yyyxxL dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP x Q yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP x Q yP x y y x yQ x y yy ( )( ),( )xtyt zt ，t 自自到到， ddd ( ), ( ), ( ) ( )LP xQ yR zPtttt ( ), ( ), ( )( ) ( ), ( ), ( )( )dQttttRttttt 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班u對坐標(biāo)的曲線積分的計

27、算步驟：對坐標(biāo)的曲線積分的計算步驟：(1)畫畫出出的的圖圖形形, ,標(biāo)標(biāo)明明積積分分路路徑徑積積分分路路徑徑的的方方向向；(2)將將積積分分路路徑徑用用參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方法法把把線線積積分分二二代代第第二二類類化化一一定定為為定定積積分分. .(: ),( )xtyttL 如如：從從 變變到到，( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；,.tt “一一定定限限”: :起起點點下下限限 終終點點上上限限化為：化為：yyxQxyxPLd),(d ),( ,d,d( )( )( )()( )tttttPQt ( )( )( )( ) ,d( )( )ttttt

28、QttP 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班 ( , )dLf x ys 1.第第一一類類曲曲線線積積分分：22 ( ), ( )( )( )d fttttt 大大小小 ( , , )df x y zs 222 ( ), ( ), ( )( )( )( )d fttttttt 大大小小2.第第二二類類曲曲線線積積分分： ( , )d( , )dLP x y x Q x y y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 終終點點起起點點 ( ), ( ), ( )( ) ( ), ( ), ( )( )dQttttRttttt ( , , )d( , , )d( , , )d

29、P x y z x Q x y z y R x y z z ( ), ( ), ( ) ( )Ptttt 終終點點起起點點( ),( )( ),( )( ),Lxtytxtytzt 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為；的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為, ,比較比較直接法或參數(shù)方程法直接法或參數(shù)方程法考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班例例6. 計算計算,dLxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解法解法1:化為對化為對x的定積分，的定積分，則則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2

30、:化為對化為對y的定積分，的定積分，則則11:,:2yyxL54d2114yy從點從點xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班例例7.計算計算,2dd 22 Lyxyyxx其中其中L為圓周為圓周122 yx沿逆時針方向沿逆時針方向.解一解一:,sincos yxL： Lyxyyxx 222dd222cossindcos2sin =0.解二解二:在在L上上，122 yx則則.1222222yxyx 于是于是 Lyxyyxx 222dd Lxxx 22d Lyyy 21d0.xxfBAxxd)( BAxx 0.(

31、 )dABf xx , 從從變變到到- -則則這里這里( ),Pf x 0Q ，故故0,Py 0Qx ，由格林公式由格林公式設(shè)設(shè)L圍成區(qū)域圍成區(qū)域D，( )d0.Lf x x 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班ozyx例例8.解解:()d()d()d ,Izyxxzyxyz 求求其其中中221:,.2xyzxyz 從從 軸軸正正向向看看為為順順時時針針方方向向 取取的的參參數(shù)數(shù)方方程程cos ,sin ,2 cossin( :20)xt yt zttt 02I (2 cos )( sin )tt ( 22cossin )costtt (cossin )(cossin )dttttt 20 2(4cos1

32、)dtt 220(1 4cos)dtt 220(1 4cos)dtt 2 . 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系 (cos ,cos(), x yLL 設(shè)設(shè)為為光光滑滑有有向向與與曲曲線線弧弧 上上點點處處方方向向一一致致的的單單位位切切向向量量, ,則則 ( , )d( , )d( , )cos( , )cosdsLLP x y x Q x y yP x yQ x y ( ),( )Ttt xyodsdxdyx(cos,cos,cos ) 類類似似地地, ,設(shè)設(shè)為為光光滑滑 單單位位與與方方切切的的一一向向致致向向量量, ,則則 dddcoscoscos

33、dsP xQ yR zPQR ( , , )x y z 有有向向曲曲線線弧弧上上點點處處考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班（三）格林公式及其應(yīng)用（三）格林公式及其應(yīng)用 LDyQxPyxyPxQdddd)(1)格林公式是牛頓格林公式是牛頓萊布尼茲公式的推廣，萊布尼茲公式的推廣，其中其中L是是D的的正向邊界曲線正向邊界曲線（有向性）（有向性）. D是是有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域（封（封在在D上有上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）（連續(xù)性）.上的上的二重積分二重積分與與區(qū)域邊界上區(qū)域邊界上的的線積分線積分的聯(lián)系的聯(lián)系.注意：注意：(2) 公式的記憶方法：公式的記憶方法：溝通溝通了了區(qū)域區(qū)域( , ), (

34、, )P x y Q x y d d Dxy x yPQ dd .LP x Q y (3)對復(fù)連通區(qū)域?qū)?fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的的全全部部邊界的曲線積分邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說來說都是正向都是正向 閉性），閉性），考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(4)如果閉曲線如果閉曲線L-是是D的的正向正向邊界曲線邊界曲線L的的反方向反方向,則有：則有：()d dddDDQPx yP x Q yxy ddLP xQ y ()d dDQPx yxy (5) 格林公式適用于格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計算平面曲線上的第二類線積分的計

35、算.(6)如果如果L不是閉曲線或函數(shù)不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D的個別的個別點上點上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)， 格林公式不能直接使用，格林公式不能直接使用，此時往往需添加輔助線，此時往往需添加輔助線， 然后再作計算然后再作計算.考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(2) 簡化計算曲線積分簡化計算曲線積分(1) 利用曲線積分計算平面圖形的面積利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域閉區(qū)域D的面積的面積.dd21 LxyyxA)d(d ddDDQPyxx yPQ yx (3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(4)二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)

36、的全微分求積()d dddDDQPx yP x Q yxy 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件 LyQxP dd，xQyP 等等價價命命題題(1)在在G內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)，與路徑無關(guān)，(2)在在G內(nèi)存在內(nèi)存在u(x,y),，yQxPuddd 使使(3)在在G內(nèi)，內(nèi)， CyQxP , 0dd(4)閉曲線閉曲線.GC 在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有連續(xù)的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價則以下四個命題等價.說明：說明：1.四個等價命題四個等價命題考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班2.多元函數(shù)的原函數(shù)：多元函數(shù)的原函數(shù)：

37、,P Q若若滿滿足足定定理理的的條條件件, ,則則由由上上述述證證明明中中已已經(jīng)經(jīng)看看到到: :000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函數(shù)數(shù)d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy 具具有有性性質(zhì)質(zhì): :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我們們稱稱為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)由此由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，可以求某個全微分的原函數(shù)，( , )d ( , )ddu x yu x yP x Q y 3 3. .如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y x

38、yo000(,)Mxy 0ddM CMP x Q y 00( , )(,)d( ,dx yx yuPyx Q yx 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ x y y 0 ( , )dxxP x y x 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班xQyP xQyP 0dd LyQxPI 00( , )(,)dd ()x yxyIP xQ y 更更換換路路徑徑 ddLIP xQ y 1 1. .直直接接法法計計算算方方

39、法法 2 2. .格格林林公公式式法法3 3. .與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)法法的的1 1. .滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則可可直直接接用用格格林林公公式式. .2 2. .不不滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則添添加加曲曲線線挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 則則考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班L為由點為由點(a,0) 到到(0,0)的上半圓周的上半圓周xyo)0 ,(aA如圖，如圖，D (sin)d(cos)dxxLIeymyxeymy 計計算算, ,其其中中22,0.xyax y ( , )sin,xP x yeymy ( , )cos,xQ x yey

40、m cosxPeymy ，cosxQeyx ，()d dDQPx yxy I 208ma 2.8ma 0,:0OAyxa ： ddddL OAOAIP xQ yP xQ y 則則 ddOAP xQ y ddOAP xQ y 00 d() 0axxem 0,()d dDQPx yxy d dDmx y 28ma 添加輔助線：添加輔助線：考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班1 1. .補補充充曲曲線線的的原原則則： xy1 1. .盡盡可可能能與與 、 軸軸平平行行；.DD 2 2. .與與原原來來的的圖圖形形圍圍在在一一起起為為或或2.2.注意格林公式成立的條件注意格林公式成立的條件. .說明：說明：有向性

41、；有向性； 連續(xù)性；連續(xù)性； 封閉性封閉性.()d dddDDQPx yP x Q yxy 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班例例2.的的分段光滑分段光滑的連續(xù)閉曲線，的連續(xù)閉曲線， L的方向為逆時針方向的方向為逆時針方向.22 ddLx yy xxy 計計算算，xyoLD解解: 記記L所圍的閉區(qū)域為所圍的閉區(qū)域為D，令令2222,yxxQyxyP 220,xy 則則當(dāng)當(dāng)時時2222 2,()QyxPxxyy 由格林公式知，由格林公式知，(1)(0, 0),D 當(dāng)當(dāng)時時22 ddLx yy xxy ()d dDQPx yxy 0.其中其中L為一無重點且不過原點為一無重點且不過原點考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班

42、作位于作位于D內(nèi)圓周內(nèi)圓周L1Dal(2)(0,0),D 當(dāng)當(dāng)時時222:l xya ，1,DLl記記 由由 與與圍圍成成應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式,得得22 ddL lx yy xxy 1()d d0,DQPx yxy 即即2222 dddd0,Llx yy xx yy xxyxy 2222 ddddLlx yy xx yy xxyxy 22222cossindaaa 2 0 2 . 220,xy 1 1. .當(dāng)當(dāng)時時2222 2()QyxPxxyy ddddL llIP xQ yP xQ y 2 2. .考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班解解:xyo11Asin2xy L計算計算為由點為由點O(0,0

43、)到點到點A(1,1)的曲線的曲線， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因為因為，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 則則PQyx 即即.面面上上與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)故故曲曲線線積積分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班120dxx 2315 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyyL選擇新路徑應(yīng)注意：選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑）一般選與坐標(biāo)

44、軸平行的新路徑（1）新路徑的起點與終點不變）新路徑的起點與終點不變（2）新路徑）新路徑G 224(2)d()dLIxxyxxyy 考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班例例4. 驗證：驗證： 在整個在整個xoy平面內(nèi)，平面內(nèi)，yyxxxydd22 是某個函是某個函數(shù)的全微分，數(shù)的全微分， 并求出它的一個原函數(shù)并求出它的一個原函數(shù).解解: 這里這里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ 則在整個則在整個xoy平面內(nèi)有：平面內(nèi)有：.PQyx 于是于是在整個在整個xoy平面平面 (它是一個單連通區(qū)域它是一個單連通區(qū)域)內(nèi)，內(nèi)，yyxxxydd22 是某個函數(shù)的全微分，是某個函數(shù)的全微分， 由公式由公式;d),()d,(),( 0 00 yyxxyyxQxyxPyxu( , )u x y .2122