有限元分析理論基礎.doc

1、有限元分析概念有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點處相互連接的單元（子域）所構成，其模型給出基本方程的分片（子域）近似解，由于單元（子域）可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應復雜的幾何形狀、復雜的材料特性和復雜的邊界條件有限元模型： 它是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。有限元分析： 是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng) （幾何和載荷工況）進行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的， 所考慮的變形建立在小變形假設的基礎上。

2、在這類問題中，材料的應力與應變呈線性關系，滿足廣義胡克定律； 應力與應變也是線性關系，線彈性問題可歸結為求解線性方程問題， 所以只需要較少的計算時間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學分析與線彈性動力學分析兩方面。非線性問題與線彈性問題的區(qū)別：1）非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；2）非線性問題不能采用疊加原理；3）非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。有限元求解非線性問題可分為以下三類：1）材料非線性問題材料的應力和應變是非線性的，但應力與應變卻很微小，此時應變與位移呈線性關系，這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理

3、論上還不能提供能普遍接受的本構關系，所以，一般材料的應力與應變之間的非線性關系要基于試驗數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學模型進行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實際中較為重要的材料非線性問題有： 非線性彈性（包括分段線彈性） 、彈塑性、粘塑性及蠕變等。2）幾何非線性問題幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關系引起的。當物體的位移較大時，應變與位移的關系是非線性關系。研究這類問題一般都是假定材料的應力和應變呈線性關系。它包括大位移大應變及大位移小應變問題。如結構的彈性屈曲問題屬于大位移小應變問題，橡膠部件形成過程為大應變問題。3）非線性邊界問題在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的

4、作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當一個結構與另一個結構或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。有限元理論基礎有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法， 其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元， 在每個單元內(nèi)， 選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點， 將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式， 借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。 采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構成不同的有限元方法。

5、1. 加權余量法：是指采用使余量的加權函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱為加權余量法。 （Weighted residual method WRM ）是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問題近似解的數(shù)學方法。加權余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法。設問題的控制微分方程為:在 V域內(nèi)在 S邊界上L (u)f0(5.1.1)B(u)g0(5.1.2)式中 :L 、B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子；f 、g 為與未知函數(shù)u 無關的已知函數(shù)域值；u為問題待求的未知函數(shù)混合法對于試函數(shù)的選取最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條

6、件，這對復雜結構分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。無論采用何種方法，在建立試函數(shù)時均應注意以下幾點：(1) 試函數(shù)應由完備函數(shù)集的子集構成。已被采用過的試函數(shù)有冪級數(shù)、三角級數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項式等等。(2) 試函數(shù)應具有直到比消除余量的加權積分表達式中最高階導數(shù)低一階的導數(shù)連續(xù)性。(3) 試函數(shù)應與問題的解析解或問題的特解相關聯(lián)。若計算問題具有對稱性，應充分利用它。顯然，任何獨立的完全函數(shù)集都可以作為權函數(shù)。 按照對權函數(shù)的不同選擇得到不同的加權余量計算方法，主要有：配點法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法。其中伽遼金法的精度最高。2、虛功原理

7、平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式虛功原理包含虛位移原理和虛應力原理， 是虛位移原理和虛應力原理的總稱。他們都可以認為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的“弱”形式；虛應力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。虛位移原理的力學意義：如果力系是平衡的，則它們在虛位移和虛應變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移（及虛應變）上所作的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力系平衡的必要而

8、充分條件。一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題。虛應力原理的力學意義：如果位移是協(xié)調的，則虛應力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。反之，如果上述虛力系在他們上面所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調的。所以，虛應力原理表述了位移協(xié)調的必要而充分條件。虛應力原理可以應用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學問題。 但是必須指出，無論是虛位移原理還是虛應力原理，他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的， 他們不能直接應用于基于大變形理論的力學問題。3、最小總勢能法應變能：作用在物體上的外載荷會引起物體變形， 變形期間外力所做的功

9、以彈性能的形式儲存在物體中，即為應變能。由 n 個單元和 m個節(jié)點組成的物體的總勢能為總應變能和外力所做功的差：n(e )m=Fui ie 1i 1最小勢能原理： 對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)， 相對于平衡位置發(fā)生的位移總會使系統(tǒng)的總勢能最小，即：n(e)mFui i0 i=1,2,3,nuiui e 1ui i 1有限元法的收斂性有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應考慮收斂性問題。有限元法的收斂性是指：當網(wǎng)格逐漸加密時， 有限元解答的序列收斂到精確解；或者當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。有限元的收斂條件 包括如下四個方面：1）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項式是單值

10、連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應變項。每個單元的應變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點位置的常應變和由各點位置決定的變量應變。當單元的尺寸足夠小時，單元中各點的應變趨于相等，單元的變形比較均勻， 因而常應變就成為應變的主要部分。為反映單元的應變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應變項。3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項。一般情況下，單元內(nèi)任一點的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應變；剛體位移只改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移。空間一個物體包括三個平

11、動位移和三個轉動位移，共有六個剛體位移分量。由于一個單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時必將帶動單元做剛體位移，由此可見，為模擬一個單元的真實位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項。4）位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調。 對一般單元而言，協(xié)調性是指相鄰單元在公共節(jié)點處有相同的位移， 而且沿單元邊界也有相同的位移， 也就是說， 要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。對一般單元，協(xié)調性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結構的應變能是有界量。

12、總的說來，協(xié)調性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。前三條又叫完備性條件， 滿足完備條件的單元叫完備單元； 第四條是協(xié)調性要求，滿足協(xié)調性的單元叫協(xié)調單元；否則稱為非協(xié)調單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構成收斂的充分必要條件。在實際應用中， 要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調性要求是比較困難的，在某些情況下可以放松對協(xié)調性的要求。需要指出的是，有時非協(xié)調單元比與它對應的協(xié)調單元還要好，其原因在于近似解的性質。假定位移函數(shù)就相當于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結構比真實結構更剛一些。但是，這種近似結構由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，

13、或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉角不連續(xù)時，剛節(jié)點變?yōu)殂q接點）對于非協(xié)調單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調單元有時也會得到很好的結果。在工程實踐中，非協(xié)調元必須通過“小片試驗后”才能使用。應力的單元平均或節(jié)點平均處理方法最簡單的處理應力結果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點各單元應力的平均值。? 1. 取相鄰單元應力的平均值這種方法最常用于3 節(jié)點三角形單元中。這種最簡單而又相當實用的單元得到的應力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應力的平均值，或是單元形心處的應力。由于應力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應力的平均值作為此兩個單元合成的較大四邊形單元形

14、心處的應力。如 2 單元的情況下，取平均應力可以采用算術平均，即平均應力 =（單元 1 的應力 +單元 2 的應力） /2 。也可以采用精確一些的面積加權平均，即平均應力 = 單元 1 應力單元 1 的面積 +單元 2 應力單元2 面積 / （單元 1 面積 +單元 2 面積）當相鄰兩單元面積相差不大時，兩者的結果基本相同。在單元劃分時應避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。一般而言， 3 節(jié)點三角形單元的最佳應力點是單元的中心點，此點的應力具有 1 階的精度。? 2. 取圍繞節(jié)點各單元應力的平均值首先計算圍繞該節(jié)點（ i ）周圍的相關單元在該節(jié)點出的應力值，然后以他們的平均值作

15、為該節(jié)點的最后應i力值 i1 me，即 im e 1其中，1m是圍繞在 i 節(jié)點周圍的全部單元。 取平均值時也可進行面積加權。有限元法求解問題的基本步驟1. 結構離散化對整個結構進行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節(jié)點相連；2. 求出各單元的剛度矩陣 K (e)K(e)是由單元節(jié)點位移量 (e)求單元節(jié)點力向量F(e)的轉移矩陣，其關系式為:F(e)=K(e) (e)3. 集成總體剛度矩陣 K 并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣K 是由整體節(jié)點位移向量 求整體節(jié)點力向量的轉移矩陣，其關系式為F = K ，此即為總體平衡方程。4. 引入支撐條件，求出各節(jié)點的位移節(jié)點的支撐條件有兩種：一

16、種是節(jié)點n 沿某個方向的位移為零，另一種是節(jié)點 n 沿某個方向的位移為一給定值。5. 求出各單元內(nèi)的應力和應變。對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為:(1) 建立積分方程， 根據(jù)變分原理或方程余量與權函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。(2) 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、 不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作， 這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。(3)

17、 確定單元基函數(shù)， 根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。 有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的， 由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀， 在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。(4) 單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù) ( 即單元中各節(jié)點 的參數(shù)值 ) 的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5) 總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。(6) 邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界

18、條件( 狄里克雷邊界條件 ) 、自然邊界條件 ( 黎曼邊界條件 ) 、混合邊界條件( 柯西邊界條件 ) 。對于自然邊界條件， 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。(7) 解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。單元剛度矩陣的特性單元剛度矩陣無論在局部坐標系中還是在整體坐標系中都具有相同的三個特性：1）對稱性由材料力學中的位移互等定理可知，對一個構件，作用在點j的力引起點 i 的繞度等于有同樣大小而作用于點 i 的力引起的點 j

19、的繞度，即 kij (e) = k ji (e) ，表明單元剛度矩陣是一個對稱矩陣。2）奇異性無逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣，其行列式的值為0，即 |k (e) |=0 ，這一點可以從例題直接得到驗證。其物理意義是引入支撐條件之前，單元可平移。3）分塊性有前面所講的內(nèi)容可以看出，矩陣k (e) 可以用虛線分成四塊，因此可寫成如下的分塊形式，(e )( e)(e)ff12kk1121kk121222(e)式中 kmn 局部坐標系中單元(e) 按局部碼標記的節(jié)點m、 n 之間的剛度子矩陣剛架結構中非節(jié)點載荷的處理的方法在剛架結構以及其他較復雜的結構上，他們所受的載荷可以直接作用在節(jié)點上，又可以不直接作

20、用在節(jié)點上而作用于單元節(jié)點間的其他位置上。后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點載荷。有限元分析時，總體剛度方程中所用到的力向量是節(jié)點力向量。因此在進行整體分析前應當進行載荷的移植， 將作用于單元上的力移植到節(jié)點上。移植時按靜力等效的原則進行。處理非節(jié)點載荷一般可直接在整體坐標系內(nèi)進行，其過程為：1）將各桿單元看成一根兩端固定的梁，分別求出兩個固定端的約束反力。其結果可直接利用材料力學的公式求得；2）將各固定端的約束反力變號，按節(jié)點進行集成，獲得各節(jié)點的等效載荷總體剛度矩陣的集成法使用剛度矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣。在此將其擴展到由整體坐標系中的單元剛度矩陣的子矩陣集成總體剛度矩陣。步驟如下：1）對

21、一個有 n 個節(jié)點的結構，將總體剛度矩陣K 劃分為 nn 各子區(qū)間，然后按節(jié)點總碼的順序進行編號；2）將整體坐標系中單元剛度矩陣的各子矩陣根據(jù)其下標的兩個總碼對號入座，寫在總體剛度矩陣相應的子區(qū)間；3）同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加，成為總體剛度矩陣中的相應的子矩陣?？傮w剛度矩陣的特性1）對稱性：因為由此特性，在計算機中只需存儲其上三角部分；2）奇異性：物理意義仍為在無約束的情況下，整個結構可做剛體運動；3）稀疏性： K 中有許多零子矩陣，而且在非零子矩陣中還有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。大型結構的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣；4）分塊性：平面問題離散化時的規(guī)定1）單元之間只在節(jié)點處相連；2

22、）所有的節(jié)點都為鉸接點；3）單元之間的力通過節(jié)點傳遞；4）外載荷都要移植到節(jié)點上；5）在節(jié)點位移或某一分量可以不計之處，就必須在該節(jié)點安置一個鉸支座或相應的連桿支座。通過以上的規(guī)定來建立平面有限元分析模型。結構對稱性的利用規(guī)律一般來說，作用在對稱結構上的載荷系統(tǒng)分為對稱的、反對稱的和一般的三種情況。1. 結構對稱，載荷對稱或反對稱這種情況下，對稱面上的邊界條件可按以下規(guī)則確定：A. 在不同的對稱面上，將位移分量區(qū)分為對稱分量和反對稱分量；B. 將載荷也按不同的對稱面分別區(qū)分為對稱分量和反對稱分量；C.對于同一個對稱面，如載荷是對稱的，則對稱面上位移的反對稱分量為零，如載荷是反對稱的，則對稱面上

23、位移的對稱分量為零。如果所分析的結構對稱，但載荷是不對稱的，也不是反對稱的，這時可以將這種結構系統(tǒng)簡化成載荷為對稱和 / 或反對稱情況的組合，仍可以簡化分析過程，提高分析的綜合效率。如圖 a 所示，結構對稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖 b 和圖 c 的組合。圖 b 為對稱結構，載荷對 x、y 軸均為對稱，圖 c 為結構對稱，載荷對 x 軸反對稱、對 y 軸對稱，此時可取相同的四分之一進行研究，分別施加對稱面上節(jié)點的邊界條件，進行兩次分析計算，并將計算結果迭加起來，即可得到原結構四分之一的解答，進而得出整個結構的解答。利用結構的對稱性取某一部分建立有限元模型時，往往會產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象。例如，若

24、取上例中圖 c 的四分之一建立有限元時，根據(jù)上述分析，在兩對稱面上應加水平放置的滾動鉸支座， 因此模型在垂直方向存在剛體位移。對這種約束不足問題， 利用有限元分析時， 必須增加附加約束，以消除模型的剛體位移。 在本例中， 垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點上，使得既消除了模型的剛體位移，又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元剛度太大而影響結構原有的變形狀態(tài)。單元形態(tài)的選擇原則單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點的位置、細長比等，在結構離散化過程中必須合理選擇。一般來說，為了保證有限元分析的精度，必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。對于三角形單元，三條邊長盡量接近，不應出現(xiàn)大的鈍角、

25、大的邊長。這是因為根據(jù)誤差分析， 應力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形單元的誤差之比為 sin45 :sin60 =1: 。但是為了適應彈性體邊界， 以及單元由小到大逐漸過渡， 不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形。實際上，常常使用等腰直角三角形。對于矩形單元來說，細長比不宜過大。細長比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比。 最優(yōu)細長比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別。梯度較大的方向，單元尺寸要小些，梯度小的方向，單元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細長比越接近1，精度越高。有文獻推薦，一般情況下，為了得到較

26、好的位移結果，細長比不應超過 7；為了獲得較好的應力結果，細長比不應超過3。一般情況下，正方形單元的形態(tài)最好。對于一般的四邊形單元應避免過大的邊長比，過大的邊長比會導致病態(tài)的方程組。邊界條件的確定確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進行結構有限元分析的基本要求。一般情況下，建模對象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。 例如電線桿插入地基的一端為固定端，橋梁一端為固定鉸支座，另一端為滾動較支座。但是，在機械工程中，建模對象往往是整個結構中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊界條件時，必須考慮其余部分的影響。這方面

27、主要考慮如下兩類問題。1. 邊界位置的確定在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時，往往取該局部區(qū)域為隔離體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過試探校正確定零位移邊界條件的位置。例如，進行齒輪齒有限元分析時，取一個輪齒的局部區(qū)域為隔離體，如圖所示，設定PQRS的邊界條件為零位移約束，通過改變邊界深度PQ 和邊界寬度PS 研究邊界位置對齒根最大拉應力的影響，最后確定合理的邊界條件。2. 邊界條件的確定有些分析對象的邊界位置是零部件的連接部位。在建立有限元模型時，必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件，以反映相連接結構的影響。確定這種問題的邊界條件是用簡單支撐連桿替代相連接結構的作用，使替代后結構的系統(tǒng)剛度等價于原結構的系統(tǒng)剛度。如分析機床主軸和傳動軸時，可以利用等剛度的桿單元替代軸承和支座的作用，使軸的分析中包含有軸承和支座的影響。單元和